تعاریف محدود و نامتناهی یک تابع در بی نهایت با توجه به کوشی. تعاریف حدود دو طرفه و یک طرفه (چپ و راست). نمونه هایی از راه حل های مسائلی که در آنها با استفاده از تعریف کوشی باید نشان داد که حد در بی نهایت برابر است با مقدار را تنظیم کنید, .

محتوا

همچنین ببینید: همسایگی یک نقطه
تعریف جهانی حد تابع طبق هاینه و کوشی

حد محدود یک تابع در بی نهایت

حد یک تابع در بی نهایت:
|f(x) - a|< ε при |x| >ن

تعیین حد کوشی
عدد a حد تابع نامیده می شود f (ایکس)همانطور که x به بی نهایت ()، اگر
1) چنین |x| وجود دارد >
2) برای هر عدد مثبت ε، هرچند کوچک > 0 ، یک عدد N ε وجود دارد > Kبسته به ε، که برای همه x، |x| > N ε، مقادیر تابع متعلق به همسایگی ε نقطه a است:
|ف (x) - a|< ε .
حد یک تابع در بی نهایت به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

نماد زیر نیز اغلب استفاده می شود:
.

بیایید این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول بنویسیم:
.
این فرض می کند که مقادیر متعلق به دامنه تابع هستند.

محدودیت های یک طرفه

حد چپ یک تابع در بی نهایت:
|f(x) - a|< ε при x < -N

اغلب مواردی وجود دارد که یک تابع فقط برای مثبت یا تعریف می شود مقادیر منفیمتغیر x (به طور دقیق تر در مجاورت نقطه یا ). همچنین محدودیت در بی نهایت برای مقادیر مثبت و منفی x می تواند داشته باشد معانی مختلف. سپس از محدودیت های یک طرفه استفاده می شود.

حد چپ در بی نهایتیا حدی که x به منهای بی نهایت () میل می کند به صورت زیر تعریف می شود:
.
حد راست در بی نهایتیا حدی که x تمایل دارد به اضافه بی نهایت ():
.
حدود یک طرفه در بی نهایت اغلب به صورت زیر نشان داده می شود:
; .

حد نامتناهی یک تابع در بی نهایت

حد نامتناهی یک تابع در بی نهایت:
|f(x)| > M برای |x| > ن

تعریف حد نامتناهی از نظر کوشی
حد تابع f (ایکس)همانطور که x تمایل به بی نهایت دارد ()، برابر با بی نهایت است، اگر
1) چنین همسایگی نقطه در بینهایت |x| وجود دارد > K، که تابع بر روی آن تعریف شده است (در اینجا K یک عدد مثبت است).
2) برای هر کسی، به اندازه ای که دوست دارید تعداد زیادیم > 0 ، چنین عددی N M وجود دارد > Kبسته به M که برای همه x، |x| > N M، مقادیر تابع متعلق به همسایگی نقطه در بی نهایت است:
|ف (x) | > م.
حد نامتناهی که x تمایل به بی نهایت دارد به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد نامتناهی یک تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

به همین ترتیب، تعاریف حدود نامتناهی از علائم معین برابر و ارائه شده است:
.
.

تعاریف حدود یک طرفه در بی نهایت.
محدودیت های سمت چپ
.
.
.
حدود درست
.
.
.

تعیین حد یک تابع از نظر هاینه

عدد a (متناهی یا در بی نهایت) حد تابع f نامیده می شود (ایکس)در نقطه x 0 :
,
اگر
1) چنین همسایگی نقطه x در بی نهایت وجود دارد 0 ، که تابع بر روی آن تعریف شده است (اینجا یا یا );
2) برای هر دنباله ای (xn)، همگرا به x 0 : ,
که عناصر آن متعلق به همسایگی، ترتیب (f(xn))به یک همگرا می شود:
.

اگر همسایگی یک نقطه بدون علامت در بینهایت را به عنوان یک همسایگی در نظر بگیریم: آنگاه تعریف حد یک تابع را به عنوان x تمایل به بی نهایت بدست می آوریم. اگر همسایگی سمت چپ یا راست نقطه x را در بی نهایت در نظر بگیریم 0 : یا , سپس تعریف حد را به دست می آوریم زیرا x به ترتیب به منهای بی نهایت و به اضافه بی نهایت تمایل دارد.

تعاریف هاینه و کوشی از حد معادل هستند.

مثال ها

مثال 1

استفاده از تعریف کوشی برای نشان دادن آن
.

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:
.
بیایید دامنه تعریف تابع را پیدا کنیم. از آنجایی که صورت و مخرج کسر چند جمله ای هستند، تابع برای همه x به جز نقاطی که مخرج در آنها ناپدید می شود، تعریف می شود. بیایید این نکات را پیدا کنیم. حل معادله درجه دوم. ;
.
ریشه های معادله:
; .
از آن پس و .
بنابراین تابع در تعریف شده است. بعدا از این استفاده خواهیم کرد.

اجازه دهید تعریف حد محدود یک تابع در بی نهایت را با توجه به کوشی بنویسیم:
.
بیایید تفاوت را تغییر دهیم:
.
صورت و مخرج را بر تقسیم و در آن ضرب کنید -1 :
.

اجازه دهید .
سپس
;
;
;
.

بنابراین، متوجه شدیم که وقتی،
.
.
نتیجه می شود که
در، و.

از آنجایی که همیشه می توانید آن را افزایش دهید، بیایید بگیریم. سپس برای هر کسی،
در .
این به آن معنا است .

مثال 2

اجازه دهید .
با استفاده از تعریف کوشی از حد، نشان دهید که:
1) ;
2) .

1) راه حل به عنوان x تمایل به منهای بی نهایت دارد

از آنجایی که تابع برای همه x تعریف شده است.
اجازه دهید تعریف حد یک تابع را در برابر منهای بی نهایت بنویسیم:
.

اجازه دهید . سپس
;
.

بنابراین، متوجه شدیم که وقتی،
.
اعداد مثبت را وارد کنید و:
.
بنابراین برای هر عدد مثبت M یک عدد وجود دارد، به طوری که برای
.

این به آن معنا است .

2) راه حل به عنوان x تمایل دارد به اضافه بی نهایت

بیایید تابع اصلی را تبدیل کنیم. صورت و مخرج کسر را در ضرب کنید و فرمول تفاضل مربع ها را اعمال کنید:
.
ما داریم:

.
اجازه دهید تعریف حد راست تابع را در زیر بنویسیم:
.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: .
بیایید تفاوت را تغییر دهیم:
.
صورت و مخرج را در:
.

اجازه دهید
.
سپس
;
.

بنابراین، متوجه شدیم که وقتی،
.
اعداد مثبت را وارد کنید و:
.
نتیجه می شود که
در و .

از آنجایی که این برای هر عدد مثبت صدق می کند، پس
.

منابع:
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.

همچنین ببینید:

برای کسانی که می خواهند یاد بگیرند که چگونه محدودیت ها را پیدا کنند، در این مقاله به شما در مورد آن خواهیم گفت. ما به این نظریه نمی پردازیم؛ معلمان معمولاً آن را در سخنرانی ها ارائه می دهند. بنابراین "نظریه خسته کننده" باید در دفترچه یادداشت شما یادداشت شود. اگر اینطور نیست، می توانید کتاب های درسی را که از کتابخانه به امانت گرفته اید بخوانید. موسسه تحصیلییا در سایر منابع اینترنتی

بنابراین، مفهوم حد در مطالعه ریاضیات عالی بسیار مهم است، به خصوص زمانی که با حساب انتگرال مواجه می شوید و ارتباط بین حد و انتگرال را درک می کنید. در مطالب فعلی ما در نظر خواهیم گرفت مثال های سادهو همچنین راه های حل آنها.

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1

a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $ را محاسبه کنید. b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

راه حل

الف) $$ \lim \limits_(x \تا 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ مردم اغلب این محدودیت ها را با درخواست کمک برای حل آنها برای ما ارسال می کنند. ما تصمیم گرفتیم آنها را به عنوان یک مثال جداگانه برجسته کنیم و توضیح دهیم که این محدودیت ها به عنوان یک قاعده فقط باید به خاطر بسپارند. اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما تهیه خواهیم کرد راه حل دقیق. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

با عدم قطعیت فرم چه باید کرد: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

مثال 3

حل $ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1) (x+1) $

راه حل

مثل همیشه، با جایگزین کردن مقدار $ x $ در عبارت زیر علامت حد شروع می کنیم. $$ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ حالا بعدش چیه؟ در نهایت چه اتفاقی باید بیفتد؟ از آنجایی که این عدم قطعیت است، این هنوز پاسخی نیست و ما به محاسبه ادامه می دهیم. از آنجایی که ما یک چند جمله ای در اعداد داریم، آن را با استفاده از فرمول آشنا برای همه از مدرسه $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ فاکتور می کنیم. یادت میاد؟ عالی! حالا برو و از آن با آهنگ استفاده کن :) متوجه می‌شویم که صورت‌گر $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ ما با در نظر گرفتن تبدیل فوق به حل ادامه می دهیم: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+1 )) (x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \ به -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

پاسخ

$$ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1) (x+1) = -2 $$

بیایید حد را در دو مثال آخر به بی نهایت برسانیم و عدم قطعیت را در نظر بگیریم: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

مثال 5

محاسبه $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

راه حل

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ چه باید کرد؟ باید چکار کنم؟ نترسید، زیرا غیرممکن ممکن است. باید x را هم در صورت و هم در مخرج خارج کرد و سپس آن را کاهش داد. پس از این، سعی کنید حد را محاسبه کنید. بیا تلاش کنیم... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ با استفاده از تعریف مثال 2 و جایگزینی بی نهایت به جای x، به دست می آوریم: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

پاسخ

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

الگوریتم محاسبه حدود

بنابراین، بیایید به طور خلاصه مثال ها را خلاصه کنیم و یک الگوریتم برای حل حدود ایجاد کنیم:

1. نقطه x را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید. اگر عدد یا بی نهایت مشخصی به دست آید، حد کاملاً حل می شود. در غیر این صورت عدم قطعیت داریم: "صفر تقسیم بر صفر" یا "بی نهایت تقسیم بر بی نهایت" و به مراحل بعدی دستورالعمل ها می رویم.
2. برای از بین بردن عدم قطعیت «صفر تقسیم بر صفر»، باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید. موارد مشابه را کاهش دهید. نقطه x را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید.
3. اگر عدم قطعیت «بی‌نهایت تقسیم بر بی‌نهایت» باشد، هم صورت و هم مخرج x را به بیشترین درجه برمی‌داریم. X ها را کوتاه می کنیم. مقادیر x را از زیر حد به عبارت باقی مانده جایگزین می کنیم.

در این مقاله اصول حل حدود را که اغلب در درس حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده می شود، یاد گرفتید. البته اینها همه انواع مشکلات ارائه شده توسط ممتحنین نیستند، بلکه فقط ساده ترین محدودیت ها هستند. در مقالات بعدی در مورد انواع دیگر تکالیف صحبت خواهیم کرد، اما ابتدا باید این درس را یاد بگیرید تا به جلو بروید. بیایید در مورد اینکه در صورت وجود ریشه ها، درجات، مطالعه توابع معادل بی نهایت کوچک، محدودیت های قابل توجه، قانون L'Hopital چه کاری باید انجام دهیم.

اگر خودتان نمی توانید محدودیت ها را دریابید، نترسید. یاریدادن همواره مایهی خرسندی ماست!

هنگام حل مشکلات یافتن حدود، باید برخی از محدودیت ها را به خاطر بسپارید تا هر بار دوباره آنها را محاسبه نکنید. با ترکیب این محدودیت های شناخته شده، محدودیت های جدیدی را با استفاده از ویژگی های ذکر شده در § 4 پیدا خواهیم کرد. برای راحتی بیشتر، محدودیت‌هایی که اغلب با آن مواجه می‌شوند را ارائه می‌کنیم: محدودیت‌ها 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L، = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a)، اگر f (x) پیوسته است x a اگر معلوم شود تابع پیوسته است، به جای یافتن حد، مقدار تابع را محاسبه می کنیم. مثال 1. lim (x*-6l:+ 8) را پیدا کنید. از آنجایی که تعداد زیادی وجود دارد - X-> 2

تابع عضو پیوسته است، سپس lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 مثال 2. lim -r را پیدا کنید. . ابتدا حد مخرج را پیدا می کنیم: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; برابر X-Y1 صفر نیست، به این معنی که می توانیم ویژگی 4 § 4 را اعمال کنیم، سپس x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. حد از مخرج X X برابر با صفر است، بنابراین، خاصیت 4 از § 4 را نمی توان اعمال کرد. از آنجایی که صورت یک عدد ثابت است، و مخرج [x2x) -> -0 برای x - - 1، پس کل کسر به طور نامحدودی افزایش می یابد. قدر مطلق, i.e. lim "1 X-*- - 1 x* + x مثال 4. lim \-ll*" را بیابید!"" "حد مخرج صفر است: lim (xr-6lg+ 8) = 2*-6 - 2 + 8 = 0، بنابراین ویژگی X 4 از § 4 قابل اجرا نیست. اما حد شمارنده نیز صفر است: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. بنابراین، حدود صورت و مخرج به طور همزمان برابر با صفر است، با این حال، عدد 2 ریشه هر دو صورت و مخرج است، بنابراین کسر را می توان با اختلاف x-2 کاهش داد (طبق قضیه بزوت). x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4 «بنابراین، xr--f- 6 g x-3 -1 1 مثال 5. lim xn (n عدد صحیح، مثبت) را پیدا کنید. n یک عدد صحیح، مثبت است. مقدار، منفی باقی می ماند، سپس در مورد مدرک حتیمحصول بدون محدودیت رشد می کند، مثبت باقی می ماند، یعنی lim *n = + oo (برای زوج n). *-* -о در مورد یک درجه فرد، قدر مطلق حاصل افزایش می یابد، اما منفی می ماند، یعنی lim xn = - oo (برای n فرد). p -- 00 مثال 7. lim را پیدا کنید. x x-*- co * اگر m>pu پس می توانیم بنویسیم: m = n + kt که در آن k>0. بنابراین xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu به مثال 6 رسیدیم. اگر ti uTL xm I lim lim t. X - O x-* yu L X ->co در اینجا صورتگر ثابت می ماند و مخرج در مقدار مطلق افزایش می یابد. بنابراین lim -ь = 0. X-*oo X* توصیه می شود نتیجه این مثال را به شکل زیر به خاطر بسپارید: تابع توان هر چه سریعتر رشد کند نشانگر بیشتردرجه. $хв_Зхг + 7

مثال ها

مثال 8. lim g L -g-= را پیدا کنید. در این مثال x-*® "J* "G bX -ox-o و صورت و مخرج بدون محدودیت افزایش می‌یابد. اجازه دهید هم صورت و هم مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کنیم. از x، یعنی روی xb، سپس 3 7_ مثال 9. لیر را پیدا کنید... با انجام تبدیل، لیر را به دست می آوریم... ^ = lim X CO + 3 7 3 از آنجایی که lim -5 = 0، lim -، = 0، سپس حد مخرج rad-*® X X-+-CD X صفر است، در حالی که حد ممیز 1 است. در نتیجه، کل کسر بدون حد افزایش می یابد، یعنی t 7x hm X-+ yu مثال 10. lim را بیابید مخرج حد S را محاسبه کنید، به یاد داشته باشید که تابع cos*- پیوسته است: لیره (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. سپس x->- S lim (l-fsin*) مثال 15. lim * را پیدا کنید<*-e>2 و lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO پرس (l: - a)2 = z; از آنجایی که (Λ;-a)2 همیشه به صورت غیر منفی و بدون محدودیت با x رشد می کند، سپس برای x - ±oo متغیر جدید z-*oc. بنابراین qt £ را بدست می آوریم<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (به یادداشت §5 مراجعه کنید). g -*■ co به طور مشابه lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q، زیرا x ± oo g m - (x-a)z بدون محدودیت به صورت x ->±oo کاهش می یابد (به یادداشت § مراجعه کنید

تعریف حدود توالی و تابع، خواص حدود، حد اول و دوم قابل توجه، مثال.

عدد ثابت آتماس گرفت حد دنباله ها(x n)، اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک ε > 0 عدد N وجود داشته باشد به طوری که همه مقادیر x n، که برای آن n>N، نابرابری را برآورده می کند

آن را به صورت زیر بنویسید: یا x n → a.

نابرابری (6.1) معادل نابرابری مضاعف است

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n، با شروع از مقداری n>N، در داخل بازه (a-ε , a+ε) قرار می گیرد، یعنی. در هر همسایگی ε کوچک نقطه قرار می گیرند آ.

دنباله ای که حدی دارد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد تابع تعمیم مفهوم محدودیت دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد یک تابع x n = f(n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f(x) داده شود و اجازه دهید آ - نقطه حددامنه تعریف این تابع D(f)، یعنی. چنین نقطه ای که هر همسایگی آن حاوی نقاطی از مجموعه D(f) غیر از آ. نقطه آممکن است به مجموعه D(f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→ a، اگر برای هر دنباله ای (x n ) از مقادیر آرگومان تمایل به آ، دنباله های مربوطه (f(xn)) حد A یکسانی دارند.

این تعریف نامیده می شود تعیین حد یک تابع با توجه به هاینه،یا " به زبان توالی”.

تعریف 2. عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x → a، اگر یک عدد مثبت دلخواه و دلخواه کوچک ε داده شود، می توان چنین δ > 0 (بسته به ε) را پیدا کرد که برای همه ایکس، در همسایگی ε عدد قرار دارد آ، یعنی برای ایکس، ارضای نابرابری
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع مطابق کوشی،یا «در زبان ε - δ"

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f(x) به صورت x → a داشته باشد حد، برابر با A، این به شکل نوشته شده است

در صورتی که دنباله (f(xn)) بدون محدودیت برای هر روش تقریبی افزایش یابد (یا کاهش یابد) ایکستا حد شما آ، سپس خواهیم گفت که تابع f(x) دارد حد بی نهایت،و به شکل زیر بنویسید:

یک متغیر (یعنی یک دنباله یا تابع) که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن برابر با بی نهایت باشد نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده می شود.

قضیه 1 . اگر هر محدودیتی وجود داشته باشد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

اظهار نظر. عبارات شکل 0/0، ∞/∞، ∞-∞ 0*∞ نامشخص هستند، به عنوان مثال، نسبت دو کمیت بینهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، و یافتن حدی از این نوع "افشای عدم قطعیت" نامیده می شود.

قضیه 2.

آن ها می توان بر اساس توان با توان ثابت به حدی رفت، به ویژه،

قضیه 3.

(6.11)

جایی که ه» 2.7 - پایه لگاریتم طبیعی. فرمول های (6.10) و (6.11) حد قابل توجه اول و حد قابل توجه دوم نامیده می شوند.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد،

اگر x → a و در همان زمان x > a، آنگاه x →a + 0 را بنویسید. اگر به طور خاص، a = 0، به جای نماد 0+0 +0 بنویسید. به همین ترتیب، اگر x→a و در همان زمان x و بر این اساس فراخوانی می شوند حد حقو حد چپ کارکرد f(x) در نقطه آ. برای اینکه حدی از تابع f(x) به صورت x← a وجود داشته باشد، لازم و کافی است . تابع f(x) فراخوانی می شود مداوم در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

(6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

یعنی عبور از حد تحت علامت یک تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر برابری (6.15) نقض شود، آنگاه می گوییم در x = x o تابع f(x) این دارد شکافتابع y = 1/x را در نظر بگیرید. دامنه تعریف این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 یک نقطه حدی از مجموعه D(f) است، زیرا در هر همسایگی آن، i.e. در هر بازه باز حاوی نقطه 0، نقاطی از D(f) وجود دارد، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f(x o)= f(0) تعریف نشده است، بنابراین در نقطه x o = 0 تابع دارای ناپیوستگی است.

تابع f(x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در نقطه x o اگر حد

و پیوسته در سمت چپ در نقطه x o، اگر حد

تداوم یک تابع در یک نقطه x oمعادل استمرار آن در این نقطه هم به سمت راست و هم به سمت چپ است.

برای اینکه تابع در یک نقطه پیوسته باشد x oمثلاً در سمت راست لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر با f(x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای ناپیوستگی خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f(x o) نباشد، می گویند تابع f(x) در نقطه x o دارد پارگی از نوع اول،یا جهش.

2. اگر حد +∞ یا -∞ باشد یا وجود نداشته باشد، می گویند که در نقطه x o تابع دارای ناپیوستگی است نوع دوم.

به عنوان مثال، تابع y = ctg x به عنوان x → +0 دارای حدی برابر با +∞ است، به این معنی که در نقطه x=0 دارای ناپیوستگی از نوع دوم است. تابع y = E(x) (قسمت صحیح از ایکس) در نقاطی با ابسیساهای کامل دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مداوم V . یک تابع پیوسته با یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم مقداری منجر به دومین حد قابل توجه می شود. از جمله این وظایف عبارتند از: رشد ذخایر طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه مواد رادیواکتیو، تکثیر باکتری ها و غیره.

در نظر بگیریم مثال Ya. I. Perelman، تفسیری از عدد ارائه می دهد هدر مسئله بهره مرکب عدد همحدودیتی وجود دارد . در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر الحاق بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار بیشتری در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده در نظر بگیریم. 100 منکر در بانک واریز شود. واحدها بر اساس 100٪ در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این دوره 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود. حالا ببینیم 100 denize به چه چیزی تبدیل می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از شش ماه 100 دن. واحدها 100 × 1.5 = 150 و پس از شش ماه دیگر - 150 × 1.5 = 225 (دانشگاه واحد) رشد خواهد کرد. اگر الحاق هر 1/3 سال انجام شود، پس از یک سال 100 den. واحدها به 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (دن. واحد) تبدیل می شود. ما شرایط اضافه کردن پول بهره را به 0.1 سال، به 0.01 سال، به 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال این خواهد شد:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (دانه واحد)،

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (دانه واحد)،

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (دنیای واحد).

با کاهش نامحدود در شرایط اضافه کردن بهره، سرمایه انباشته به طور نامحدود رشد نمی کند، بلکه به حد معینی برابر با 271 نزدیک می شود. سرمایه سپرده شده در سال 100٪ نمی تواند بیش از 2.71 برابر شود، حتی اگر سود تعلق گرفته باشد. هر ثانیه به پایتخت اضافه می شد زیرا محدودیت

مثال 3.1. با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.

راه حل.باید ثابت کنیم که صرف نظر از اینکه ε > 0 را بگیریم، برای آن یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n > N نابرابری |x n -1|< ε

هر ε > 0 را بگیرید. چون x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، پس برای یافتن N کافی است نابرابری 1/n را حل کنیم.<ε. Отсюда n>1/ε و بنابراین، N را می توان قسمت صحیح 1/ε N = E(1/ε) در نظر گرفت. ما بدین وسیله ثابت کرده ایم که حد .

مثال 3.2.حد یک دنباله را که با یک جمله مشترک داده می شود، پیدا کنید .

راه حل. بیایید حد قضیه جمع را اعمال کنیم و حد هر جمله را پیدا کنیم. به عنوان n ∞ ∞، صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت میل می کند و نمی توانیم مستقیماً قضیه حد ضریب را اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم x n، تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2، و دوم در n. سپس با اعمال حد نصاب و حد قضیه حاصل، متوجه می شویم:

مثال 3.3. . پیدا کردن .

راه حل.

در اینجا از حد قضیه استفاده کردیم: حد یک درجه برابر است با درجه حد پایه.

مثال 3.4. پیدا کردن ( ).

راه حل. استفاده از قضیه حد تفاوت غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل ∞-∞ داریم. بیایید فرمول اصطلاح کلی را تبدیل کنیم:

مثال 3.5. تابع f(x)=2 1/x داده شده است. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بیایید از تعریف 1 حد یک تابع از طریق یک دنباله استفاده کنیم. اجازه دهید دنباله ای ( x n ) بگیریم که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f(xn)= برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1/n. بدیهی است، پس از آن حد اجازه دهید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1/n، که به صفر نیز گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بگذارید x 1 , x 2 ,..., x n ,... دنباله ای باشد که برای آن
. دنباله (f(xn)) = (sin x n) برای x n های مختلف چگونه رفتار می کند → ∞

اگر x n = p n، آنگاه sin x n = گناه (ص n) = 0 برای همه nو حد اگر
x n = 2 p n+ p /2، سپس sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 برای همه nو بنابراین حد. پس وجود ندارد.

محدودیت ها برای همه دانش آموزان ریاضی دردسرهای زیادی ایجاد می کند. برای حل یک محدودیت، گاهی اوقات باید از ترفندهای زیادی استفاده کنید و از بین انواع روش های حل، دقیقاً روشی را انتخاب کنید که برای یک مثال خاص مناسب است.

در این مقاله به شما در درک محدودیت‌های توانایی‌های خود یا درک محدودیت‌های کنترل کمک نمی‌کنیم، اما سعی می‌کنیم به این سوال پاسخ دهیم: چگونه محدودیت‌ها را در ریاضیات بالاتر درک کنیم؟ درک با تجربه به دست می آید، بنابراین در عین حال چندین مثال مفصل از حل حدود را با توضیحات ارائه خواهیم کرد.

مفهوم حد در ریاضیات

سؤال اول این است: این حد چیست و حد چیست؟ ما می توانیم در مورد محدودیت های دنباله های عددی و توابع صحبت کنیم. ما به مفهوم حد یک تابع علاقه مندیم، زیرا این همان چیزی است که دانش آموزان اغلب با آن مواجه می شوند. اما ابتدا کلی ترین تعریف از حد:

فرض کنید مقداری متغیر وجود دارد. اگر این مقدار در فرآیند تغییر به طور نامحدود به عدد خاصی نزدیک شود آ ، آن آ - حد این مقدار

برای تابعی که در یک بازه مشخص تعریف شده است f(x)=y چنین عددی حد نامیده می شود آ ، که تابع زمانی به آن تمایل دارد ایکس ، به یک نقطه خاص تمایل دارد آ . نقطه آ متعلق به بازه ای است که تابع در آن تعریف می شود.

دست و پا گیر به نظر می رسد، اما بسیار ساده نوشته شده است:

لیم- از انگلیسی حد- حد.

یک توضیح هندسی نیز برای تعیین حد وجود دارد، اما در اینجا ما به تئوری نمی پردازیم، زیرا ما بیشتر به جنبه عملی موضوع علاقه داریم تا جنبه نظری. وقتی این را می گوییم ایکس به مقداری تمایل دارد، این بدان معناست که متغیر مقدار یک عدد را نمی گیرد، بلکه به آن بی نهایت نزدیک می شود.

بیایید یک مثال خاص بزنیم. وظیفه یافتن حد است.

برای حل این مثال، مقدار را جایگزین می کنیم x=3 به یک تابع ما گرفتیم:

به هر حال، اگر به عملیات پایه روی ماتریس ها علاقه دارید، مقاله جداگانه ای در این زمینه بخوانید.

در نمونه ها ایکس می تواند به هر ارزشی گرایش داشته باشد. می تواند هر عدد یا بی نهایت باشد. در اینجا یک مثال زمانی است ایکس به بی نهایت تمایل دارد:

به طور شهودی مشخص است که چیست تعداد بزرگتردر مخرج، مقدار تابع کوچکتر خواهد بود. بنابراین، با رشد نامحدود ایکس معنی 1/x کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود.

همانطور که می بینید، برای حل محدودیت، فقط باید مقدار مورد نظر را در تابع جایگزین کنید ایکس . با این حال، این ساده ترین مورد است. اغلب یافتن محدودیت چندان واضح نیست. در محدوده ها عدم قطعیت هایی از نوع وجود دارد 0/0 یا بی نهایت/بی نهایت . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ توسل به ترفندها!

عدم قطعیت های درون

عدم قطعیت شکل بی نهایت/بی نهایت

بگذارید یک محدودیت وجود داشته باشد:

اگر بخواهیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم، هم در صورت و هم در مخرج بی نهایت می گیریم. به طور کلی، شایان ذکر است که عنصر خاصی از هنر در حل چنین عدم قطعیت هایی وجود دارد: باید توجه داشته باشید که چگونه می توانید عملکرد را به گونه ای تغییر دهید که عدم قطعیت از بین برود. در مورد ما، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم ایکس در مقطع ارشد چه اتفاقی خواهد افتاد؟

از مثالی که قبلاً در بالا توضیح داده شد، می دانیم که عبارت های حاوی x در مخرج به صفر تمایل دارند. سپس راه حل حد این است:

برای حل عدم قطعیت نوع بی نهایت/بی نهایتصورت و مخرج را تقسیم بر ایکسبه بالاترین درجه

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است هر نوع کاری

نوع دیگری از عدم قطعیت: 0/0

مثل همیشه، جایگزینی مقادیر در تابع x=-1 می دهد 0 در صورت و مخرج کمی دقیق تر نگاه کنید و متوجه خواهید شد که در شمارشگر ما معادله درجه دوم. بیایید ریشه ها را پیدا کنیم و بنویسیم:

کم کنیم و بگیریم:

بنابراین، اگر با عدم قطعیت نوع مواجه هستید 0/0 - صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای آسان‌تر کردن حل مثال‌ها، جدولی با محدودیت‌های برخی از توابع ارائه می‌کنیم:

حکومت L'Hopital در داخل

راه قدرتمند دیگری برای از بین بردن هر دو نوع عدم قطعیت. ماهیت روش چیست؟

در صورت عدم قطعیت در حد، مشتق صورت و مخرج را بگیرید تا عدم قطعیت از بین برود.

قانون L'Hopital به این صورت است:

نکته مهم : حدی که در آن مشتقات صورت و مخرج به جای مصدر و مخرج قرار می گیرند باید وجود داشته باشد.

و اکنون - یک مثال واقعی:

عدم قطعیت معمولی وجود دارد 0/0 . بیایید مشتقات صورت و مخرج را در نظر بگیریم:

Voila، عدم قطعیت به سرعت و با ظرافت حل می شود.

امیدواریم بتوانید این اطلاعات را در عمل به کار ببرید و پاسخ سوال «چگونه محدودیت ها را در ریاضیات بالاتر حل کنیم» بیابید. اگر نیاز به محاسبه حد یک دنباله یا حد یک تابع در یک نقطه دارید، و مطلقاً زمانی برای این کار وجود ندارد، برای یک راه حل سریع و دقیق با یک سرویس دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید.