نسبت دو تابع برابر است با نسبت مشتقات. مشتق یک تابع معنای هندسی مشتق. مشتق تابع نمایی

حل مسائل یا مثال های فیزیکی در ریاضیات بدون آگاهی از مشتق و روش های محاسبه آن کاملاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیم در تحلیل ریاضی است. ما تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، معنای فیزیکی و هندسی آن چیست، مشتق تابع را چگونه محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را درک کنیم؟

معنای هندسی و فیزیکی مشتق

اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در یک بازه زمانی مشخص مشخص شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این بازه هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر استدلال - تفاوت در مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر یک تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:

مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.

در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:

یافتن چنین محدودیتی چه فایده ای دارد؟ و در اینجا چیست:

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.

معنای فیزیکیمشتق: مشتق مسیر نسبت به زمان برابر است با سرعت حرکت مستقیم.

در واقع، از دوران مدرسه همه می دانند که سرعت یک مسیر خاص است x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسطبرای مدت معین:

برای پی بردن به سرعت حرکت در یک لحظه از زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:

قانون اول: یک ثابت تنظیم کنید

ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، این باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، آن را به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید یک عبارت را ساده کنید، حتما آن را ساده کنید .

مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:

قانون دوم: مشتق از مجموع توابع

مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.

ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.

مشتق تابع را پیدا کنید:

قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:

مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:

راه حل:

در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده صحبت کنیم. مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل برابر است.

در مثال بالا به این عبارت برخورد می کنیم:

در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی محاسبه می کنیم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.

قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع

فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:

ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست، پس اخطار داشته باشید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.

در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی، ما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین آزمون را حل کنید و وظایف را درک کنید، حتی اگر قبلاً محاسبات مشتق را انجام نداده باشید.

برای راحتی و وضوح در هنگام مطالعه موضوع، یک جدول خلاصه ارائه می دهیم.

ثابتy = C

تابع توان y = x p

(x p) " = p x p - 1

تابع نماییy = تبر

(a x) " = a x ln a

به ویژه، زمانی کهa = eما داریم y = e x

(e x) " = e x

تابع لگاریتمی

(log a x) " = 1 x ln a

به ویژه، زمانی کهa = eما داریم y = logx

(ln x) " = 1 x

توابع مثلثاتی

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

توابع مثلثاتی معکوس

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

توابع هذلولی

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

اجازه دهید نحوه به دست آوردن فرمول های جدول مشخص شده را تجزیه و تحلیل کنیم یا به عبارت دیگر، مشتق فرمول های مشتق را برای هر نوع تابع ثابت کنیم.

مشتق از یک ثابت

شواهد 1

به منظور عقب نشینی این فرمول، اجازه دهید تعریف مشتق یک تابع را در یک نقطه به عنوان مبنایی در نظر بگیریم. ما از x 0 = x، که در آن استفاده می کنیم ایکسمقدار هر عدد واقعی را می گیرد، یا به عبارت دیگر، ایکسهر عددی از دامنه تابع f (x) = C است. اجازه دهید حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان را به صورت ∆ x → 0 بنویسیم:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

لطفاً توجه داشته باشید که عبارت 0 ∆ x تحت علامت حد قرار می گیرد. این عدم قطعیت «صفر تقسیم بر صفر» نیست، زیرا شمارش حاوی یک مقدار بی نهایت کوچک نیست، بلکه دقیقاً صفر است. به عبارت دیگر، افزایش یک تابع ثابت همیشه صفر است.

بنابراین، مشتق تابع ثابت f (x) = C در کل دامنه تعریف برابر با صفر است.

مثال 1

توابع ثابت داده شده است:

f 1 (x) = 3، f 2 (x) = a، a ∈ R، f 3 (x) = 4. 13 7 22، f 4 (x) = 0، f 5 (x) = - 8 7

راه حل

اجازه دهید شرایط داده شده را شرح دهیم. در تابع اول مشتق عدد طبیعی 3 را می بینیم. در مثال زیر باید مشتق از را بگیرید آ، جایی که آ- هر عدد واقعی مثال سوم مشتق عدد غیر منطقی 4 را به ما می دهد. 13 7 22، چهارم مشتق صفر است (صفر یک عدد صحیح است). در نهایت در مورد پنجم مشتق را داریم کسر گویا - 8 7 .

پاسخ:مشتقات توابع مشخص شدهبرای هر واقعی صفر است ایکس(در کل منطقه تعریف)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0، f 5" (x) = - 8 7" = 0

مشتق تابع توان

بیایید به ادامه مطلب برویم تابع توانو فرمول مشتق آن، که به شکل: (x p) " = p x p - 1، که در آن توان پهر عدد واقعی است

شواهد 2

اجازه دهید زمانی که توان این فرمول است، اثبات کنیم عدد طبیعی: p = 1، 2، 3، …

ما دوباره بر تعریف مشتق تکیه می کنیم. اجازه دهید حد نسبت افزایش یک تابع توان به افزایش آرگومان را بنویسیم:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

برای ساده کردن عبارت در عدد، از فرمول دو جمله ای نیوتن استفاده می کنیم:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

بدین ترتیب:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

بنابراین، ما فرمول مشتق یک تابع توان را زمانی که توان یک عدد طبیعی باشد، ثابت کرده‌ایم.

شواهد 3

برای ارائه مدرک برای پرونده زمانی که پ-هر عدد واقعی غیر از صفر، از مشتق لگاریتمی استفاده می کنیم (در اینجا باید تفاوت را با مشتق یک تابع لگاریتمی درک کنیم). برای درک کامل تر، توصیه می شود مشتق یک تابع لگاریتمی را مطالعه کنید و علاوه بر آن مشتق یک تابع ضمنی و مشتق یک تابع مختلط را درک کنید.

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم: چه زمانی ایکسمثبت و چه زمانی ایکسمنفی.

بنابراین x> 0. سپس: x p > 0 . اجازه دهید برابری y = x p را بر مبنای e لگاریتم کنیم و خاصیت لگاریتم را اعمال کنیم:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

در این مرحله، یک تابع به طور ضمنی مشخص شده به دست آورده ایم. بیایید مشتق آن را تعریف کنیم:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

اکنون موردی را در نظر می گیریم که ایکس -یک عدد منفی

اگر نشانگر پوجود دارد عدد زوج، سپس تابع توان برای x تعریف می شود< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

سپس x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

اگر پیک عدد فرد است، سپس تابع توان برای x تعریف می شود< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

آخرین انتقال به این دلیل امکان پذیر است که اگر پیک عدد فرد است، پس p - 1یا یک عدد زوج یا صفر (برای p = 1)، بنابراین برای منفی ایکسبرابری (- x) p - 1 = x p - 1 درست است.

بنابراین، ما فرمول مشتق تابع توان را برای هر p واقعی ثابت کرده‌ایم.

مثال 2

توابع داده شده:

f 1 (x) = 1 x 2 3، f 2 (x) = x 2 - 1 4، f 3 (x) = 1 x log 7 12

مشتقات آنها را تعیین کنید.

راه حل

برخی از توابع داده شده را بر اساس ویژگی های درجه به شکل جدولی y = x p تبدیل می کنیم و سپس از فرمول استفاده می کنیم:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

مشتق تابع نمایی

اثبات 4

اجازه دهید فرمول مشتق را با استفاده از تعریف به عنوان پایه استخراج کنیم:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

دچار بلاتکلیفی شدیم. برای گسترش آن، اجازه دهید یک متغیر جدید z = a ∆ x - 1 بنویسیم (z → 0 به عنوان ∆ x → 0). در این مورد، ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . برای آخرین انتقال، از فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید استفاده شد.

اجازه دهید حد اصلی را جایگزین کنیم:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

اجازه دهید حد قابل توجه دوم را به خاطر بسپاریم و سپس فرمول مشتق را بدست آوریم تابع نمایی:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

مثال 3

توابع نمایی داده شده است:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

باید مشتقات آنها را پیدا کرد.

راه حل

ما از فرمول برای مشتق تابع نمایی و خواص لگاریتم استفاده می کنیم:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

مشتق تابع لگاریتمی

شواهد 5

اجازه دهید اثباتی از فرمول برای مشتق تابع لگاریتمی برای هر کدام ارائه کنیم ایکسدر زمینه تعریف و هر ارزش های قابل قبولپایه a لگاریتم بر اساس تعریف مشتق، به دست می آوریم:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

از زنجیره برابری های نشان داده شده مشخص است که تبدیل ها بر اساس خاصیت لگاریتم بوده اند. مرز تساوی ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e مطابق با حد قابل توجه دوم صادق است.

مثال 4

توابع لگاریتمی داده شده است:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

محاسبه مشتقات آنها ضروری است.

راه حل

بیایید فرمول مشتق شده را اعمال کنیم:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

بنابراین، مشتق لگاریتم طبیعی یک تقسیم بر است ایکس.

مشتقات توابع مثلثاتی

اثبات 6

از مقداری استفاده کنیم فرمول های مثلثاتیو اولین حد قابل توجه برای استخراج فرمول مشتق یک تابع مثلثاتی.

با توجه به تعریف مشتق تابع سینوس، به دست می آوریم:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

فرمول تفاوت سینوس ها به ما امکان می دهد اقدامات زیر را انجام دهیم:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

در نهایت، از اولین محدودیت فوق العاده استفاده می کنیم:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

بنابراین، مشتق تابع گناه xاراده cos x.

ما همچنین فرمول مشتق کسینوس را ثابت خواهیم کرد:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

آن ها مشتق توابع cos x خواهد بود - گناه x.

ما فرمول های مشتقات مماس و کتانژانت را بر اساس قوانین تمایز استخراج می کنیم:

t g " x = گناه x cos x " = گناه " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- گناه x) cos 2 x = گناه 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

مشتقات توابع مثلثاتی معکوس

بخش مشتق توابع معکوس اطلاعات جامعی در مورد اثبات فرمول های مشتقات آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت ارائه می دهد، بنابراین ما در اینجا مطالب را تکرار نمی کنیم.

مشتقات توابع هذلولی

شواهد 7

با استفاده از قانون تمایز و فرمول مشتق تابع نمایی می‌توانیم فرمول‌های مشتقات سینوس هذلولی، کسینوس، مماس و کوتانژانت را استخراج کنیم:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h x s h x h

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید