برای یادگیری نحوه یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو یا چند عدد، باید بدانید اعداد طبیعی، اول و مختلط چیست.

عدد طبیعی هر عددی است که برای شمارش کل اشیاء استفاده می شود.

اگر یک عدد طبیعی را فقط بتوان به خودش و یک تقسیم کرد، آن را اول می نامند.

همه اعداد طبیعی را می توان بر خود و یک تقسیم کرد، اما تنها عدد اول زوج 2 است، بقیه اعداد را می توان بر دو تقسیم کرد. بنابراین فقط اعداد فرد می توانند اول باشند.

اعداد اول بسیار زیادی وجود دارد، لیست کاملی از آنها وجود ندارد. برای پیدا کردن GCD استفاده از جداول ویژه با چنین اعدادی راحت است.

اکثر اعداد طبیعی را می توان نه تنها بر یک، بلکه بر اعداد دیگر نیز تقسیم کرد. به عنوان مثال، عدد 15 را می توان بر 3 و 5 دیگر تقسیم کرد. همه آنها مقسوم علیه عدد 15 نامیده می شوند.

بنابراین، مقسوم علیه هر A عددی است که می توان آن را بدون باقیمانده بر آن تقسیم کرد. اگر عددی بیش از دو عامل طبیعی داشته باشد به آن مرکب می گویند.

عدد 30 می تواند مقسوم علیه هایی مانند 1، 3، 5، 6، 15، 30 داشته باشد.

متوجه خواهید شد که 15 و 30 مقسوم علیه های 1، 3، 5، 15 یکسان دارند. بزرگترین مقسوم علیه مشترک این دو عدد 15 است.

بنابراین مقسوم علیه مشترک اعداد A و B عددی است که می توان آنها را به طور کامل بر آن تقسیم کرد. بزرگترین را می توان حداکثر تعداد کل در نظر گرفت که می توان آنها را بر آن تقسیم کرد.

برای حل مسائل از کتیبه اختصاری زیر استفاده می شود:

GCD (A; B).

به عنوان مثال، gcd (15؛ 30) = 30.

برای نوشتن تمام مقسوم علیه های یک عدد طبیعی، از علامت گذاری استفاده کنید:

D (15) = (1، 3، 5، 15)

GCD (9؛ 15) = 1

در این مثال اعداد طبیعی فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند. آنها را نسبتا اول می نامند، بنابراین وحدت بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها است.

چگونه بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را پیدا کنیم

برای پیدا کردن gcd چندین عدد، شما نیاز دارید:

همه مقسوم علیه های هر عدد طبیعی را به طور جداگانه بیابید، یعنی آنها را به ضریب (اعداد اول) تبدیل کنید.

همه عوامل یکسان اعداد داده شده را انتخاب کنید.

آنها را با هم ضرب کنید.

به عنوان مثال، برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه اعداد 30 و 56، باید موارد زیر را بنویسید:

برای جلوگیری از سردرگمی، نوشتن فاکتورها با استفاده از ستون های عمودی راحت است. در سمت چپ خط باید سود سهام را قرار دهید و در سمت راست - تقسیم کننده. در زیر سود سهام باید ضریب حاصل را نشان دهید.

بنابراین، در ستون سمت راست تمام عوامل مورد نیاز برای حل وجود خواهد داشت.

برای راحتی می توان بر تقسیم کننده های یکسان (عوامل یافت شده) خط کشی کرد. آنها باید بازنویسی و ضرب شوند و بزرگترین مقسوم علیه مشترک نوشته شود.

GCD (30؛ 56) = 2 * 5 = 10

به همین سادگی می توان بزرگترین مقسوم علیه اعداد را پیدا کرد. اگر کمی تمرین کنید، می توانید این کار را تقریبا به صورت خودکار انجام دهید.

اما بسیاری از اعداد طبیعی بر سایر اعداد طبیعی نیز بخش پذیر هستند.

مثلا:

عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.

عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد به آنها بر یک کل بخش پذیر است (برای 12 اینها 1، 2، 3، 4، 6 و 12 هستند) نامیده می شوند. مقسوم علیه اعداد. مقسوم علیه یک عدد طبیعی آ- یک عدد طبیعی است که یک عدد معین را تقسیم می کند آبدون هیچ ردی. عدد طبیعی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد نامیده می شود کامپوزیت .

لطفا توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 دارای فاکتورهای مشترک هستند. این اعداد عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است. مقسوم علیه مشترک این دو عدد آو ب- این عددی است که هر دو عدد داده شده بدون باقیمانده بر آن تقسیم می شوند آو ب.

مضرب های مشترکچند عدد عددی است که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر است. مثلا، اعداد 9، 18 و 45 مضرب مشترک 180 دارند. اما 90 و 360 نیز مضرب مشترک آنها هستند. در بین همه مضربهای مشترک همیشه یک کوچکترین وجود دارد، در این مورد 90 است. این عدد نامیده می شود کوچکترینچندگانه مشترک (CMM).

LCM همیشه یک عدد طبیعی است که باید بزرگتر از بزرگترین اعدادی باشد که برای آن تعریف شده است.

حداقل مضرب مشترک (LCM). خواص.

جابجایی:

انجمنی بودن:

به طور خاص، اگر و اعداد هم اول باشند، پس:

حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مترو nمقسوم علیه همه مضرب های مشترک دیگر است مترو n. علاوه بر این، مجموعه ای از مضرب های مشترک m، nمنطبق با مجموعه مضربهای LCM ( m، n).

مجانبی برای را می توان در قالب برخی از توابع نظری اعداد بیان کرد.

بنابراین، عملکرد چبیشف. و:

این از تعریف و ویژگی های تابع لاندو به دست می آید g(n).

آنچه از قانون توزیع اعداد اول به دست می آید.

یافتن حداقل مضرب مشترک (LCM).

NOC( الف، ب) به چند روش قابل محاسبه است:

1. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده است، می توانید از اتصال آن با LCM استفاده کنید:

2. اجازه دهید تجزیه متعارف هر دو عدد به عوامل اول مشخص شود:

جایی که p 1,...,p k- اعداد اول مختلف و d 1،...،d kو e 1,...,e k- اعداد صحیح غیر منفی (اگر عدد اول مربوطه در بسط نباشد، می توانند صفر باشند).

سپس NOC ( آ,ب) با فرمول محاسبه می شود:

به عبارت دیگر، تجزیه LCM شامل تمام عوامل اول موجود در حداقل یکی از تجزیه اعداد است. الف، ب، و بزرگترین از دو توان این ضریب گرفته می شود.

مثال:

محاسبه حداقل مضرب مشترک چند عدد را می توان به چندین محاسبه متوالی LCM دو عدد تقلیل داد:

قانون.برای پیدا کردن LCM یک سری اعداد، شما نیاز دارید:

- اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.

- بزرگترین تجزیه ( حاصل ضرب ضرایب بیشترین تعداد داده شده) را به عوامل حاصلضرب مورد نظر منتقل کنید و سپس عواملی را از تجزیه اعداد دیگری که در عدد اول ظاهر نمی شوند یا در آن ظاهر می شوند اضافه کنید. دفعات کمتر؛

- حاصل ضرب ضرایب اول LCM اعداد داده شده خواهد بود.

هر دو یا چند عدد طبیعی LCM خود را دارند. اگر اعداد مضرب یکدیگر نباشند یا عوامل یکسانی در بسط نداشته باشند، LCM آنها برابر است با حاصلضرب این اعداد.

ضرایب اول عدد 28 (2، 2، 7) با ضریب 3 (عدد 21) تکمیل می شود، حاصل ضرب (84) کوچکترین عددی خواهد بود که بر 21 و 28 بخش پذیر است.

ضرایب اول بزرگترین عدد 30 با ضریب 5 عدد 25 تکمیل می شود، حاصل ضرب 150 از بزرگترین عدد 30 بزرگتر است و بر تمام اعداد داده شده بدون باقیمانده بخش پذیر است. این کوچکترین محصول ممکن (150، 250، 300...) است که مضربی از همه اعداد داده شده است.

اعداد 2،3،11،37 اعداد اول هستند، بنابراین LCM آنها برابر است با حاصلضرب اعداد داده شده.

قانون. برای محاسبه LCM اعداد اول، باید همه این اعداد را در هم ضرب کنید.

گزینه ای دیگر:

برای یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM) از چندین عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1) هر عدد را به عنوان حاصلضرب عوامل اول آن نشان دهید، برای مثال:

504 = 2 2 2 3 3 7،

2) توان همه عوامل اول را بنویسید:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1،

3) تمام مقسوم علیه های اول (ضرب) هر یک از این اعداد را بنویسید.

4) بیشترین درجه هر یک از آنها را که در همه بسط های این اعداد یافت می شود انتخاب کنید.

5) این قدرت ها را چند برابر کنید.

مثال. LCM اعداد: 168، 180 و 3024 را بیابید.

راه حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1،

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1،

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

ما بزرگترین قدرت های همه مقسوم علیه های اول را می نویسیم و آنها را ضرب می کنیم:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

LCM - کمترین مضرب مشترک. عددی که تمام اعداد داده شده را بدون باقی مانده تقسیم می کند.

به عنوان مثال، اگر اعداد داده شده 2، 3، 5 باشند، LCM=2*3*5=30

و اگر اعداد داده شده 2،4،8 باشد، LCM =8 است

GCD چیست؟

GCD بزرگترین مقسوم علیه مشترک است. عددی که می توان از آن برای تقسیم هر یک از اعداد داده شده بدون باقی ماندن استفاده کرد.

منطقی است که اگر اعداد داده شده اول باشند، gcd برابر با یک است.

و اگر اعداد داده شده 2، 4، 8 باشند، GCD برابر با 2 است.

ما آن را به طور کلی توصیف نمی کنیم، بلکه به سادگی راه حل را با یک مثال نشان می دهیم.

دو عدد 126 و 44 داده شده است. GCD را پیدا کنید.

سپس اگر دو عدد از فرم به ما داده شود

سپس GCD به صورت محاسبه می شود

که در آن min حداقل مقدار تمام توان های عدد pn است

و NOC به عنوان

که در آن max حداکثر مقدار تمام توان های عدد pn است

با نگاهی به فرمول های بالا، به راحتی می توانید ثابت کنید که gcd دو یا چند عدد برابر با یک خواهد بود، در صورتی که در بین حداقل یک جفت از مقادیر داده شده اعداد نسبتا اول وجود داشته باشد.

بنابراین، به راحتی می توان به این سوال پاسخ داد که gcd اعدادی مانند 3، 25412، 3251، 7841، 25654، 7 بدون محاسبه چیزی برابر است.

اعداد 3 و 7 هم اول هستند و بنابراین gcd = 1

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

سه عدد 24654، 25473 و 954 داده شده است

هر عدد به عوامل زیر تجزیه می شود

یا اگر آن را به شکل جایگزین بنویسیم

یعنی gcd این سه عدد برابر با سه است

خوب، ما می توانیم LCM را به روشی مشابه محاسبه کنیم و برابر است با

ربات ما به شما کمک می کند GCD و LCM هر عدد صحیح، دو، سه یا ده را محاسبه کنید.

بیایید بزرگترین مقسوم علیه مشترک GCD را پیدا کنیم (36; 24)

مراحل حل

روش شماره 1

36 - عدد مرکب
24 - عدد مرکب

بیایید عدد 36 را گسترش دهیم

36: 2 = 18
18: 2 = 9 - قابل تقسیم بر عدد اول 2
9: 3 = 3 - قابل تقسیم بر عدد اول 3.

بیایید عدد 24 را بشکنیم فاکتورهای اصلی را وارد کنید و آنها را با رنگ سبز برجسته کنید. ما شروع به انتخاب یک مقسوم علیه از اعداد اول می کنیم و از کوچکترین عدد اول 2 شروع می کنیم تا زمانی که ضریب یک عدد اول شود.

24: 2 = 12 - قابل تقسیم بر عدد اول 2
12: 2 = 6 - قابل تقسیم بر عدد اول 2
6: 2 = 3
ما تقسیم را کامل می کنیم زیرا 3 یک عدد اول است

2) آن را با رنگ آبی مشخص کنید و فاکتورهای رایج را بنویسید

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
عوامل مشترک (36؛ 24): 2، 2، 3

3) اکنون برای یافتن GCD باید فاکتورهای مشترک را ضرب کنید

پاسخ: GCD (36؛ 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 12

روش شماره 2

1) تمام مقسوم علیه های ممکن اعداد (36؛ 24) را بیابید. برای این کار به طور متناوب عدد 36 را به مقسوم علیه های 1 تا 36 و عدد 24 را به مقسوم علیه های 1 تا 24 تقسیم می کنیم.اگر عدد بدون باقی مانده قابل تقسیم باشد، در فهرست مقسوم علیه ها می نویسیم.

برای شماره 36
36: 1 = 36; 36: 2 = 18; 36: 3 = 12; 36: 4 = 9; 36: 6 = 6; 36: 9 = 4; 36: 12 = 3; 36: 18 = 2; 36: 36 = 1;

برای شماره 24 بیایید همه مواردی را که بدون باقی مانده قابل تقسیم است بنویسیم:
24: 1 = 24; 24: 2 = 12; 24: 3 = 8; 24: 4 = 6; 24: 6 = 4; 24: 8 = 3; 24: 12 = 2; 24: 24 = 1;

2) بیایید تمام مقسوم‌گیرنده‌های مشترک اعداد (36؛ 24) را بنویسیم و بزرگ‌ترین آنها را با رنگ سبز برجسته کنیم، این بزرگترین مقسوم‌گیرنده مشترک gcd اعداد (36؛ 24) خواهد بود.

عوامل مشترک اعداد (36؛ 24): 1، 2، 3، 4، 6، 12

پاسخ: GCD (36؛ 24) = 12

بیایید حداقل مضرب مشترک LCM را پیدا کنیم (52؛ 49)

مراحل حل

روش شماره 1

1) بیایید اعداد را به عوامل اول تبدیل کنیم. برای انجام این کار، بیایید بررسی کنیم که آیا هر یک از اعداد اول هستند (اگر عددی اول باشد، نمی توان آن را به عوامل اول تجزیه کرد و خود تجزیه است).

52 - عدد مرکب
49 - عدد مرکب

بیایید عدد 52 را گسترش دهیم فاکتورهای اصلی را وارد کنید و آنها را با رنگ سبز برجسته کنید. ما شروع به انتخاب یک مقسوم علیه از اعداد اول می کنیم و از کوچکترین عدد اول 2 شروع می کنیم تا زمانی که ضریب یک عدد اول شود.

52: 2 = 26 - قابل تقسیم بر عدد اول 2
26: 2 = 13 - قابل تقسیم بر عدد اول 2.
ما تقسیم را کامل می کنیم زیرا 13 یک عدد اول است

بیایید عدد 49 را گسترش دهیم فاکتورهای اصلی را وارد کنید و آنها را با رنگ سبز برجسته کنید. ما شروع به انتخاب یک مقسوم علیه از اعداد اول می کنیم و از کوچکترین عدد اول 2 شروع می کنیم تا زمانی که ضریب یک عدد اول شود.

49: 7 = 7 - قابل تقسیم بر عدد اول 7.
ما تقسیم را کامل می کنیم زیرا 7 یک عدد اول است

2) ابتدا ضرایب بزرگترین عدد و سپس عدد کوچکتر را بنویسید. بیایید فاکتورهای گمشده را پیدا کنیم، در بسط عدد کوچکتر، عواملی را که در بسط عدد بزرگتر لحاظ نشده‌اند، با رنگ آبی برجسته کنیم.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) اکنون برای پیدا کردن LCM باید فاکتورهای عدد بزرگتر را با فاکتورهای گمشده ضرب کنید که با رنگ آبی مشخص شده اند.

LCM (52 ؛ 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

روش شماره 2

1) تمام مضرب های ممکن اعداد (52؛ 49) را بیابید. برای این کار عدد 52 را به طور متناوب در اعداد 1 تا 49 و عدد 49 را در اعداد 1 تا 52 ضرب می کنیم.

همه مضرب ها را انتخاب کنید 52 به رنگ سبز:

52 ∙ 1 = 52 ; 52 ∙ 2 = 104 ; 52 ∙ 3 = 156 ; 52 ∙ 4 = 208 ;
52 ∙ 5 = 260 ; 52 ∙ 6 = 312 ; 52 ∙ 7 = 364 ; 52 ∙ 8 = 416 ;
52 ∙ 9 = 468 ; 52 ∙ 10 = 520 ; 52 ∙ 11 = 572 ; 52 ∙ 12 = 624 ;
52 ∙ 13 = 676 ; 52 ∙ 14 = 728 ; 52 ∙ 15 = 780 ; 52 ∙ 16 = 832 ;
52 ∙ 17 = 884 ; 52 ∙ 18 = 936 ; 52 ∙ 19 = 988 ; 52 ∙ 20 = 1040 ;
52 ∙ 21 = 1092 ; 52 ∙ 22 = 1144 ; 52 ∙ 23 = 1196 ; 52 ∙ 24 = 1248 ;
52 ∙ 25 = 1300 ; 52 ∙ 26 = 1352 ; 52 ∙ 27 = 1404 ; 52 ∙ 28 = 1456 ;
52 ∙ 29 = 1508 ; 52 ∙ 30 = 1560 ; 52 ∙ 31 = 1612 ; 52 ∙ 32 = 1664 ;
52 ∙ 33 = 1716 ; 52 ∙ 34 = 1768 ; 52 ∙ 35 = 1820 ; 52 ∙ 36 = 1872 ;
52 ∙ 37 = 1924 ; 52 ∙ 38 = 1976 ; 52 ∙ 39 = 2028 ; 52 ∙ 40 = 2080 ;
52 ∙ 41 = 2132 ; 52 ∙ 42 = 2184 ; 52 ∙ 43 = 2236 ; 52 ∙ 44 = 2288 ;
52 ∙ 45 = 2340 ; 52 ∙ 46 = 2392 ; 52 ∙ 47 = 2444 ; 52 ∙ 48 = 2496 ;
52 ∙ 49 = 2548 ;

همه مضرب ها را انتخاب کنید 49 به رنگ سبز:

49 ∙ 1 = 49 ; 49 ∙ 2 = 98 ; 49 ∙ 3 = 147 ; 49 ∙ 4 = 196 ;
49 ∙ 5 = 245 ; 49 ∙ 6 = 294 ; 49 ∙ 7 = 343 ; 49 ∙ 8 = 392 ;
49 ∙ 9 = 441 ; 49 ∙ 10 = 490 ; 49 ∙ 11 = 539 ; 49 ∙ 12 = 588 ;
49 ∙ 13 = 637 ; 49 ∙ 14 = 686 ; 49 ∙ 15 = 735 ; 49 ∙ 16 = 784 ;
49 ∙ 17 = 833 ; 49 ∙ 18 = 882 ; 49 ∙ 19 = 931 ; 49 ∙ 20 = 980 ;
49 ∙ 21 = 1029 ; 49 ∙ 22 = 1078 ; 49 ∙ 23 = 1127 ; 49 ∙ 24 = 1176 ;
49 ∙ 25 = 1225 ; 49 ∙ 26 = 1274 ; 49 ∙ 27 = 1323 ; 49 ∙ 28 = 1372 ;
49 ∙ 29 = 1421 ; 49 ∙ 30 = 1470 ; 49 ∙ 31 = 1519 ; 49 ∙ 32 = 1568 ;
49 ∙ 33 = 1617 ; 49 ∙ 34 = 1666 ; 49 ∙ 35 = 1715 ; 49 ∙ 36 = 1764 ;
49 ∙ 37 = 1813 ; 49 ∙ 38 = 1862 ; 49 ∙ 39 = 1911 ; 49 ∙ 40 = 1960 ;
49 ∙ 41 = 2009 ; 49 ∙ 42 = 2058 ; 49 ∙ 43 = 2107 ; 49 ∙ 44 = 2156 ;
49 ∙ 45 = 2205 ; 49 ∙ 46 = 2254 ; 49 ∙ 47 = 2303 ; 49 ∙ 48 = 2352 ;
49 ∙ 49 = 2401 ; 49 ∙ 50 = 2450 ; 49 ∙ 51 = 2499 ; 49 ∙ 52 = 2548 ;

2) بیایید همه مضرب های مشترک اعداد (52؛ 49) را بنویسیم و کوچکترین آنها را با رنگ سبز برجسته کنیم، این کوچکترین مضرب مشترک اعداد خواهد بود (52؛ 49).

مضرب مشترک اعداد (52؛ 49): 2548

پاسخ: LCM (52؛ 49) = 2548

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

تعریف 2

اگر یک عدد طبیعی a بر یک عدد طبیعی $b$ بخش پذیر باشد، $b$ را مقسوم علیه $a$ و $a$ را مضرب $b$ می نامند.

بگذارید $a$ و $b$ اعداد طبیعی باشند. عدد $c$ را مقسوم‌کننده مشترک $a$ و $b$ می‌نامند.

مجموعه مقسوم علیه های مشترک اعداد $a$ و $b$ متناهی است، زیرا هیچ یک از این مقسوم علیه ها نمی توانند بزرگتر از $a$ باشند. به این معنی که در بین این مقسوم‌گیرنده‌ها بزرگ‌ترین مقسوم‌گیرنده وجود دارد که به آن بزرگترین مقسوم‌گیرنده مشترک اعداد $a$ و $b$ می‌گویند و با علامت زیر نشان داده می‌شود:

$GCD\(a;b)\ یا \D\(a;b)$

برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1. حاصل ضرب اعداد موجود در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

مثال 1

gcd اعداد $121$ و $132.$ را پیدا کنید

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

اعدادی را که در بسط این اعداد گنجانده شده اند انتخاب کنید

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

حاصل ضرب اعداد موجود در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

$GCD=2\cdot 11=22$

مثال 2

gcd دوجمله‌های 63$ و 81$ را پیدا کنید.

با توجه به الگوریتم ارائه شده پیدا خواهیم کرد. برای این:

بیایید اعداد را در فاکتورهای اول فاکتور کنیم

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

اعدادی را که در بسط این اعداد گنجانده شده اند انتخاب می کنیم

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

بیایید حاصل ضرب اعداد یافت شده در مرحله 2 را پیدا کنیم. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

$GCD=3\cdot 3=9$

می توانید gcd دو عدد را به روش دیگری با استفاده از مجموعه ای از مقسوم علیه اعداد پیدا کنید.

مثال 3

gcd اعداد $48$ و $60$ را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید مجموعه مقسوم علیه های عدد $48$ را پیدا کنیم: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

حال بیایید مجموعه مقسوم علیه های عدد $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) را پیدا کنیم. $

بیایید محل تلاقی این مجموعه ها را پیدا کنیم: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - این مجموعه مجموعه مقسوم علیه های مشترک اعداد $48$ و $60 را تعیین می کند. $. بزرگترین عنصر در این مجموعه عدد 12$ خواهد بود. این بدان معناست که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد $48$ و $60$ 12$ است.

تعریف NPL

تعریف 3

مضرب مشترک اعداد طبیعی$a$ و $b$ یک عدد طبیعی است که مضربی از $a$ و $b$ است.

مضرب مشترک اعداد اعدادی هستند که بدون باقیمانده بر اعداد اصلی تقسیم می شوند به عنوان مثال برای اعداد $25$ و $50$ مضرب مشترک اعداد $50,100,150,200$ و غیره خواهد بود.

کوچکترین مضرب مشترک حداقل مضرب مشترک نامیده می شود و LCM$(a;b)$ یا K$(a;b).$ نشان داده می شود.

برای پیدا کردن LCM دو عدد، باید:

1. اعداد عامل را به عوامل اول تبدیل کنید
2. عواملی که جزء عدد اول هستند را بنویسید و عواملی را که جزء عدد دوم هستند و جزء اولی نیستند به آنها اضافه کنید.

مثال 4

LCM اعداد 99 دلار و 77 دلار را پیدا کنید.

با توجه به الگوریتم ارائه شده پیدا خواهیم کرد. برای این

اعداد عامل را به عوامل اول تبدیل کنید

$99=3\cdot 3\cdot 11$

فاکتورهای موجود در اول را بنویسید

به آنها ضریب هایی اضافه کنید که جزء دومی هستند و جزء اولی نیستند

حاصل ضرب اعداد یافت شده در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل حداقل مضرب مشترک مورد نظر خواهد بود

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

تهیه فهرستی از مقسوم‌کننده‌های اعداد اغلب کاری بسیار پر زحمت است. راهی برای یافتن GCD به نام الگوریتم اقلیدسی وجود دارد.

عباراتی که الگوریتم اقلیدسی بر اساس آنها است:

اگر $a$ و $b$ اعداد طبیعی هستند و $a\vdots b$، آنگاه $D(a;b)=b$

اگر $a$ و $b$ اعداد طبیعی باشند به طوری که $b

با استفاده از $D(a;b)=D(a-b;b)$، می توانیم اعداد مورد نظر را به طور متوالی کاهش دهیم تا زمانی که به یک جفت عدد برسیم به طوری که یکی از آنها بر دیگری بخش پذیر باشد. سپس کوچکتر از این اعداد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر برای اعداد $a$ و $b$ خواهد بود.

ویژگی های GCD و LCM

1. هر مضرب مشترک $a$ و $b$ بر K$(a;b)$ بخش پذیر است
2. اگر $a\vdots b$، آنگاه К$(a;b)=a$

اگر K$(a;b)=k$ و $m$ یک عدد طبیعی باشد، K$(am;bm)=km$

اگر $d$ یک مقسوم علیه مشترک برای $a$ و $b$ باشد، آنگاه K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) دلار

اگر $a\vdots c$ و $b\vdots c$ ، آنگاه $\frac(ab)(c)$ مضرب مشترک $a$ و $b$ است.

برای هر عدد طبیعی $a$ و $b$ تساوی برقرار است

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

هر مقسوم علیه مشترک اعداد $a$ و $b$ مقسوم علیه عدد $D(a;b)$ است.