ذوزنقهچهارضلعی است که دو ضلع موازی که قاعده ها هستند و دو ضلع غیر موازی که اضلاع هستند دارد.

همچنین نام هایی مانند متساوی الساقینیا متساوی الاضلاع.

ذوزنقه ای است که زوایای کناری آن قائمه است.

عناصر ذوزنقه ای

الف، ب - پایه های ذوزنقه ای(الف به موازات ب)،

m، n - طرفینذوزنقه ها،

د 1، د 2 - مورب هاذوزنقه ها،

h - ارتفاعذوزنقه (قطعه ای که پایه ها را به هم متصل می کند و در عین حال عمود بر آنهاست)

MN - خط وسط(قطعه اتصال نقاط میانی طرفین).

ناحیه ذوزنقه

1. از طریق نصف مجموع پایه های a، b و ارتفاع h: S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. از طریق خط مرکزی MN و ارتفاع h: S = MN\cdot h
3. از طریق قطرهای d 1، d 2 و زاویه (\sin \varphi) بین آنها: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

خواص ذوزنقه

خط وسط ذوزنقه

خط وسطبه موازات پایه ها، برابر با نیم جمع آنها است و هر بخش را با انتهایی که روی خطوط مستقیمی قرار دارد که شامل پایه ها (به عنوان مثال، ارتفاع شکل) به نصف است، تقسیم می کند:

MN || a، MN || ب MN = \frac(a + b)(2)

مجموع زوایای ذوزنقه ای

مجموع زوایای ذوزنقه ایمجاور هر ضلع برابر است با 180^(\circ):

\آلفا + \بتا = 180^(\circ)

\گاما + \دلتا =180^(\circ)

مثلث های ذوزنقه ای مساحت

از نظر اندازه برابر استیعنی داشتن مناطق مساوی، قطعات مورب و مثلث های AOB و DOC هستند که توسط اضلاع جانبی تشکیل شده اند.

شباهت مثلث های ذوزنقه ای شکل گرفته

مثلث های مشابه AOD و COB هستند که از پایه ها و بخش های مورب آنها تشکیل می شوند.

\triangle AOD \sim \triangle COB

ضریب تشابه k با فرمول پیدا می شود:

k = \frac(AD)(BC)

علاوه بر این، نسبت مساحت این مثلث ها برابر با k^(2) است.

نسبت طول پاره ها و پایه ها

هر قطعه ای که پایه ها را به هم متصل می کند و از نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه می گذرد به این نقطه به نسبت تقسیم می شود:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(میلادی)

این برای ارتفاع با خود مورب نیز صادق خواهد بود.

ذوزنقه است مورد خاصچهار ضلعی که یک جفت ضلع آن موازی است. اصطلاح "ذوزنقه" از کلمه یونانی τράπεζα به معنای "میز"، "میز" گرفته شده است. در این مقاله به بررسی انواع ذوزنقه و خواص آن می پردازیم. علاوه بر این، نحوه محاسبه عناصر تکی این را خواهیم فهمید به عنوان مثال، مورب ذوزنقه متساوی الساقین، خط مرکزی، مساحت و غیره. .

اطلاعات کلی

ابتدا بیایید بفهمیم که چهارضلعی چیست. این شکل یک حالت خاص از یک چند ضلعی است که شامل چهار ضلع و چهار راس است. دو رأس یک چهار ضلعی که مجاور هم نباشند مخالف نامیده می شوند. همین را می توان برای دو ضلع غیر مجاور نیز گفت. انواع اصلی چهارضلعی ها متوازی الاضلاع، مستطیل، لوزی، مربع، ذوزنقه و دلتوئید هستند.

پس بیایید به ذوزنقه ها برگردیم. همانطور که قبلاً گفتیم این رقم دارای دو ضلع موازی است. به آنها پایگاه می گویند. دو طرف دیگر (غیر موازی) اضلاع جانبی هستند. در مواد امتحانی و مختلف تست هااغلب می توانید مشکلات مربوط به ذوزنقه ها را بیابید که حل آنها اغلب مستلزم دانشی است که در برنامه پیش بینی نشده است. درس هندسه مدرسه دانش آموزان را با ویژگی های زاویه ها و مورب ها و همچنین خط وسط ذوزنقه متساوی الساقین آشنا می کند. اما علاوه بر این، شکل هندسی مذکور ویژگی های دیگری نیز دارد. اما در مورد آنها کمی بعد ...

انواع ذوزنقه

انواع مختلفی از این شکل وجود دارد. با این حال، اغلب مرسوم است که دو مورد از آنها را در نظر بگیریم - متساوی الساقین و مستطیل.

1. ذوزنقه مستطیلی شکلی است که یکی از اضلاع آن بر پایه ها عمود باشد. دو زاویه او همیشه برابر با نود درجه است.

2. ذوزنقه متساوی الساقین شکل هندسی است که اضلاع آن با یکدیگر برابر است. این بدان معنی است که زوایای پایه ها نیز به صورت جفت برابر هستند.

اصول اصلی روش شناسی برای مطالعه خواص ذوزنقه

اصل اصلی شامل استفاده از رویکرد به اصطلاح وظیفه است. در واقع نیازی به وارد کردن ویژگی های جدید این شکل در درس هندسه نظری نیست. آنها را می توان در فرآیند حل مسائل مختلف (ترجیحاً سیستمی) کشف و فرموله کرد. در عین حال، بسیار مهم است که معلم بداند چه وظایفی باید در یک زمان به دانش آموزان محول شود. فرآیند آموزشی. علاوه بر این، هر ویژگی ذوزنقه می تواند به عنوان یک وظیفه کلیدی در سیستم وظیفه نمایش داده شود.

اصل دوم، سازماندهی به اصطلاح مارپیچی برای مطالعه خواص "قابل توجه" ذوزنقه است. این به معنای بازگشت در فرآیند یادگیری به ویژگی های فردی یک موضوع است شکل هندسی. این باعث می شود دانش آموزان راحت تر آنها را به خاطر بسپارند. مثلاً خاصیت چهار نقطه. هم هنگام مطالعه شباهت و هم پس از آن با استفاده از بردارها می توان آن را ثابت کرد. و هم ارزی مثلث های مجاور اضلاع یک شکل را می توان نه تنها با اعمال خواص مثلث هایی با ارتفاع مساوی که به ضلع هایی که روی یک خط مستقیم قرار دارند، بلکه با استفاده از فرمول S = 1/2 نیز اثبات کرد. ab*sina). علاوه بر این، می توانید بر روی ذوزنقه حکاکی شده یا مثلث قائم الزاویه روی ذوزنقه حکاکی شده و غیره کار کنید.

استفاده از ویژگی های «فرابرنامه» یک شکل هندسی در محتوا دوره مدرسه- این یک فناوری مبتنی بر وظیفه برای آموزش آنها است. رجوع مداوم به ویژگی های مورد مطالعه در حین مرور موضوعات دیگر به دانش آموزان اجازه می دهد تا دانش عمیق تری از ذوزنقه به دست آورند و موفقیت در حل مسائل تعیین شده را تضمین می کند. بنابراین، بیایید شروع به مطالعه این شکل شگفت انگیز کنیم.

عناصر و خواص ذوزنقه متساوی الساقین

همانطور که قبلاً اشاره کردیم، این شکل هندسی دارای اضلاع مساوی است. به ذوزنقه صحیح نیز معروف است. چرا اینقدر قابل توجه است و چرا چنین نامی به خود گرفته است؟ ویژگی این شکل این است که نه تنها اضلاع و زوایای پایه ها، بلکه مورب ها نیز برابر هستند. به علاوه مجموع زوایای ذوزنقه متساوی الساقین 360 درجه است. اما این همه ماجرا نیست! از میان همه ذوزنقه‌های شناخته شده، تنها یک متساوی الساقین را می‌توان به عنوان دایره توصیف کرد. این به این دلیل است که مجموع زوایای مقابل این شکل برابر با 180 درجه است و فقط در این شرایط می توان دایره ای را در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کرد. خاصیت بعدی شکل هندسی مورد بررسی این است که فاصله راس قاعده تا برآمدگی راس مقابل بر روی خط مستقیمی که این قاعده را در خود دارد برابر با خط وسط خواهد بود.

حالا بیایید بفهمیم که چگونه زوایای یک ذوزنقه متساوی الساقین را پیدا کنیم. اجازه دهید راه حلی برای این مشکل در نظر بگیریم، مشروط بر اینکه ابعاد اضلاع شکل مشخص باشد.

راه حل

به طور معمول، چهار ضلعی معمولا با حروف A، B، C، D نشان داده می شود، که در آن BS و AD پایه هستند. در ذوزنقه متساوی الساقین، اضلاع با هم برابر هستند. اندازه آنها را برابر با X و اندازه پایه ها را برابر با Y و Z (به ترتیب کوچکتر و بزرگتر) فرض خواهیم کرد. برای انجام محاسبات، لازم است که ارتفاع H را از زاویه B رسم کنیم. نتیجه یک مثلث قائم الزاویه ABN است که AB هیپوتانوس و BN و AN پاها هستند. اندازه پایه AN را محاسبه می کنیم: کوچکتر را از پایه بزرگتر کم می کنیم و حاصل را بر 2 تقسیم می کنیم. آن را به صورت فرمول می نویسیم: (Z-Y)/2 = F. حالا برای محاسبه زاویه تند. از مثلث، استفاده خواهیم کرد تابع cos. ورودی زیر را دریافت می کنیم: cos(β) = X/F. حالا زاویه را محاسبه می کنیم: β=arcos (X/F). علاوه بر این، با دانستن یک زاویه، می توانیم دومی را تعیین کنیم، برای این کار یک عملیات حسابی ابتدایی را انجام می دهیم: 180 - β. همه زوایا تعریف شده است.

راه حل دومی برای این مشکل وجود دارد. ابتدا آن را از گوشه به ارتفاع H پایین می آوریم. مقدار پایه BN را محاسبه می کنیم. می دانیم که مربع هیپوتانوس راست گوشه برابر با مجموعمربع های پا دریافت می کنیم: BN = √(X2-F2). بعد استفاده می کنیم تابع مثلثاتی tg. در نتیجه داریم: β = آرکتان (BN/F). یک زاویه حاد پیدا شده است. در مرحله بعد، آن را مشابه روش اول تعریف می کنیم.

ویژگی قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین

ابتدا اجازه دهید چهار قانون را بنویسیم. اگر قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، آنگاه:

ارتفاع شکل برابر با مجموع پایه ها تقسیم بر دو خواهد بود.

ارتفاع و خط وسط آن برابر است.

مرکز دایره نقطه ای است که در آن ;

اگر ضلع جانبی با نقطه مماس به قطعات H و M تقسیم شود، برابر است با ریشه دوممحصولات این بخش ها؛

چهارضلعی که از نقاط مماس، راس ذوزنقه و مرکز دایره محاطی تشکیل می شود، مربعی است که ضلع آن برابر با شعاع است.

مساحت یک شکل برابر است با حاصل ضرب پایه ها و حاصل ضرب نصف مجموع پایه ها و ارتفاع آن.

ذوزنقه های مشابه

این مبحث برای مطالعه خواص این بسیار مناسب است، به عنوان مثال، مورب ها یک ذوزنقه را به چهار مثلث تقسیم می کنند و آنهایی که در مجاورت پایه ها قرار دارند مشابه هستند و آنهایی که مجاور اضلاع هستند از نظر اندازه برابر هستند. این عبارت را می توان ویژگی مثلث هایی نامید که ذوزنقه بر اساس قطرهایش به آنها تقسیم می شود. قسمت اول این گفته از طریق علامت تشابه در دو زاویه ثابت می شود. برای اثبات قسمت دوم بهتر است از روش زیر استفاده کنید.

اثبات قضیه

می پذیریم که شکل ABSD (AD و BS پایه های ذوزنقه هستند) به قطرهای VD و AC تقسیم شده است. نقطه تقاطع آنها O است. ما چهار مثلث داریم: AOS - در پایه پایین، BOS - در پایه بالا، ABO و SOD در اضلاع. مثلث های SOD و BOS دارای ارتفاع مشترک هستند اگر قطعات BO و OD پایه آنها باشند. ما متوجه شدیم که تفاوت بین مساحت آنها (P) برابر است با تفاوت بین این بخش ها: PBOS/PSOD = BO/OD = K. بنابراین، PSOD = PBOS/K. به طور مشابه، مثلث های BOS و AOB دارای ارتفاع مشترک هستند. ما بخش های CO و OA را به عنوان پایه آنها در نظر می گیریم. ما PBOS/PAOB = CO/OA = K و PAOB = PBOS/K را دریافت می کنیم. از این نتیجه می شود که PSOD = PAOB.

برای تجمیع مطالب، به دانش‌آموزان توصیه می‌شود تا با حل مسئله زیر، ارتباط بین مناطق مثلث‌های حاصل را که ذوزنقه بر اساس قطرهای آن تقسیم می‌شود، بیابند. مشخص است که مثلث های BOS و AOD دارای مساحت مساوی هستند؛ لازم است مساحت ذوزنقه را پیدا کنید. از آنجایی که PSOD = PAOB، به معنای PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD است. از شباهت مثلث های BOS و AOD نتیجه می شود که BO/OD = √(PBOS/PAOD). بنابراین PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). ما PSOD = √ (PBOS*PAOD) را دریافت می کنیم. سپس PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

خواص تشابه

با ادامه توسعه این موضوع، می توان دیگری را ثابت کرد ویژگی های جالبذوزنقه ای بنابراین با استفاده از تشابه می توان خاصیت پاره ای را که از نقطه ای که از تقاطع مورب های این شکل هندسی به موازات قاعده ها تشکیل شده است را اثبات کرد. برای انجام این کار، اجازه دهید مشکل زیر را حل کنیم: باید طول قطعه RK را که از نقطه O عبور می کند، پیدا کنیم. از شباهت مثلث های AOD و BOS نتیجه می شود که AO/OS = AD/BS. از شباهت مثلث های AOP و ASB چنین بر می آید که AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). از اینجا دریافت می کنیم که RO=BS*BP/(BS+BP). به همین ترتیب، از تشابه مثلث های DOC و DBS، نتیجه می شود که OK = BS*AD/(BS+AD). از اینجا دریافت می کنیم که RO=OK و RK=2*BS*AD/(BS+AD). قطعه ای که از نقطه تقاطع مورب ها به موازات پایه ها می گذرد و دو ضلع جانبی را به هم وصل می کند، توسط نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود. طول آن میانگین هارمونیک پایه های شکل است.

ویژگی زیر ذوزنقه را در نظر بگیرید که به آن خاصیت چهار نقطه می گویند. نقاط تقاطع مورب ها (O)، محل تلاقی ادامه اضلاع (E) و همچنین نقاط میانی پایه ها (T و F) همیشه روی یک خط قرار دارند. این را می توان به راحتی با روش تشابه اثبات کرد. مثلث های BES و AED به دست آمده مشابه هستند و در هر یک از آنها میانه های ET و EJ زاویه رأس E را به قسمت های مساوی تقسیم می کنند. بنابراین، نقاط E، T و F روی یک خط مستقیم قرار دارند. به همین ترتیب، نقاط T، O و Zh روی یک خط مستقیم قرار دارند، همه اینها از شباهت مثلث های BOS و AOD ناشی می شود. از اینجا نتیجه می گیریم که هر چهار نقطه - E، T، O و F - روی یک خط مستقیم قرار می گیرند.

با استفاده از ذوزنقه های مشابه، می توانید از دانش آموزان بخواهید طول قطعه (LS) را که شکل را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند، بیابند. این بخشباید موازی با پایه ها باشد. از آنجایی که ذوزنقه های حاصل ALFD و LBSF مشابه هستند، پس BS/LF = LF/AD. نتیجه این است که LF=√(BS*AD). متوجه شدیم که قطعه ای که ذوزنقه را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند، طولی برابر با میانگین هندسی طول پایه های شکل دارد.

ویژگی تشابه زیر را در نظر بگیرید. بر اساس قطعه ای است که ذوزنقه را به دو شکل مساوی تقسیم می کند. ما فرض می کنیم که ABSD ذوزنقه ای توسط قطعه EH به دو قطعه مشابه تقسیم می شود. از راس B یک ارتفاع حذف شده است که توسط بخش EN به دو قسمت - B1 و B2 تقسیم می شود. دریافت می کنیم: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 و PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. سپس، سیستمی را می سازیم که اولین معادله آن (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 و معادله دوم (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 باشد. نتیجه می شود که B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) و BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). متوجه می‌شویم که طول قطعه‌ای که ذوزنقه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند برابر است با ریشه میانگین مربع طول پایه‌ها: √((BS2+AD2)/2).

یافته های شباهت

بنابراین، ما ثابت کردیم که:

1. پاره ای که نقاط میانی اضلاع ذوزنقه را به هم وصل می کند، موازی با AD و BS است و برابر است با میانگین حسابی BS و AD (طول قاعده ذوزنقه).

2. خطی که از نقطه O تقاطع قطرهای موازی AD و BS می گذرد برابر با میانگین هارمونیک اعداد AD و BS (2*BS*AD/(BS+AD)) خواهد بود.

3. پاره ای که ذوزنقه را به قطعات مشابه تقسیم می کند، طول میانگین هندسی پایه های BS و AD را دارد.

4. عنصری که یک شکل را به دو عدد مساوی تقسیم می کند دارای طول ریشه مجذور میانگین اعداد AD و BS است.

برای ادغام مطالب و درک ارتباط بین بخش های در نظر گرفته شده، دانش آموز باید آنها را برای یک ذوزنقه خاص بسازد. او به راحتی می تواند خط وسط و قطعه ای را که از نقطه O - محل تقاطع مورب های شکل - موازی با پایه ها عبور می کند، نمایش دهد. اما سومین و چهارمین کجا قرار خواهند گرفت؟ این پاسخ دانش آموز را به کشف رابطه مطلوب بین مقادیر متوسط ​​می رساند.

پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند

ویژگی زیر را در این شکل در نظر بگیرید. فرض می کنیم که قطعه MH موازی با قاعده ها است و قطرها را نصف می کند. نقاط تقاطع را Ш و Ш بنامیم این پاره معادل نصف اختلاف پایه ها خواهد بود. بیایید به این موضوع با جزئیات بیشتری نگاه کنیم. MS خط وسط مثلث ABS است که برابر با BS/2 است. MSH خط وسط مثلث ABD است که برابر با AD/2 است. سپس دریافت می کنیم که ShShch = MSh-Msh، بنابراین، ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

مرکز گرانش

بیایید ببینیم که چگونه این عنصر برای یک شکل هندسی مشخص تعیین می شود. برای انجام این کار، لازم است که پایه ها را در جهت مخالف گسترش دهید. چه مفهومی داره؟ شما باید پایه پایین را به پایه بالایی اضافه کنید - در هر جهت، به عنوان مثال، به سمت راست. و قسمت پایینی را به طول قسمت بالایی به سمت چپ گسترش می دهیم. سپس آنها را به صورت مورب به هم وصل می کنیم. نقطه تلاقی این قطعه با خط وسط شکل مرکز ثقل ذوزنقه است.

ذوزنقه های کتیبه دار و محصور

بیایید ویژگی های چنین ارقامی را فهرست کنیم:

1. ذوزنقه را فقط در صورتی می توان به صورت دایره ای حک کرد که متساوی الساقین باشد.

2. ذوزنقه را می توان حول دایره توصیف کرد، مشروط بر اینکه مجموع طول پایه های آنها با مجموع طول اضلاع برابر باشد.

پیامدهای دایره:

1. ارتفاع ذوزنقه توصیف شده همیشه برابر با دو شعاع است.

2. ضلع ذوزنقه توصیف شده از مرکز دایره با زاویه قائمه مشاهده می شود.

نتیجه اول واضح است، اما برای اثبات دومی باید ثابت کرد که زاویه SOD درست است، که در واقع دشوار نیست. اما آگاهی از این ویژگی به شما این امکان را می دهد که در حل مسائل از مثلث قائم الزاویه استفاده کنید.

حال اجازه دهید این پیامدها را برای ذوزنقه متساوی الساقین که در یک دایره حک شده است مشخص کنیم. متوجه می شویم که ارتفاع، میانگین هندسی پایه های شکل است: H=2R=√(BS*AD). دانش آموز در حین تمرین تکنیک اساسی برای حل مسائل ذوزنقه ای (اصل ترسیم دو ارتفاع) باید تکلیف زیر را حل کند. فرض می کنیم که BT ارتفاع شکل متساوی الساقین ABSD است. یافتن بخش های AT و TD ضروری است. با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا، انجام این کار دشوار نخواهد بود.

حالا بیایید بفهمیم که چگونه شعاع دایره را با استفاده از مساحت ذوزنقه محدود شده تعیین کنیم. ارتفاع را از راس B به پایه AD کاهش می دهیم. از آنجایی که دایره در یک ذوزنقه حک شده است، پس BS+AD = 2AB یا AB = (BS+AD)/2. از مثلث ABN، sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) را پیدا می کنیم. PABSD = (BS+BP)*BN/2، BN=2R. ما PABSD = (BS+BP)*R را دریافت می کنیم، نتیجه آن این است که R = PABSD/(BS+BP).

تمام فرمول های خط وسط ذوزنقه

حالا وقت آن است که به آخرین عنصر این شکل هندسی برویم. بیایید بفهمیم که خط وسط ذوزنقه (M) برابر است:

1. از طریق پایه ها: M = (A+B)/2.

2. از طریق ارتفاع، پایه و گوشه ها:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. از طریق ارتفاع، مورب و زاویه بین آنها. برای مثال، D1 و D2 قطرهای ذوزنقه هستند. α، β - زوایای بین آنها:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. از طریق مساحت و ارتفاع: M = P/N.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی را درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

در مواد آزمون ها و امتحانات مختلف، آنها اغلب یافت می شوند مشکلات ذوزنقه ایکه حل آن مستلزم شناخت خواص آن است.

بیایید دریابیم که ذوزنقه چه خواص جالب و مفیدی برای حل مشکلات دارد.

پس از مطالعه خواص خط وسط ذوزنقه می توان فرموله و اثبات کرد ویژگی قطعه ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم متصل می کند. پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند برابر با نصف اختلاف پایه ها است.

MO خط وسط مثلث ABC و برابر با 1/2BC است (عکس. 1).

MQ خط وسط مثلث ABD است و برابر با 1/2AD است.

سپس OQ = MQ – MO، بنابراین OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

هنگام حل بسیاری از مسائل روی ذوزنقه، یکی از تکنیک های اصلی ترسیم دو ارتفاع در آن است.

موارد زیر را در نظر بگیرید وظیفه.

فرض کنید BT ارتفاع یک ذوزنقه متساوی الساقین ABCD با پایه های BC و AD، با BC = a، AD = b باشد. طول پاره های AT و TD را پیدا کنید.

راه حل.

حل مشکل کار سختی نیست (شکل 2)، اما به شما اجازه می دهد که دریافت کنید ویژگی ارتفاع ذوزنقه متساوی الساقین که از راس یک زاویه منفرد کشیده شده است: ارتفاع ذوزنقه متساوی الساقین که از راس زاویه منفرد کشیده شده است، قاعده بزرگتر را به دو قسمت تقسیم می کند که کوچکتر برابر نصف اختلاف پایه ها و بزرگتر برابر با نصف مجموع قاعده ها است. .

هنگام مطالعه خواص ذوزنقه، باید به خاصیتی مانند شباهت توجه کنید. به عنوان مثال، قطرهای یک ذوزنقه آن را به چهار مثلث تقسیم می کنند و مثلث های مجاور پایه ها مشابه هستند و مثلث های مجاور اضلاع از نظر اندازه برابر هستند. این بیانیه را می توان نامید خاصیت مثلث هایی که ذوزنقه بر اساس قطرهایش به آنها تقسیم می شود. علاوه بر این، قسمت اول عبارت را می توان به راحتی از طریق علامت تشابه مثلث ها در دو زاویه اثبات کرد. بیایید ثابت کنیمبخش دوم بیانیه

مثلث های BOC و COD دارای ارتفاع مشترک هستند (شکل 3)، اگر پايه هاي BO و OD را مبناي آنها در نظر بگيريم. سپس S BOC /S COD = BO/OD = k. بنابراین، S COD = 1/k · S BOC.

به طور مشابه، مثلث های BOC و AOB دارای ارتفاع مشترک هستند اگر قطعات CO و OA را به عنوان پایه آنها در نظر بگیریم. سپس S BOC /S AOB = CO/OA = k و S A O B = 1/k · S BOC .

از این دو جمله بر می آید که S COD = S A O B.

بیایید روی بیانیه فرموله شده تمرکز نکنیم، بلکه پیدا کنیم رابطه بین مساحت های مثلثی که ذوزنقه با قطرهای آن به آنها تقسیم می شود. برای انجام این کار، اجازه دهید مشکل زیر را حل کنیم.

نقطه O نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه ABCD با پایه های BC و AD باشد. مشخص است که مساحت مثلث های BOC و AOD به ترتیب برابر با S 1 و S 2 است. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید.

از آنجایی که S COD = S A O B، پس S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

از شباهت مثلث های BOC و AOD نتیجه می شود که BO/OD = √(S1/S 2).

بنابراین، S1/S COD = BO/OD = √(S1/S 2)، که به معنای S COD = √ (S 1 · S 2) است.

سپس S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

با استفاده از تشابه ثابت می شود که ویژگی قطعه ای که از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه موازی با قاعده ها عبور می کند..

در نظر بگیریم وظیفه:

نقطه O نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه ABCD با پایه های BC و AD باشد. BC = a، AD = b. طول قطعه PK را که از نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه موازی با قاعده ها می گذرد را بیابید. چه بخش هایی PK بر نقطه O تقسیم می شود (شکل 4)؟

از تشابه مثلث های AOD و BOC چنین می شود که AO/OC = AD/BC = b/a.

از شباهت مثلث های AOP و ACB چنین می شود که AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

از این رو PO = BC b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

به همین ترتیب، از شباهت مثلث های DOK و DBC، نتیجه می شود که OK = ab/(a + b).

از این رو PO = OK و PK = 2ab/(a + b).

بنابراین، ویژگی ثابت شده را می توان به صورت زیر فرموله کرد: یک قطعه موازی با پایه های ذوزنقه، که از نقطه تقاطع مورب ها می گذرد و دو نقطه را در اضلاع جانبی به هم وصل می کند، با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود. مورب ها طول آن میانگین هارمونیک پایه های ذوزنقه است.

ذیل دارایی چهار نقطه: در ذوزنقه، نقطه تلاقی مورب ها، نقطه تلاقی ادامه اضلاع، وسط پایه های ذوزنقه روی یک خط قرار دارند.

مثلث های BSC و ASD شبیه هم هستند (شکل 5)و در هر یک از آنها میانه ST و SG زاویه راس S را به قطعات مساوی تقسیم می کنند. بنابراین، نقاط S، T و G روی یک خط قرار دارند.

به همین ترتیب، نقاط T، O و G در یک خط قرار دارند که از شباهت مثلث های BOC و AOD ناشی می شود.

این بدان معناست که هر چهار نقطه S، T، O و G روی یک خط قرار دارند.

همچنین می توانید طول قطعه ای را که ذوزنقه را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند، بیابید.

اگر ذوزنقه های ALFD و LBCF مشابه باشند (شکل 6)،سپس a/LF = LF/b.

از این رو LF = √(ab).

بنابراین، قطعه ای که یک ذوزنقه را به دو ذوزنقه مشابه تقسیم می کند، طولی برابر با میانگین هندسی طول پایه ها دارد.

بیایید ثابت کنیم خاصیت قطعه ای که یک ذوزنقه را به دو ناحیه مساوی تقسیم می کند.

بگذارید مساحت ذوزنقه S باشد (شکل 7). h 1 و h 2 قسمت هایی از ارتفاع هستند و x طول قطعه مورد نظر است.

سپس S/2 = h 1 (a + x) / 2 = h 2 (b + x) / 2 و

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

بیایید یک سیستم ایجاد کنیم

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

با حل این سیستم، x = √(1/2(a 2 + b 2)) را بدست می آوریم.

بدین ترتیب، طول قطعه ای که ذوزنقه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند برابر است با √((a 2 + b 2)/2)(میانگین مربع طول پایه).

بنابراین، برای ذوزنقه ABCD با پایه های AD و BC (BC = a، AD = b) ثابت کردیم که قطعه:

1) MN که نقاط میانی اضلاع جانبی ذوزنقه را به هم وصل می کند، موازی با قاعده ها و برابر با نیم جمع آنها (میانگین) است. اعداد حسابیالف و ب)؛

2) عبور PK از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه به موازات پایه ها برابر است با
2ab/(a + b) (میانگین هارمونیک اعداد a و b);

3) LF که یک ذوزنقه را به دو ذوزنقه مشابه تقسیم می کند، طولی برابر با میانگین دارد. اعداد هندسی a و b، √(ab);

4) EH، با تقسیم ذوزنقه به دو مساوی، دارای طول √((a 2 + b 2)/2) است (ریشه میانگین مربع اعداد a و b).

علامت و ویژگی ذوزنقه کتیبه و محصور.

ویژگی ذوزنقه کتیبه ای:یک ذوزنقه را می توان در یک دایره حک کرد اگر و فقط اگر متساوی الساقین باشد.

خواص ذوزنقه توصیف شده.یک ذوزنقه را می توان در اطراف یک دایره توصیف کرد اگر و تنها در صورتی که مجموع طول پایه ها با مجموع طول اضلاع برابر باشد.

پیامدهای مفید این واقعیت که یک دایره در یک ذوزنقه حک شده است:

1. ارتفاع ذوزنقه محاط شده برابر با دو شعاع دایره محاط است.

2. ضلع ذوزنقه توصیف شده از مرکز دایره محاطی با زاویه قائمه قابل مشاهده است.

اولی واضح است. برای اثبات نتیجه دوم، باید ثابت کرد که زاویه COD درست است، که همچنین دشوار نیست. اما دانستن این نتیجه به شما این امکان را می دهد که هنگام حل مسائل از مثلث قائم الزاویه استفاده کنید.

مشخص کنیم پیامدهای یک ذوزنقه متساوی الساقین:

ارتفاع یک ذوزنقه متساوی الساقین، میانگین هندسی قاعده ذوزنقه است.
h = 2r = √(ab).

ویژگی های در نظر گرفته شده به شما این امکان را می دهد که ذوزنقه را عمیق تر درک کنید و از موفقیت در حل مشکلات با استفاده از ویژگی های آن اطمینان حاصل کنید.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه مشکلات ذوزنقه را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

ما اغلب در زندگی با چنین شکلی به عنوان ذوزنقه مواجه می شویم. به عنوان مثال، هر پلی که از بلوک های بتنی ساخته شده است یک نمونه درخشان. یک گزینه بصری تر را می توان فرمان هر کدام در نظر گرفت وسیله نقلیهو غیره. خصوصیات شکل در گذشته شناخته شده بود یونان باستان ، که ارسطو در کتاب خود به تفصیل توضیح داده است کار علمی"آغاز شده." و دانش توسعه یافته هزاران سال پیش هنوز هم مربوط به امروز است. بنابراین، بیایید نگاهی دقیق تر به آنها بیندازیم.

در تماس با

مفاهیم اساسی

شکل 1. شکل کلاسیک ذوزنقه ای.

ذوزنقه در اصل یک چهار ضلعی است که از دو بخش موازی و دو بخش دیگر که موازی نیستند تشکیل شده است. هنگام صحبت در مورد این رقم، همیشه لازم است مفاهیمی مانند: پایه، ارتفاع و خط وسط را به خاطر بسپارید. دو بخش از یک چهار ضلعی که به یکدیگر قاعده می گویند (قطعات AD و BC). ارتفاع قطعه عمود بر هر یک از پایه ها (EH) است، یعنی. با زاویه 90 درجه قطع می شوند (همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است).

اگر تمام معیارهای درجه داخلی را جمع کنیم، مجموع زوایای ذوزنقه برابر با 2π (360 درجه) خواهد بود، مانند هر چهارضلعی. پاره ای که انتهای آن وسط اضلاع است (IF) خط وسط نامیده می شود.طول این قطعه حاصل مجموع پایه های BC و AD تقسیم بر 2 است.

سه نوع شکل هندسی وجود دارد: مستقیم، منظم و متساوی الساقین. اگر حداقل یک زاویه در رأس قاعده راست باشد (مثلاً اگر ABD = 90 درجه باشد)، چنین چهارضلعی ذوزنقه راست نامیده می شود. اگر قطعات جانبی برابر باشند (AB و CD)، آن را متساوی الساقین می نامند (بر این اساس، زوایای پایه ها برابر هستند).

نحوه پیدا کردن منطقه

برای آن، برای پیدا کردن مساحت یک چهارضلعی ABCD از فرمول زیر استفاده می کند:

شکل 2. حل مسئله یافتن یک منطقه

برای بیشتر مثال واضحبیایید یک مشکل آسان را حل کنیم به عنوان مثال، اجازه دهید پایه های بالا و پایین به ترتیب 16 و 44 سانتی متر و اضلاع - 17 و 25 سانتی متر باشند. بیایید یک پاره عمود از راس D بسازیم تا DE II BC (همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است). از اینجا به آن می رسیم

بگذارید DF باشد. از ΔADE (که متساوی الساقین خواهد بود)، موارد زیر را دریافت می کنیم:

یعنی بگم به زبان ساده، ابتدا ارتفاع ΔADE را پیدا کردیم که ارتفاع ذوزنقه نیز می باشد. از اینجا، با استفاده از فرمول از قبل شناخته شده، مساحت چهار ضلعی ABCD را با قبلا محاسبه می کنیم ارزش شناخته شدهارتفاع DF

بنابراین، مساحت مورد نیاز ABCD 450 سانتی متر مربع است. یعنی با اطمینان می توان گفت که به ترتیب برای محاسبه مساحت ذوزنقه فقط به مجموع پایه ها و طول ارتفاع نیاز دارید.

مهم!هنگام حل مسئله، نیازی به یافتن مقدار طول ها به طور جداگانه نیست، اگر از پارامترهای دیگر شکل استفاده شود که با اثبات مناسب، برابر با مجموع مبانی خواهد بود، کاملاً قابل قبول است.

انواع ذوزنقه ها

بسته به اینکه شکل دارای چه ضلعی است و چه زوایایی در پایه ها تشکیل شده است، سه نوع چهار ضلعی وجود دارد: مستطیل، ناهموار و متساوی.

همه کاره

دو شکل وجود دارد: حاد و مبهم. ABCD فقط در صورتی حاد است که زوایای قاعده (AD) حاد و طول اضلاع متفاوت باشد. اگر مقدار یک زاویه بزرگتر از Pi/2 باشد (میزان اندازه گیری درجه بیش از 90 درجه است)، آنگاه یک زاویه مبهم به دست می آوریم.

اگر طول اضلاع برابر باشد

شکل 3. نمای ذوزنقه متساوی الساقین

اگر طول اضلاع غیر موازی برابر باشد، ABCD را متساوی الساقین (منظم) می نامند. علاوه بر این، در چنین چهار ضلعی درجه اندازه گیری زاویه های قاعده یکسان است، زاویه آنها همیشه کمتر از زاویه قائمه خواهد بود. به همین دلیل است که یک خط متساوی الساقین هرگز به دو گوشه حاد و منفرد تقسیم نمی شود. یک چهار ضلعی از این شکل تفاوت های خاص خود را دارد که عبارتند از:

1. قطعاتی که رئوس مقابل را به هم وصل می کنند برابر هستند.
2. زوایای تند با پایه بزرگتر 45 درجه هستند (نمونه گویا در شکل 3).
3. اگر درجات زوایای مخالف را جمع کنید، آنها به 180 درجه می رسند.
4. می توانید اطراف هر ذوزنقه معمولی بسازید.
5. اگر درجه زوایای مقابل را جمع کنید، برابر است با π.

علاوه بر این، به دلیل چینش هندسی نقاط، وجود دارد خواص اساسی ذوزنقه متساوی الساقین:

مقدار زاویه در پایه 90 درجه

عمود بودن ضلع پایه یک ویژگی بزرگ مفهوم "ذوزنقه مستطیلی" است. نمی تواند دو طرف با گوشه در پایه وجود داشته باشد،زیرا در غیر این صورت یک مستطیل خواهد بود. در چهارضلعی از این نوع، ضلع دوم همیشه تشکیل می شود گوشه ی تیزبا پایه بزرگتر و با پایه کوچکتر - مبهم. در این حالت ضلع عمود بر ارتفاع نیز خواهد بود.

بخش بین وسط دیواره های جانبی

اگر نقاط میانی اضلاع را به هم وصل کنیم و قطعه حاصل موازی با پایه ها و از نظر طول برابر با نصف مجموع آنها باشد، خط مستقیم حاصل می شود. خط وسط خواهد بود.مقدار این فاصله با فرمول محاسبه می شود:

برای مثال واضح تر، مشکلی را با استفاده از خط مرکزی در نظر بگیرید.

وظیفه. خط وسط ذوزنقه 7 سانتی متر است؛ مشخص است که یکی از اضلاع 4 سانتی متر از دیگری بزرگتر است (شکل 4). طول پایه ها را پیدا کنید.

شکل 4. حل مسئله یافتن طول پایه ها

راه حل. اجازه دهید پایه کوچکتر DC برابر x سانتی متر باشد سپس پایه بزرگتر به ترتیب برابر با (x+4) سانتی متر خواهد بود.از اینجا با استفاده از فرمول خط وسط ذوزنقه به دست می آید:

به نظر می رسد که پایه DC کوچکتر 5 سانتی متر و بزرگتر 9 سانتی متر است.

مهم!مفهوم خط وسط در حل بسیاری از مسائل هندسی کلیدی است. بر اساس تعریف آن، شواهد بسیاری برای ارقام دیگر ساخته شده است. استفاده از مفهوم در عمل، شاید بیشتر تصمیم منطقیو مقدار مورد نیاز را جستجو کنید.

تعیین ارتفاع و راههای یافتن آن

همانطور که قبلا ذکر شد، ارتفاع قطعه ای است که پایه ها را با زاویه 2Pi/4 قطع می کند و کوتاه ترین فاصلهبین آنها. قبل از پیدا کردن ارتفاع ذوزنقه،باید مشخص شود که چه مقادیر ورودی داده می شود. برای درک بهتر، اجازه دهید به مشکل نگاه کنیم. ارتفاع ذوزنقه را به شرطی که پایه ها 8 و 28 سانتی متر و اضلاع به ترتیب 12 و 16 سانتی متر باشند را بیابید.

شکل 5. حل مسئله یافتن ارتفاع ذوزنقه

اجازه دهید پاره های DF و CH را در زاویه قائم با قاعده AD رسم کنیم.طبق تعریف، هر یک از آنها ارتفاع ذوزنقه داده شده خواهد بود (شکل 5). در این صورت، با دانستن طول هر دیوار کناری، با استفاده از قضیه فیثاغورث، متوجه خواهیم شد که ارتفاع در مثلث های AFD و BHC برابر است.

مجموع بخش های AF و HB برابر است با اختلاف پایه ها، یعنی:

اجازه دهید طول AF برابر x سانتی متر باشد، سپس طول قطعه HB= (20 – x) سانتی متر باشد. همانطور که مشخص شد، DF=CH، از اینجا.

سپس معادله زیر را بدست می آوریم:

معلوم می شود که قطعه AF در مثلث AFD برابر با 7.2 سانتی متر است، از اینجا ارتفاع ذوزنقه DF را با استفاده از همان قضیه فیثاغورث محاسبه می کنیم:

آن ها ارتفاع ذوزنقه ADCB برابر با 9.6 سانتی متر خواهد بود.چگونه می توان مطمئن بود که محاسبه ارتفاع یک فرآیند مکانیکی تر است و بر اساس محاسبه اضلاع و زوایای مثلث ها است. اما در تعدادی از مسائل هندسی فقط درجات زاویه ها را می توان شناخت که در این صورت محاسبات از طریق نسبت اضلاع مثلث های داخلی انجام می شود.

مهم!در اصل، ذوزنقه اغلب به صورت دو مثلث یا ترکیبی از یک مستطیل و یک مثلث در نظر گرفته می شود. برای حل 90 درصد از مشکلات موجود در کتاب های درسی مدارس، ویژگی ها و ویژگی های این ارقام. بیشتر فرمول‌های این GMT با تکیه بر «مکانیسم‌ها» برای دو نوع شکل نشان‌داده شده مشتق شده‌اند.

نحوه محاسبه سریع طول پایه

قبل از پیدا کردن پایه ذوزنقه، باید مشخص شود که چه پارامترهایی قبلاً داده شده است و چگونه از آنها به طور منطقی استفاده کنیم. یک روش عملی استخراج طول پایه مجهول از فرمول خط وسط است. برای درک واضح‌تر تصویر، از یک کار مثال استفاده می‌کنیم تا نشان دهیم چگونه می‌توان این کار را انجام داد. معلوم شود که خط وسط ذوزنقه 7 سانتی متر و یکی از پایه ها 10 سانتی متر است طول پایه دوم را پیدا کنید.

راه حل: با دانستن اینکه خط وسط برابر با نصف مجموع پایه ها است، می توان گفت مجموع آنها 14 سانتی متر است.

(14 سانتی متر = 7 سانتی متر × 2). از شرایط مسئله می دانیم که یکی از آنها برابر با 10 سانتی متر است، بنابراین ضلع کوچکتر ذوزنقه برابر با 4 سانتی متر خواهد بود (4 سانتی متر = 14 – 10).

علاوه بر این، برای یک راه حل راحت تر برای مشکلات از این نوع، توصیه می کنیم چنین فرمول هایی را از ناحیه ذوزنقه ای به طور کامل یاد بگیرید:

• خط وسط؛
• مربع؛
• ارتفاع؛
• مورب ها

با دانستن ماهیت (دقیقاً ماهیت) این محاسبات، می توانید به راحتی به مقدار مورد نظر پی ببرید.

ویدئو: ذوزنقه و خواص آن

ویدئو: ویژگی های ذوزنقه

نتیجه

از مثال های در نظر گرفته شده مسائل، می توان به این نتیجه ساده رسید که ذوزنقه از نظر محاسبه مسائل، یکی از ساده ترین اشکال هندسه است. برای راه حل موفقوظایف، اول از همه، شما نباید تصمیم بگیرید که چه اطلاعاتی در مورد شی توصیف شده شناخته شده است، در چه فرمول هایی می توان آنها را اعمال کرد، و تصمیم بگیرید که چه چیزی را باید پیدا کنید. با پیروی از این الگوریتم ساده، هیچ کار با استفاده از این شکل هندسی بدون دردسر نخواهد بود.