3) شماره
یک نکته در مکاتبه بگذاریم.
اجازه دهید دایره واحد را با مکاتبات تعیین شده فراخوانی کنیم
دایره اعداد.
این دومین مدل هندسی برای مجموعه واقعی است
شماره. دانش آموزان قبلاً اولین مدل - خط اعداد را می دانند. بخور
قیاس: برای خط اعداد، قانون مطابقت (از عدد به نقطه)
تقریباً به معنای واقعی کلمه یکسان است. اما یک تفاوت اساسی وجود دارد - منبع
مشکلات اصلی در کار با دایره اعداد: در یک خط مستقیم، هر کدام
نقطه مطابقت دارد تنهاشماره، این مورد در دایره نیست. اگر
دایره مربوط به یک عدد است، سپس با همه مطابقت دارد
شماره های فرم
طول دایره واحد کجاست و یک عدد صحیح است
برنج. 1
عددی که تعداد دورهای کامل یک دایره را در یک یا دیگری نشان می دهد
سمت.
این لحظه برای دانش آموزان سخت است. باید ارائه شوند
درک اصل موضوع و تکلیف واقعی:
پیست دوی استادیوم 400 متر طول دارد و دونده 100 متر فاصله دارد
از نقطه شروع تا کجا پیش رفت؟ اگر او تازه شروع به دویدن کرد، پس
100 متر دوید؛ اگر توانستید یک دور بدوید، پس - (
دو دایره – () ; اگر موفق به دویدن شدی
دایره ها، سپس مسیر خواهد بود (
) . حالا می توانید مقایسه کنید
نتیجه به دست آمده با عبارت
مثال 1.نقطه مربوط به چه اعدادی است؟
دایره اعداد
راه حل. از آنجایی که طول کل دایره
طول یک چهارم آن است
و بنابراین - به تمام اعداد فرم
به طور مشابه، مشخص می شود که نقاط با چه اعدادی مطابقت دارند
به ترتیب اول، دوم، سوم نامیده می شوند،
چهارمین دایره اعداد
تمام مثلثات مدرسه بر اساس مدل عددی است
حلقه ها تجربه نشان می دهد که کاستی های این مدل نیز وجود دارد
معرفی عجولانه توابع مثلثاتی اجازه ایجاد نمی دهد
پایه ای قابل اعتماد برای یادگیری موفق مطالب. بنابراین، نه
باید عجله کنید و کمی وقت بگذارید تا موارد زیر را در نظر بگیرید
پنج نوع مختلف از مسائل دایره اعداد
اولین نوع وظایف. یافتن نقاط روی دایره اعداد،
مربوط به اعداد داده شده، بیان شده در کسری از یک عدد
مثال 2.
شماره
راه حل. بیایید قوس را تقسیم کنیم
به نصف با یک نقطه به سه قسمت مساوی -
نقطه ها
(شکل 2). سپس
بنابراین، شماره
امتیاز مسابقات
عدد
مثال
3.
بر
عددی
دایره
نکته ها،
اعداد مربوطه:
راه حل. ساخت و سازها را انجام خواهیم داد
الف) کنار گذاشتن قوس
(طول آن
) پنج بار
از نقطه
در جهت منفی،
ما یک امتیاز می گیریم
ب) کنار گذاشتن قوس
(طول آن
) هفت بار از
در جهت مثبت، ما یک نقطه جدایی می گیریم
قسمت سوم قوس
با عدد مطابقت خواهد داشت
ج) کنار گذاشتن قوس
(طول آن
) پنج بار از نقطه
به صورت مثبت
جهت، ما یک نقطه می گیریم
جداسازی قسمت سوم قوس. او و
با عدد مطابقت خواهد داشت
(تجربه نشان می دهد که بهتر است به تعویق نیفتد
پنج بار
و 10 بار
پس از این مثال، مناسب است که دو طرح عددی اصلی را ارائه دهیم
دایره ها: در اولین آنها (شکل 3) همه ربع ها به نصف تقسیم می شوند
دوم (شکل 4) - به سه قسمت مساوی. داشتن این چیدمان ها در دفتر کار شما مفید است
ریاضیات
برنج. 2
برنج. 3 برنج. 4
قطعاً باید با دانش‌آموزان در مورد این سؤال صحبت کنید: اگر چه اتفاقی می‌افتد
هر یک از طرح‌بندی‌ها نه مثبت، بلکه در منفی حرکت می‌کنند
جهت؟ در طرح اول، نقاط انتخاب شده باید اختصاص داده شوند
«اسماء» دیگر: به ترتیب
و غیره.؛ در طرح دوم:
نوع دوم وظایف یافتن نقاط روی دایره اعداد،
مربوط به اعداد داده شده است که در کسری از یک عدد بیان نمی شود
مثال 4.نقاط مربوط به دایره عددی را پیدا کنید
اعداد 1; 2 3; -5.
راه حل.
در اینجا باید بر این واقعیت تکیه کنیم که
بنابراین نکته 1
بر روی یک قوس واقع شده است
نزدیک تر به نقطه
نقاط 2 و 3 روی قوس هستند، اولی است
دومی به (شکل 5) نزدیکتر است.
اجازه دهید کمی بیشتر به جزئیات بپردازیم
در یافتن نقطه مربوط به عدد - 5.
شما باید از یک نقطه حرکت کنید
در جهت منفی، یعنی در جهت عقربه های ساعت
برنج. 5
فلش. اگر در این مسیر بروید به نقطه اصلی
ما گرفتیم
این بدان معنی است که نقطه مربوط به عدد - 5 قرار دارد
کمی به سمت راست نقطه
(شکل 5 را ببینید).
نوع سوم وظایف تهیه سوابق تحلیلی (دو
نابرابری ها) برای کمان های دایره اعداد.
در واقع ما بر این اساس عمل می کنیم
همان طرحی که در 5-8 استفاده شد
کلاس های یادگیری خط اعداد:
ابتدا یک نقطه به عدد پیدا کنید، سپس توسط
نقطه - یک عدد، سپس دو برابر استفاده می شود
نابرابری برای نوشتن فواصل در
خط شماره
به عنوان مثال، یک باز را در نظر بگیرید
وسط اولی کجاست
یک چهارم دایره عددی و
- وسطش
سه ماهه دوم (شکل 6).
نابرابری های مشخص کننده قوس، به عنوان مثال. نمایندگی
پیشنهاد می شود مدل تحلیلی قوس در دو مرحله تدوین شود. در اول
مرحله هسته را تشکیل می دهد رکورد تحلیلی(این اصلی ترین چیزی است که باید دنبال کنید
آموزش به دانش آموزان)؛ برای یک قوس داده شده
در مورد دوم
مرحله، یک رکورد کلی ایجاد کنید:
اگر در مورد قوس صحبت می کنیم
سپس هنگام نوشتن کرنل باید این را در نظر بگیرید
() در داخل قوس قرار دارد و بنابراین باید به ابتدای قوس حرکت کند
در جهت منفی این بدان معنی است که هسته نماد تحلیلی کمان
به نظر می رسد
برنج. 6
اصطلاحات «هسته تحلیلی
رکوردهای قوسی، «رکورد تحلیلی
کمان ها" به طور کلی پذیرفته نمی شوند،
ملاحظات
چهارم
وظایف
جستجو کردن
دکارتی
مختصات
تعداد نقاط دایره، مرکز
که با ابتدای سیستم ترکیب می شود
مختصات
ابتدا، اجازه دهید به یک نکته نسبتاً ظریف تا اینجا نگاه کنیم
عملاً در کتابهای درسی فعلی مدارس ذکر نشده است.
شروع به مطالعه مدل «دایره عددی روی یک مختصات
هواپیما، معلمان باید به وضوح از مشکلاتی که در انتظار هستند آگاه باشند
دانش آموزان اینجا این دشواری ها به این دلیل است که هنگام مطالعه این
مدل، دانش آموزان مدرسه باید سطح نسبتاً بالایی داشته باشند
فرهنگ ریاضی، زیرا آنها باید به طور همزمان در آن کار کنند
دو سیستم مختصات - در یک "منحنی"، زمانی که اطلاعات در مورد
موقعیت نقطه در امتداد دایره (عدد
مطابقت دارد
نقطه دایره
()؛ - "مختصات منحنی" یک نقطه)، و در
سیستم مختصات مستطیلی دکارتی (در نقطه
مثل هر نقطه ای
صفحه مختصات، یک آبسیسا و یک مختصات وجود دارد). وظیفه معلم کمک کردن است
دانش آموزان مدرسه در غلبه بر این مشکلات طبیعی. متاسفانه،
معمولاً در کتاب های درسی مدرسه و از همان ابتدا به این موضوع توجهی نمی شود
در درس های اول از ضبط استفاده می شود
با توجه به اینکه نامه در
در ذهن دانش آموز به وضوح با آبسیسا در دکارتی همراه است
سیستم مختصات مستطیلی، و نه با مسافت طی شده بر اساس عدد
محیط مسیر بنابراین، هنگام کار با دایره اعداد، نباید
از نمادها استفاده کنید
برنج. 7
به کار نوع چهارم برگردیم. این در مورد استدر مورد انتقال از ضبط
سوابق
()، یعنی از مختصات منحنی به مختصات دکارتی.
سازگار دایره اعدادبا سیستم مستطیلی دکارتی
مختصات همانطور که در شکل نشان داده شده است. 7. سپس امتیاز
خواهد داشت
مختصات زیر:
() () () (). خیلی مهم
به دانش آموزان آموزش دهید که مختصات تمام آن نقاطی را که
روی دو طرح اصلی مشخص شده است (شکل 3،4 را ببینید). برای یک امتیاز
همه چیز به این برمی گردد
در نظر گرفتن یک متساوی الساقین راست گوشهبا هیپوتانوز
پاهایش برابر است
بنابراین مختصات
). در مورد امتیاز نیز وضعیت مشابه است
اما تنها تفاوت این است که باید در نظر بگیرید
علائم ابسیسا و دستوری. به طور مشخص:
دانش آموزان چه چیزی را باید به خاطر بسپارند؟ فقط اینکه ماژول ها ابسیسا و
مختصات در وسط تمام ربع ها برابر است
و باید بتوانند امضا کنند
برای هر نقطه مستقیماً از نقاشی تعیین کنید.
برای یک امتیاز
همه چیز به در نظر گرفتن یک مستطیل برمی گردد
مثلث با فرض 1 و زاویه
(شکل 9). سپس پا
زاویه مخالف
برابر خواهد شد
مجاور
√
به معنای،
مختصات نقطه
وضعیت در مورد نقطه مشابه است
فقط پاها "جای خود را تغییر می دهند" و بنابراین
برنج. 8
برنج. 9
ما گرفتیم
). ارزش هاست
(دقیق به نشانه ها) و خواهد بود
"خدمت" تمام نقاط طرح دوم (نگاه کنید به شکل 4)، به جز نقاط
به عنوان ابسیسا و دستورات. روش پیشنهادی برای حفظ کردن: «به طور خلاصه، کجا،
; جایی که طولانی تر است، آنجا
مثال 5.مختصات یک نقطه را پیدا کنید
(شکل 4 را ببینید).
راه حل. نقطه
نزدیکتر به محور عمودی قرار دارد تا به
افقی، یعنی مدول آبسیس آن کمتر از مدول مختصات آن است.
یعنی ماژول آبسیسا برابر است با
ماژول مختصات برابر است با
علائم در هر دو
موارد منفی هستند (سه ماهه سوم). نتیجه گیری: نکته
مختصات دارد
در نوع چهارم از مشکلات ما به دنبال مختصات کارتزینهر کس
نکات ارائه شده در طرح اول و دوم ذکر شده است
در واقع، در این نوع کار، دانش آموزان را برای آن آماده می کنیم
محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی اگر همه چیز اینجاست
به اندازه کافی قابل اعتماد کار کرد، سپس انتقال به سطح جدیدی از انتزاع
(مرتب - سینوس، آبسیسا - کسینوس) درد کمتری خواهد داشت
نوع چهارم شامل وظایفی از این نوع است: برای یک نقطه
نشانه های مختصات دکارتی را پیدا کنید
راه حل نباید برای دانش آموزان مشکل ایجاد کند: تعداد
با یک نقطه مطابقت دارد
ربع چهارم یعنی.
نوع پنجم وظایفیافتن نقاط روی دایره عددی توسط
مختصات داده شده
مثال 6.نقاط مختص را روی دایره اعداد پیدا کنید
بنویسید که با چه اعدادی مطابقت دارند.
راه حل. سر راست
دایره عددی را در نقاط قطع می کند
(شکل 11). با استفاده از طرح دوم (نگاه کنید به شکل 4) ما تعیین می کنیم که نقطه
مربوط به عدد است
بنابراین او
با تمام اعداد فرم مطابقت دارد
مربوط به عدد است
و این یعنی
تمام شماره های فرم
پاسخ:
مثال 7.در عددی پیدا کنید
نقطه دایره با آبسیسا
بنویسید که با چه اعدادی مطابقت دارند.
راه حل.
سر راست
√
دایره عددی را در نقاط قطع می کند
– وسط ربع دوم و سوم (شکل 10). با استفاده از اولین
طرح آن نقطه را تنظیم کرد
مربوط به عدد است
یعنی همه
شماره های فرم
مربوط به عدد است
یعنی همه
شماره های فرم
پاسخ:
نشان دادن گزینه دوم ضروری است
پاسخ یادداشت ها برای مثال 7. پس از همه، نقطه
مربوط به عدد است
آن ها تمام شماره های فرم
ما گرفتیم:
برنج. 10
شکل 11
بیایید بر اهمیت غیرقابل انکار تأکید کنیم
نوع پنجم وظایف در واقع ما آموزش می دهیم
دانش آموزان
تصمیم گیری
تک یاخته ها
معادلات مثلثاتی: در مثال 6
این در مورد معادله است
و در مثال
- در مورد معادله
آموزش درک ماهیت موضوع بسیار مهم است
دانش آموزان مدرسه معادلات نوع را حل می کنند
در امتداد دایره اعداد،
وقت خود را صرف کنید و به سراغ فرمول ها بروید
تجربه نشان می دهد که اگر مرحله اول (روی
دایره اعداد) به اندازه کافی قابل اعتماد کار نشده است، سپس مرحله دوم
(کار با استفاده از فرمول ها) توسط دانش آموزان به طور رسمی درک می شود، که
طبیعتاً باید بر آن غلبه کنیم.
مشابه مثال های 6 و 7، باید روی دایره اعداد پیدا شود
امتیازات با تمام دستورات و چکیده های «اصلی».
به عنوان موضوعات خاص، مناسب است موارد زیر را برجسته کنید:
یادداشت 1.در اصطلاح تبلیغی، مقدماتی
کار بر روی مبحث "طول دایره" در درس هندسه پایه نهم. مهم
مشاوره: سیستم تمرینات باید شامل وظایفی مانند آنچه پیشنهاد شده باشد
زیر دایره واحد با نقطه به چهار قسمت مساوی تقسیم می شود
یک قوس با یک نقطه و یک کمان با نقطه نصف می شود
به سه قسمت مساوی (شکل 12). طول کمان ها چقدر است؟
(اعتقاد بر این است که دایره به صورت مثبت طی می شود
جهت)؟
برنج. 12
نوع پنجم وظایف نیز شامل کار با شرایطی مانند
به معنای
به
تصمیم گیری
تک یاخته ها
ما همچنین نابرابری های مثلثاتی را به تدریج "انتخاب" می کنیم.
پنج درس و فقط در درس ششم باید تعاریف سینوس و
کسینوس به عنوان مختصات یک نقطه روی یک دایره عددی. که در آن
توصیه می شود همه انواع مشکلات را دوباره با دانش آموزان حل کنید، اما با
با استفاده از نمادهای معرفی شده، پیشنهاد انجام چنین کاری را می دهد
به عنوان مثال، وظایف: محاسبه
معادله را حل کنید
نابرابری
و غیره. ما در درس های اول تاکید می کنیم
ساده ترین مثلثات معادلات مثلثاتیو نابرابری ها
نیستند هدفآموزش، اما به عنوان استفاده می شود امکاناتبرای
تسلط بر چیز اصلی - تعاریف سینوس و کسینوس به عنوان مختصات نقاط
دایره اعداد
شماره را بگذارید
با یک نقطه مطابقت دارد
دایره اعداد سپس آبسیسه آن
تماس گرفت کسینوس عدد
و تعیین شده است
و ترتیب آن نامیده می شود سینوس عدد
و تعیین شده است. (شکل 13).
از این تعریف می توانیم بلافاصله
تنظیم علائم سینوس و کسینوس توسط
ربع: برای سینوس
برای کسینوس
یک درس کامل را به این اختصاص دهید (مثل این
پذیرفته شده) به سختی توصیه می شود. انجامش نده
دانش آموزان مدرسه را مجبور کنید این علائم را به خاطر بسپارند: همه مکانیکی
حفظ کردن، حفظ کردن یک تکنیک خشونت آمیز است که دانش آموزان،
هنگام مطالعه مثلثات در مدرسه، هر دانش آموزی با مفهوم بسیار جالب "دایره اعداد" روبرو می شود. اینکه دانش‌آموز بعداً چگونه مثلثات را خوب یاد می‌گیرد، به توانایی معلم مدرسه در توضیح اینکه چیست و چرا به آن نیاز است بستگی دارد. متأسفانه، هر معلمی نمی تواند این مطالب را به وضوح توضیح دهد. در نتیجه، بسیاری از دانش آموزان حتی در مورد نحوه علامت گذاری نیز سردرگم می شوند نقاط روی دایره اعداد. اگر این مقاله را تا انتها بخوانید، یاد خواهید گرفت که چگونه این کار را بدون هیچ مشکلی انجام دهید.
پس بیایید شروع کنیم. یک دایره رسم می کنیم که شعاع آن 1 است. بیایید "راست ترین" نقطه این دایره را با حرف نشان دهیم. O:
تبریک میگم، شما فقط نقاشی کشیدید دایره واحد. از آنجایی که شعاع این دایره 1 است، طول آن برابر است.
هر عدد واقعی را می توان با طول مسیر در امتداد دایره عددی از نقطه مرتبط کرد O. جهت حرکت در خلاف جهت عقربه های ساعت به عنوان یک جهت مثبت در نظر گرفته می شود. برای منفی - در جهت عقربه های ساعت:
محل نقاط روی دایره اعداد
همانطور که قبلاً اشاره کردیم، طول دایره عددی (دایره واحد) برابر است. پس این عدد در کجای این دایره قرار خواهد گرفت؟ بدیهی است، از نقطه نظر Oدر خلاف جهت عقربه های ساعت باید نصف طول دایره را طی کنیم و خود را در نقطه مورد نظر خواهیم یافت. بیایید آن را با حرف نشان دهیم ب:
توجه داشته باشید که با راه رفتن یک نیم دایره در جهت منفی می توان به همان نقطه رسید. سپس عدد را روی دایره واحد رسم می کنیم. یعنی اعداد با یک نقطه مطابقت دارند.
علاوه بر این، همین نقطه نیز با اعداد، و به طور کلی، مجموعه بی نهایتاعدادی که می توانند به شکل نوشته شوند، که در آن، یعنی به مجموعه اعداد صحیح تعلق دارد. همه اینها از نقطه نظر بشما می توانید یک سفر "دور دنیا" را در هر جهتی انجام دهید (محیط را اضافه یا کم کنید) و به همان نقطه برسید. ما به یک نتیجه مهم می رسیم که باید درک شود و به خاطر بسپاریم.
هر عدد مربوط به یک نقطه از دایره اعداد است. اما هر نقطه از دایره اعداد مربوط به بی نهایت عدد است.
اکنون نیم دایره بالایی دایره عددی را به کمان تقسیم می کنیم طول مساوینقطه سی. به راحتی می توان طول قوس را دید O.C.مساوی با . اکنون از اصل موضوع به تعویق بیفتیم سییک قوس به همان طول در خلاف جهت عقربه های ساعت. در نتیجه به اصل مطلب خواهیم رسید ب. نتیجه کاملاً قابل انتظار است، زیرا . بیایید دوباره این قوس را در همان جهت قرار دهیم، اما اکنون از نقطه ب. در نتیجه به اصل مطلب خواهیم رسید D، که قبلاً با شماره مطابقت دارد:
باز هم توجه داشته باشید که این نقطه نه تنها با عدد، بلکه به عنوان مثال با عدد مطابقت دارد، زیرا با دور شدن از نقطه می توان به این نقطه رسید. Oربع دایره در جهت عقربه های ساعت (جهت منفی).
و به طور کلی، مجدداً متذکر می شویم که این نقطه با تعداد بی نهایت زیادی مطابقت دارد که می توان آنها را به شکل نوشت 
. اما می توان آنها را به شکل نیز نوشت. یا اگر ترجیح می دهید به شکل . همه این رکوردها کاملاً معادل هستند و می توان آنها را از یکدیگر به دست آورد.
اجازه دهید اکنون قوس را به تقسیم کنیم O.C.نیم نقطه م. حالا بفهمید طول قوس چقدر است OM? درست است، نیمی از قوس O.C.. به این معنا که . نقطه مربوط به چه اعدادی است؟ مروی دایره اعداد؟ من مطمئن هستم که اکنون متوجه خواهید شد که این اعداد را می توان به صورت .
اما می توان آن را متفاوت انجام داد. بگیریم. سپس ما آن را دریافت می کنیم 
. یعنی این اعداد را می توان در قالب نوشت 
. همین نتیجه را می توان با استفاده از دایره اعداد به دست آورد. همانطور که قبلاً گفتم، هر دو رکورد معادل هستند و می توان آنها را از یکدیگر دریافت کرد.
حالا می توانید به راحتی از اعدادی که نقاط مطابقت دارند مثال بزنید ن, پو کروی دایره اعداد به عنوان مثال، اعداد، و:
اغلب این حداقل اعداد مثبت هستند که برای تعیین نقاط مربوطه در دایره اعداد گرفته می شوند. اگرچه این به هیچ وجه ضروری نیست، اما نقطه نهمانطور که می دانید، با تعداد نامحدودی از اعداد دیگر مطابقت دارد. از جمله به عنوان مثال، شماره.
اگر قوس را بشکنید O.C.به سه قوس مساوی با نقاط اسو L، بنابراین نکته اینجاست اسبین نقاط قرار خواهد گرفت Oو L، سپس طول قوس سیستم عاملبرابر خواهد بود و طول قوس OLبرابر خواهد بود با . با استفاده از دانشی که در قسمت قبلی درس به دست آورده اید، می توانید به راحتی بفهمید که نقاط باقی مانده در دایره اعداد چگونه به دست آمده است:
اعدادی که مضربی از π در دایره اعداد نیستند
اکنون این سوال را از خود بپرسیم: کجای خط اعداد باید نقطه مربوط به عدد 1 را علامت گذاری کنیم؟ برای انجام این کار، باید از "درست" ترین نقطه دایره واحد شروع کنید Oکمانی را رسم کنید که طول آن برابر با 1 باشد. ما فقط می توانیم به طور تقریبی مکان نقطه مورد نظر را نشان دهیم. به صورت زیر عمل می کنیم.
در این مقاله با جزئیات زیادی تعریف دایره اعداد را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، ویژگی اصلی آن را دریابیم و اعداد 1،2،3 و غیره را مرتب کنیم. درباره نحوه علامت گذاری اعداد دیگر روی دایره (به عنوان مثال، \(\frac(π)(2)، \frac(π)(3)، \frac(7π)(4)، 10π، -\frac(29π) (6)\)) می فهمد.
دایره اعداد دایره ای با شعاع واحد نامیده می شود که نقاط آن مطابقت دارند ، بر اساس قوانین زیر تنظیم شده است:
1) مبدأ در منتهی الیه سمت راست دایره است.
2) خلاف جهت عقربه های ساعت - جهت مثبت. جهت عقربه های ساعت - منفی؛
3) اگر فاصله \(t\) روی دایره را در جهت مثبت رسم کنیم، به نقطه ای با مقدار \(t\) می رسیم.
4) اگر فاصله \(t\) را روی دایره در جهت منفی رسم کنیم، به نقطه ای با مقدار \(–t\) خواهیم رسید.
چرا دایره را دایره عددی می نامند؟
چون اعداد روی آن است. به این ترتیب، دایره شبیه به محور اعداد است - روی دایره، مانند محور، یک نقطه خاص برای هر عدد وجود دارد.
چرا می دانیم دایره عددی چیست؟
با استفاده از دایره اعداد، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تعیین می شود. بنابراین، برای دانستن مثلثات و قبولی در آزمون دولتی یکپارچهبرای بیش از 60 امتیاز، باید بدانید که دایره اعداد چیست و چگونه نقاط را روی آن قرار دهید.
کلمات "...از واحد شعاع..." در تعریف به چه معناست؟
یعنی شعاع این دایره برابر با \(1\) است. و اگر چنین دایره‌ای را با مرکز در مبدا بسازیم، آنگاه با محورهای نقاط \(1\) و \(-1\) تلاقی می‌کند.
لازم نیست کوچک ترسیم شود، می توانید "اندازه" تقسیمات را در امتداد محورها تغییر دهید، سپس تصویر بزرگتر می شود (پایین را ببینید).
چرا شعاع دقیقا یک است؟ این راحت تر است، زیرا در این مورد، هنگام محاسبه محیط با استفاده از فرمول \(l=2πR\)، به دست می آوریم:
طول دایره عددی \(2π\) یا تقریباً \(6.28\) است.
"...نقاط آن با اعداد واقعی مطابقت دارد" به چه معناست؟
همانطور که در بالا گفتیم، روی دایره اعداد برای هر عدد واقعی قطعا "مکان" آن وجود خواهد داشت - نقطه ای که با این عدد مطابقت دارد.
چرا مبدا و جهت را روی دایره اعداد تعیین کنیم؟
هدف اصلی دایره اعداد این است که به طور منحصر به فرد نقطه آن را برای هر عدد تعیین کند. اما اگر نمی دانید از کجا بشمارید و کجا حرکت کنید، چگونه می توانید تعیین کنید که نقطه را کجا قرار دهید؟
در اینجا مهم است که مبدا را در خط مختصات و دایره اعداد اشتباه نگیریم - اینها دو سیستم مرجع متفاوت هستند! و همچنین \(1\) را در محور \(x\) و \(0\) را در دایره اشتباه نگیرید - اینها نقاط روی اشیاء مختلف هستند.
کدام نقاط با اعداد \(1\)، \(2\) و غیره مطابقت دارند؟
به یاد داشته باشید، ما فرض کردیم که دایره عددی دارای شعاع \(1\) است؟ این قطعه واحد ما خواهد بود (بر اساس قیاس با محور عدد)، که ما آن را روی دایره رسم می کنیم.
برای علامت گذاری یک نقطه روی دایره عددی مربوط به عدد 1، باید از 0 به فاصله ای برابر با شعاع در جهت مثبت بروید.
برای علامت گذاری نقطه ای بر روی دایره مربوط به عدد \(2\) باید مسافتی معادل دو شعاع از مبدا طی کنید، به طوری که \(3\) فاصله ای برابر با سه شعاع و غیره باشد.
وقتی به این تصویر نگاه می کنید، ممکن است 2 سوال داشته باشید:
1. وقتی دایره «پایان می‌یابد» (یعنی یک انقلاب کامل انجام می‌دهیم) چه اتفاقی می‌افتد؟
پاسخ: بریم دور دوم! و وقتی دومی تمام شد، به سراغ سومی می رویم و به همین ترتیب. بنابراین، تعداد نامتناهی از اعداد را می توان بر روی یک دایره رسم کرد.
2. کجا خواهند بود اعداد منفی?
پاسخ: همان جا! آنها همچنین می توانند مرتب شوند و تعداد شعاع های مورد نیاز را از صفر بشمارند، اما اکنون در جهت منفی هستند.
متأسفانه، نشان دادن اعداد صحیح روی دایره اعداد دشوار است. این به این دلیل است که طول دایره عددی برابر با یک عدد صحیح نخواهد بود: \(2π\). و در راحت ترین مکان ها (در نقاط تقاطع با محورها) کسری نیز وجود خواهد داشت نه اعداد صحیح
ما یک درس ویدیویی با موضوع "دایره شماره" به شما ارائه می دهیم. تعریفی از سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت و توابع ارائه شده است y= گناه ایکس, y= cos ایکس, y= tg ایکس, y= ctg ایکسبرای هر آرگومان عددی ما مسائل استاندارد مطابقت بین اعداد و نقاط را در دایره عدد واحد در نظر می گیریم تا برای هر عدد یک نقطه واحد پیدا کنیم، و برعکس، برای هر نقطه مجموعه ای از اعداد را پیدا کنیم که با آن مطابقت دارند.
موضوع: عناصر نظریه توابع مثلثاتی
درس: دایره اعداد
هدف فوری ما این است که تعیین کنیم توابع مثلثاتی: سینوسی, کسینوس, مماس, کتانژانت-
استدلال عددیمی توان روی یک خط مختصات یا روی یک دایره رسم کرد.
چنین دایره ای دایره عددی یا واحد نامیده می شود، زیرا برای راحتی، یک دایره با
به عنوان مثال، با توجه به یک نقطه، آن را در خط مختصات علامت گذاری کنید
و در دایره اعداد.
هنگام کار با دایره اعداد، توافق شد که حرکت در خلاف جهت عقربه های ساعت یک جهت مثبت است، در جهت عقربه های ساعت یک جهت منفی است.
وظایف معمولی - شما باید مختصات را تعیین کنید نقطه داده شدهیا برعکس، یک نقطه را با مختصات آن پیدا کنید.
خط مختصات یک تناظر یک به یک بین نقاط و اعداد برقرار می کند. به عنوان مثال، یک عدد با نقطه A با مختصات مطابقت دارد
هر نقطه B با مختصات فقط با یک عدد مشخص می شود - فاصله 0 تا گرفته شده با علامت مثبت یا منفی.
در دایره اعداد، تناظر یک به یک فقط در یک جهت کار می کند.
به عنوان مثال، نقطه B روی وجود دارد دایره مختصات(شکل 2)، طول قوس 1 است، یعنی. این نقطه با 1 مطابقت دارد.
با توجه به یک دایره، طول دایره If then، طول دایره واحد است.
اگر اضافه کنیم، همان نقطه B را به دست می آوریم، سپس به نقطه B نیز می رسیم، نقطه B را نیز کم می کنیم.
نقطه B را در نظر بگیرید: طول قوس = 1، سپس اعداد نقطه B را در دایره اعداد مشخص می کنند.
بنابراین، عدد 1 مربوط به یک نقطه از دایره عددی - نقطه B، و نقطه B مربوط به تعداد نامتناهی از نقاط شکل است. 
.
موارد زیر برای دایره اعداد صادق است:
اگر تی. ماگر دایره اعداد مربوط به یک عدد باشد، آنگاه با تعدادی از فرم نیز مطابقت دارد
می توانید به تعداد دلخواه دور دایره اعداد در جهت مثبت یا منفی دور کامل بچرخانید - نکته یکسان است. بنابراین معادلات مثلثاتی دارای بی نهایت جواب هستند.
به عنوان مثال، با توجه به نقطه D. اعداد مربوط به آن چیست؟
قوس را اندازه می گیریم.
مجموعه تمام اعداد مربوط به نقطه D.
بیایید به نکات اصلی روی دایره اعداد نگاه کنیم.
طول کل دور.
آن ها ضبط چند مختصات می تواند متفاوت باشد .
در نظر بگیریم وظایف معمولیروی دایره اعداد
1. داده شده: . پیدا کنید: یک نقطه از دایره اعداد.
بیایید کل قسمت را انتخاب کنیم:
لازم است نقطه روی دایره اعداد را پیدا کنید. 
، سپس 
.
این مجموعه شامل نقطه نیز می باشد.
2. داده شده: . پیدا کنید: یک نقطه از دایره اعداد.
یافتن تی ضروری است.
t. نیز متعلق به این مجموعه است.
با حل مسائل استاندارد مطابقت بین اعداد و نقاط روی دایره اعداد، متوجه شدیم که برای هر عدد می توانیم یک نقطه پیدا کنیم و برای هر نقطه می توانیم مجموعه ای از اعداد را پیدا کنیم که با یک نقطه مشخص مشخص می شوند.
قوس را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید و نقاط M و N را علامت بزنید.
بیایید تمام مختصات این نقاط را پیدا کنیم.
 |
بنابراین، هدف ما تعریف توابع مثلثاتی است. برای انجام این کار، باید یاد بگیریم که چگونه یک آرگومان تابع را مشخص کنیم. ما به نقاط دایره واحد نگاه کردیم و دو مشکل معمولی را حل کردیم - پیدا کردن یک نقطه روی دایره عددی و نوشتن تمام مختصات نقطه روی دایره واحد.
1. موردکوویچ A.G. و دیگران جبر پایه نهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات.- ویرایش چهارم. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.
2. موردکوویچ A.G. و دیگران جبر نهم دبستان: کتاب مسئله برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina و دیگران - ویرایش 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.
3. Makarychev Yu. N. جبر. پایه نهم: آموزشی برای دانش آموزان آموزش عمومی. مؤسسات / Yu. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، I. E. Feoktistov. - ویرایش هفتم، برگردان و اضافی - M.: Mnemosyne، 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. جبر. کلاس نهم. ویرایش شانزدهم - م.، 2011. - 287 ص.
5. موردکوویچ A. G. جبر. کلاس نهم. در 2 قسمت. قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوازدهم، پاک شد. - م.: 2010. - 224 ص: بیمار.
6. جبر. کلاس نهم. در 2 قسمت. قسمت 2. کتاب مسئله برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich، L. A. Aleksandrova، T. N. Mishustina و دیگران؛ اد. A. G. Mordkovich. - چاپ دوازدهم، برگردان - م.: 2010.-223 ص: بیمار.
موردکوویچ A.G. و دیگران جبر کلاس نهم: کتاب مسئله برای دانش آموزان مؤسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina، و غیره - ویرایش 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
آموزش های تصویری از جمله مؤثرترین ابزارهای آموزشی به ویژه این گونه هستند رشته های مدرسهمانند ریاضیات بنابراین نویسنده از این موادتنها اطلاعات مفید، مهم و شایسته را در یک کل واحد جمع آوری کرد.
این درس 11:52 دقیقه است. تقریباً به همان مقدار زمان نیاز است تا یک معلم مطالب جدید را در مورد یک موضوع معین در کلاس توضیح دهد. اگرچه مزیت اصلی درس ویدیویی این واقعیت است که دانش آموزان به دقت به آنچه نویسنده در مورد آن صحبت می کند گوش می دهند، بدون اینکه حواسشان به موضوعات و مکالمات اضافی منحرف شود. به هر حال، اگر دانش آموزان با دقت گوش ندهند، نکته مهمی از درس را از دست خواهند داد. و اگر معلم خود مطالب را توضیح دهد ، دانش آموزان او به راحتی می توانند با گفتگوهای خود در مورد موضوعات انتزاعی از موضوع اصلی منحرف شوند. و البته مشخص می شود که کدام روش منطقی تر خواهد بود.
نویسنده ابتدای درس را به تکرار آن دسته از کارکردهایی اختصاص می دهد که دانش آموزان قبلاً در دوره جبر با آنها آشنا بودند. و اولین چیزی که شروع به مطالعه کرد توابع مثلثاتی هستند. در نظر گرفتن و مطالعه آنها نیاز به یک نکته جدید دارد مدل ریاضی. و این مدل تبدیل به دایره اعداد می شود که دقیقا همان چیزی است که در مبحث درس بیان شده است. برای این کار مفهوم دایره واحد معرفی شده و تعریف آن ارائه شده است. در ادامه در شکل، نویسنده تمام اجزای چنین دایره ای را نشان می دهد و آنچه برای یادگیری بیشتر برای دانش آموزان مفید خواهد بود. کمان ها ربع ها را نشان می دهند.
سپس نویسنده پیشنهاد می کند که دایره اعداد را در نظر بگیرید. در اینجا او این نکته را بیان می کند که استفاده از دایره واحد راحت تر است. این دایره نشان می دهد که اگر t>0، t، نقطه M چگونه به دست می آید<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
در مرحله بعد، نویسنده به دانش آموزان یادآوری می کند که چگونه محیط دایره را پیدا کنند. و سپس طول دایره واحد را خروجی می دهد. استفاده از این داده های نظری در عمل پیشنهاد می شود. برای انجام این کار، مثالی را در نظر بگیرید که در آن باید نقطه ای را در یک دایره پیدا کنید که با مقادیر اعداد خاصی مطابقت دارد. راه حل مثال با یک تصویر در قالب یک تصویر و همچنین نمادهای ریاضی لازم همراه است.
با توجه به شرط مثال دوم، یافتن نقاط روی دایره عددی ضروری است. در اینجا نیز کل راه حل با نظرات، تصاویر و نمادهای ریاضی همراه است. این به توسعه و بهبود سواد ریاضی دانش آموزان کمک می کند. مثال سوم نیز به همین صورت ساخته شده است.
در مرحله بعد، نویسنده آن اعداد را روی دایره که بیشتر از دیگران رخ می دهند، یادداشت می کند. در اینجا او ساخت دو مدل از یک دایره اعداد را پیشنهاد می کند. هنگامی که هر دو طرح آماده هستند، مثال بعدی و چهارم در نظر گرفته می شود، که در آن باید نقطه ای از دایره اعداد مربوط به عدد 1 را پیدا کنید. پس از این مثال، یک عبارت فرموله می شود که بر اساس آن می توانید نقطه M مربوط به آن را پیدا کنید. عدد t
در مرحله بعد، نکته ای ارائه می شود که براساس آن دانش آموزان می آموزند که عدد "پی" مربوط به تمام اعدادی است که در یک نقطه معین هنگام عبور از کل دایره قرار می گیرند. این اطلاعات توسط مثال پنجم پشتیبانی می شود. راه حل او شامل استدلال منطقی صحیح و نقاشی هایی است که وضعیت را نشان می دهد.
رمزگشایی متن:
دایره عددی
قبلاً، توابع تعریف شده توسط عبارات تحلیلی را مطالعه کردیم. و این توابع را جبری می نامیدند. اما در درس ریاضی مدرسه، توابع کلاس های دیگر مطالعه می شود، نه جبری. بیایید شروع به یادگیری توابع مثلثاتی کنیم.
برای معرفی توابع مثلثاتی، به یک مدل ریاضی جدید - دایره عددی نیاز داریم. بیایید دایره واحد را در نظر بگیریم. دایره ای که شعاع آن برابر با قطعه مقیاس باشد، بدون اینکه واحدهای اندازه گیری خاصی را نشان دهد، واحد نامیده می شود. شعاع چنین دایره ای برابر با 1 در نظر گرفته می شود.
ما از یک دایره واحد استفاده خواهیم کرد که در آن قطرهای افقی و عمودی CA و DB (ce a و de be) ترسیم شده است (شکل 1 را ببینید).
arc AB را ربع اول، arc BC ربع دوم، arc CD را ربع سوم و arc DA را ربع چهارم می نامیم.
دایره عددی را در نظر بگیرید. به طور کلی، هر دایره ای را می توان به عنوان یک دایره عددی در نظر گرفت، اما استفاده از دایره واحد برای این منظور راحت تر است.
تعریف یک دایره واحد داده شده و نقطه شروع A روی آن مشخص شده است - انتهای سمت راست قطر افقی. بگذارید هر عدد واقعی t (te) را با یک نقطه از دایره مطابق قانون زیر مرتبط کنیم:
1) اگر t>0 (te بزرگتر از صفر باشد)، سپس، با حرکت از نقطه A در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت (جهت مثبت دایره)، مسیر AM (a em) به طول t را در امتداد دایره توصیف می کنیم. نقطه M نقطه مطلوب M(t) (em از te) خواهد بود.
2) اگر تی<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) نقطه A را به عدد t = 0 نسبت دهیم.
دایره واحد با تناظر ثابت (بین اعداد واقعی و نقاط روی دایره) دایره عددی نامیده می شود.
مشخص است که محیط L (el) با فرمول L = 2πR محاسبه می شود (el برابر است با دو پی er)، که در آن π≈3.14، R شعاع دایره است. برای یک دایره واحد R=1cm، این به معنای L=2π≈6.28 سانتی متر است (el برابر است با دو پی تقریباً 6.28).
بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.
مثال 1. نقطه ای از دایره عددی را پیدا کنید که با عدد داده شده مطابقت دارد: ,.(پی در دو، پی، سه پی در دو، دو پی، یازده پی در دو، هفت پی، منهای پنج پی در دو)
راه حل. شش عدد اول مثبت هستند، بنابراین، برای پیدا کردن نقاط مربوطه روی دایره، باید مسیری به طول معین را در امتداد دایره طی کنید و از نقطه A در جهت مثبت حرکت کنید. طول هر ربع یک دایره برابر است. این به این معنی است که AB =، یعنی نقطه B مربوط به عدد است (شکل 1 را ببینید). AC = ، یعنی نقطه C مربوط به عدد است AD = ، یعنی نقطه D مربوط به عدد است و نقطه A دوباره با عدد مطابقت دارد ، زیرا پس از طی کردن مسیری در امتداد دایره به نقطه شروع رسیدیم. آ.
بیایید در نظر بگیریم که نقطه در کجا قرار خواهد گرفت.از آنجایی که از قبل می دانیم طول دایره چقدر است، آن را به شکل (چهار پی به اضافه سه پی در دو) کاهش می دهیم. یعنی حرکت از نقطه A در جهت مثبت، باید یک دایره کامل را دو بار توصیف کنید (مسیری به طول 4π) و همچنین یک مسیر به طول که به نقطه D ختم می شود.
چه اتفاقی افتاده است؟ این 3∙2π + π (سه برابر دو پی به اضافه پی) است. این بدان معنی است که حرکت از نقطه A در جهت مثبت، باید یک دایره کامل را سه بار و علاوه بر آن یک مسیر به طول π را توصیف کنید که به نقطه C ختم می شود.
برای پیدا کردن نقطه ای از دایره اعدادی که مربوط به یک عدد منفی است، باید از نقطه A در امتداد دایره در جهت منفی (در جهت عقربه های ساعت) مسیری به طول راه بروید و این معادل 2π + است. این مسیر به نقطه D ختم خواهد شد.
مثال 2. نقاط دایره عددی را بیابید (پی در شش، پی در چهار، پی در سه).
راه حل. با تقسیم قوس AB به نصف، نقطه E را بدست می آوریم که مطابقت دارد. و با تقسیم قوس AB به سه قسمت مساوی توسط نقاط F و O به این نتیجه میرسیم که نقطه F مطابقت دارد و نقطه T مطابقت دارد.
(شکل 2 را ببینید).
مثال 3. نقاط دایره عددی را بیابید (منهای سیزده پی در چهار، نوزده پی در شش).
راه حل. با قرار دادن قوس AE (a em) به طول (pi در چهار) از نقطه A سیزده بار در جهت منفی، نقطه H (خاکستر) - وسط قوس BC را به دست می آوریم.
با قرار دادن یک قوس AF به طول (pi در شش) از نقطه A نوزده بار در جهت مثبت، به نقطه N (en) می رسیم که متعلق به ربع سوم (قوس CD) است و CN برابر با قسمت سوم است. سی دی قوس (se de).
(شکل 2 را ببینید).
اغلب شما باید به دنبال نقاطی در دایره اعداد بگردید که با اعداد (پی در شش، پی در چهار، پی در سه، پی در دو)، و همچنین مواردی که مضرب آنها هستند، یعنی (هفت) بگردید. پی در شش، پنج پی در چهار، چهار پی در سه، یازده پی در دو). بنابراین، برای پیمایش سریع، توصیه می شود دو طرح از دایره اعداد ایجاد کنید.
در طرح اول، هر یک از ربع های دایره اعداد به دو قسمت مساوی تقسیم می شود و در نزدیکی هر یک از نقاط حاصل، "نام" آنها را می نویسیم:
در طرح دوم، هر یک از ربع ها به سه قسمت مساوی تقسیم می شوند و در نزدیکی هر یک از دوازده نقطه به دست آمده، "نام" آنها را می نویسیم:
اگر در جهت عقربه‌های ساعت حرکت کنیم، همان "نام‌ها" را برای نقاط روی نقشه‌ها، فقط با مقدار منهای دریافت می‌کنیم. برای طرح اول:
به طور مشابه، اگر در امتداد طرح دوم در جهت عقربه های ساعت از نقطه O حرکت کنید.
مثال 4. نقاطی را در دایره اعداد پیدا کنید که با اعداد 1 (یک) مطابقت دارند.
راه حل. با دانستن اینکه π≈3.14 (pi تقریباً برابر با سه نقطه چهاردهم صدم است)، ≈ 1.05 (پی ضربدر سه تقریباً برابر با یک نقطه پنج صدم است)، ≈ 0.79 (پی ضربدر چهار تقریباً برابر با نقطه صفر هفتاد و نه صدم است). به معنای،< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
جمله زیر درست است: اگر نقطه M در دایره عددی با عدد t مطابقت داشته باشد، آنگاه با هر عددی از شکل t + 2π مطابقت دارد.ک(te به اضافه دو پی کا)، که در آن ka هر عدد صحیح و k استϵ ز(ka متعلق به Zet است).
با استفاده از این عبارت، می توانیم نتیجه بگیریم که نقطه مربوط به تمام نقاط شکل t =+ 2πk است (te برابر است با پی ضربدر سه به علاوه دو قله)، که در آن kεZ ( ka متعلق به zet است)، و به نقطه (پنج پی در چهار) - نقاطی به شکل t = + 2πk (te برابر است با پنج پی در چهار به علاوه دو پی کا)، که در آن kεZ ( ka متعلق به zet) و غیره است.
مثال 5. نقطه روی دایره عددی را پیدا کنید: a) ; ب) .
راه حل. الف) داریم: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(بیست پی ضربدر سه برابر بیست ضرب سه پی برابر شش به اضافه دو سوم، ضرب در پی برابر شش پی به اضافه دو پی ضربدر سه برابر است. دو پی ضربدر سه به علاوه سه برابر دو پی).
این به این معنی است که این عدد با همان نقطه روی دایره عدد مطابقت دارد (این ربع دوم است) (طرح دوم را در شکل 4 ببینید).
ب) داریم: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (منهای سی و پنج پی ضربدر چهار برابر منهای هشت به علاوه سه چهارم ضرب پی برابر است با منهای سه پی ضربدر چهار به علاوه دو پی ضربدر منهای چهار ). یعنی عدد مطابق با همان نقطه دایره عددی عدد است
