را منبع الکترونیکییک ماده عالی برای هدایت است یادگیری تعاملی V مدارس مدرن. با مهارت نوشته شده است، ساختار واضحی دارد و مطابقت دارد طرح مدرسه. به لطف توضیحات دقیق، موضوع ارائه شده در درس ویدیویی برای هر چه بیشتر دانش آموزان کلاس روشن می شود. معلمان باید به خاطر داشته باشند که همه دانش‌آموزان دارای درجه ادراک، سرعت درک یا پایه یکسان نیستند. چنین مطالبی به شما کمک می کند تا با مشکلات کنار بیایید و با همسالان خود کنار بیایید و عملکرد تحصیلی خود را بهبود بخشید. با کمک آنها، در یک محیط خانه آرام، به طور مستقل یا همراه با یک معلم، دانش آموز می تواند یک موضوع خاص را درک کند، تئوری مطالعه کند و نمونه هایی را مشاهده کند. کاربرد عملییک فرمول و غیره

این درس ویدیویی به موضوع "سینوس و کسینوس تفاوت استدلال ها" اختصاص دارد. فرض بر این است که دانش‌آموزان قبلاً اصول مثلثات را آموخته‌اند، با توابع اساسی و ویژگی‌های آنها، فرمول‌های شبح و جداول مقادیر مثلثاتی آشنا شده‌اند.

همچنین قبل از پرداختن به مطالعه این مبحث، باید درک درستی از سینوس و کسینوس مجموع آرگومان ها داشته باشید، دو فرمول اساسی را بدانید و بتوانید از آنها استفاده کنید.

در ابتدای درس تصویری، گوینده این دو فرمول را به دانش آموزان یادآوری می کند. در مرحله بعد، اولین فرمول نشان داده می شود - سینوس تفاوت آرگومان ها. علاوه بر اینکه خود فرمول چگونه مشتق شده است، نشان داده می شود که چگونه از دیگری مشتق شده است. بنابراین، دانش آموز مجبور نیست فرمول جدیدی را بدون درک آن به خاطر بسپارد، که این یک اشتباه رایج است. این برای دانش آموزان این کلاس بسیار مهم است. همیشه باید به یاد داشته باشید که می توانید یک علامت + در جلوی علامت منفی اضافه کنید و یک منهای روی علامت مثبت در نهایت به منفی تبدیل می شود. با این مرحله ساده می توانید از فرمول سینوس مجموع استفاده کنید و فرمول سینوس اختلاف آرگومان ها را بدست آورید.

فرمول کسینوس تفاوت به روشی مشابه از فرمول کسینوس مجموع آرگومان ها به دست می آید.

گوینده گام به گام همه چیز را توضیح می دهد و در نتیجه فرمول کلی کسینوس مجموع و تفاضل آرگومان ها و سینوس به همین ترتیب به دست می آید.

اولین مثال از بخش عملی این درس ویدیویی یافتن کسینوس Pi/12 را پیشنهاد می کند. پیشنهاد شده است که این مقدار در قالب یک تفاوت معین ارائه شود که در آن minuend و subtrahend مقادیر جدولی خواهند بود. سپس، فرمول کسینوس برای تفاوت آرگومان ها اعمال خواهد شد. با جایگزین کردن عبارت، می توانید مقادیر به دست آمده را جایگزین کرده و پاسخ را دریافت کنید. گوینده پاسخ را می خواند که در انتهای مثال نمایش داده می شود.

مثال دوم یک معادله است. در هر دو سمت راست و چپ، کسینوس اختلاف استدلال ها را می بینیم. بلندگو شبیه فرمول های ریخته گری است که برای جایگزینی و ساده سازی این عبارات استفاده می شود. این فرمول ها در سمت راست نوشته شده اند تا دانش آموزان بتوانند بفهمند که برخی تغییرات از کجا آمده است.

مثال دیگر، سوم، کسر معینی است که در صورت و مخرج هر دو داریم عبارات مثلثاتی، یعنی تفاوت محصولات.

در اینجا نیز هنگام حل، از فرمول های کاهش استفاده می شود. بنابراین، دانش‌آموزان می‌توانند ببینند که اگر یک مبحث را در مثلثات از دست بدهند، درک بقیه آن دشوارتر خواهد شد.

و در نهایت مثال چهارم. این نیز معادله ای است که در آن هنگام حل آنها باید از فرمول های جدید آموخته شده و قدیمی استفاده کرد.

می توانید به مثال های ارائه شده در فیلم آموزشی با جزئیات بیشتری نگاه کنید و سعی کنید خودتان آن را حل کنید. آنها را می توان به عنوان تنظیم کرد مشق شبدانش آموزان

رمزگشایی متن:

موضوع درس "سینوس و کسینوس اختلاف استدلال ها" است.

در دوره قبلی با دو نفر آشنا شدیم فرمول های مثلثاتیسینوس و کسینوس مجموع استدلال ها.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y،

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

سینوس مجموع دو زاویه برابر با مجموعبین حاصل ضرب سینوس زاویه اول و کسینوس زاویه دوم و حاصل ضرب کسینوس زاویه اول و سینوس زاویه دوم.

کسینوس مجموع دو زاویه برابر است با تفاوت حاصلضرب کسینوس های این زوایا و حاصل ضرب مجموع این زوایا.

با استفاده از این فرمول ها، فرمول های سینوس و کسینوس اختلاف آرگومان ها را استخراج می کنیم.

سینوس تفاوت آرگومان ها sin(x-y)

دو فرمول (سینوس مجموع و سینوس تفاوت) را می توان به صورت زیر نوشت:

گناه (xy) = گناه x cos ycos x sin y.

به طور مشابه، ما فرمول کسینوس تفاوت را استخراج می کنیم:

بیایید کسینوس تفاوت بین آرگومان ها را به صورت مجموع بازنویسی کنیم و فرمول از قبل شناخته شده را برای کسینوس مجموع اعمال کنیم: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

فقط برای آرگومان های x و -y. با جایگزینی این آرگومان ها در فرمول، cosxcos(- y) - sinxsin(- y) را دریافت می کنیم.

sin(- y)= - siny). و عبارت نهایی cosxcosy + sinxsiny را دریافت می کنیم.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

این یعنی cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

کسینوس اختلاف دو زاویه برابر است با حاصل جمع حاصل ضرب کسینوس های این زوایا و حاصل ضرب سینوس های این زوایا.

با ترکیب دو فرمول (کسینوس مجموع و کسینوس تفاوت) در یک فرمول، می نویسیم

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

به یاد داشته باشید که فرمول ها در عمل می توانند هم از چپ به راست و هم برعکس اعمال شوند.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1. cos (کسینوس پی تقسیم بر دوازده) را محاسبه کنید.

راه حل. بیایید پی تقسیم بر دوازده را به عنوان تفاضل پی بر سه و پی تقسیم بر چهار بنویسیم: = - .

بیایید مقادیر را در فرمول کسینوس تفاوت جایگزین کنیم: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny، بنابراین cos = cos (-) = cos cos + sin sin

می دانیم که cos = , cos = گناه = , sin = . نمایش جدول مقادیر

بیایید مقدار سینوس و کسینوس را جایگزین کنیم مقادیر عددیو ∙ + ∙ را به دست می آوریم وقتی کسری را در کسری ضرب می کنیم، صورت و مخرج را ضرب می کنیم، به دست می آید.

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.

پاسخ: cos =.

مثال 2. حل کنید معادله cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (کسینوس دو پی منهای پنج x برابر است با کسینوس پی دو منهای پنج x).

راه حل. در سمت چپ و راست معادله فرمول های کاهش cos(2π - cos (کسینوس دو پی منهای آلفا برابر با کسینوس آلفا است) و cos(- = sin (کسینوس پی با دو منهای آلفا برابر است با سینوس آلفا)، cos 5x = sin 5x را بدست می آوریم، آن را به شکل یک معادله همگن درجه اول می دهیم و cos 5x - sin 5x = 0 را به دست می آوریم. این یک معادله همگن درجه اول است. دو طرف معادله را بر cos 5x تقسیم می کنیم.

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0، زیرا cos 5x: cos 5x = 1، و sin 5x: cos 5x = tan 5x، سپس دریافت می کنیم:

از آنجایی که ما قبلاً می دانیم که معادله tgt = a دارای راه حل t = arctga + πn است و از آنجایی که t = 5x، a = 1 داریم، به دست می آوریم.

5x = آرکتان 1 + πn،

آ مقدار arctg 1، سپس tg 1 = نمایش جدول

مقدار را جایگزین معادله کرده و آن را حل کنید:

پاسخ: x = +.

مثال 3. مقدار کسر را بیابید. (در کسر اختلاف حاصل ضرب کسینوس های هفتاد و پنج درجه و شصت و پنج درجه و حاصل ضرب سینوس های هفتاد و پنج درجه و شصت و پنج درجه است و در مخرج اختلاف حاصل ضرب سینوس است. از هشتاد و پنج درجه و کسینوس سی و پنج درجه و حاصلضرب کسینوس هشتاد و پنج درجه و سینوس سی و پنج درجه).

راه حل. در صورت‌دهنده این کسر، می‌توان اختلاف را در کسینوس مجموع آرگومان‌های 75 درجه و 65 درجه و در مخرج، تفاوت را در سینوس تفاضل آرگومان‌ها جمع کرد. 85 درجه و 35 درجه ما گرفتیم

پاسخ 1.

مثال 4. معادله را حل کنید: cos(-x) + sin(-x) = 1 (کسینوس اختلاف پی در چهار و x به اضافه سینوس اختلاف پی در چهار و x برابر با یک است).

راه حل. بیایید فرمول های تفاوت کسینوس و تفاوت سینوس را اعمال کنیم.

نمایش دهید فرمول کلیتفاوت کسینوس

سپس cos (-x) = cos cos x + sinsinх

فرمول کلی اختلاف سینوس را نشان دهید

و سین (-х)= گناه cosх - cos sinх

این عبارات را در معادله cos(-x) + sin(-x) = 1 جایگزین کنید و بدست آورید:

cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1،

از آنجایی که cos= و sin= معنی سینوس و کسینوس را به جدول نشان دهید

دریافت می کنیم ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1،

ترم دوم و چهارم مخالف یکدیگر هستند، بنابراین یکدیگر را خنثی می کنند و ترک می کنند:

∙ cos + ∙ cos = 1،

بیا تصمیم بگیریم معادله داده شدهو ما آن را دریافت می کنیم

2∙ ∙ cos x= 1،

از آنجایی که قبلاً می دانیم که معادله cos = a یک راه حل دارد تی = آرکوسآ+ 2πک، و از آنجایی که t=x داریم، a = دریافت می کنیم

x = arccos + 2πn،

و از آنجایی که مقدار arccos است، پس cos =

فرمول های حاصل از مجموع و تفاضل سینوس ها و کسینوس ها برای دو زاویه α و β به ما امکان می دهند از مجموع این زوایا به حاصل ضرب زوایای α + β 2 و α - β 2 حرکت کنیم. اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که نباید فرمول های حاصل از مجموع و تفاضل سینوس ها و کسینوس ها را با فرمول های سینوس ها و کسینوس های مجموع و تفاوت اشتباه بگیرید. در زیر این فرمول ها را فهرست می کنیم، مشتقات آنها را ارائه می دهیم و نمونه هایی از کاربرد را برای مسائل خاص نشان می دهیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فرمول های مجموع و تفاضل سینوس ها و کسینوس ها

بیایید بنویسیم که فرمول های حاصل جمع و تفاوت برای سینوس ها و کسینوس ها چگونه است

فرمول های حاصل جمع و تفاوت برای سینوس ها

گناه α + گناه β = 2 گناه α + β 2 cos α - β 2 گناه α - گناه β = 2 گناه α - β 2 cos α + β 2

فرمول های حاصل جمع و تفاوت برای کسینوس ها

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 ، cos α - cos β = 2 گناه α + β 2 · β - α 2

این فرمول ها برای هر زاویه α و β معتبر هستند. زوایای α + β 2 و α - β 2 را به ترتیب نیم مجموع و نیم تفاضل زوایای آلفا و بتا می گویند. اجازه دهید فرمول هر فرمول را ارائه دهیم.

تعاریف فرمول های حاصل از مجموع و تفاوت سینوس ها و کسینوس ها

مجموع سینوس های دو زاویهبرابر است با دو برابر حاصل ضرب سینوس مجموع نیم این زوایا و کسینوس نیم تفاضل.

تفاوت سینوس های دو زاویهبرابر است با دو برابر حاصل ضرب سینوس نیم تفاضل این زوایا و کسینوس نیم حاصل.

مجموع کسینوس های دو زاویهبرابر است با دو برابر حاصل ضرب کسینوس نیم جمع و کسینوس نیم تفاضل این زوایا.

تفاوت کسینوس های دو زاویهبرابر است با دو برابر حاصل ضرب سینوس نیم مجموع و کسینوس نیم تفاضل این زوایا که با علامت منفی گرفته می شود.

استخراج فرمول های حاصل از مجموع و تفاضل سینوس ها و کسینوس ها

برای استخراج فرمول های حاصل از مجموع و تفاضل سینوس و کسینوس دو زاویه از فرمول های جمع استفاده می شود. بیایید آنها را در زیر فهرست کنیم

sin (α + β) = گناه α · cos β + cos α · گناه β sin (α - β) = گناه α · cos β - cos α · گناه β cos (α + β) = cos α · cos β - گناه α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

بیایید خود زوایا را نیز به صورت مجموع نیم حاصل و نیم تفاوت تصور کنیم.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

ما مستقیماً به استخراج فرمول های مجموع و تفاوت برای sin و cos می رویم.

استخراج فرمول مجموع سینوس ها

در مجموع sin α + sin β، عبارات این زوایای داده شده در بالا را جایگزین α و β می کنیم. ما گرفتیم

گناه α + گناه β = گناه α + β 2 + α - β 2 + گناه α + β 2 - α - β 2

اکنون فرمول جمع را به عبارت اول اعمال می کنیم و در مورد دوم - فرمول سینوس تفاوت زاویه (فرمول های بالا را ببینید)

sin α + β 2 + α - β 2 = گناه α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = گناه α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = گناه α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 پرانتزها را باز کنید، عبارت های مشابه را اضافه کنید و فرمول مورد نیاز را بدست آورید.

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 سین α - β 2 = = 2 گناه α + β 2 cos α - β 2

مراحل استخراج فرمول های باقی مانده مشابه است.

استخراج فرمول تفاضل سینوس ها

گناه α - گناه β = گناه α + β 2 + α - β 2 - گناه α + β 2 - α - β 2 گناه α + β 2 + α - β 2 - گناه α + β 2 - α - β 2 = گناه α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 گناه α - β 2 cos α + β 2

استخراج فرمول مجموع کسینوس ها

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

استخراج فرمول تفاضل کسینوس

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

نمونه هایی از حل مسائل عملی

ابتدا، اجازه دهید یکی از فرمول ها را با جایگزین کردن مقادیر زاویه خاص در آن بررسی کنیم. فرض کنید α = π 2، β = π 6. اجازه دهید مقدار مجموع سینوس های این زوایا را محاسبه کنیم. ابتدا از جدول مقادیر پایه استفاده می کنیم توابع مثلثاتیو سپس فرمول حاصل از مجموع سینوس ها را اعمال کنید.

مثال 1. بررسی فرمول مجموع سینوس های دو زاویه

α = π 2، β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 سین π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

حال اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که مقادیر زاویه با مقادیر اصلی ارائه شده در جدول متفاوت است. بگذارید α = 165 درجه، β = 75 درجه. بیایید تفاوت بین سینوس های این زوایا را محاسبه کنیم.

مثال 2. کاربرد فرمول تفاضل سینوس ها

α = 165 درجه، β = 75 درجه گناه α - گناه β = گناه 165 درجه - گناه 75 درجه گناه 165 - گناه 75 = 2 گناه 165 درجه - گناه 75 درجه 2 cos 165 درجه + گناه 75 درجه 2 = = 2 گناه 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

با استفاده از فرمول های حاصل از مجموع و تفاضل سینوس ها و کسینوس ها می توانید از مجموع یا تفاضل به حاصلضرب توابع مثلثاتی حرکت کنید. اغلب به این فرمول ها، فرمول هایی برای حرکت از مجموع به حاصلضرب می گویند. فرمول های مجموع و تفاضل سینوس ها و کسینوس ها به طور گسترده ای در حل استفاده می شود معادلات مثلثاتیو هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید