درس و ارائه با موضوع: "تابع y=sin(x). تعاریف و خواص"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین Integral برای درجه 10 از 1C
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف ساخت و ساز تعاملی برای کلاس های 7-10
محیط نرم افزار "1C: Mathematical Constructor 6.1"

آنچه ما مطالعه خواهیم کرد:

• ویژگی های تابع Y=sin(X).
• نمودار تابع
• نحوه ساخت نمودار و مقیاس آن
• مثال ها.

خواص سینوس Y=sin(X)

بچه ها ما قبلا با توابع مثلثاتی آشنا شدیم استدلال عددی. آیا آنها را به خاطر می آورید؟

بیایید نگاه دقیق تری به تابع Y=sin(X) بیندازیم.

بیایید برخی از ویژگی های این تابع را بنویسیم:
1) دامنه تعریف مجموعه اعداد حقیقی است.
2) تابع فرد است. بیایید تعریف را به خاطر بسپاریم تابع فرد. یک تابع فرد نامیده می شود اگر تساوی برقرار باشد: y(-x)=-y(x). همانطور که از فرمول های شبح به یاد داریم: sin(-x)=-sin(x). این تعریف برآورده شده است، به این معنی که Y=sin(X) یک تابع فرد است.
3) تابع Y=sin(X) در قطعه افزایش می یابد و در قطعه کاهش می یابد [π/2; π]. وقتی در امتداد ربع اول حرکت می کنیم (در خلاف جهت عقربه های ساعت)، مقدار افزایش می یابد و وقتی در ربع دوم حرکت می کنیم کاهش می یابد.

4) تابع Y=sin(X) از پایین و از بالا محدود می شود. این خاصیت از این واقعیت ناشی می شود که
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) کوچکترین مقدار تابع -1 است (در x = - π/2+ πk). بزرگترین مقدار تابع 1 است (در x = π/2+ πk).

بیایید از خواص 1-5 برای رسم تابع Y=sin(X) استفاده کنیم. ما نمودار خود را به صورت متوالی و با استفاده از ویژگی های خود خواهیم ساخت. بیایید شروع به ساخت یک نمودار در بخش کنیم.

باید به مقیاس توجه ویژه ای شود. در محور ارتین، گرفتن یک قطعه واحد برابر با 2 سلول راحت تر است، و در محور آبسیسا، راحت تر است که یک قطعه واحد (دو سلول) برابر با π/3 بگیرید (شکل را ببینید).

رسم تابع سینوس x، y=sin(x)

بیایید مقادیر تابع را در بخش خود محاسبه کنیم:

بیایید با در نظر گرفتن ویژگی سوم، یک نمودار با استفاده از نقاط خود بسازیم.

جدول تبدیل فرمول های ارواح

بیایید از خاصیت دوم استفاده کنیم، که می گوید تابع ما فرد است، به این معنی که می توان آن را به صورت متقارن نسبت به مبدا منعکس کرد:

می دانیم که sin(x+2π) = sin(x). این بدان معنی است که در بازه [- π; π] نمودار شبیه به بخش [π; 3π] یا [-3π; - π] و غیره. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که نمودار شکل قبل را در کل محور x با دقت دوباره ترسیم کنیم.

نمودار تابع Y=sin(X) سینوسی نامیده می شود.

بیایید با توجه به نمودار ساخته شده چند ویژگی دیگر بنویسیم:
6) تابع Y=sin(X) در هر بخش از فرم افزایش می یابد: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk]، k یک عدد صحیح است و در هر بخش از شکل کاهش می‌یابد: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk]، k – عدد صحیح.
7) تابع Y=sin(X) یک تابع پیوسته است. بیایید به نمودار تابع نگاه کنیم و مطمئن شویم که تابع ما هیچ شکستی ندارد، این به معنای تداوم است.
8) محدوده مقادیر: بخش [- 1; 1]. این از نمودار تابع نیز به وضوح قابل مشاهده است.
9) تابع Y=sin(X) - تابع دوره ای. بیایید دوباره به نمودار نگاه کنیم و ببینیم که تابع در فواصل زمانی معین مقادیر یکسانی را می گیرد.

نمونه هایی از مشکلات سینوس

1. معادله sin(x)= x-π را حل کنید

راه حل: بیایید 2 نمودار از تابع بسازیم: y=sin(x) و y=x-π (شکل را ببینید).
نمودارهای ما در یک نقطه A (π; 0) قطع می شوند، این پاسخ است: x = π

2. تابع y=sin(π/6+x)-1 را رسم کنید

راه حل: نمودار مورد نظر با حرکت نمودار تابع y=sin(x) π/6 واحد به چپ و 1 واحد به پایین بدست می آید.

راه حل: بیایید تابع را رسم کنیم و بخش خود را [π/2; 5π/4].
نمودار تابع نشان می دهد که بزرگترین و کوچکترین مقادیردر انتهای بخش، به ترتیب در نقاط π/2 و 5π/4 به دست می‌آیند.
پاسخ: sin(π/2) = 1 – بزرگترین مقدار، sin(5π/4) = کوچکترین مقدار.

مشکلات سینوسی برای راه حل مستقل

• معادله sin(x)= x+3π، sin(x)= x-5π را حل کنید
• تابع y=sin(π/3+x)-2 را رسم کنید
• تابع y=sin(-2π/3+x)+1 را رسم کنید
• بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع y=sin(x) را در قسمت پیدا کنید
• بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع y=sin(x) را در بازه [- π/3; 5π/6]

در این درس نگاهی دقیق به تابع y = sin x، ویژگی‌های اصلی و نمودار آن خواهیم داشت. در ابتدای درس به تعریف تابع مثلثاتی y = sin t روی دایره مختصات می پردازیم و نمودار تابع را روی دایره و خط در نظر می گیریم. بیایید تناوب این تابع را در نمودار نشان دهیم و ویژگی های اصلی تابع را در نظر بگیریم. در پایان درس با استفاده از نمودار یک تابع و ویژگی های آن چندین مسئله ساده را حل می کنیم.

موضوع: توابع مثلثاتی

درس: تابع y=sinx، خصوصیات اساسی و نمودار آن

هنگام در نظر گرفتن یک تابع، مهم است که هر مقدار آرگومان را با یک مقدار تابع واحد مرتبط کنیم. این قانون مکاتباتو تابع نامیده می شود.

اجازه دهید قانون مطابقت را برای .

هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه واحد است دایره واحدیک نقطه دارای یک مصداق است که به آن سینوس عدد می گویند (شکل 1).

هر مقدار آرگومان با یک مقدار تابع منفرد مرتبط است.

خواص آشکار از تعریف سینوس به دست می آید.

شکل نشان می دهد که زیرا ترتیب یک نقطه روی دایره واحد است.

نمودار تابع را در نظر بگیرید. اجازه دهید تفسیر هندسی استدلال را به یاد بیاوریم. آرگومان زاویه مرکزی است که با رادیان اندازه گیری می شود. در امتداد محور اعداد یا زوایا واقعی را بر حسب رادیان رسم می کنیم و در امتداد محور مقادیر مربوط به تابع را ترسیم می کنیم.

به عنوان مثال، یک زاویه روی دایره واحد مربوط به نقطه ای از نمودار است (شکل 2).

ما نموداری از تابع در ناحیه بدست آورده ایم اما با دانستن دوره سینوس می توانیم نمودار تابع را در کل دامنه تعریف به تصویر بکشیم (شکل 3).

دوره اصلی تابع به این معنی است که نمودار را می توان در یک بخش به دست آورد و سپس در کل دامنه تعریف ادامه داد.

ویژگی های تابع را در نظر بگیرید:

1) محدوده تعریف:

2) محدوده مقادیر:

3) تابع فرد:

4) کوچکترین دوره مثبت:

5) مختصات نقاط تقاطع نمودار با محور آبسیسا:

6) مختصات نقطه تقاطع گراف با محور مختصات:

7) فواصل زمانی که تابع مقادیر مثبت می گیرد:

8) فواصل زمانی که تابع مقادیر منفی می گیرد:

9) افزایش فواصل:

10) کاهش فواصل:

11) حداقل امتیاز:

12) حداقل توابع:

13) حداکثر امتیاز:

14) حداکثر توابع:

ما به ویژگی های تابع و نمودار آن نگاه کردیم. هنگام حل مشکلات، از ویژگی ها مکرراً استفاده می شود.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). آموزش برای موسسات آموزشی(سطح نمایه) ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Shvartsburd S.I. جبر و حساب دیفرانسیل و انتگرال برای کلاس 10 ( آموزشبرای دانش آموزان مدارس و کلاس هایی با مطالعه عمیق ریاضیات).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. مطالعه عمیقجبر و تحلیل ریاضی.-م.: آموزش و پرورش، 1376.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (تدوین شده توسط M.I. Skanavi).- م.: دبیرستان، 1371.

6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. شبیه ساز جبری.-K.: A.S.K.، 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. مسائل مربوط به جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای برای دانش آموزان کلاس 10-11 موسسات آموزش عمومی). - M.: Prosveshchenie، 2003.

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای نمرات 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

منابع وب اضافی

3. پورتال آموزشیبرای آمادگی برای امتحانات ().

>>ریاضیات: توابع y = sin x، y = cos x، خواص و نمودارهای آنها

توابع y = sin x، y = cos x، خصوصیات و نمودارهای آنها

در این بخش به برخی از خصوصیات توابع y = sin x، y = cos x پرداخته و نمودارهای آنها را می سازیم.

1. تابع y = sin X.

در بالا، در § 20، ما قاعده‌ای را فرموله کردیم که به هر عدد t اجازه می‌دهد با یک عدد cos t مرتبط شود، یعنی. تابع y = sin t را مشخص کرد. اجازه دهید به برخی از خواص آن توجه کنیم.

ویژگی های تابع u = sin t.

دامنه تعریف مجموعه K اعداد حقیقی است.
این از این واقعیت ناشی می شود که هر عدد 2 با یک نقطه M(1) در دایره عددی مطابقت دارد که دارای یک ترتیب کاملاً مشخص است. این دستور cos t است.

u = sin t یک تابع فرد است.

این از این واقعیت ناشی می شود که همانطور که در § 19 ثابت شد، برای هر t برابری وجود دارد
این بدان معنی است که نمودار تابع u = sin t، مانند نمودار هر تابع فرد، با توجه به مبدأ در سیستم مختصات مستطیلی tOi متقارن است.

تابع u = sin t در بازه افزایش می یابد
این از این واقعیت ناشی می شود که وقتی یک نقطه در امتداد یک چهارم اول حرکت می کند دایره اعدادترتیب به تدریج افزایش می یابد (از 0 به 1 - به شکل 115 مراجعه کنید)، و هنگامی که نقطه در امتداد ربع دوم دایره عددی حرکت می کند، ترتیب به تدریج کاهش می یابد (از 1 به 0 - به شکل 116 مراجعه کنید).

تابع u = sint هم در زیر و هم از بالا محدود می شود. این از این واقعیت ناشی می شود که همانطور که در § 19 دیدیم، برای هر t نابرابری برقرار است

(تابع در هر نقطه از فرم به این مقدار می رسد (تابع در هر نقطه از فرم به این مقدار می رسد
با استفاده از ویژگی های به دست آمده، نموداری از تابع مورد علاقه خود خواهیم ساخت. اما (توجه!) به جای u - sin t می نویسیم y = sin x (بالاخره ما عادت داریم y = f(x) بنویسیم و نه u = f(t)). این بدان معنی است که ما یک نمودار در سیستم مختصات xOy معمولی (و نه toOy) خواهیم ساخت.

بیایید جدولی از مقادیر تابع y - sin x ایجاد کنیم:

اظهار نظر.

اجازه دهید یکی از نسخه های منشاء اصطلاح "سینوس" را ارائه دهیم. در لاتین، سینوس به معنای خم شدن (رشته کمانی) است.

نمودار ساخته شده تا حدودی این اصطلاح را توجیه می کند.

خطی که به عنوان نمودار تابع y = sin x عمل می کند، موج سینوسی نامیده می شود. آن قسمت از سینوسی که در شکل نشان داده شده است. 118 یا 119 موج سینوسی نامیده می شود و آن قسمت از موج سینوسی که در شکل نشان داده شده است. 117، نیمه موج یا قوس موج سینوسی نامیده می شود.

2. تابع y = cos x.

مطالعه تابع y = cos x می تواند تقریباً طبق همان طرحی انجام شود که در بالا برای تابع y = sin x استفاده شد. اما مسیری را که سریعتر به هدف می رسد انتخاب خواهیم کرد. اول، ما دو فرمول را ثابت خواهیم کرد که به خودی خود مهم هستند (این را در دبیرستان خواهید دید)، اما در حال حاضر فقط اهمیت کمکی برای اهداف ما دارند.

برای هر مقدار t برابری های زیر معتبر است:

اثبات. بگذارید عدد t با نقطه M دایره عددی n و عدد * + - نقطه P مطابقت داشته باشد (شکل 124؛ برای سادگی، نقطه M را در ربع اول گرفتیم). کمان های AM و BP برابر هستند و مثلث های قائم الزاویه OKM و OLBP به ترتیب برابر هستند. این به معنای O K = Ob، MK = Pb است. از این برابری ها و از محل مثلث های OCM و OBP در سیستم مختصات، دو نتیجه می گیریم:

1) ترتیب نقطه P از نظر قدر مطلق و علامت با آبسیسا نقطه M منطبق است. این به آن معنا است

2) ابسیسا نقطه P از نظر قدر مطلق با مختصات نقطه M برابر است، اما از نظر علامت با آن تفاوت دارد. این به آن معنا است

تقریباً همین استدلال در مواردی انجام می شود که نقطه M به سه ماهه اول تعلق ندارد.
بیایید از فرمول استفاده کنیم (این فرمولی است که در بالا ثابت شده است، اما به جای متغیر t از متغیر x استفاده می کنیم). این فرمول چه چیزی به ما می دهد؟ این به ما اجازه می‌دهد تا ادعا کنیم که توابع

یکسان هستند، به این معنی که نمودارهای آنها منطبق هستند.
بیایید تابع را رسم کنیم برای انجام این کار، اجازه دهید به یک سیستم مختصات کمکی با مبدا در یک نقطه برویم (خط نقطه چین در شکل 125 رسم شده است). بیایید تابع y = sin x را به سیستم مختصات جدید متصل کنیم - این نمودار تابع خواهد بود. (شکل 125)، یعنی. نمودار تابع y - cos x. مانند نمودار تابع y = sin x، موج سینوسی نامیده می شود (که کاملا طبیعی است).

ویژگی های تابع y = cos x.

y = cos x یک تابع زوج است.

مراحل ساخت در شکل نشان داده شده است. 126:

1) یک نمودار از تابع y = cos x بسازید (به طور دقیق تر، یک نیم موج).
2) با کشش نمودار ساخته شده از محور x با ضریب 0.5، یک نیم موج از نمودار مورد نیاز را به دست می آوریم.
3) با استفاده از نیم موج حاصل، کل نمودار تابع y = 0.5 cos x را می سازیم.

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین وظایف و تمرینات کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، سوالات بحث تکلیف منزل سوالات بلاغیاز دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و فرهنگ لغت اضافی اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کامل طرح تقویمبرای یک سال دستورالعمل هابرنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی

در این درس نگاهی دقیق به تابع y = sin x، ویژگی‌های اصلی و نمودار آن خواهیم داشت. در ابتدای درس به تعریف تابع مثلثاتی y = sin t روی دایره مختصات می پردازیم و نمودار تابع را روی دایره و خط در نظر می گیریم. بیایید تناوب این تابع را در نمودار نشان دهیم و ویژگی های اصلی تابع را در نظر بگیریم. در پایان درس با استفاده از نمودار یک تابع و ویژگی های آن چندین مسئله ساده را حل می کنیم.

موضوع: توابع مثلثاتی

درس: تابع y=sinx، خصوصیات اساسی و نمودار آن

هنگام در نظر گرفتن یک تابع، مهم است که هر مقدار آرگومان را با یک مقدار تابع واحد مرتبط کنیم. این قانون مکاتباتو تابع نامیده می شود.

اجازه دهید قانون مطابقت را برای .

هر عدد حقیقی مربوط به یک نقطه از دایره واحد است.یک نقطه دارای یک مصداق است که به آن سینوس عدد می گویند (شکل 1).

هر مقدار آرگومان با یک مقدار تابع منفرد مرتبط است.

خواص آشکار از تعریف سینوس به دست می آید.

شکل نشان می دهد که زیرا ترتیب یک نقطه روی دایره واحد است.

نمودار تابع را در نظر بگیرید. اجازه دهید تفسیر هندسی استدلال را به یاد بیاوریم. آرگومان زاویه مرکزی است که با رادیان اندازه گیری می شود. در امتداد محور اعداد یا زوایا واقعی را بر حسب رادیان رسم می کنیم و در امتداد محور مقادیر مربوط به تابع را ترسیم می کنیم.

به عنوان مثال، یک زاویه روی دایره واحد مربوط به نقطه ای از نمودار است (شکل 2).

ما نموداری از تابع در ناحیه بدست آورده ایم اما با دانستن دوره سینوس می توانیم نمودار تابع را در کل دامنه تعریف به تصویر بکشیم (شکل 3).

دوره اصلی تابع به این معنی است که نمودار را می توان در یک بخش به دست آورد و سپس در کل دامنه تعریف ادامه داد.

ویژگی های تابع را در نظر بگیرید:

1) محدوده تعریف:

2) محدوده مقادیر:

3) تابع فرد:

4) کوچکترین دوره مثبت:

5) مختصات نقاط تقاطع نمودار با محور آبسیسا:

6) مختصات نقطه تقاطع گراف با محور مختصات:

7) فواصل زمانی که تابع مقادیر مثبت می گیرد:

8) فواصل زمانی که تابع مقادیر منفی می گیرد:

9) افزایش فواصل:

10) کاهش فواصل:

11) حداقل امتیاز:

12) حداقل توابع:

13) حداکثر امتیاز:

14) حداکثر توابع:

ما به ویژگی های تابع و نمودار آن نگاه کردیم. هنگام حل مشکلات، از ویژگی ها مکرراً استفاده می شود.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Shvartsburd S.I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10 (کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضی) - M.: Prosveshchenie، 1996.

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. بررسی عمیق جبر و تحلیل ریاضی.-م.: آموزش و پرورش، 1376.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (تدوین شده توسط M.I. Skanavi).- م.: دبیرستان، 1371.

6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. شبیه ساز جبری.-K.: A.S.K.، 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. مسائل مربوط به جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای برای دانش آموزان کلاس 10-11 موسسات آموزش عمومی). - M.: Prosveshchenie، 2003.

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای نمرات 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

منابع وب اضافی

3. پورتال آموزشی آمادگی آزمون ().

ما متوجه شدیم که رفتار توابع مثلثاتی، و توابع y = گناه x به خصوص، در کل خط اعداد (یا برای همه مقادیر آرگومان ایکس) کاملاً با رفتار آن در بازه مشخص می شود 0 < ایکس < π / 2 .

بنابراین، ابتدا تابع را رسم می کنیم y = گناه x دقیقا در این فاصله

بیایید جدول زیر از مقادیر تابع خود را بسازیم.

با علامت گذاری نقاط مربوطه در صفحه مختصات و اتصال آنها با یک خط صاف، منحنی نشان داده شده در شکل را به دست می آوریم.

منحنی به دست آمده را می‌توان به صورت هندسی، بدون تهیه جدولی از مقادیر تابع، ساخت y = گناه x .

1. ربع اول یک دایره به شعاع 1 را به 8 قسمت مساوی تقسیم کنید، مختصات نقاط تقسیم دایره سینوس های زوایای مربوطه است.

2. ربع اول دایره مربوط به زوایای 0 تا است π / 2 . بنابراین، در محور ایکسبیایید یک قطعه برداریم و آن را به 8 قسمت مساوی تقسیم کنیم.

3. خطوط مستقیم موازی با محورها رسم می کنیم ایکسو از نقاط تقسیم عمود می سازیم تا زمانی که با خطوط افقی تلاقی کنند.

4. نقاط تقاطع را با یک خط صاف وصل کنید.

حالا بیایید به فاصله زمانی نگاه کنیم π / 2 < ایکس < π .
هر مقدار آرگومان ایکساز این فاصله را می توان به صورت نمایش داد

ایکس = π / 2 + φ

جایی که 0 < φ < π / 2 . طبق فرمول های کاهش

گناه ( π / 2 + φ ) = cos φ = گناه ( π / 2 - φ ).

نقاط محور ایکسبا آبسیسا π / 2 + φ و π / 2 - φ متقارن با یکدیگر در مورد نقطه محور ایکسبا آبسیسا π / 2 ، و سینوس ها در این نقاط یکسان هستند. این به ما امکان می دهد نموداری از تابع را بدست آوریم y = گناه x در فاصله [ π / 2 , π ] به سادگی با نمایش متقارن نمودار این تابع در بازه نسبت به خط مستقیم ایکس = π / 2 .

در حال حاضر با استفاده از ملک تابع برابری فرد y = گناه x،

گناه (- ایکس) = - گناه ایکس,

رسم این تابع در بازه [- آسان است π , 0].

تابع y = sin x تناوبی با دوره 2π است ;. بنابراین برای ساخت کل نمودار این تابع کافی است منحنی نشان داده شده در شکل را به صورت دوره ای با نقطه به چپ و راست ادامه دهید. 2π .

منحنی حاصل نامیده می شود سینوسی . نمودار تابع را نشان می دهد y = گناه x.

شکل به خوبی تمام ویژگی های تابع را نشان می دهد y = گناه x ، که قبلا ثابت کرده ایم. اجازه دهید این خواص را یادآوری کنیم.

1) عملکرد y = گناه x برای همه مقادیر تعریف شده است ایکس ، بنابراین دامنه آن مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است.

2) عملکرد y = گناه x محدود. تمام مقادیری که می پذیرد بین 1- و 1 است که شامل این دو عدد می شود. در نتیجه، دامنه تغییرات این تابع توسط نابرابری -1 تعیین می شود < در < 1. وقتی ایکس = π / 2 + 2 هزار π تابع می گیرد بالاترین ارزش ها، برابر با 1 و برای x = - π / 2 + 2 هزار π - کوچکترین مقادیر برابر با - 1 است.

3) عملکرد y = گناه x فرد است (سینوسی نسبت به مبدا متقارن است).

4) عملکرد y = گناه x دوره ای با دوره 2 π .

5) در فواصل 2n π < ایکس < π + 2n π (n هر عدد صحیحی است) مثبت است و در فواصل زمانی π + 2 هزار π < ایکس < 2π + 2 هزار π (k هر عدد صحیحی است) منفی است. در x = k π تابع به صفر می رسد. بنابراین، این مقادیر آرگومان x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) تابع صفر نامیده می شوند y = گناه x

6) در فواصل زمانی - π / 2 + 2n π < ایکس < π / 2 + 2n π تابع y = گناه ایکس به صورت یکنواخت و در فواصل زمانی افزایش می یابد π / 2 + 2 هزار π < ایکس < 3π / 2 + 2 هزار π یکنواخت کاهش می یابد.

شما باید به رفتار تابع توجه ویژه ای داشته باشید y = گناه x نزدیک نقطه ایکس = 0 .

به عنوان مثال، sin 0.012 ≈ 0.012; sin(-0.05) ≈ -0,05;

گناه 2 درجه = گناه π 2 / 180 = گناه π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

در عین حال، باید توجه داشت که برای هر مقدار x

| گناه ایکس| < | x | . (1)

در واقع، بگذارید شعاع دایره نشان داده شده در شکل برابر با 1 باشد،
آ / AOB = ایکس.

بعد گناه کن ایکس= AC اما AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол ایکس. طول این کمان آشکارا برابر است با ایکس، از آنجایی که شعاع دایره 1 است. بنابراین، در 0< ایکس < π / 2

گناه x< х.

از این رو، به دلیل عجیب بودن تابع y = گناه x به راحتی می توان نشان داد که وقتی - π / 2 < ایکس < 0

| گناه ایکس| < | x | .

بالاخره کی ایکس = 0

| گناه x | = | x |.

بنابراین، برای | ایکس | < π / 2 نابرابری (1) ثابت شده است. در واقع این نابرابری برای | نیز صادق است ایکس | > π / 2 با توجه به اینکه | گناه ایکس | < 1، الف π / 2 > 1

تمرینات

1. بر اساس نمودار تابع y = گناه x تعیین: الف) گناه 2; ب) گناه 4; ج) گناه (-3).

2. طبق نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید کدام عدد از بازه
[ - π / 2 , π / 2 ] دارای سینوس برابر با: الف) 0.6; ب) -0.8.

3. با توجه به نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید کدام اعداد دارای سینوس هستند،
برابر با 1/2.

4. تقریباً (بدون استفاده از جداول) پیدا کنید: a) sin 1°; ب) گناه 0.03;
ج) گناه (-0.015); د) گناه (-2°30").