برای تمام مقادیر آرگومان (از دامنه کلی) اجرا می شود.

فرمول های جایگزینی جهانی

با استفاده از این فرمول ها، تبدیل هر عبارتی که حاوی توابع مثلثاتی مختلف از یک آرگومان است، به یک عبارت منطقی از یک تابع آسان است. tg (α /2):

فرمول های تبدیل مبالغ به محصولات و محصولات به مجموع.

قبلاً از فرمول های فوق برای ساده سازی محاسبات استفاده می شد. آنها با استفاده از جداول لگاریتمی و بعداً - یک قانون اسلاید محاسبه کردند، زیرا لگاریتم ها برای ضرب اعداد مناسب هستند. به همین دلیل است که هر عبارت اصلی به شکلی کاهش می یابد که برای لگاریتم سازی مناسب باشد، یعنی به محصولات مثلا:

2 گناه α گناه ب = cos (α - ب) - cos (α + ب);

2 cos α cos ب = cos (α - ب) + cos (α + ب);

2 گناه α cos ب = گناه (α - ب) + گناه (α + ب).

زاویه ای که مخصوصاً برای آن

فرمول های توابع مماس و کتانژانت به راحتی از موارد فوق بدست می آیند.

فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;
گناه 3α = (3 گناهα - گناه 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

با استفاده از این فرمول ها، معادلات مثلثاتی به راحتی به معادلاتی با توان های کمتر کاهش می یابد. به همین ترتیب، فرمول های کاهش برای بیشتر مشتق شده است درجات بالا گناهو cos.

بیان توابع مثلثاتی از طریق یکی از آنها از همان آرگومان.

علامت جلوی ریشه به محل زاویه یک چهارم بستگی دارد α .

روابط بین توابع مثلثاتی اصلی - سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت - داده شده است. فرمول های مثلثاتی. و از آنجایی که ارتباطات بسیار زیادی بین توابع مثلثاتی وجود دارد، این فراوانی فرمول های مثلثاتی را توضیح می دهد. برخی از فرمول ها توابع مثلثاتی یک زاویه را به هم متصل می کنند، برخی دیگر - توابع یک زاویه چندگانه، برخی دیگر - به شما امکان می دهند درجه را کاهش دهید، چهارم - تمام توابع را از طریق مماس نیم زاویه و غیره بیان کنید.

در این مقاله تمام فرمول های مثلثاتی را که برای حل اکثریت قریب به اتفاق مسائل مثلثاتی کافی هستند، به ترتیب فهرست می کنیم. برای سهولت در حفظ و استفاده، آنها را بر اساس هدف گروه بندی کرده و در جداول وارد می کنیم.

پیمایش صفحه.

هویت های مثلثاتی پایه

هویت های مثلثاتی پایهرابطه بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه را تعریف کنید. آنها از تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت و همچنین مفهوم دایره واحد پیروی می کنند. آنها به شما اجازه می دهند یک تابع مثلثاتی را بر حسب هر تابع دیگر بیان کنید.

برای توضیح دقیق این فرمول‌های مثلثاتی، مشتقات و مثال‌هایی از کاربرد آنها، به مقاله مراجعه کنید.

فرمول های کاهش

فرمول های کاهشاز خواص سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی می کنند، یعنی خاصیت تناوب را منعکس می کنند. توابع مثلثاتی، خاصیت تقارن و همچنین خاصیت جابجایی با زاویه معین. این فرمول های مثلثاتی به شما این امکان را می دهد که از کار با زوایای دلخواه به کار با زوایای بین صفر تا 90 درجه بروید.

منطق این فرمول ها، قانون یادگاری برای به خاطر سپردن آنها و نمونه هایی از کاربرد آنها را می توان در مقاله مطالعه کرد.

فرمول های اضافه

فرمول های جمع مثلثاتینشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی مجموع یا تفاضل دو زاویه بر حسب توابع مثلثاتی آن زوایا بیان می شود. این فرمول ها به عنوان مبنایی برای استخراج فرمول های مثلثاتی زیر عمل می کنند.

فرمول های دوتایی، سه گانه و غیره زاویه

فرمول های دوتایی، سه گانه و غیره زاویه (به آنها فرمول های چند زاویه ای نیز گفته می شود) نشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی دو، سه و غیره وجود دارد. زوایای () بر حسب توابع مثلثاتی یک زاویه بیان می شوند. اشتقاق آنها بر اساس فرمول های جمع است.

اطلاعات دقیق تر در فرمول های مقاله برای دو، سه و غیره جمع آوری شده است. زاویه

فرمول های نیم زاویه

فرمول های نیم زاویهنشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی یک نیم زاویه بر حسب کسینوس یک زاویه کامل بیان می شود. این فرمول های مثلثاتی از فرمول ها پیروی می کنند زاویه دوتایی.

نتیجه گیری و نمونه هایی از کاربرد آنها را می توان در مقاله یافت.

فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

فرمول های مثلثاتی برای کاهش درجهبرای تسهیل انتقال از درجات طبیعیتوابع مثلثاتی به سینوس و کسینوس در درجه اول، اما چندین زاویه. به عبارت دیگر، آنها به شما اجازه می دهند تا قدرت توابع مثلثاتی را به اول کاهش دهید.

فرمول های مجموع و تفاضل توابع مثلثاتی

هدف اصلی فرمول های مجموع و تفاضل توابع مثلثاتیرفتن به حاصل ضرب توابع است که در ساده سازی عبارات مثلثاتی بسیار مفید است. این فرمول ها نیز در حل بسیار مورد استفاده قرار می گیرند معادلات مثلثاتی، از آنجایی که آنها به شما امکان می دهند مجموع و اختلاف سینوس ها و کسینوس ها را فاکتور بگیرید.

فرمول حاصل ضرب سینوس، کسینوس و سینوس به کسینوس

انتقال از حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع یا تفاوت با استفاده از فرمول های حاصل ضرب سینوس ها، کسینوس ها و سینوس به کسینوس انجام می شود.

جایگزینی مثلثاتی جهانی

ما بررسی فرمول های اصلی مثلثات را با فرمول هایی که توابع مثلثاتی را بر حسب مماس نیم زاویه بیان می کنند کامل می کنیم. این جایگزین نامیده شد جایگزینی مثلثاتی جهانی. راحتی آن در این واقعیت نهفته است که همه توابع مثلثاتی بر حسب مماس نیم زاویه به طور منطقی بدون ریشه بیان می شوند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس نهم میانگین مدرسه/یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova; اد. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• باشماکوف ام. آی.جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی. برای کلاس های 10-11 میانگین مدرسه - ویرایش سوم - م.: آموزش و پرورش، 1372. - 351 ص: بیمار. - شابک 5-09-004617-4.
• جبرو آغاز تحلیل: Proc. برای کلاس های 10-11 آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov. - ویرایش چهاردهم - M.: آموزش و پرورش، 2004. - 384 ص.: بیمار - ISBN 5-09-013651-3.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

حق چاپ توسط دانش آموزان باهوش

تمامی حقوق محفوظ است.
توسط قانون کپی رایت محافظت می شود. هیچ بخشی از سایت، از جمله مطالب داخلی و ظاهر، را نمی توان به هر شکلی تکثیر کرد یا بدون اجازه کتبی قبلی صاحب حق چاپ استفاده کرد.

که در تحولات هویتی عبارات مثلثاتیاز تکنیک های جبری زیر می توان استفاده کرد: جمع و تفریق عبارت های یکسان. خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز ضرب و تقسیم بر یک مقدار؛ استفاده از فرمول های ضرب مختصر؛ تخصیص مربع کامل; تجزیه سه جمله ای درجه دومتوسط ضرب کننده ها؛ معرفی متغیرهای جدید برای ساده سازی تبدیل.

هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی که شامل کسر هستند، می توانید از خواص نسبت، کاهش کسر یا تبدیل کسر به مخرج مشترک. علاوه بر این، می توانید از انتخاب کل جزء کسر استفاده کنید، صورت و مخرج کسر را در یک مقدار ضرب کنید و همچنین در صورت امکان، همگن بودن صورت یا مخرج را در نظر بگیرید. در صورت لزوم، می توانید یک کسری را به عنوان مجموع یا تفاضل چند کسر ساده تر نشان دهید.

علاوه بر این، هنگام اعمال تمام روش های لازم برای تبدیل عبارات مثلثاتی، لازم است که به طور مداوم مساحت را در نظر بگیرید. ارزش های قابل قبولعبارات قابل تبدیل

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1.

محاسبه A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ گناه (3π/2 – x) گناه (2x –5π/2)) 2

راه حل.

از فرمول های کاهش به شرح زیر است:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

از این رو، به موجب فرمول های اضافه کردن آرگومان ها و هویت مثلثاتی اصلی، به دست می آوریم

A = (سین 2x cos x + cos 2x گناه x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = گناه 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= گناه 2 3x + cos 2 3x = 1

پاسخ 1.

مثال 2.

عبارت M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ را به یک محصول تبدیل کنید.

راه حل.

از فرمول های اضافه کردن آرگومان ها و فرمول های تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب بعد از گروه بندی مناسب، داریم.

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β - γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β - γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β - γ)/2) - (α + (β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

پاسخ: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

مثال 3.

نشان دهید که عبارت A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) برای همه x از R یک می گیرد و معنای مشابه. این مقدار را پیدا کنید.

راه حل.

در اینجا دو راه برای حل این مشکل وجود دارد. با استفاده از روش اول، با جداسازی یک مربع کامل و استفاده از فرمول های مثلثاتی اولیه مربوطه، به دست می آوریم.

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

حل مسئله به روش دوم، A ​​را تابعی از x از R در نظر بگیرید و مشتق آن را محاسبه کنید. پس از تحولات به دست می آوریم

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

از این رو، با توجه به معیار ثبات یک تابع قابل تفکیک در یک بازه، نتیجه می گیریم که

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4، x € R.

پاسخ: A = 3/4 برای x € R.

تکنیک های اصلی برای اثبات هویت مثلثاتی عبارتند از:

آ)کاهش سمت چپ هویت به راست از طریق دگرگونی های مناسب.
ب)کاهش سمت راست هویت به سمت چپ؛
V)کاهش سمت راست و چپ هویت به یک شکل.
ز)به صفر رساندن تفاوت بین سمت چپ و راست هویت در حال اثبات.

مثال 4.

بررسی کنید که cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

راه حل.

تبدیل سمت راست این هویت بر اساس متناظر فرمول های مثلثاتی، ما داریم

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

سمت راست هویت به سمت چپ کاهش می یابد.

مثال 5.

ثابت کنید که sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2، اگر α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث باشند.

راه حل.

با توجه به اینکه α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث هستند، آن را به دست می آوریم

α + β + γ = π و بنابراین γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

برابری اولیه ثابت شده است.

مثال 6.

ثابت کنید برای اینکه یکی از زوایای α، β، γ مثلث برابر با 60 درجه باشد، لازم و کافی است که sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 باشد.

راه حل.

شرط این مشکل هم مستلزم اثبات وجوب و هم کفایی است.

اول بیایید ثابت کنیم ضرورت.

می توان نشان داد که

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

بنابراین، با در نظر گرفتن cos (3/2 60°) = cos 90° = 0، به دست می آوریم که اگر یکی از زوایای α، β یا γ برابر با 60 درجه باشد، پس

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 و بنابراین، sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

حالا ثابت کنیم کفایتشرایط مشخص شده

اگر sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0، پس cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0، و بنابراین

یا cos (3α/2) = 0، یا cos (3β/2) = 0، یا cos (3γ/2) = 0.

از این رو،

یا 3α/2 = π/2 + πk، یعنی. α = π/3 + 2πk/3،

یا 3β/2 = π/2 + πk، یعنی. β = π/3 + 2πk/3،

یا 3γ/2 = π/2 + πk،

آن ها γ = π/3 + 2πk/3، که در آن k ε Z.

از اینکه α، β، γ زوایای یک مثلث هستند، داریم

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

بنابراین، برای α = π/3 + 2πk/3 یا β = π/3 + 2πk/3 یا

γ = π/3 + 2πk/3 از همه kεZ فقط k = 0 مناسب است.

نتیجه می شود که α = π/3 = 60 درجه، یا β = π/3 = 60 درجه، یا γ = π/3 = 60 درجه.

بیانیه ثابت شده است.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه عبارات مثلثاتی را ساده کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.