خلاصه درس با موضوع "هویت ها. تبدیل های یکسان عبارات". معادلات عبارات و تبدیل های یکسان آنها

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

هویت ها دگرگونی های یکسان عبارات. درجه 7 ام.

بیایید مقدار عبارات x=5 و y=4 را پیدا کنیم 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 بیایید مقدار عبارات برای x=6 و y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

نتیجه: ما همین نتیجه را گرفتیم. از خاصیت توزیع چنین بر می آید که به طور کلی برای هر مقادیر متغیرهامقادیر عبارات 3(x+y) و 3x+3y برابر هستند. 3 (x+y) = 3x+3y

حال اجازه دهید عبارات 2x+y و 2xy را در نظر بگیریم. برای x=1 و y=2 می گیرند مقادیر مساوی: 2x+y=2*1+2=4 2xy=2*1*2=4 با x=3، y=4 مقادیر عبارت متفاوت هستند 2x+y=2*3+4=10 2xy=2* 3*4 = 24

نتیجه گیری: عبارات 3(x+y) و 3x+3y به طور یکسان برابر هستند، اما عبارات 2x+y و 2xy یکسان برابر نیستند. تعریف: دو عبارتی که مقادیر آنها برای هر مقدار از متغیرها برابر است، یکسان برابر نامیده می شوند.

IDENTITY برابری 3(x+y) و 3x+3y برای هر مقدار x و y صادق است. به چنین برابری هایی هویت می گویند. تعریف: برابری که برای هر مقدار از متغیرها صادق باشد، هویت نامیده می شود. برابری های عددی واقعی نیز هویت محسوب می شوند. ما قبلاً با هویت ها روبرو شده ایم.

هویت ها برابری هایی هستند که ویژگی های اساسی عملیات روی اعداد را بیان می کنند. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

نمونه های دیگری از هویت ها را می توان بیان کرد: a + 0 = a * 1 = a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * (- ب) = اب جایگزینی یک عبارت با عبارتی مشابه دیگر، تبدیل هویت یا به سادگی تبدیل یک عبارت نامیده می شود.

برای آوردن اصطلاحات مشابه، باید ضرایب آنها را جمع کنید و نتیجه را در قسمت حرف مشترک ضرب کنید. مثال 1. بیایید عبارات مشابه 5x +2x-3x=x(5+2-3)=4x بدهیم

اگر قبل از پرانتز علامت بعلاوه باشد، می توان پرانتز را حذف کرد و علامت هر عبارت محصور در پرانتز را حفظ کرد. مثال 2. پرانتزها را در عبارت 2a + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c باز کنید.

اگر قبل از پرانتز علامت منفی باشد، می توان با تغییر علامت هر عبارتی که در داخل پرانتز قرار دارد، پرانتز را حذف کرد. مثال 3. پرانتز را در عبارت a – (4 b – c) = a – 4 b + c باز کنید.

تکلیف: بند 5 شماره 91، 97، 99 با تشکر از درس!

با موضوع: تحولات روش شناختی، ارائه ها و یادداشت ها

روش‌شناسی آماده‌سازی دانش‌آموزان برای آزمون یکپارچه دولتی در بخش "عبارات و تبدیل عبارات"

این پروژه با هدف آماده سازی دانش آموزان برای امتحانات دولتی پایه نهم و متعاقباً برای آزمون یکپارچه تدوین شده است. آزمون دولتیدر کلاس یازدهم ....

بنابراین، دوستان، در آخرین درس با درک معنی کلمات آشنا شدیم "این عبارت معنی ندارد". و اکنون زمان آن است که آن را کشف کنید تبدیل بیان چیست؟و مهمترین چیز - چرا مورد نیاز است؟

تبدیل بیان چیست؟

پاسخ ساده است، بی شرف.) این هر عمل با بیانهمین. شما از کلاس اول همه این تحولات را انجام داده اید. البته هر چیزی تحت اللفظی نیست... در ادامه در این مورد بیشتر توضیح دهید.)

برای مثال، بیایید یک عبارت عددی فوق العاده جالب را در نظر بگیریم، مثلاً 3+2. چگونه می توان آن را تبدیل کرد؟ بله خیلی ساده! حداقل بگیر و بشمار:

3+2 = 5

این محاسبه مهدکودک خواهد بود تبدیل یک عبارتشما می توانید همان عبارت را متفاوت بنویسید:

3+2 = 2+3

اما اینجا ما اصلاً چیزی را حساب نکردیم. ما فقط بیان خود را گرفتیم و دوباره نوشتیم به شکلی متفاوتاین همچنین تبدیلی در بیان خواهد بود.می توانید آن را به شکل دیگری بنویسید. به عنوان مثال، مانند این:

3+2 = 10-5

و این مدخل - همچنین تبدیل یک بیان.

یا مثل این:

3+2 = 10:2

همچنین تبدیل یک بیان!

اگر من و شما بزرگتر هستیم و با جبر دوست هستیم، می نویسیم:

هرکسی که با جبر آشنایی داشته باشد، بدون اینکه واقعاً چیزی را فشار دهد یا بشمارد، در ذهن خود متوجه خواهد شد که یک پنج عدد معمولی در سمت چپ و راست وجود دارد. آن را امتحان کنید و امتحان کنید.)

و اگر واقعاً بزرگتر هستیم، می توانیم داستان های ترسناک زیر را بنویسیم:

ورود به سیستم 2 8+ ورود به سیستم 2 4 = ورود به سیستم 2 32

یا حتی اینها:

5 گناه 2 ایکس+5 cos 2 ایکس=5 tgx ctgx

آیا الهام بخش است؟ و بدیهی است که شما می توانید هر تعداد که می خواهید چنین دگرگونی هایی ایجاد کنید! تا جایی که تخیل اجازه می دهد. و مجموعه ای از دانش ریاضیات.)

معنی رو فهمیدی؟

هرعمل در بیان هرنوشتن آن به شکل دیگری نامیده می شود تبدیل یک عبارتو این همه است. همه چیز بسیار ساده است.

سادگی البته همیشه چیز خوب و دلپذیری است اما برای هر سادگی باید یک جایی هزینه کرد، بله.... یک «اما» مهم در اینجا وجود دارد. همه این دگرگونی های مرموز همیشه از یکی بسیار پیروی می کنند قانون مهم. این قانون آنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را فراخوانی کرد قانون اصلیتمام ریاضیات و شکستن این قانون ساده به ناچارمنجر به خطا خواهد شد. آیا وارد آن می شویم؟)

فرض کنید ما عبارت خود را به طور تصادفی، به شکلی شبیه به این تغییر دادیم:

3+2 = 6+1

تبدیل؟ قطعا. ما عبارت را به شکل دیگری یادداشت کردیم! اما... اینجا چه اشکالی دارد؟

پاسخ: اینطور نیست.) نکته این است که تحولات "به صورت تصادفی واز احمق"آنها اصلاً به ریاضیات علاقه ای ندارند.) چرا؟ زیرا تمام ریاضیات بر روی دگرگونی هایی بنا شده است که در آن تغییرات ایجاد می شود ظاهر, اما ماهیت بیان تغییر نمی کند.این الزام سخت اوست. و نقض این الزام منجر به خطا می شود. سه به علاوه دو را می توان به هر شکلی که دوست دارید نوشت. در هر مثالی که لازم باشد، آن را به آن شکل یادداشت می کنیم. ولی ذاتااین همیشه باید پنج وجود داشته باشد.به هر شکلی که همین 3+2 را یادداشت کنیم. اما اگر ناگهان پس از نوشتن عبارت 3+2 به شکل دیگری، به جای پنج، به بیست و پنج،جایی که در طول راه اشتباه کردی برگرد و اشتباه را برطرف کن.)

و اکنون زمان افکار سبز خردمندانه فرا رسیده است.)

یاد آوردن:

1. هر عملی بر روی یک عبارت، نوشتن آن به شکل دیگری، تبدیل عبارت نامیده می شود.

2. تحولات،عباراتی که ماهیت را تغییر نمی دهند، گفته می شود که یکسان هستند.

3. تمام ریاضیات بر روی تبدیل یکسان عبارات ساخته شده است.

دقیقا تحولات هویتیو به ما اجازه دهید قدم به قدم، کم کم متحول شویم مثال پیچیدهبه یک بیان ساده، سفید و کرکی، نگه داشتن اصل مثالاگر ناگهان در زنجیره دگرگونی هایمان جایی اشتباه کنیم و در مرحله ای دگرگونی غیر یکسانی انجام دهیم، آنگاه تصمیم خواهیم گرفت. کاملا متفاوتمثال. با پاسخ های دیگر، بله... که دیگر ربطی به پاسخ های صحیح نخواهد داشت.) بیایید هویت را بشکنیم و جای دیگری را به هم بزنیم - بیایید حل آن را از قبل شروع کنیم. سوممثال. و به همین ترتیب، بسته به تعداد موانع، از یک مشکل در مورد قطار و یک ماشین می توانید به مشکلی در مورد یک و نیم حفار برسید.)

مثالی دیگر. برای دانش آموزانی که در حال حاضر با تمام وجود در حال مطالعه جبر هستند. فرض کنید باید مقدار عبارت (40+7) 2 را پیدا کنیم. چگونه می توانید خارج شوید، یعنی. حالت عصبانیت ما را تغییر دهد؟ شما به سادگی می توانید عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنید (47 بدست می آوریم)، در خود با یک ستون ضرب کنید و (اگر شمارش کنید) 2209. یا می توانید از فرمول استفاده کنید.

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

دریافت می کنیم: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

ولی! این وسوسه وجود دارد (مثلاً به دلیل ناآگاهی از فرمول) به سادگی بنویسید هنگام مربع کردن:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

متأسفانه، در این گذار ساده و به ظاهر آشکار، هویت تحولات ما است نقض شده است. در سمت چپ همه چیز همانطور که باید باشد، 2209 است، اما در سمت راست قبلاً است یک عدد دیگر 1649. حساب کنید همه چیز روشن می شود. در اینجا یک مثال معمولی از یک تبدیل NOT یکسان است. و بر این اساس بیرون آمد خطاها)

این قانون اصلی برای حل هر کار است: حفظ هویت تحولات

من یک مثال با عبارات عددی 3+2 و (40+7) 2 صرفا برای وضوح ارائه کردم.

چه در مورد عبارات جبری؟همه یکسان! فقط در عبارات جبری تبدیل هویت مشخص می شود فرمول ها و قوانینفرض کنید در جبر یک فرمول وجود دارد:

a(b-c) = ab - ac

این بدان معنی است که در هر مثالی ما به جای بیان حق داریم a (b-c)با خیال راحت یک عبارت جایگزین بنویسید ab - ac. و بالعکس. این ریاضیات است که به ما این دو عبارت را می دهد تا از بین آنها انتخاب کنیم. و کدام یک را بنویسید - از مثال ملموسبستگی دارد.

یا محبوب:

آ 2 - ب 2 = (آ- ب)(آ+ ب)

باز هم دو گزینه ممکن. هر دو درست است.) این هم تبدیل یکسانچه چیزی برای نوشتن سودآورتر است - تفاوت مربع ها یا حاصلضرب براکت ها - مثال به شما خواهد گفت.)

مثالی دیگر. یکی از مهم ترین و ضروری ترین تحولات در ریاضیات است ویژگی اصلی کسری شما می توانید (وقتی درس را انجام می دهم) پیوند را با جزئیات بیشتری بخوانید و تماشا کنید، اما در اینجا فقط قانون را به شما یادآوری می کنم:

اگر صورت و مخرج کسری ضرب (تقسیم) شود یکسانعدد یا عبارتی که برابر با صفر نباشد، کسری تغییر نخواهد کرد.

در اینجا نمونه ای از تبدیل هویت با استفاده از این ویژگی است:

همانطور که احتمالا حدس زده اید، این زنجیره باشکوه می تواند تا ابد ادامه یابد...) تا زمانی که انگیزه خلاقیت کافی باشد. انواع معایب و ریشه ها، اجازه ندهید شما را آزار دهند. این همه است یکسانکسر. توسط ذات آندو سوم. 2/3. فقط به اشکال مختلف ثبت شده است.:) خیلی دارایی مهم. این است که اغلب به شما امکان می دهد انواع هیولاهای نمونه را به سفید و کرکی تبدیل کنید.)

البته، فرمول ها و قوانین بسیاری وجود دارد که تبدیل های یکسان را تعریف می کنند. من حتی خیلی چیزها را می گویم. اما مهمترین آنها که می توانید بدون آنها در ریاضیات حداقل در سطح سه گانه انجام دهید ممنوع است، مقدار کاملا معقولی است.

در اینجا برخی از تحولات اساسی آورده شده است:

1. کار با تک جمله ها و چندجمله ای ها. کاهش اصطلاحات مشابه (یا به طور خلاصه مشابه)؛

2. بسط و بستن پرانتز ;

3. فاکتورسازی ;

4. و بسط سه جمله ای درجه دوم.

5. کار با کسری و عبارات کسری.

این پنج تبدیل اساسی به طور گسترده استفاده می شود در تمام ریاضیات. از ابتدایی تا بالاتر. و اگر حداقل به یکی از این پنج چیز ساده تسلط نداشته باشید، ناگزیر مانند تمام ریاضیات با مشکلات بزرگی روبرو خواهید شد. دبیرستانو در دبیرستان و حتی بیشتر در دانشگاه. بنابراین، بیایید با آنها شروع کنیم. در درس های بعدی این بخش.)

حتی دگرگونی های سردتری نیز وجود دارد. برای دانش آموزان و دانش آموزان پیشرفته.)

6.، و هر چیزی که با آنها مرتبط است.

7. انتخاب مربع کامل از یک مثلث درجه دوم؛

8. تقسیم چندجمله ای ها گوشهیا طبق طرح هورنر ;

9. تجزیه کسر گویابه مجموع کسرهای ابتدایی (ساده ترین) مفیدترین ویژگی برای دانش آموزان هنگام کار

پس آیا همه چیز درباره هویت تحولات و اهمیت رعایت آن روشن است؟ عالی! سپس وقت آن است که به سطح بعدی بروید و از حساب اولیه به جبر جدی تر حرکت کنید. و با برقی در چشمانش.)

دگرگونی های هویت

1. مفهوم هویت. انواع اساسی دگرگونی های هویت و مراحل مطالعه آنها.

مطالعه تغییر شکل‌های مختلف عبارات و فرمول‌ها کمترین زمان مطالعه را در یک درس ریاضی مدرسه می‌گیرد. ساده‌ترین شکل‌های ^"" بر اساس ویژگی‌های عملیات حسابی، قبلاً در آن تولید شده‌اند دبستان. اما بار اصلی توسعه مهارت ها و توانایی ها برای انجام تحولات بر عهده درس جبر مدرسه 1 است > این به دلیل:

با افزایش شدید تعداد تحولات در حال انجام، تنوع آنها.

با پیچیدگی فعالیت ها برای توجیه آنها و روشن شدن شرایط اعمال؛

ط) با شناسایی و مطالعه مفاهیم تعمیم یافته هویت، تبدیل یکسان، تبدیل معادل، پیامد منطقی.

خط تحولات هویت در درس جبر مدرسه ابتدایی توسعه زیر را دریافت می کند:

کلاس های 4b - باز کردن براکت ها، آوردن اصطلاحات مشابه، حذف فاکتور از پرانتز.

7 کلاس - تبدیلات یکسان عبارات اعداد صحیح و کسری؛

کلاس H - تبدیل‌های یکسان عبارات حاوی ریشه‌های چهارگانه؛

( > کلاس - تبدیلات یکسان عبارات مثلثاتی و عبارات حاوی درجه با توان گویا.

خط تحولات هویتی یکی از خطوط مهم ایدئولوژیک درس جبر است. بنابراین، آموزش ریاضیات در پایه‌های 5-6 به گونه‌ای است که دانش‌آموزان در این پایه‌ها مهارت‌های ساده‌ترین دگرگونی‌های هویتی (بدون استفاده از اصطلاح «تغییر هویت») را کسب می‌کنند. این مهارت ها با انجام تمرین هایی در مورد آوردن اصطلاحات مشابه، باز کردن و بستن براکت ها، قرار دادن فاکتور خارج از براکت و غیره ایجاد می شود. ساده ترین تبدیل عبارات عددی و الفبایی نیز در نظر گرفته شده است. در این سطح از آموزش، تبدیل هایی تسلط پیدا می کنند که مستقیماً بر اساس قوانین و ویژگی های عملیات حسابی انجام می شوند.

انواع اصلی مسائل در کلاس های 5-6 که در حل آنها از خواص و قوانین عملیات حسابی به طور فعال استفاده می شود و از طریق آنها مهارت های تبدیل هویت شکل می گیرد، عبارتند از:

توجیه الگوریتم ها برای انجام اقدامات بر روی تعداد مجموعه های عددی مورد مطالعه؛

محاسبه مقادیر یک عبارت عددی به منطقی ترین روش؛

مقایسه ارزش ها عبارات عددیبدون انجام اقدامات مشخص شده؛

ساده سازی عبارات حروف؛

اثبات تساوی معانی دو عبارت تحت اللفظی و غیره.

عدد 153 را به صورت مجموع عبارات رقمی تصور کنید. به عنوان تفاضل دو عدد، به عنوان حاصلضرب دو عدد.

عدد 27 را به عنوان حاصل سه عامل یکسان تصور کنید.

این تمرین‌ها در مورد نمایش یک عدد در اشکال مختلف نمادگذاری به تسلط بر مفهوم تبدیل هویت کمک می‌کنند. در ابتدا، این ایده ها می توانند دلخواه باشند، اما بعداً می توانند هدفمند باشند. به عنوان مثال، نمایش به شکل مجموع عبارت های رقمی برای توضیح قوانین جمع اعداد طبیعی در یک "ستون" استفاده می شود، نمایش به شکل مجموع یا تفاوت اعداد "مناسب" برای انجام محاسبات سریع استفاده می شود. محصولات مختلف، نمایش در قالب حاصلضرب عوامل برای ساده سازی عبارات مختلف کسری استفاده می شود.

مقدار عبارت 928 36 + 72 36 را بیابید.

یک روش منطقی برای محاسبه مقدار این عبارت مبتنی بر استفاده از قانون توزیعی ضرب نسبت به جمع است: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

که در دوره مدرسهدر ریاضیات می توان مراحل زیر را در تسلط بر کاربردهای تبدیل عبارات و فرمول های الفبایی تشخیص داد.

صحنه. آغاز جبر.در این مرحله، یک سیستم غیر متمایز از تبدیل استفاده می شود. با قوانینی برای انجام اقدامات روی یک یا هر دو بخش فرمول نمایش داده می شود.

مثال. حل معادلات:

الف) 5x - bx = 2; ب) 5x = 3x + 2; V) 6 (2 - 4у) + 5u = 3 (1 - زو).

ایده کلی راه حل این است که این فرمول ها را با استفاده از چندین قانون ساده کنید. در کار اولساده سازی با اعمال هویت حاصل می شود: 5 برابر- bx= (5 - 3)x. دگرگونی هویت مبتنی بر این هویت، این معادله را به معادل خود Urshshomie تبدیل می کند 2x - 2.

معادله دومبرای حل آن نه تنها یک تغییر یکسان، بلکه یک دگرگونی اساسی نیز لازم است. در این ظرفیت، اصل انتقال عبارت های معادله از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با شیک اصلاح شده در اینجا استفاده شده است. در حل یک کار ساده مانند b)، هر دو mon در تبدیل استفاده می شود - هم یکسان و هم معادل. این حکم در مورد کارهای دست و پا گیرتر مانند مورد سوم نیز اعمال می شود.

هدف مرحله اول آموزش نحوه حل سریع ساده ترین معادلات، ساده کردن فرمول هایی است که توابع را تعریف می کنند و محاسبات را به طور منطقی بر اساس ویژگی های اقدامات انجام می دهند.

دختر شکل گیری مهارت در استفاده از انواع خاصی از تبدیلII کج کردن مفاهیم هویت و دگرگونی یکسان به صراحت در دوره کلاس هفتم معرفی شده است. بنابراین، برای مثال، در کتاب درسی "جبر 7" یو.ن. ماکاریچف، مفهوم عبارات یکسان معرفی شده است: "دو عبارت که مقادیر متناظر آنها عبارتند از: برابر برای هر متغیر مقدار، splash یکسان برابر"سپس مفهوم هویت: «برابری که برای هر مقدار از متغیرها جفت می شود نامیده می شود. هویت."

11 مثال آورده شده است:

در کتاب درسی A.G. موردکوویچ "جبر 7" بلافاصله یک مفهوم تصفیه شده از هویت را ارائه می دهد: "هویت- این برابری است، درست است برای هر قابل قبولمقادیر متغیرهای موجود در ترکیب آن."

هنگام معرفی مفهوم دگرگونی هویت، ابتدا باید مصلحت مطالعه تحولات هویتی را کنار گذاشت. برای این کار می توانید تمرین های مختلفی را برای یافتن معنای عبارات در نظر بگیرید.

liiiipiiMep، مقدار عبارت 37.1x + 37.ly را زمانی که ایکس= 0.98، y = 0.02. با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب، عبارت 37.1l + 37.1 دررا می توان با عبارت 37.1 (x +) بیان کرد y) یکسان با آن برابر است. راه حل کرم حتی دردناک تر 1 برای تمرین زیر: ارزش عبارت را پیدا کنید

()-(a-6)_ p r i. الف) d = z > ^ = 2; ب) آ = 121, کامرسانت - 38; ج) a = 2.52، b= 1 -.

ab 9

11 پس از تبدیل های انجام شده، معلوم می شود که مجموعه مقادیر این عبارت از یک عدد 4 تشکیل شده است.

در کتاب درسی Yu. N. Makarychev "جبر 7"، معرفی مفهوم تبدیل هویت با در نظر گرفتن یک مثال انجام شده است: "برای یافتن مقدار عبارت xy در x = 2.3. y = 0.8; z = 0.2، شما باید 3 مرحله را انجام دهید: xy - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11 شایان ذکر است یک نوع تبدیل که مخصوص جبر کورونی و اصول تحلیل است. اینها تبدیل عبارات حاوی پیش از انتقال،و تحولات مبتنی بر قوانین تمایز و ادغام.تفاوت اصلی بین این تبدیل‌های «تحلیلی» و تبدیل‌های «جبری»، ماهیت مجموعه‌ای است که متغیرها از طریق آن هویت‌ها را طی می‌کنند. در هویت های جبری متغیرها محدوده هستند مناطق عددیو در مجموعه های تحلیلی این مجموعه ها تعریف می شوند بسیاری از توابعبه عنوان مثال، قانون مجموع دیفرانسیل: (Z"+g)" در اینجا/و g-متغیرهایی که از مجموعه عبور می کنند

من فقط توابع متمایز پذیر با دامنه تعریف مشترک. از نظر ظاهری، این تبدیل ها شبیه تبدیلات از نوع جبری است، به همین دلیل است که گاهی اوقات می گویند "جبر حدود"، "جبر تمایز".

هویت های مورد مطالعه در درس جبر مدرسه و مواد جبری درس جبر و آغاز تجزیه و تحلیل را می توان به دو کلاس

اولین مورد شامل هویت های ضرب اختصاری است،عادلانه در

aw v.

حلقه جابجایی iiioGom و هویت ها - =-،a* 0، منصفانه در هر

میدان اهم.

دسته دوم توسط هویت هایی که عبارات حسابی و توابع ابتدایی پایه را به هم وصل می کنند و همچنین ترکیبات ابتدایی تشکیل می شود.هیکسکارکرد.بیشتر هویت‌های این کلاس یک مبنای ریاضی مشترک نیز دارند و آن این است که توابع توان، نمایی و لگاریتمی هم‌شکل‌های گروه‌های عددی مختلف هستند. به عنوان مثال، این عبارت صادق است: یک نگاشت هم شکل پیوسته منحصر به فرد / از گروه جمعی اعداد حقیقی در گروه ضربی اعداد حقیقی مثبت وجود دارد که تحت آن واحد به یک عدد معین نگاشت می شود. الف> 0, یک F 1; این نگاشت توسط یک تابع منهای با یک پایه داده می شود آ:/(ایکس)= آ.جملات مشابهی برای توابع توان و لگاریتمی وجود دارد.

روش شناسی برای مطالعه هویت هر دو طبقه دارای ویژگی های مشترک بسیاری است. به طور کلی، تحولات هویتی مورد مطالعه در یک دوره ریاضیات مدرسه عبارتند از:

تبدیل عبارات حاوی رادیکال ها و قدرت ها با توان های کسری.

دگرگونی‌های عباراتی که حاوی گذرهایی به حد نهایی هستند، و تبدیل‌های مبتنی بر قواعد تمایز و ادغام.

این نتیجه را می توان تنها با انجام دو عمل به دست آورد - اگر از عبارت استفاده کنید x (y-z)، یکسان با عبارت برابر است xy-xz: x(y-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

ما محاسبات را با جایگزینی عبارت ساده کرده ایم xy-xz بیان یکسان برابر x(y - z).

جایگزین کردن یک عبارت با یک عبارت دیگر که یکسان است نامیده می شود تبدیل یکسانیا به سادگی دگرگونی بیان."

تسلط بر انواع تبدیل ها در این مرحله با معرفی فرمول های ضرب اختصاری آغاز می شود. سپس تبدیل های مرتبط با عملکرد توان با کلاس های مختلف توابع ابتدایی - نمایی، توان، لگاریتمی، مثلثاتی در نظر گرفته می شود. هر یک از این نوع تحولات یک مرحله یادگیری را طی می کند که در آن توجه بر تسلط بر ویژگی های مشخصه آنها متمرکز است.

با انباشت مواد، امکان شناسایی و بر این اساس، معرفی مفاهیم تبدیل های یکسان و معادل میسر می شود.

لازم به ذکر است که مفهوم دگرگونی هویت در درس جبر مدرسه نه به طور کلی، بلکه تنها در کاربرد عبارات ارائه شده است. تبدیل ها به دو دسته تقسیم می شوند: تحولات هویتی تبدیل عبارات هستند و معادل - تبدیل فرمول در مواردی که نیاز به ساده سازی یک بخش از فرمول وجود دارد، یک عبارت در این فرمول برجسته می شود که به عنوان استدلالی برای تبدیل هویت کاربردی عمل می کند. مثلا معادلات 5x - 3x - 2 و 2x = 2 نه تنها معادل، بلکه یکسان در نظر گرفته می شوند.

در کتب درسی جبر ش.ا. آلیمووا و دیگران، مفهوم هویت به صراحت در کلاس های 7-8 و فقط در کلاس 9 در مبحث "هویت های مثلثاتی" هنگام حل مسئله 1 معرفی نشده است: "ثابت کنید که وقتی افک، به < eZ , برابری 1 + cot 2 a = -\- درست است» این مفهوم معرفی شده است. در اینجا برای دانش آموزان توضیح داده می شود که گناه آ

برابری اعلام شده "عادلانه برای همه" است ارزش های قابل قبولو آنها. طوری که قسمت چپ و راست آن معنا پیدا کند. چنین برابری هایی نامیده می شود هویت ها، و مشکلات اثبات چنین برابری هایی را مشکلات اثبات هویت می گویند.

مرحله III. سازماندهی یک سیستم یکپارچه از تحولات (سنتز).

هدف اصلی این مرحله تشکیل یک دستگاه منعطف و قدرتمند مناسب برای استفاده در حل انواع وظایف آموزشی است.

استقرار مرحله دوم مطالعه تحولات در کل دوره جبر مدرسه ابتدایی اتفاق می افتد. انتقال به مرحله سوم در طول تکرار نهایی دوره در طول درک مطالب از قبل شناخته شده، در بخش هایی، در مورد انواع تحولات فردی انجام می شود.

در دوره جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، سیستم کل نگر تحولات، که اساساً قبلاً شکل گرفته است، به تدریج بهبود می یابد. برخی از انواع تبدیل های جدید نیز به آن اضافه می شوند (مثلاً مربوط به توابع مثلثاتی و لگاریتمی)، اما آنها فقط آن را غنی می کنند، قابلیت های آن را گسترش می دهند، اما ساختار آن را تغییر نمی دهند.

روش مطالعه این تبدیل های جدید عملاً با روش مورد استفاده در درس جبر تفاوتی ندارد.

توجه به یک نوع تبدیل که مختص کورن های جبر و اصول تحلیل است، ضروری است. اینها تبدیل عبارات حاوی محدود کردن معابر، و تحولات مبتنی بر قوانین تمایز و ادغام. تفاوت اصلی بین این تبدیل‌های «تحلیلی» و تبدیل‌های «جبری»، ماهیت مجموعه‌ای است که متغیرهای موجود در هویت‌ها از طریق آن اجرا می‌شوند. در هویت های جبری متغیرها محدوده هستند مناطق عددی و در تحلیلی این مجموعه ها معین است بسیاری از توابع به عنوان مثال، قانون تمایز یک جمع: ( f + g )" = f + g "; اینجا فوگ - متغیرهایی که از طریق توابع متعدد اما قابل تمایز با دامنه تعریف مشترک اجرا می شوند. از نظر ظاهری، این تبدیل ها شبیه تبدیلات از نوع جبری است، به همین دلیل است که گاهی اوقات می گویند "جبر حدود"، "جبر تمایز".

هویت های مورد مطالعه در درس جبر مدرسه و مواد جبری درس جبر و آغاز تجزیه و تحلیل را می توان به دو کلاس

اولین مورد شامل هویت های ضرب اختصاری است، عادلانه در

هر حلقه جابجایی، و هویت - = -، a*0، در هر یک معتبر است

ac با

دسته دوم توسط هویت های مرتبط با عملیات حسابی و توابع ابتدایی پایه و همچنین ترکیبات توابع ابتدایی تشکیل می شود.بیشتر هویت‌های این طبقه دارای یک مبنای ریاضی مشترک نیز هستند، یعنی توابع توان، نمایی و لگاریتمی هم‌مورفیسم‌های گروه‌های عددی مختلف هستند. به عنوان مثال، عبارت زیر صادق است: یک نگاشت هم شکل پیوسته منحصر به فرد / از گروه جمعی اعداد حقیقی در گروه ضربی اعداد حقیقی مثبت وجود دارد که در زیر آن یکی به یک عدد معین نگاشت می شود. الف> 0, یک F 1 این نگاشت توسط یک تابع نمایی با پایه i داده می شود: / (x) = a*. جملات مشابهی برای توابع توان و لگاریتمی وجود دارد.

تبدیل عبارات جبری؛

تبدیل عبارات حاوی رادیکال ها و قدرت ها با توان های کسری.

تبدیل عبارات مثلثاتی؛

تبدیل عبارات حاوی توان و لگاریتم.

دگرگونی‌های عباراتی که شامل گذرهایی به محدودیت‌ها هستند، و تبدیل‌های مبتنی بر قوانین تمایز و ادغام.

2. ویژگی های سازماندهی سیستم وظایف هنگام مطالعه تحولات هویت

اصل اساسی سازماندهی هر سیستمی از وظایف، ارائه آنها است از ساده به پیچیده با در نظر گرفتن نیاز دانش آموزان به غلبه بر مشکلات امکان پذیر و ایجاد موقعیت های مشکل ساز. این اصل اساسی نیاز به مشخصات در رابطه با ویژگی های این ماده آموزشی دارد. در اینجا نمونه ای از یک سیستم تمرین با موضوع: "مربع مجموع و

اختلاف دو عدد."

اینجاست که سیستم اصلی تمرینات به پایان می رسد. چنین سیستمی باید جذب مواد اولیه را تضمین کند.

تمرین های زیر (19-17) به دانش آموزان اجازه می دهد تا توجه خود را بر روی اشتباهات معمولی متمرکز کنند و به رشد علاقه و توانایی های خلاقانه خود کمک کنند.

در هر مورد خاص، تعداد تمرینات در سیستم ممکن است کمتر یا بیشتر باشد، اما ترتیب اجرای آنها باید یکسان باشد.

برای توصیف سیستم های مختلف وظایف در روش های ریاضی، از مفهوم دیگری استفاده می شود: چرخه تمرینات چرخه تمرین ها با این واقعیت مشخص می شود که چندین جنبه از مطالعه و تکنیک های ترتیب مطالب در یک دنباله از تمرین ها ترکیب می شوند. در رابطه با دگرگونی های هویت، ایده چرخه را می توان به صورت زیر ارائه کرد.

چرخه یازدهم تمرینات با مطالعه یک هویت همراه است که هویت های دیگری که در ارتباط طبیعی با آن هستند، پیرامون آن گروه بندی می شوند. در «حلقه توقف همراه با اجرایی شامل وظایفی است که نیاز دارند تشخیص< ii که در و نه قابل اجرا بودن هویت مورد نظر. هویت مورد مطالعه برای انجام محاسبات در حوزه های عددی مختلف استفاده می شود.

وظایف در هر چرخه به دو دسته تقسیم می شوند دو گروه به اولین اینها شامل وظایفی است که در طی آشنایی اولیه با هویت انجام می شود. آنها در چندین درس، با یک موضوع متحد شده اند. گروه دوم تمرین ها هویت مورد مطالعه را با کاربردهای مختلف مرتبط می کند. تمرین‌های این گروه معمولاً در موضوعات مختلف پراکنده هستند.

ساختار چرخه توصیف شده به مرحله توسعه مهارت ها در به کارگیری انواع خاصی از تحولات اشاره دارد. در مرحله نهایی - (سنتز Tane)، چرخه ها اصلاح می شوند. اولا، هر دو گروه شداپی متحد می شوند و تشکیل می شوند چرخه "بازشده". ، و از گروه اول ساده ترین ها از نظر عبارت یا پیچیدگی نوشتار حذف می شوند. انواع باقی مانده وظایف پیچیده تر می شوند. ثانیاً ادغام چرخه‌های مربوط به هویت‌های مختلف وجود دارد و بنابراین نقش اقدامات برای تشخیص کاربردپذیری یک هویت خاص افزایش می‌یابد.

بیایید به یک مثال خاص از یک چرخه نگاه کنیم.

مثال. چرخه وظایف برای هویت x -y 2 = (x-y) (x + y).

اولین گروه از وظایف این چرخه به شرح زیر تکمیل می شود:

شرایط فعلی دانش آموزان به تازگی با فرمول هویت آشنا شده اند (یا بهتر است بگوییم با دو فرمول: "تفاوت مجذورات دو عبارت برابر است با حاصل جمع و تفاضل این عبارات" و "ضرب حاصل جمع" و اختلاف دو عبارت برابر است با اختلاف مربع های این عبارات»)، ثبت آن به صورت فرمول و اثبات . در ادامه چندین نمونه از استفاده از تبدیل مبتنی بر این هویت آورده شده است. در نهایت، دانش آموزان شروع به انجام تمرینات به طور مستقل می کنند.

گروه اول وظایف

گروه دوم وظایف

(وظایف هر گروه را می توان با استفاده از پروژکتور چند رسانه ای به دانش آموزان ارائه داد)

اجازه دهید تجزیه و تحلیل روش شناختی این سیستم از انواع وظایف را انجام دهیم.

هدف a0 تثبیت ساختار هویت مورد مطالعه است. این با جایگزینی حروف (x و y)در نوشتن هویت با حروف دیگر. وظایفی از این نوع، روشن شدن ارتباط بین بیان کلامی و شکل نمادین هویت را ممکن می سازد.

وظیفه 2) با هدف ایجاد ارتباط بین این هویت و سیستم عددی است. عبارتی که در اینجا تبدیل می شود صرفاً تحت اللفظی نیست، بلکه حروف عددی است. برای توصیف اقدامات انجام شده، لازم است از مفهوم استفاده شود جایگزینیشماره حروف در هویت توسعه مهارت

استفاده از عملیات جایگزینی و تعمیق درک آن هنگام انجام وظایف نوع d 2 انجام می شود.

گام بعدی در تسلط بر هویت با کار الف نشان داده شده است. در این کار، عبارت پیشنهادی برای تبدیل شکل مربع ندارد. تحول تنها زمانی ممکن می شود که... h(chp1k متوجه خواهد شد که عدد 121 را می توان به عنوان مربع یک عدد نشان داد. بنابراین، Priyum، این کار نه در یک مرحله، بلکه در دو مرحله تکمیل می شود: روی خطiiiiuامکان کاهش رخ می دهد بیان داده شدهبه تفاوت مربع ها، در دومیک تبدیل با استفاده از هویت انجام می شود.

در اولین مراحل تسلط بر هویت، هر مرحله ثبت می شود:

I " I /с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + به)،در آینده، برخی از عملیات شناسایی توسط دانش آموزان به صورت شفاهی انجام می شود.

در مثال dd) لازم است بین این هویت و سایر هویت‌های مربوط به اقدامات با تک‌مجموعه‌ها ارتباط برقرار شود. در د 3) هویت برای اختلاف مربع ها باید دو بار اعمال شود. ز) دانش آموزان باید با ورود به حوزه اعداد غیرمنطقی بر یک مانع روانی خاص غلبه کنند.

وظایف نوع b) با هدف توسعه مهارت در جایگزینی کار (,v - y) (x + y)با تفاوت ایکس 2 - y 2 . نقش مشابهی با وظایف نوع ج ایفا می شود). در نمونه های نوع d) لازم است یکی از جهت های تبدیل ها انتخاب شود.

به طور کلی، وظایف گروه اول بر تسلط بر ساختار هویت، عملیات جایگزینی در ساده ترین و مهم ترین موارد، و ایده برگشت پذیری دگرگونی های انجام شده توسط هویت متمرکز است.

ویژگی ها و اهداف اصلی که هنگام در نظر گرفتن اولین | آشکار کردیم خرابه‌های وظایف چرخه، به هر چرخه تمرینی اشاره دارد که سرنیزه‌های استفاده از هویت را تشکیل می‌دهد. برای هر هویتی که به تازگی معرفی شده است، گروه وظایف در چرخه باید ویژگی های شرح داده شده در اینجا را حفظ کند. تفاوت ها فقط می تواند در تعداد وظایف باشد.

1 گروه دوم از وظایف در چرخه، بر خلاف اول، با هدف استفاده کامل ممکن و در نظر گرفتن ویژگی های این هویت خاص است. وظایف این گروه فرض می کند که مهارت های استفاده از هویت ها برای تفاوت مربع ها قبلاً (در ساده ترین موارد) توسعه یافته است. tspi، وظایف این گروه - تعمیق درک هویت با در نظر گرفتن کاربردهای مختلف آن در موقعیت های مختلف، در ترکیب با استفاده از مطالب مرتبط با سایر مباحث درس ریاضی.

بیایید راه حل تکلیف l را در نظر بگیریم):

x 3 - 4x = 15 o x 3 - 9x = 15 - 5x o x(x~3)(x + 3) = 5(3 - x) ox = 3، یا \{\ 1-3) = -5. معادله x(x + 3) = -5 ریشه های واقعیندارد، بنابراین \ 3 تنها ریشه معادله است.

ما می بینیم که استفاده از هویت برای تفاوت مربع ها بخشی از راه حل مثال است، که ایده اصلی برای انجام تحولات است.

چرخه وظایف مرتبط با هویت برای توابع ابتدایی، ویژگی های خاص خود را دارند که به این دلیل است که اول از همه. هویت های مربوطه در ارتباط با مطالعه مواد کاربردی مورد مطالعه قرار می گیرند و /و>-"تویخ،دیرتر از هویت گروه اول ظاهر می شوند و با آنها مطالعه می شود

استفاده از مهارت های از قبل شکل گرفته برای انجام تحولات یکسان. بخش قابل توجهی از استفاده از تبدیل هویت مرتبط با توابع ابتدایی بر روی حل معادلات غیرمنطقی و ماورایی است. چرخه های مربوط به همسان سازی هویت ها فقط شامل بیشتر موارد می شود معادلات ساده، اما در حال حاضر در اینجا توصیه می شود که روی روش حل چنین معادلاتی کار کنید: کاهش آن با جایگزینی مجهول با یک معادله جبری.

ترتیب مراحل این راه حل به شرح زیر است:

الف) تابع را پیدا کنید<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

ب) جایگزینی انجام دهید در= ср(х) و معادله F(y) = 0 را حل کنید.

ج) هر یک از معادلات را حل کنید <р(х) = جایی که (y k ) - مجموعه ریشه های معادله F(y) = 0.

موضوع جدیدی که در بررسی هویت‌ها با کارکردهای ابتدایی باید مورد توجه قرار گیرد، توجه به حوزه تعریف است. در اینجا نمونه هایی از سه کار آورده شده است:

الف) تابع y = 4 log 2 x را رسم کنید.

ب) معادله log را حل کنید ایکس + log (x - 3) = 1.

ج) در چه مجموعه ای فرمول log (x - 5) + log (x + 5) = log ( ایکس 2 - 25) هویت است؟

یک اشتباه معمولی که دانش آموزان در حل مسئله الف مرتکب می شوند استفاده از برابری است آاول بدون در نظر گرفتن شرایط کومرسانت > 0. در این حالت، در نهایت، نمودار مورد نظر به جای پاسخ صحیح، شکل یک سهمی را دارد - شاخه سمت راست سهمی. وظیفه ب) یکی از منابع به دست آوردن سیستم های پیچیده معادلات و نابرابری ها را در مواقعی که لازم است حوزه های تعریف توابع در نظر گرفته شود نشان می دهد و وظیفه ج) تمرینی را نشان می دهد که می تواند به عنوان یک تمرین مقدماتی عمل کند.

ایده ای که این وظایف را متحد می کند - نیاز به مطالعه دامنه تعریف یک تابع - فقط با مقایسه چنین وظایفی که در شکل خارجی ناهمگن هستند آشکار می شود. اهمیت این ایده برای ریاضیات بسیار زیاد است. این می تواند به عنوان پایه ای برای چندین چرخه تمرین - برای هر یک از کلاس های توابع ابتدایی باشد.

در پایان متذکر می شویم که بررسی تحولات هویتی در مدرسه از اهمیت بالایی برخوردار است ارزش آموزشی توانایی انجام برخی از محاسبات، انجام محاسبات، و نظارت بر یک شی با توجه بی‌پرده برای مدت طولانی برای افراد حرفه‌های مختلف، صرف نظر از اینکه در زمینه کار ذهنی یا فیزیکی کار می‌کنند، ضروری است. ویژگی بخش "تحولات یکسان عبارات" به گونه ای است که فرصت های گسترده ای را برای دانش آموزان باز می کند تا این مهارت های مهم حرفه ای مهم را توسعه دهند.

آنها همراه با مطالعه عملیات و خواص آنها در جبر، به مطالعه مفاهیمی مانند بیان، معادله، نابرابری . آشنایی اولیه با آنها در درس ریاضی اولیه صورت می گیرد. آنها، به عنوان یک قاعده، بدون تعاریف دقیق، اغلب به صورت ظاهری معرفی می شوند، که معلم را ملزم می کند نه تنها در استفاده از عباراتی که این مفاهیم را نشان می دهد بسیار مراقب باشد، بلکه تعدادی از ویژگی های آنها را نیز بداند. بنابراین، وظیفه اصلی ما هنگام شروع مطالعه مطالب در این بخش، شفاف سازی و تعمیق دانش در مورد عبارات (عددی و با متغیرها)، برابری های عددی و نامساوی های عددی، معادلات و نامعادلات است.

مطالعه این مفاهیم با استفاده از زبان ریاضی همراه است؛ به زبان های مصنوعی اشاره دارد که همراه با این یا آن علم ایجاد و توسعه می یابد. مانند هر زبان ریاضی دیگری الفبای خاص خود را دارد. در دوره ما به دلیل نیاز به توجه بیشتر به رابطه بین جبر و حساب به طور جزئی ارائه خواهد شد. این الفبا شامل:

1) اعداد 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9؛ با کمک آنها اعداد طبق قوانین خاصی نوشته می شوند.

2) علائم عملیات +، -،، :;

3) علائم رابطه<, >، =، M;

4) حروف کوچک الفبای لاتین، آنها برای نشان دادن اعداد استفاده می شوند.

5) براکت (گرد، مجعد و ...) به آنها علائم فنی می گویند.

با استفاده از این الفبا، کلمات در جبر تشکیل می شوند و آنها را عبارات می نامند، و جملات از کلمات - برابری های عددی، نامساوی های عددی، معادلات، نامساوی با متغیرها به دست می آیند.

همانطور که می دانید، رکوردهای 3 + 7، 24: 8، 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2 -17 نامیده می شود عبارات عددی آنها از اعداد، علائم عمل و براکت ها تشکیل می شوند. اگر تمام اقدامات مشخص شده در عبارت را انجام دهیم، یک عدد فراخوانی می شود مقدار یک عبارت عددی . بنابراین، مقدار عبارت عددی 3 است × 2 - 4 مساوی 2.

عبارات عددی وجود دارد که مقادیر آنها را نمی توان یافت. درباره این گونه عبارات می گویند که آنها منطقی نیست .

مثلا، عبارت 8: (4 - 4) معنی ندارد، زیرا مقدار آن را نمی توان یافت: 4 - 4 = 0، و تقسیم بر صفر غیرممکن است. عبارت 7-9 نیز معنی ندارد اگر آن را در مجموعه اعداد طبیعی در نظر بگیریم، زیرا معنای عبارت 7-9 را نمی توان در این مجموعه یافت.

ورودی 2a + 3 را در نظر بگیرید. از اعداد، علائم عمل و حرف a تشکیل شده است. اگر اعداد را به جای a جایگزین کنید، عبارات عددی مختلفی دریافت خواهید کرد:

اگر a = 7، آنگاه 2 × 7 + 3;

اگر a = 0 باشد، 2 × 0 + 3;

اگر a = - 4، سپس 2 × (- 4) + 3.

در نماد 2a + 3 چنین حرفی نامیده می شود متغیر ، و خود ورودی 2a + 3 - است بیان با یک متغیر

یک متغیر در ریاضیات معمولاً با هر حرف کوچک الفبای لاتین نشان داده می شود. در دبستان، علاوه بر حروف، از نمادهای دیگری نیز برای نشان دادن یک متغیر استفاده می شود، به عنوان مثال . سپس عبارت با متغیر به شکل 2× + 3 است.

هر عبارت با یک متغیر مربوط به مجموعه ای از اعداد است که جایگزینی آنها یک عبارت عددی منطقی ایجاد می کند. این مجموعه نامیده می شود دامنه بیان .

مثلا،دامنه تعریف عبارت 5: (x - 7) شامل تمام اعداد واقعی به جز عدد 7 است، زیرا در x = 7 عبارت 5: (7 - 7) معنی ندارد.

در ریاضیات عبارات حاوی یک، دو یا چند متغیر در نظر گرفته می شود.

مثلا، 2a + 3 یک عبارت با یک متغیر است و (3x + 8y) × 2 عبارتی با سه متغیر است. برای به دست آوردن یک عبارت عددی از یک عبارت با سه متغیر، باید اعداد متعلق به حوزه تعریف عبارت را به جای هر متغیر جایگزین کنید.

بنابراین، ما دریافتیم که چگونه عبارات عددی و عبارات با متغیرها از الفبای زبان ریاضی تشکیل می شوند. اگر با زبان روسی تشبیه کنیم، عبارات کلمات یک زبان ریاضی هستند.

اما، با استفاده از الفبای یک زبان ریاضی، می توان چنین ورودی هایی را تشکیل داد: (3 + 2)) - × 12 یا 3x – y: +)8 که نمی توان آن را یک عبارت عددی یا یک عبارت با متغیر نامید. این مثال‌ها نشان می‌دهد که توصیف اینکه کدام نمادهای الفبای یک زبان ریاضی برای تشکیل عبارات عددی و متغیر استفاده می‌شوند، تعریفی از این مفاهیم نیست. بیایید تعریفی از یک عبارت عددی ارائه دهیم (یک عبارت با متغیرها به طور مشابه تعریف می شود).

تعریف.اگر f و q عبارات عددی هستند، پس (f) + (q)، (f) - (q)، (f) × (q)، (f) (q) - عبارات عددی. هر عدد یک عبارت عددی در نظر گرفته می شود.

اگر دقیقاً از این تعریف پیروی می کردیم، باید پرانتزهای زیادی بنویسیم، مثلاً (7) + (5) یا (6): (2). برای کوتاه کردن نماد، توافق کردیم که در صورت اضافه یا کم کردن چندین عبارت، پرانتز ننویسیم و این عملیات از چپ به راست انجام می شود. به همین ترتیب وقتی چند عدد ضرب یا تقسیم می شوند هیچ پرانتزی نوشته نمی شود و این عملیات به ترتیب از چپ به راست انجام می شود.

مثلا، اینگونه می نویسند: 37 – 12 + 62 - 17+13 یا 120:15-7:12.

ضمناً توافق کردیم که ابتدا اعمال مرحله دوم (ضرب و تقسیم) و سپس اعمال مرحله اول (جمع و تفریق) را انجام دهیم. بنابراین عبارت (12-4:3) + (5-8:2-7) به صورت زیر نوشته می شود: 12 – 4: 3 + 5 – 8: 2 - 7.

وظیفه.مقدار عبارت 3x (x - 2) + 4 (x - 2) را برای x = 6 بیابید.

راه حل

1 راه. بیایید عدد 6 را به جای متغیر در این عبارت جایگزین کنیم: 3 × 6-(6 - 2) + 4×(6 - 2). برای یافتن مقدار عبارت عددی حاصل، تمام اقدامات نشان داده شده را انجام می دهیم: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. بنابراین ، چه زمانی ایکس= 6 مقدار عبارت 3x (x-2) + 4 (x-2) 88 است.

روش 2. قبل از جایگزینی عدد 6 به این عبارت، بیایید آن را ساده کنیم: 3x (x - 2) + 4 (x - 2) = (ایکس - 2) (3x + 4). و سپس به جای عبارت به دست آمده جایگزین کنید ایکسشماره 6 مراحل زیر را انجام دهید: (6 - 2) × (3×6 + 4) = 4× (18 + 4) = 4×22 = 88.

اجازه دهید به موارد زیر توجه کنیم: هم در روش اول حل مسئله و هم در روش دوم، یک عبارت را با عبارت دیگری جایگزین کردیم.

مثلا، عبارت 18×4 + 4×4 با عبارت 72+16 جایگزین شد و عبارت 3x (x - 2) + 4 (x - 2) - با عبارت جایگزین شد. (ایکس - 2) (3x + 4) و این تعویض ها به همین نتیجه منجر شد. در ریاضیات، هنگام توصیف راه حل یک مسئله، می گویند که ما انجام دادیم تحولات هویتی اصطلاحات.

تعریف.اگر برای هر یک از مقادیر متغیرها در حوزه تعریف عبارات، مقادیر متناظر آنها برابر باشد، به دو عبارت یکسان گفته می شود.

نمونه هایی از عبارات یکسان عبارت های 5 (x + 2) و 5 برابر+ 10، زیرا برای هر مقدار واقعی ایکسارزش آنها برابر است

اگر دو عبارت یکسان را در یک مجموعه خاص با علامت مساوی به هم وصل کنیم، جمله ای به نام می گیریم هویت در این مجموعه

مثلا، 5 (x + 2) = 5x + 10 یک هویت در مجموعه اعداد واقعی است، زیرا برای همه اعداد واقعی مقادیر عبارت 5 (x + 2) و 5x + 10 یکسان است. با استفاده از نماد یک کمیت کننده کلی، این هویت را می توان به صورت زیر نوشت: ("x О R) 5(x + 2) = 5x + 10. برابری های عددی واقعی نیز هویت در نظر گرفته می شوند.

جایگزین کردن یک عبارت با عبارت دیگری که در برخی از مجموعه ها به طور یکسان با آن برابر است نامیده می شود تبدیل یکسان یک عبارت داده شده در این مجموعه.

بنابراین، با جایگزینی عبارت 5 (x + 2) با عبارت یکسان برابر 5x + 10، یک تبدیل یکسان از عبارت اول را انجام دادیم. اما چگونه با توجه به دو عبارت، می توان فهمید که آیا آنها به طور یکسان برابر هستند یا نه؟ مقادیر متناظر عبارات را با جایگزینی اعداد خاص به جای متغیرها پیدا کنید؟ زمان زیادی می برد و همیشه ممکن نیست. اما پس از آن قوانینی که باید هنگام انجام تبدیل‌های یکسان عبارات رعایت شوند چیست؟ بسیاری از این قوانین وجود دارد، از جمله آنها ویژگی های عملیات جبری است.

وظیفه.عامل عبارت ax - bx + ab - b 2 .

راه حل.بیایید اصطلاحات این عبارت را دو گروه کنیم (اول با دوم، سوم با چهارم): ax - bx+ ab - b 2 = (ax-bx)+(ab-b 2). این تبدیل بر اساس خاصیت انجمنی جمع اعداد حقیقی امکان پذیر است.

اجازه دهید عامل مشترک را از هر براکت در عبارت حاصل خارج کنیم: (ax - bx) + (ab - b 2) = x(a - b) + b(a - b) - این تبدیل بر اساس توزیعی امکان پذیر است. خاصیت ضرب نسبت به تفریق اعداد حقیقی

در عبارت به دست آمده، اصطلاحات یک عامل مشترک دارند، اجازه دهید آن را از پرانتز خارج کنیم: x(a - b) + b(a - b) = (a - b) (x - b). اساس تبدیل انجام شده، خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع است.

بنابراین، ax - bx + ab - b 2 = (a - b) (x -b) .

در دوره اولیه ریاضیات، به عنوان یک قاعده، فقط تبدیلات یکسان عبارات عددی انجام می شود. مبنای نظری چنین تبدیل‌هایی خواص جمع و ضرب، قوانین مختلف است: جمع کردن یک عدد به یک عدد، یک عدد به یک مجموع، کم کردن یک عدد از یک مجموع و غیره.

مثلابرای پیدا کردن محصول 35 × 4، باید تبدیل های زیر را انجام دهید: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. تبدیل های انجام شده بر اساس: خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع است. اصل نوشتن اعداد در سیستم اعداد اعشاری (35 = 30 + 5)؛ قوانین ضرب و جمع اعداد طبیعی

بگذارید دو عبارت جبری داده شود:

بیایید جدولی از مقادیر هر یک از این عبارات برای مقادیر مختلف عددی حرف x ایجاد کنیم.

می بینیم که برای تمام مقادیر داده شده به حرف x، معانی هر دو عبارت برابر است. برای هر مقدار دیگری از x نیز همین اتفاق خواهد افتاد.

برای تأیید این موضوع، اجازه دهید عبارت اول را تبدیل کنیم. بر اساس قانون توزیع می نویسیم:

پس از انجام اقدامات مشخص شده روی اعداد، دریافت می کنیم:

بنابراین، عبارت اول، پس از ساده کردن آن، دقیقاً مشابه عبارت دوم است.

اکنون مشخص است که برای هر مقدار x مقادیر هر دو عبارت برابر است.

عباراتی که مقادیر آنها برای هر مقدار از حروف موجود در آنها برابر است، یکسان یا یکسان نامیده می شوند.

این بدان معنی است که آنها عبارات یکسان هستند.

بیایید یک نکته مهم را ذکر کنیم. بیایید عبارات را در نظر بگیریم:

پس از گردآوری جدولی مشابه جدول قبلی، مطمئن خواهیم شد که هر دو عبارت برای هر مقدار x دارای مقادیر عددی مساوی هستند. فقط زمانی که عبارت دوم برابر با 6 باشد و اولین معنی خود را از دست بدهد، زیرا مخرج صفر است. (به یاد داشته باشید که نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.) آیا می توانیم بگوییم که این عبارات یکسان هستند؟

ما قبلاً توافق کردیم که هر عبارت را فقط برای مقادیر حروف قابل قبول در نظر بگیریم، یعنی برای مقادیری که در آن عبارت معنای خود را از دست نمی دهد. این بدان معنی است که در اینجا، هنگام مقایسه دو عبارت، فقط مقادیر حروفی را در نظر می گیریم که برای هر دو عبارت قابل قبول هستند. بنابراین، ما باید ارزش را حذف کنیم. و از آنجایی که برای سایر مقادیر x هر دو عبارت دارای مقدار عددی یکسانی هستند، ما این حق را داریم که آنها را یکسان در نظر بگیریم.

با توجه به موارد فوق، ما تعریف زیر را از عبارات یکسان ارائه می دهیم:

1. عبارات یکسان نامیده می شوند اگر مقادیر عددی یکسانی برای تمام مقادیر مجاز حروف موجود در آنها داشته باشند.

اگر دو عبارت یکسان را با علامت مساوی به هم وصل کنیم، یک هویت بدست می آوریم. به معنای:

2. هویت برابری است که برای تمام مقادیر مجاز حروف مندرج در آن صادق است.

ما قبلاً با هویت ها روبرو شده ایم. بنابراین، برای مثال، همه تساوی هایی که با آنها قوانین اساسی جمع و ضرب را بیان کردیم، هویت هستند.

به عنوان مثال، برابری هایی که قانون جابجایی جمع را بیان می کنند

و قانون تداعی ضرب

برای هر مقدار حرف معتبر است. یعنی این برابری ها هویت هستند.

تمام برابری های حسابی واقعی نیز هویت محسوب می شوند، برای مثال:

در جبر، اغلب لازم است که عبارتی را با عبارتی مشابه آن جایگزین کنیم. اجازه دهید، برای مثال، شما می خواهید ارزش عبارت را پیدا کنید

اگر این عبارت را با عبارتی مشابه آن جایگزین کنیم، محاسبات را بسیار ساده خواهیم کرد. بر اساس قانون توزیع می توان نوشت:

اما مجموع اعداد داخل پرانتز به 100 می رسد. این به این معنی است که ما هویت داریم:

با جایگزینی 6.53 به جای a در سمت راست، بلافاصله (در ذهن خود) مقدار عددی (653) این عبارت را پیدا می کنیم.

جایگزین کردن یک عبارت با عبارت دیگر که با آن یکسان است، تبدیل یکسان این عبارت نامیده می شود.

به یاد داشته باشید که هر عبارت جبری برای هر مقدار مجاز حروف مقداری است

عدد. نتیجه این است که تمام قوانین و خصوصیات عملیات حسابی که در فصل قبل بیان شد برای عبارات جبری قابل استفاده است. بنابراین، اعمال قوانین و ویژگی‌های عملیات حسابی، یک عبارت جبری را به عبارتی مشابه با آن تبدیل می‌کند.