درس در مورد موضوع "پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی"

هدف از درس:معرفی دانش آموزان با نوع جدیدی از توالی - یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.

وظایف:

تدوین یک ایده اولیه از حد یک دنباله عددی؛ آشنایی با روش دیگری برای تبدیل کسرهای تناوبی نامتناهی به کسرهای معمولی با استفاده از فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.

رشد کیفیات فکری شخصیت دانش‌آموزان مانند تفکر منطقی، توانایی انجام اقدامات ارزیابی و تعمیم.

پرورش فعالیت، کمک متقابل، جمع گرایی و علاقه به موضوع.

تجهیزات:کلاس کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش.

نوع درس:درس - یادگیری موضوع جدید.

در طول کلاس ها

من . سازمان لحظه موضوع و هدف درس را بیان کنید.

II . به روز رسانی دانش دانش آموزان.1. بررسی تکالیف.

1) بررسی فرمول های اساسی مربوط به پیشرفت های حسابی و هندسی. دو دانش آموز در حال آماده کردن یادداشت ها در مورد فرمول ها در تخته سیاه هستند.

2) بقیه دانش آموزان انجام می دهند دیکته ریاضی با موضوع "فرمول های جمع".

وظایف:

№1. مجموع پنج جمله اول را بیابید پیشرفت حسابی، اگر جمله اول آن برابر با 6 (گزینه اول)، -20 (گزینه دوم) و جمله پنجم -6 (گزینه اول)، 20 (گزینه دوم) باشد.

№2. اگر جمله اول آن 20- (گزینه اول)، 6 (گزینه دوم) و تفاوت آن 10 (گزینه اول)، -3 (گزینه دوم) باشد، مجموع پنج جمله اول یک پیشروی حسابی را بیابید.

№3. مجموع پنج جمله اول یک پیشروی هندسی را در صورتی بیابید که جمله اول آن برابر با 1 (گزینه اول)، -1 (گزینه دوم)، و مخرج -2 (گزینه اول)، 2 (گزینه دوم) باشد.

در پایان دیکته، کار دو دانش آموز به طور انتخابی برای ارزیابی بررسی می شود، بقیه با استفاده از راه حل های آماده که روی لبه های تخته نوشته شده است، خودآزمایی انجام می دهند.

راه حل ها:

وظایف

1. پیشروی حسابی با فرمول داده می شود آ n = 7 – 4 n. پیدا کردن آ 10 . (-33)

2. در تصاعد حسابی آ 3 = 7 و آ 5 = 1 . پیدا کردن آ 4 . (4)

3. در تصاعد حسابی آ 3 = 7 و آ 5 = 1 . پیدا کردن آ 17 . (-35)

4. در تصاعد حسابی آ 3 = 7 و آ 5 = 1 . پیدا کردن اس 17 . (-187)

5. برای پیشرفت هندسی
ترم پنجم را پیدا کنید

6. برای پیشرفت هندسی
پیدا کردن nعضو ام

7. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن ب 4 . (4)

8. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن ب 1 و q .

9. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن اس 5 . (62)

III . یادگیری یک موضوع جدید(نمایش ارائه).

مربعی را در نظر بگیرید که ضلع آن برابر با 1 باشد. مربع دیگری را که ضلع آن نصف مربع اول است، سپس مربعی که ضلع آن نصف دوم است، سپس مربع بعدی و غیره ترسیم می کنیم. هر بار ضلع مربع جدید برابر با نصف مربع قبلی است.

در نتیجه، دنباله ای از اضلاع مربع ها را دریافت کردیم تشکیل یک تصاعد هندسی با مخرج .

و آنچه بسیار مهم است، هر چه بیشتر چنین مربع هایی بسازیم، ضلع مربع کوچکتر می شود. مثلا,

آن ها با افزایش عدد n، شرایط پیشروی به صفر می رسد.

با استفاده از این شکل می توانید دنباله دیگری را در نظر بگیرید.

به عنوان مثال، دنباله مساحت مربع ها:

. و باز هم اگر nبه طور نامحدود افزایش می یابد، سپس منطقه هر چقدر که دوست دارید به صفر نزدیک می شود.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. مثلث متساوی الاضلاع با اضلاع برابر 1 سانتی متر. بیایید طبق قضیه در مورد خط وسط مثلث با رئوس در وسط اضلاع مثلث اول، مثلث زیر را بسازیم - ضلع دوم برابر با نصف ضلع اول، ضلع سوم است. برابر است با نصف ضلع دوم و غیره. دوباره دنباله ای از طول اضلاع مثلث ها را به دست می آوریم.

در
.

اگر یک تصاعد هندسی با مخرج منفی در نظر بگیریم.

سپس، دوباره، با افزایش تعداد nشرایط رویکرد پیشرفت صفر است.

بیایید به مخرج این دنباله ها توجه کنیم. همه جا مخرج ها در مقدار مطلق کمتر از 1 بودند.

می‌توان نتیجه گرفت: اگر مدول مخرج آن کمتر از 1 باشد، یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش خواهد بود.

کار جلویی.

تعریف:

اگر مدول مخرج آن کمتر از یک باشد، یک پیشروی هندسی به طور نامحدود در حال کاهش است.
.

با استفاده از تعریف، می توانید تصمیم بگیرید که آیا یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است یا خیر.

وظیفه

آیا دنباله یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است اگر با فرمول داده شود:

;
.

راه حل:

. پیدا خواهیم کرد q .

;
;
;
.

این پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

ب)این دنباله یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش نیست.

مربعی را در نظر بگیرید که ضلع آن برابر با 1 است. آن را به نصف، یکی از نصف ها را از وسط و غیره تقسیم کنید. مساحت تمام مستطیل های به دست آمده یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را تشکیل می دهند:

مجموع مساحت تمام مستطیل های به دست آمده از این طریق برابر با مساحت مربع 1 و برابر با 1 خواهد بود.

اما در سمت چپ این برابری مجموع بی نهایت عبارت است.

بیایید مجموع n جمله اول را در نظر بگیریم.

با توجه به فرمول مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی، برابر است با .

اگر nپس بدون محدودیت افزایش می یابد

یا
. از همین رو
، یعنی
.

مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهشمحدودیت توالی وجود دارد اس 1 , اس 2 , اس 3 , …, اس n , … .

مثلا برای پیشرفت
,

زیرا

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهشرا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد
.

III . درک و تثبیت(تکمیل وظایف).

وظیفه شماره 2. مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت رو به کاهش را بیابید که جمله اول 3 و جمله دوم 0.3 باشد.

راه حل:

وظیفه شماره 3. کتاب درسی، ص 160، شماره 433(1)

مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را پیدا کنید:

راه حل:

وظیفه شماره 4. کسر اعشاری تناوبی نامتناهی 0،(5) را به عنوان کسری مشترک بنویسید.

روش 1. اجازه دهید x=0,(5)= 0.555... / 10 روش دوم. 0,(5)=0.555…=

وظیفه شماره 5. کتاب درسی، ص 162، شماره 445(3) (راه حل مستقل)

کسر اعشاری تناوبی نامتناهی 0,(12) را به عنوان کسری مشترک بنویسید.

پاسخ: 0، (12) = 4/33.

IV . خلاصه کردن.

امروز با چه سکانسی آشنا شدید؟

یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را تعریف کنید.

چگونه ثابت کنیم که یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است؟

فرمول حاصل از مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را ارائه دهید.

V . مشق شب.

دنباله های عددی VI

§ l48. مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش

تا به حال، هنگام صحبت از مجموع، همیشه تعداد عبارت های این مجموع را محدود فرض می کردیم (مثلاً 2، 15، 1000 و غیره). اما هنگام حل برخی از مسائل (مخصوصاً ریاضیات عالی) باید با مجموع بی نهایت عبارت سروکار داشت.

S= آ 1 + آ 2 + ... + آ n + ... . (1)

این مبالغ چیست؟ الف - مقدماتی مجموع بی نهایت عبارت آ 1 , آ 2 , ..., آ n ، ... حد حاصل جمع S نامیده می شود n اولین پ اعداد وقتی پ -> ∞ :

S=S n = (آ 1 + آ 2 + ... + آ n ). (2)

محدودیت (2) البته ممکن است وجود داشته باشد یا نباشد. بر این اساس می گویند جمع (1) موجود است یا نیست.

چگونه می توانیم بفهمیم که آیا مجموع (1) در هر مورد خاص وجود دارد؟ تصمیم مشترکاین موضوع بسیار فراتر از محدوده برنامه ما است. با این حال، یک نکته مهم وجود دارد مورد خاص، که اکنون باید در نظر بگیریم. ما در مورد جمع کردن شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش صحبت خواهیم کرد.

اجازه دهید آ 1 , آ 1 q , آ 1 q 2، ... یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است. این بدان معنی است که | q |< 1. Сумма первых پ شرایط این پیشرفت برابر است

از قضایای اساسی در مورد حدود متغیرها (به بند 136 مراجعه کنید) به دست می آوریم:

اما 1 = 1، a qn = 0. بنابراین

بنابراین، مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش برابر است با اولین جمله این پیشرفت تقسیم بر یک منهای مخرج این پیشرفت.

1) مجموع تصاعد هندسی 1، 1/3، 1/9، 1/27، ... برابر است با

و مجموع پیشرفت هندسی 12 است. -6 3; - 3/2 , ... برابر

2) کسر تناوبی ساده 0.454545 ... را به یک کسر معمولی تبدیل کنید.

برای حل این مشکل، این کسر را به صورت مجموع نامتناهی تصور کنید:

سمت راست این برابری مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت رو به کاهش است که جمله اول آن برابر با 100/45 و مخرج آن 100/1 است. از همین رو

با استفاده از روش توصیف شده، می توان آن را نیز به دست آورد قانون کلیتبدیل کسرهای تناوبی ساده به کسرهای معمولی (به فصل دوم، بند 38 مراجعه کنید):

برای تبدیل یک کسر تناوبی ساده به یک کسر معمولی، باید موارد زیر را انجام دهید: نقطه را در صورت حساب قرار دهید. اعشاریو مخرج عددی است متشکل از 9 که به تعداد ارقام در دوره کسری اعشاری گرفته شده است.

3) کسر تناوبی مخلوط 0.58333 .... را به کسر معمولی تبدیل کنید.

بیایید این کسری را به صورت مجموع نامتناهی تصور کنیم:

در سمت راست این تساوی، تمام جمله ها که از 3/1000 شروع می شوند، یک تصاعد هندسی بی نهایت رو به کاهش را تشکیل می دهند که جمله اول آن برابر با 3/1000 و مخرج آن 1/10 است. از همین رو

با استفاده از روش توصیف شده، می توان یک قانون کلی برای تبدیل کسرهای تناوبی مخلوط به کسرهای معمولی به دست آورد (به فصل دوم، § 38 مراجعه کنید). ما عمداً آن را در اینجا ارائه نمی کنیم. نیازی به یادآوری این قانون دست و پا گیر نیست. بسیار مفیدتر است که بدانیم هر کسر تناوبی مخلوط را می توان به عنوان مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش و یک عدد معین نشان داد. و فرمول

برای مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش، البته باید به خاطر بسپارید.

به عنوان تمرین پیشنهاد می کنیم علاوه بر مشکلات شماره 995-1000 که در زیر آورده شده است، یک بار دیگر به مشکل شماره 301 § 38 مراجعه کنید.

تمرینات

995. به مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت نزولی چه می گویند؟

996. مجموع پیشرفت های هندسی بی نهایت رو به کاهش را بیابید:

997. در چه مقادیری ایکس پیشرفت

آیا بی نهایت در حال کاهش است؟ مجموع چنین پیشرفتی را بیابید.

998.V مثلث متساوی الاضلاعبا طرف آ یک مثلث جدید با اتصال نقاط میانی اضلاع آن حک شده است. یک مثلث جدید به همین صورت در این مثلث حک می شود و به همین ترتیب ad infinitum.

الف) مجموع محیط های تمام این مثلث ها؛

ب) مجموع مساحت آنها.

999. مربع با ضلع آ یک مربع جدید با اتصال نقاط میانی اضلاع آن حک شده است. یک مربع در این مربع به همین ترتیب حک شده است و به همین ترتیب ad infinitum. مجموع محیط همه این مربع ها و مجموع مساحت آنها را بیابید.

1000. یک تصاعد هندسی بی نهایت نزولی بنویسید به طوری که مجموع آن برابر با 25/4 و مجموع مجذورهای جمله های آن برابر با 625/24 باشد.

اجازه دهید اکنون مسئله جمع کردن یک پیشرفت هندسی نامتناهی را در نظر بگیریم. اجازه دهید مجموع جزئی یک پیشروی نامتناهی را مجموع اولین جمله های آن بنامیم. اجازه دهید جمع جزئی را با نماد نشان دهیم

برای هر پیشرفت بی نهایت

می توان یک دنباله (همچنین نامتناهی) از مجموع جزئی آن را ساخت

اجازه دهید یک دنباله با افزایش نامحدود محدودیت داشته باشد

در این حالت به عدد S، یعنی حد مجموع جزئی یک پیشروی، مجموع یک پیشروی بی نهایت می گویند. ما ثابت خواهیم کرد که یک پیشروی هندسی نزولی نامتناهی همیشه دارای یک جمع است، و یک فرمولی برای این مجموع بدست می آوریم (همچنین می توانیم نشان دهیم که اگر یک پیشرفت نامتناهی مجموع نداشته باشد، وجود ندارد).

اجازه دهید عبارت جمع جزئی را به عنوان مجموع شرایط پیشرفت با استفاده از فرمول (91.1) بنویسیم و حد مجموع جزئی را در نظر بگیریم.

از قضیه 89 مشخص است که برای یک پیشرفت کاهشی; بنابراین، با اعمال قضیه حد اختلاف، متوجه می‌شویم

(در اینجا از قانون نیز استفاده می شود: عامل ثابت فراتر از علامت حد گرفته می شود). وجود ثابت می شود و در همان زمان فرمول مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش به دست می آید:

برابری (92.1) را نیز می توان به شکل نوشت

ممکن است در اینجا متناقض به نظر برسد که مقدار عدد بی نهایتبه عبارات یک مقدار نهایی بسیار مشخص اختصاص داده شده است.

برای توضیح این وضعیت می توان یک تصویر واضح ارائه داد. مربعی را با ضلع در نظر بگیرید برابر با یک(شکل 72). این مربع را با یک خط افقی به دو قسمت مساوی تقسیم کنید و قسمت بالاآن را به قسمت پایین بکشید تا یک مستطیل با اضلاع 2 و . بعد از این، دوباره با یک خط افقی، نیمه سمت راست این مستطیل را به دو نیم می کنیم و قسمت بالایی را به قسمت پایینی وصل می کنیم (مانند شکل 72). در ادامه این روند، مربع اصلی را که مساحت آن برابر با 1 است، به طور مداوم به شکل های هم اندازه تبدیل می کنیم (به شکل پلکانی با مراحل نازک کردن).

با ادامه بی نهایت این روند، کل مساحت مربع به تعداد نامتناهی عبارت تجزیه می شود - مساحت مستطیل ها با پایه های برابر با 1 و ارتفاع. مساحت مستطیل ها دقیقاً یک روند کاهشی بی نهایت را تشکیل می دهند، مجموع آن.

یعنی همانطور که انتظار می رود برابر با مساحت مربع باشد.

مثال. مجموع پیشرفت های نامتناهی زیر را بیابید:

راه حل، الف) متوجه می شویم که این پیشروی بنابراین با استفاده از فرمول (92.2) پیدا می کنیم

ب) در اینجا به این معنی است که با استفاده از همان فرمول (92.2) داریم

ج) در می یابیم که این پیشرفت مجموع ندارد.

در پاراگراف 5، استفاده از فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت بی‌نهایت کاهشی برای تبدیل یک کسر اعشاری تناوبی به یک کسر معمولی نشان داده شد.

تمرینات

1. مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش 3/5 است و مجموع چهار جمله اول آن 13/27 است. اولین جمله و مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

2. چهار عدد را بیابید که یک تصاعد هندسی متناوب را تشکیل می دهند، که در آن جمله دوم 35 از اولی کوچکتر و عدد سوم 560 از چهارمی بزرگتر است.

3. نشان دهید که اگر دنباله

یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش و سپس دنباله را تشکیل می دهد

برای هر یک، یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را تشکیل می دهد. آیا این بیانیه زمانی درست خواهد بود

فرمولی برای حاصل ضرب عبارات یک پیشرفت هندسی بدست آورید.

پیشرفت هندسی است نوع جدیددنباله عددی که قرار است با آن آشنا شویم. برای آشنایی موفق، حداقل دانستن و درک آن ضرری ندارد. سپس هیچ مشکلی با پیشرفت هندسی وجود نخواهد داشت.)

پیشرفت هندسی چیست؟ مفهوم پیشرفت هندسی.

تور را طبق معمول با اصول اولیه شروع می کنیم. من یک دنباله ناتمام از اعداد را می نویسم:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

آیا می توانید الگو را ببینید و بگویید کدام اعداد بعدی خواهند آمد؟ فلفل شفاف است، سپس اعداد 100000، 1000000 و غیره خواهد آمد. حتی بدون تلاش ذهنی زیاد، همه چیز روشن است، درست است؟)

خوب. مثالی دیگر. این سکانس را می نویسم:

1, 2, 4, 8, 16, …

آیا می توانید بگویید که کدام اعداد بعد از عدد 16 و نام آنها می آیند هشتمعضو سکانس؟ اگر فهمیدید که این عدد 128 خواهد بود، خیلی خوب است. بنابراین، نیمی از جنگ در درک است احساس، مفهومو امتیاز کلیدیپیشروی هندسی قبلا انجام شده است. می توانید بیشتر رشد کنید.)

و اکنون دوباره از احساسات به سمت ریاضیات سخت حرکت می کنیم.

نکات کلیدی پیشرفت هندسی

نکته کلیدی شماره 1

پیشرفت هندسی است دنباله ای از اعدادپیشرفت هم همینطور. چیز خاصی نیست. فقط این دنباله مرتب شده است متفاوتاز این رو طبیعتاً نام دیگری دارد، بله...

نکته کلیدی شماره 2

با نکته کلیدی دوم، سوال پیچیده تر خواهد بود. بیایید کمی به عقب برگردیم و ویژگی کلیدی پیشروی حسابی را به خاطر بسپاریم. ایناهاش: هر عضو با قبلی متفاوت است به همان میزان

آیا می توان یک ویژگی کلیدی مشابه برای یک پیشروی هندسی فرموله کرد؟ کمی فکر کنید... به مثال های داده شده دقت کنید. حدس زدی؟ آره! در پیشرفت هندسی (هر!) هر یک از اعضای آن با قبلی متفاوت است به همان تعداد دفعاتهمیشه!

در مثال اول این عدد ده است. هر کدام از اعضای دنباله را که انتخاب کنید، بزرگتر از قسمت قبلی است ده بار.

در مثال دوم یک دو است: هر عبارت بزرگتر از عبارت قبلی است دو برابر.

این نکته کلیدی است که پیشرفت هندسی با پیشروی حسابی متفاوت است. در یک تصاعد حسابی، هر جمله بعدی به دست می آید با اضافه کردنهمان مقدار ترم قبلی و اینجا - ضربترم قبلی به همان میزان. این همه تفاوت است.)

نکته کلیدی شماره 3

این نکته کلیدی کاملاً مشابه آن برای یک پیشروی حسابی است. برای مثال: هر عضو یک پیشرفت هندسی در جای خود می ایستد.همه چیز دقیقاً مانند پیشروی حسابی است و به نظر من نظرات غیرضروری است. عبارت اول وجود دارد، صد و یکم وجود دارد و غیره. اجازه دهید حداقل دو عبارت را با هم عوض کنیم - الگو (و همراه با آن پیشرفت هندسی) ناپدید می شود. چیزی که باقی خواهد ماند فقط دنباله ای از اعداد بدون هیچ منطقی است.

همین. این تمام نقطه پیشرفت هندسی است.

شرایط و تعاریف.

اما اکنون با درک معنا و نکات کلیدی پیشروی هندسی، می‌توانیم به سراغ نظریه برویم. وگرنه تئوری بدون درک معنی چیست، درست است؟

چگونه پیشروی هندسی را مشخص کنیم؟

پیشرفت هندسی چگونه نوشته می شود نمای کلی? مشکلی نیست! هر عبارت پیشرفت نیز به صورت یک حرف نوشته می شود. فقط برای پیشرفت حسابی، معمولا از حرف استفاده می شود "آ"، برای هندسی – حرف "ب". شماره عضو، طبق معمول نشان داده شده است ایندکس در پایین سمت راست. ما به سادگی اعضای خود پیشرفت را لیست می کنیم که با کاما یا نقطه ویرگول از هم جدا شده اند.

مثل این:

ب 1،ب 2 , ب 3 , ب 4 , ب 5 , ب 6 , …

به طور خلاصه، این پیشرفت به این صورت نوشته شده است: (b n) .

یا مانند این، برای پیشرفت های محدود:

ب 1، ب 2، ب 3، ب 4، ب 5، ب 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

یا به طور خلاصه:

(b n), n=30 .

این، در واقع، تمام تعیین است. همه چیز یکسان است، فقط حرف متفاوت است، بله.) و اکنون مستقیماً به تعریف می رویم.

تعریف پیشرفت هندسی

پیشروی هندسی یک دنباله عددی است که در آن جمله اول غیر صفر است و هر جمله بعدی برابر است با جمله قبلی ضرب در همان عدد غیر صفر.

این تمام تعریف است. بیشتر کلمات و عبارات برای شما واضح و آشنا هستند. البته اگر معنای پیشرفت هندسی "روی انگشتان" و به طور کلی را درک کنید. اما چند عبارت جدید نیز وجود دارد که مایلم به آنها توجه ویژه ای داشته باشم.

ابتدا کلمات: "اولین عضو که غیر صفر".

این محدودیت در دوره اول تصادفی نبود. فکر می کنید اگر عضو اول باشد چه اتفاقی می افتد ب 1 برابر صفر خواهد بود؟ اگر هر جمله بزرگتر از جمله قبلی باشد، جمله دوم برابر با چه خواهد بود؟ به همان تعداد بار؟سه بار بگوییم؟ بیایید ببینیم ... جمله اول (یعنی 0) را در 3 ضرب کنید و ... صفر شوید! عضو سوم چطور؟ همچنین صفر! و جمله چهارم هم صفر است! و غیره…

ما فقط یک کیسه شیرینی به دست می آوریم، دنباله ای از صفرها:

0, 0, 0, 0, …

البته چنین سکانسی حق حیات دارد، اما هیچ فایده عملی ندارد. همه چیز روشن است. هر عضوی از آن صفر است. مجموع هر تعداد عبارت هم صفر است... چه کارهای جالبی می توانید با آن انجام دهید؟ هیچ چیزی…

کلمات کلیدی زیر: "ضرب در همان عدد غیر صفر."

همین شماره نیز نام خاص خود را دارد - مخرج پیشرفت هندسی. بیایید شروع به آشنایی کنیم.)

مخرج یک تصاعد هندسی.

همه چیز به سادگی پوست انداختن گلابی است.

مخرج یک پیشرفت هندسی یک عدد (یا کمیت) غیر صفر است که نشان دهندهچند بارهر ترم پیشرفت بیشتر از قبلی

باز هم بر اساس قیاس با پیشرفت حسابی، کلمه کلیدینکته ای که در این تعریف باید به آن توجه کرد کلمه است "بیشتر". به این معنی است که هر ترم از پیشرفت هندسی به دست می آید ضرببه همین مخرج عضو قبلی

بگذار توضیح بدهم.

برای محاسبه، بیایید بگوییم دومیندیک، نیاز به گرفتن اولینعضو و تکثیر کردنآن را به مخرج. برای محاسبه دهمدیک، نیاز به گرفتن نهمعضو و تکثیر کردنآن را به مخرج.

مخرج خود پیشرفت هندسی می تواند هر چیزی باشد. مطلقاً هر کسی! کل، کسری، مثبت، منفی، غیر منطقی - همه چیز. به جز صفر این همان چیزی است که کلمه "غیر صفر" در تعریف به ما می گوید. چرا این کلمه در اینجا مورد نیاز است - در ادامه بیشتر در مورد آن.

مخرج پیشرفت هندسیاغلب با حرف نشان داده می شود q.

چگونه آن را پیدا کنیم q? مشکلی نیست! ما باید هر اصطلاحی از پیشرفت و تقسیم بر جمله قبلی. تقسیم است کسر. از این رو نام - "مخرج پیشرفت". مخرج معمولاً در کسری می نشیند، بله...) اگرچه منطقاً مقدار qباید نامیده شود خصوصیپیشرفت هندسی، شبیه به تفاوتبرای پیشرفت حسابی اما قبول کردیم که تماس بگیریم مخرج. و ما چرخ را نیز دوباره اختراع نمی کنیم.)

اجازه دهید برای مثال کمیت را تعریف کنیم qبرای این پیشرفت هندسی:

2, 6, 18, 54, …

همه چیز ابتدایی است. آن را بگیریم هرشماره ترتیب. ما هر چه بخواهیم می گیریم. به جز همان اولی به عنوان مثال، 18. و تقسیم بر شماره قبلی. یعنی در 6.

ما گرفتیم:

q = 18/6 = 3

همین. این جواب درست است. برای این پیشرفت هندسی، مخرج سه است.

حال بیایید مخرج را پیدا کنیم qبرای یک پیشرفت هندسی دیگر مثلا این یکی:

1, -2, 4, -8, 16, …

همه یکسان. مهم نیست که خود اعضا چه علائمی دارند، ما همچنان می گیریم هرشماره دنباله (مثلاً 16) و تقسیم بر شماره قبلی(یعنی -8).

ما گرفتیم:

د = 16/(-8) = -2

و بس.) این بار مخرج پیشرفت منفی بود. منهای دو اتفاق می افتد.)

حال بیایید این پیشرفت را در نظر بگیریم:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

و باز هم صرف نظر از نوع اعداد دنباله (اعداد صحیح، زوج، حتی منفی، حتی غیر منطقی)، هر عددی را (مثلاً 1/9) می گیریم و بر عدد قبلی (1/3) تقسیم می کنیم. البته طبق قوانین کار با کسرها.

ما گرفتیم:

این همه است.) در اینجا مخرج کسری است: q = 1/3.

نظر شما در مورد این "پیشرفت" چیست؟

3, 3, 3, 3, 3, …

بدیهی است اینجا q = 1 . به طور رسمی، این نیز یک پیشرفت هندسی است، فقط با اعضای یکسان.) اما چنین پیشرفت هایی برای مطالعه و کاربرد عملیجالب نیست. همان پیشروی هایی با صفرهای جامد. بنابراین، ما آنها را در نظر نخواهیم گرفت.

همانطور که می بینید، مخرج پیشرفت می تواند هر چیزی باشد - عدد صحیح، کسری، مثبت، منفی - هر چیزی! فقط نمی تواند صفر باشد. نمی توانید حدس بزنید چرا؟

خب بریم سراغ چندتا مثال خاصبیایید ببینیم اگر مخرج را در نظر بگیریم چه اتفاقی می افتد qصفر.) مثلاً داشته باشیم ب 1 = 2 ، آ q = 0 . در این صورت جمله دوم برابر با چه خواهد بود؟

حساب می کنیم:

ب 2 = ب 1 · q= 2 0 = 0

عضو سوم چطور؟

ب 3 = ب 2 · q= 0 0 = 0

انواع و رفتار پیشروی های هندسی.

همه چیز کم و بیش روشن بود: اگر تفاوت پیشرفت دمثبت است، سپس پیشرفت افزایش می یابد. اگر اختلاف منفی باشد، پیشرفت کاهش می یابد. تنها دو گزینه وجود دارد. سومی وجود ندارد.)

اما با رفتار پیشرفت هندسی، همه چیز بسیار جالب تر و متنوع تر خواهد بود!)

مهم نیست که اصطلاحات در اینجا چگونه رفتار می کنند: آنها افزایش می یابند و کاهش می یابند و به طور نامحدود به صفر نزدیک می شوند و حتی علائم را تغییر می دهند و به طور متناوب خود را به "بعلاوه" و سپس به "منهای" می اندازند! و در این همه تنوع باید بتوانید خوب درک کنید، بله...

بیایید آن را بفهمیم؟) اجازه دهید با ساده ترین مورد شروع کنیم.

مخرج مثبت است ( q >0)

با مخرج مثبت، اولاً، شرایط پیشرفت هندسی را می توان وارد کرد به علاوه بی نهایت(یعنی افزایش بدون محدودیت) و می تواند وارد شود منهای بی نهایت(یعنی کاهش بدون محدودیت). ما قبلاً به این رفتار پیشرفت عادت کرده ایم.

مثلا:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

اینجا همه چیز ساده است. هر ترم پیشرفت به دست می آید بیشتر از قبلی. علاوه بر این، هر اصطلاح معلوم می شود ضربعضو قبلی در مثبتشماره +2 (یعنی q = 2 ). رفتار چنین پیشرفتی واضح است: همه اعضای پیشرفت بدون محدودیت رشد می کنند و به فضا می روند. به علاوه بی نهایت...

و اکنون این پیشرفت است:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

در اینجا نیز هر ترم پیشرفت به دست می آید ضربعضو قبلی در مثبتشماره +2. اما رفتار چنین پیشرفتی دقیقاً برعکس است: هر جمله از پیشرفت به دست می آید کمتر از قبلی، و تمام اصطلاحات آن بدون محدودیت کاهش می یابد و به منهای بی نهایت می رسد.

حالا بیایید فکر کنیم: این دو پیشرفت چه مشترکاتی دارند؟ درست است، مخرج! اینجا و آنجا q = +2 . عدد مثبتدو و اینجا رفتار - اخلاقاین دو پیشرفت اساساً متفاوت هستند! نمی توانید حدس بزنید چرا؟ آره! همه چیز در مورد است اولین عضو!همانطور که می گویند او است که آهنگ را صدا می کند.) خودتان ببینید.

در حالت اول، ترم اول پیشرفت مثبت(+1) و بنابراین، تمام عبارات بعدی با ضرب در بدست می آیند مثبتمخرج q = +2 ، نیز خواهد بود مثبت

اما در مورد دوم، ترم اول منفی(-1). بنابراین، تمام شرایط بعدی از پیشرفت، به دست آمده از ضرب در مثبت q = +2 ، نیز بدست خواهد آمد منفی.زیرا "منهای" به "بعلاوه" همیشه "منهای" می دهد، بله.)

همانطور که می بینید، بر خلاف یک پیشروی حسابی، یک پیشروی هندسی می تواند کاملاً متفاوت عمل کند نه تنها بسته به از مخرجq، بلکه بسته به از اولین عضو، آره.)

به یاد داشته باشید: رفتار یک پیشروی هندسی به طور منحصر به فردی توسط اولین جمله آن تعیین می شود ب 1 و مخرجq .

و اکنون ما شروع به تجزیه و تحلیل موارد کمتر آشنا، اما بسیار جالب تر می کنیم!

به عنوان مثال، این دنباله را در نظر می گیریم:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

این دنباله هم یک پیشروی هندسی است! هر ترم از این پیشرفت نیز معلوم می شود ضربعضو قبلی، با همان تعداد. این فقط یک عدد است - کسری: q = +1/2 . یا +0,5 . علاوه بر این (مهم!) تعداد کمتر از یک:q = 1/2<1.

چرا این پیشرفت هندسی جالب است؟ اعضای آن به کجا می روند؟ بیایید نگاهی بیندازیم:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

چه چیزهای جالبی می توانید در اینجا متوجه شوید؟ اولاً، کاهش از نظر پیشرفت بلافاصله قابل توجه است: هر یک از اعضای آن کمترقبلی دقیقا 2 بار.یا با توجه به تعریف یک تصاعد هندسی، هر اصطلاح بیشترقبلی 1/2 بار، زیرا مخرج پیشرفت q = 1/2 . و وقتی در عدد مثبت کوچکتر از یک ضرب شود، نتیجه معمولا کاهش می یابد، بله...

چی بیشترآیا می توان در رفتار این پیشرفت مشاهده کرد؟ آیا اعضای آن در حال کاهش هستند؟ نامحدود، رفتن به منهای بی نهایت؟ نه! آنها به روشی خاص ناپدید می شوند. در ابتدا آنها به سرعت کاهش می یابند، و سپس بیشتر و آهسته تر. و در حالی که همیشه باقی می ماند مثبت. هر چند خیلی خیلی کوچک. و خودشان برای چه تلاش می کنند؟ حدس نزدید؟ آره! آنها به سمت صفر می کوشند!) علاوه بر این، توجه کنید، اعضای پیشرفت ما از صفر هستند هرگز نرسید!فقط بی نهایت نزدیک به او نزدیک می شود. این خیلی مهمه.)

وضعیت مشابهی در پیشرفت زیر رخ خواهد داد:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

اینجا ب 1 = -1 ، آ q = 1/2 . همه چیز یکسان است، فقط اکنون شرایط از طرف دیگر، از پایین به صفر نزدیک می شود. همیشه ماندن منفی.)

چنین پیشرفت هندسی که شرایط آن بدون محدودیت به صفر نزدیک شوید(از جنبه مثبت یا منفی) در ریاضیات نام خاصی دارد - پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است.این پیشرفت آنقدر جالب و غیرعادی است که حتی در مورد آن بحث خواهد شد درس جداگانه .)

بنابراین، ما همه چیز را ممکن در نظر گرفتیم مثبتمخرج ها هم بزرگ و هم کوچکتر هستند. ما خود واحد را به دلایل ذکر شده در بالا مخرج نمی دانیم (مثال را با دنباله ای از سه قلوها به خاطر بسپارید...)

بیایید خلاصه کنیم:

مثبتو بیش از یکی (q>1)، سپس شرایط پیشرفت:

آافزایش بدون محدودیت (اگرب 1 >0);

ب) کاهش بدون محدودیت (اگرب 1 <0).

اگر مخرج تصاعد هندسی مثبت و کمتر از یک (0< q<1), то члены прогрессии:

الف) بی نهایت نزدیک به صفر در بالا(اگرب 1 >0);

ب) نزدیک شدن بی نهایت نزدیک به صفر در ذیل(اگرب 1 <0).

اکنون بررسی این پرونده باقی مانده است مخرج منفی

مخرج منفی است ( q <0)

برای مثال راه دوری نمی رویم. چرا دقیقا ننه پشمالو؟!) مثلا ترم اول پیشرفت باشه ب 1 = 1 ، و مخرج را می گیریم q = -2.

دنباله زیر را دریافت می کنیم:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

و به همین ترتیب.) هر عبارت از پیشرفت به دست می آید ضربعضو قبلی در یک عدد منفی-2. در این صورت، تمام اعضای ایستاده در مکان های فرد (اول، سوم، پنجم و ...) خواهند بود. مثبتو در مکان های زوج (دوم، چهارم و غیره) – منفی.نشانه ها به شدت متناوب هستند. بعلاوه - منهای - بعلاوه - منهای ... این پیشرفت هندسی نامیده می شود - علامت در حال افزایش متناوب

اعضای آن به کجا می روند؟ اما هیچ جا.) بله، در مقدار مطلق (یعنی مدول)اعضای پیشرفت ما بدون محدودیت افزایش می یابند (از این رو نام "افزایش" نامیده می شود). اما در همان زمان، هر یک از اعضای پیشرفت به طور متناوب شما را به گرما و سپس به سرما می اندازد. یا "بعلاوه" یا "منهای". پیشرفت ما در حال تزلزل است... علاوه بر این، دامنه نوسانات با هر قدم به سرعت در حال رشد است، بله.) بنابراین، آرزوهای اعضای پیشرفت به جایی می رود. به طور مشخصاینجا خیرنه به اضافه بی نهایت، نه به منهای بی نهایت، نه به صفر - هیچ جا.

حال اجازه دهید مقداری مخرج کسری بین صفر و منهای یک را در نظر بگیریم.

مثلاً بگذارید باشد ب 1 = 1 ، آ q = -1/2.

سپس ما پیشرفت را دریافت می کنیم:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

و باز هم تناوب نشانه ها داریم! اما، بر خلاف مثال قبلی، در اینجا قبلاً تمایل آشکاری برای نزدیک شدن عبارات به صفر وجود دارد.) فقط این بار عبارت‌های ما نه دقیقاً از بالا یا پایین، بلکه دوباره به صفر نزدیک می‌شوند. مردد. به طور متناوب مقادیر مثبت و منفی را در نظر بگیرید. اما در عین حال آنها ماژول هابه صفر گرامی نزدیک تر و نزدیک تر می شوند.)

این پیشرفت هندسی نامیده می شود علامت بی نهایت در حال کاهش، متناوب.

چرا این دو مثال جالب هستند؟ و این واقعیت که در هر دو مورد اتفاق می افتد تناوب نشانه ها!این ترفند فقط برای پیشروی هایی با مخرج منفی معمول است، بله.) بنابراین، اگر در برخی کارها یک پیشروی هندسی با عبارت های متناوب مشاهده کردید، از قبل مطمئن خواهید بود که مخرج آن 100٪ منفی است و اشتباه نخواهید کرد. در علامت.)

به هر حال، در مورد مخرج منفی، علامت جمله اول به هیچ وجه بر رفتار خود پیشرفت تأثیر نمی گذارد. صرف نظر از علامت ترم اول پیشروی، در هر صورت علامت شروط رعایت خواهد شد. تنها سوال این است که در چه مکان هایی( زوج یا فرد ) اعضایی با علائم مشخص وجود خواهند داشت.

یاد آوردن:

اگر مخرج تصاعد هندسی منفی ، سپس نشانه های شرایط ترقی همیشه هستند متناوب.

در عین حال خود اعضا:

الف) افزایش بدون محدودیتمدول، اگرq<-1;

ب) اگر -1 بی نهایت به صفر نزدیک شوید< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

همین. همه موارد معمولی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته اند.)

در فرآیند تجزیه و تحلیل انواع نمونه های پیشرفت هندسی، من به طور دوره ای از کلمات استفاده می کنم: "به سمت صفر گرایش دارد", "تمایل به به اضافه بی نهایت", "به منهای بی نهایت تمایل دارد"... اشکالی ندارد.) این شکل های گفتاری (و مثال های خاص) فقط یک مقدمه اولیه برای رفتار - اخلاقانواع توالی اعداد با استفاده از مثال پیشرفت هندسی.

چرا ما حتی باید رفتار پیشرفت را بدانیم؟ چه فرقی می کند کجا می رود؟ به سمت صفر، به اضافه بی نهایت، به منهای بی نهایت... این با ما چه می کند؟

مسئله این است که در حال حاضر در دانشگاه، در یک دوره ریاضیات عالی، به توانایی کار با طیف گسترده ای از دنباله های عددی (با هر کدام، نه فقط پیشرفت!) و توانایی تصور دقیقاً چگونه این یا آن دنباله نیاز دارید. رفتار می کند - چه افزایش یابد چه به طور نامحدود کاهش یابد، چه به یک عدد خاص (و نه لزوماً به صفر) تمایل پیدا کند یا حتی به هیچ چیز تمایل نداشته باشد ... یک بخش کامل در دوره ریاضی به این موضوع اختصاص داده شده است. تحلیل و بررسی - نظریه حدودو کمی بیشتر به طور خاص - مفهوم محدودیت دنباله اعدادیک موضوع بسیار جالب! منطقی است که به دانشگاه بروید و آن را بفهمید.)

چند نمونه از این بخش (دنباله های دارای محدودیت) و به طور خاص، پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش استآنها شروع به عادت کردن به آن در مدرسه می کنند. ما داریم به آن عادت می کنیم.)

علاوه بر این، توانایی مطالعه خوب رفتار سکانس ها در آینده برای شما بسیار مفید خواهد بود و در تحقیق عملکردمتنوع ترین. اما توانایی کار با توابع (محاسبه مشتقات، مطالعه کامل آنها، ساختن نمودارهای آنها) در حال حاضر به طور چشمگیری سطح ریاضی شما را افزایش می دهد! آیا شما شک دارید؟ نیازی نیست. همچنین سخنان من را به خاطر بسپار.)

بیایید به پیشرفت هندسی در زندگی نگاه کنیم؟

در زندگی اطراف خود، ما اغلب بسیار بسیار زیاد با پیشرفت هندسی روبرو می شویم. حتی بدون اینکه بدانم.)

به عنوان مثال، میکروارگانیسم‌های مختلفی که ما را در همه جا در مقادیر زیاد احاطه کرده‌اند و حتی بدون میکروسکوپ هم نمی‌توانیم آن‌ها را ببینیم، دقیقاً در پیشرفت هندسی ضرب می‌شوند.

فرض کنید یک باکتری با تقسیم به نصف تکثیر می‌شود و فرزندان را به ۲ باکتری می‌دهد. به نوبه خود ، هر یک از آنها هنگام تکثیر نیز به نصف تقسیم می شوند و فرزندان مشترکی از 4 باکتری به دست می آورند. نسل بعدی 8 باکتری، سپس 16 باکتری، 32، 64 و غیره تولید خواهد کرد. با هر نسل بعدی، تعداد باکتری ها دو برابر می شود. یک مثال معمولی از یک پیشرفت هندسی.)

همچنین برخی از حشرات - شته ها و مگس ها - به طور تصاعدی تکثیر می شوند. و به هر حال گاهی اوقات خرگوش نیز.)

نمونه دیگری از پیشرفت هندسی، نزدیکتر به زندگی روزمره، به اصطلاح است بهره مرکب.این پدیده جالب اغلب در سپرده های بانکی یافت می شود و نامیده می شود سرمایه گذاری بهرهآن چیست؟

البته شما خودتان هنوز جوان هستید. شما در مدرسه درس می خوانید، به بانک نمی روید. اما والدین شما در حال حاضر بالغ و افراد مستقلی هستند. آنها سر کار می روند، برای نان روزانه خود پول در می آورند و بخشی از پول را در بانک می گذارند و پس انداز می کنند.)

فرض کنید پدر شما می خواهد مقدار مشخصی پول را برای تعطیلات خانوادگی در ترکیه پس انداز کند و 50000 روبل با 10٪ در سال برای یک دوره سه ساله در بانک می گذارد. با سرمایه سود سالانهعلاوه بر این، در تمام این مدت هیچ کاری نمی توان با سپرده انجام داد. شما نه می توانید سپرده را پر کنید و نه می توانید پول را از حساب برداشت کنید. بعد از این سه سال چقدر سود می کند؟

خوب، اول از همه، ما باید بفهمیم که 10٪ در سال چقدر است. این به آن معنا است در یک سالبانک 10 درصد به مبلغ سپرده اولیه اضافه می کند. از چی؟ البته از مبلغ سپرده اولیه

اندازه حساب را بعد از یک سال محاسبه می کنیم. اگر مبلغ سپرده اولیه 50000 روبل (یعنی 100٪) بود، پس از یک سال چقدر سود در حساب وجود خواهد داشت؟ درست است، 110٪! از 50000 روبل.

بنابراین ما 110٪ از 50000 روبل را محاسبه می کنیم:

50000 · 1.1 = 55000 روبل.

امیدوارم متوجه شده باشید که یافتن 110 درصد یک مقدار به معنای ضرب آن مقدار در عدد 1.1 است؟ اگر نمی‌دانید چرا اینطور است، کلاس پنجم و ششم را به خاطر بسپارید. برای مثال - ارتباط بین درصدها و کسرها و قطعات.)

بنابراین، افزایش برای سال اول 5000 روبل خواهد بود.

دو سال دیگر چقدر پول وارد حساب می شود؟ 60000 روبل؟ متأسفانه (یا به جای، خوشبختانه)، همه چیز چندان ساده نیست. کل ترفند سرمایه‌گذاری بهره این است که با هر اقلام تعهدی بهره جدید، همین سودها قبلاً در نظر گرفته می‌شوند از مبلغ جدید!از اونی که قبلا، پیش از اینروی حساب است درحال حاضر.و سود تعلق گرفته برای دوره قبل به مبلغ سپرده اصلی اضافه می شود و به این ترتیب خود در محاسبه سود جدید شرکت می کند! یعنی تبدیل به بخشی کامل از حساب کلی می شوند. یا عمومی سرمایه، پایتخت.از این رو نام - سرمایه گذاری بهره

در اقتصاد است. و در ریاضیات به چنین درصدهایی گفته می شود بهره مرکب.یا درصد بهره) ترفند آنها این است که هنگام محاسبه متوالی، هر بار درصدها محاسبه می شود از مقدار جدیدو نه از اصل...

بنابراین، برای محاسبه مقدار از طریق دو سال، باید 110 درصد مبلغی که در حساب خواهد بود را محاسبه کنیم در یک سال.یعنی در حال حاضر از 55000 روبل.

ما 110٪ از 55000 روبل را محاسبه می کنیم:

55000 · 1.1 = 60500 روبل.

این بدان معنی است که درصد افزایش برای سال دوم 5500 روبل و برای دو سال 10500 روبل خواهد بود.

اکنون می توانید حدس بزنید که پس از سه سال مبلغ در حساب 110٪ از 60500 روبل خواهد بود. یعنی باز هم 110 درصد از سال قبل (سال گذشته)مقادیر

در اینجا ما فکر می کنیم:

60500·1.1 = 66550 روبل.

اکنون مقادیر پولی خود را بر اساس سال به ترتیب مرتب می کنیم:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000·1.1 = (50000·1.1)·1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

خوب ... چطوره؟ چرا پیشرفت هندسی ندارد؟ عضو اول ب 1 = 50000 ، و مخرج q = 1,1 . هر عبارت به شدت 1.1 برابر بزرگتر از عبارت قبلی است. همه چیز مطابق با تعریف است.)

و در حالی که پدر شما سه سال است که 50000 روبل در حساب بانکی او وجود دارد، چقدر پاداش بهره اضافی «انباشته» خواهد کرد؟

حساب می کنیم:

66550 - 50000 = 16550 روبل

البته نه زیاد. اما این در صورتی است که مبلغ سپرده اولیه کم باشد. اگر بیشتر باشد چه؟ بیایید بگوییم، نه 50، بلکه 200 هزار روبل؟ سپس این افزایش طی سه سال 66200 روبل خواهد بود (اگر حساب کنید). که در حال حاضر بسیار خوب است.) اگر سهم حتی بیشتر باشد چه؟ خودشه...

نتیجه‌گیری: هرچه سپرده اولیه بیشتر باشد، سود سرمایه‌گذاری سود بیشتر می‌شود. به همین دلیل است که سپرده های با سود سرمایه برای مدت طولانی توسط بانک ها ارائه می شود. فرض کنید برای پنج سال.

همچنین، انواع بیماری های بد مانند آنفولانزا، سرخک و حتی بیماری های وحشتناک تر (همان سارس در اوایل دهه 2000 یا طاعون در قرون وسطی) دوست دارند به طور تصاعدی گسترش یابند. از این رو مقیاس همه گیری ها، بله...) و همه به دلیل این واقعیت است که پیشرفت هندسی با مخرج کل مثبت (q>1) - چیزی که خیلی سریع رشد می کند! تولید مثل باکتری ها را به خاطر بسپارید: از یک باکتری دو تا، از دو - چهار، از چهار - هشت و غیره به دست می آید... با انتشار هر عفونتی هم همینطور است.)

ساده ترین مسائل مربوط به پیشرفت هندسی

بیایید مثل همیشه با یک مشکل ساده شروع کنیم. صرفا برای فهمیدن معنی.

1. معلوم است که جمله دوم پیشرفت هندسی 6 است و مخرج آن 0.5- است. عبارت اول، سوم و چهارم را بیابید.

پس به ما داده می شود بی پایانپیشرفت هندسی، اما شناخته شده است ترم دوماین پیشرفت:

b 2 = 6

علاوه بر این، ما نیز می دانیم مخرج پیشرفت:

q = -0.5

و باید پیدا کنی اول، سومو چهارماعضای این پیشرفت

پس عمل می کنیم. توالی را با توجه به شرایط مسئله یادداشت می کنیم. به طور مستقیم به شکل کلی، که در آن ترم دوم شش است:

b 1، 6،ب 3 , ب 4 , …

حالا بیایید شروع به جستجو کنیم. ما مثل همیشه با ساده ترین ها شروع می کنیم. می توانید برای مثال ترم سوم را محاسبه کنید ب 3? می توان! من و شما قبلاً می دانیم (مستقیماً به معنای پیشرفت هندسی) که ترم سوم (ب 3)بیشتر از دومی (ب 2 ) V "ق"یک بار!

پس می نویسیم:

b 3 =ب 2 · q

ما شش را به جای این عبارت جایگزین می کنیم ب 2و در عوض -0.5 qو ما حساب می کنیم. و البته منهای را هم نادیده نمی گیریم...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

مثل این. ترم سوم منفی شد. جای تعجب نیست: مخرج ما q- منفی. و ضرب یک مثبت در منفی، البته منفی خواهد بود.)

اکنون ترم بعدی و چهارم پیشرفت را می شماریم:

b 4 =ب 3 · q

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

ترم چهارم دوباره با یک امتیاز است. ترم پنجم دوباره منهای، ششم به اضافه و غیره خواهد بود. علائم متناوب!

بنابراین، عبارت سوم و چهارم پیدا شد. نتیجه به ترتیب زیر است:

b 1 ; 6; -3؛ 1.5; ...

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند یافتن اولین ترم است ب 1با توجه به دوم معروف. برای این کار در جهت دیگر یعنی سمت چپ قدم می گذاریم. این بدان معنی است که در این حالت نیازی نیست که جزء دوم پیشرفت را در مخرج ضرب کنیم، اما تقسیم کردن

تقسیم می کنیم و بدست می آوریم:

این همه است.) پاسخ مسئله به این صورت خواهد بود:

-12; 6; -3; 1,5; …

همانطور که می بینید، اصل حل همان است که در . ما میدانیم هرعضو و مخرجپیشرفت هندسی - ما می توانیم هر عضو دیگری از آن را پیدا کنیم. ما موردی را که می خواهیم پیدا خواهیم کرد.) تنها تفاوت این است که جمع/تفریق با ضرب/تقسیم جایگزین می شود.

به یاد داشته باشید: اگر حداقل یک عضو و مخرج یک تصاعد هندسی را بدانیم، همیشه می‌توانیم هر عضو دیگری از این پیشرفت را پیدا کنیم.

مشکل زیر، طبق سنت، از یک نسخه واقعی OGE است:

2.

...; 150; ایکس؛ 6; 1.2; ...

خوب ... چطوره؟ این بار نه اولین جمله وجود دارد، نه مخرج q، فقط یک دنباله از اعداد داده شده است ... چیزی از قبل آشنا است، درست است؟ آره! یک مشکل مشابه قبلا در پیشروی حسابی حل شده است!

پس ما نمی ترسیم. همه یکسان. بیایید سر خود را بچرخانیم و معنای ابتدایی پیشرفت هندسی را به خاطر بسپاریم. ما با دقت به دنباله خود نگاه می کنیم و متوجه می شویم که کدام پارامترهای پیشرفت هندسی سه مورد اصلی (جمله اول، مخرج، شماره عبارت) در آن پنهان شده است.

شماره اعضا؟ شماره عضویت وجود ندارد، بله... اما چهار عدد وجود دارد متوالیشماره. من هیچ فایده ای برای توضیح این کلمه در این مرحله نمی بینم.) آیا دو مورد وجود دارد اعداد شناخته شده همسایه؟بخور! اینها 6 و 1.2 هستند. بنابراین ما می توانیم پیدا کنیم مخرج پیشرفتبنابراین عدد 1.2 را می گیریم و تقسیم می کنیم به شماره قبلیبه شش.

ما گرفتیم:

ما گرفتیم:

ایکس= 150·0.2 = 30

پاسخ: ایکس = 30 .

همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده است. مشکل اصلی فقط در محاسبات است. به ویژه در مورد مخرج های منفی و کسری دشوار است. پس اونایی که مشکل دارن حسابی رو تکرار کنن! نحوه کار با کسری، نحوه کار با اعداد منفی و ... وگرنه اینجا بی رحمانه سرعتتان کم می شود.

حالا بیایید مشکل را کمی اصلاح کنیم. حالا قراره جالب بشه! بیایید آخرین عدد 1.2 را از آن حذف کنیم. حالا بیایید این مشکل را حل کنیم:

3. چندین عبارت متوالی از پیشرفت هندسی نوشته شده است:

...; 150; ایکس؛ 6; ...

عبارت پیشرفت را که با حرف x نشان داده شده است، پیدا کنید.

همه چیز یکسان است، فقط دو تا مجاور معروفما در حال حاضر هیچ عضوی از پیشرفت نداریم. این مشکل اصلی است. چون بزرگی qاز طریق دو عبارت مجاور به راحتی می توانیم تعیین کنیم ما نمی توانیمآیا ما فرصتی برای کنار آمدن با کار داریم؟ قطعا!

بیایید اصطلاح ناشناخته را بنویسیم " ایکس"مستقیماً در معنای پیشرفت هندسی! به طور کلی.

بله بله! درست با مخرج ناشناخته!

از یک طرف، برای X می توانیم نسبت زیر را بنویسیم:

ایکس= 150 ·q

از طرف دیگر، ما کاملاً حق داریم که همین X را از طریق توصیف کنیم بعدعضو، از طریق شش! شش را بر مخرج تقسیم کنید.

مثل این:

ایکس = 6/ q

بدیهی است که اکنون می توانیم هر دوی این نسبت ها را معادل سازی کنیم. از آنجایی که بیان می کنیم همانقدر (x)، اما دو راه های مختلف.

معادله را بدست می آوریم:

ضرب کردن همه چیز در qبا ساده سازی و کوتاه کردن، معادله را بدست می آوریم:

q2 = 1/25

حل می کنیم و می گیریم:

q = 1/5 ± = 0.2 ±

اوه! مخرج دو برابر شد! +0.2 و -0.2. و کدام یک را باید انتخاب کنید؟ بن بست؟

آرام! بله، مشکل واقعا وجود دارد دو راه حل!ایرادی نداره این اتفاق می افتد.) وقتی مثلاً هنگام حل مشکل معمولی دو ریشه می گیرید تعجب نمی کنید؟ اینجا هم همین داستان است.)

برای q = +0.2دریافت خواهیم کرد:

X = 150 0.2 = 30

و برای q = -0,2 اراده:

X = 150·(-0.2) = -30

ما یک پاسخ دوگانه دریافت می کنیم: ایکس = 30; ایکس = -30.

این واقعیت جالب به چه معناست؟ و آنچه وجود دارد دو پیشرفت، ارضای شرایط مشکل!

مثل اینها:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

هر دو مناسب هستند.) به نظر شما چرا ما در پاسخ ها اختلاف داشتیم؟ فقط به دلیل حذف یک عضو خاص از پیشرفت (1،2)، بعد از شش. و با دانستن تنها ترم های قبلی (n-1) و بعدی (n+1) ترم هندسی، دیگر نمی توانیم چیزی به طور واضح در مورد nامین ترم بین آنها بگوییم. دو گزینه وجود دارد - با یک مثبت و با یک منفی.

ولی اشکالی ندارد. به عنوان یک قاعده، در وظایف مربوط به پیشرفت هندسی، اطلاعات اضافی وجود دارد که پاسخی بدون ابهام می دهد. بیایید کلمات را بگوییم: "پیشرفت متناوب"یا "پیشرفت با مخرج مثبت"و غیره... این کلمات هستند که باید به عنوان سرنخ در مورد اینکه کدام علامت مثبت یا منفی هنگام تهیه پاسخ نهایی باید انتخاب شود. اگر چنین اطلاعاتی وجود نداشته باشد، بله، این وظیفه خواهد بود دو راه حل)

حالا خودمون تصمیم میگیریم

4. تعیین کنید که آیا عدد 20 عضوی از یک تصاعد هندسی است یا خیر:

4 ; 6; 9; …

5. علامت یک پیشرفت هندسی متناوب داده شده است:

…; 5; ایکس ; 45; …

عبارت پیشرفت را که با حرف مشخص شده است پیدا کنید ایکس .

6. چهارمین جمله مثبت پیشرفت هندسی را بیابید:

625; -250; 100; …

7. جمله دوم پیشروی هندسی برابر با 360- و جمله پنجم آن برابر با 04/23 است. عبارت اول این پیشرفت را پیدا کنید.

پاسخ ها (در بی نظمی): -15; 900; خیر؛ 2.56.

تبریک می گویم اگر همه چیز درست شد!

چیزی مناسب نیست؟ جایی جواب مضاعف بود؟ شرایط تکلیف را با دقت بخوانید!

آخرین مشکل حل نمی شود؟ هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.) ما مستقیماً بر اساس معنای پیشرفت هندسی کار می کنیم. خوب، شما می توانید یک تصویر بکشید. آن کمک می کند.)

همانطور که می بینید، همه چیز ابتدایی است. اگر پیشرفت کوتاه باشد. اگه طولانی باشه چی؟ یا تعداد اعضای مورد نیاز بسیار زیاد است؟ من می خواهم، بر اساس قیاس با پیشرفت حسابی، به نوعی فرمول مناسبی به دست بیاورم که یافتن آن را آسان می کند. هراصطلاح هر پیشرفت هندسی با شماره اوبدون ضرب چند و چند برابر q. و چنین فرمولی وجود دارد!) جزئیات در درس بعدی است.

درس و ارائه با موضوع: "توالی اعداد. پیشرفت هندسی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس نهم
قدرت ها و ریشه ها توابع و نمودارها

بچه ها امروز با نوع دیگری از پیشرفت آشنا می شویم.
موضوع درس امروز پیشرفت هندسی است.

پیشرفت هندسی

تعریف. دنباله‌ای عددی که در آن هر جمله، که از دومی شروع می‌شود، برابر حاصل ضرب عدد قبلی و مقداری ثابت است، تصاعد هندسی نامیده می‌شود.
بیایید دنباله خود را به صورت بازگشتی تعریف کنیم: $b_(1)=b$، $b_(n)=b_(n-1)*q$،
که در آن b و q اعداد معینی هستند. عدد q را مخرج پیشروی می گویند.

مثال. 1،2،4،8،16... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با یک و $q=2$ است.

مثال. 8،8،8،8... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با هشت است،
و $q=1$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... پیشرفت هندسی که جمله اول برابر با سه است.
و $q=-1$.

پیشروی هندسی دارای خاصیت یکنواختی است.
اگر $b_(1)>0$، $q>1$،
سپس توالی در حال افزایش است.
اگر $b_(1)>0$، $0 دنباله معمولاً به این شکل نشان داده می شود: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.

درست مانند یک تصاعد حسابی، اگر در یک تصاعد هندسی تعداد عناصر متناهی باشد، آن پیشرفت را یک تصاعد هندسی محدود می نامند.

$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
توجه داشته باشید که اگر دنباله ای یک تصاعد هندسی باشد، دنباله مربع های عبارت نیز یک تصاعد هندسی است. در دنباله دوم، جمله اول برابر با $b_(1)^2$ و مخرج برابر با $q^2$ است.

فرمول برای ترم n یک پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی را می توان به صورت تحلیلی نیز مشخص کرد. بیایید ببینیم چگونه این کار را انجام دهیم:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
ما به راحتی متوجه این الگو می شویم: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
فرمول ما «فرمول نهمین ترم یک پیشروی هندسی» نام دارد.

بیایید به مثال های خود بازگردیم.

مثال. 1،2،4،8،16 ... پیشرفت هندسی که در آن جمله اول برابر با یک است،
و $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

مثال. 16،8،4،2،1،1/2... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با شانزده و $q=\frac(1)(2)$ است.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

مثال. 8,8,8,8... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با هشت و $q=1$ است.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با سه و $q=-1$ است.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

مثال. با توجه به یک پیشرفت هندسی $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
الف) معلوم است که $b_(1)=6، q=3$. $b_(5)$ را پیدا کنید.
ب) معلوم است که $b_(1)=6، q=2، b_(n)=768$. n را پیدا کنید.
ج) معلوم است که $q=-2، b_(6)=96$. $b_(1)$ را پیدا کنید.
د) معلوم است که $b_(1)=-2، b_(12)=4096$. q را پیدا کنید.

راه حل.
الف) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، زیرا $2^7=128 => n-1=7; n=8 دلار
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

مثال. تفاوت جمله هفتم و پنجم پیشرفت هندسی 192 است، مجموع جمله های پنجم و ششم پیشروی 192 است. جمله دهم این پیشروی را بیابید.

راه حل.
می دانیم که: $b_(7)-b_(5)=192$ و $b_(5)+b_(6)=192$.
ما همچنین می دانیم: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
سپس:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ما یک سیستم معادلات دریافت کردیم:
$\begin(موارد)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(موارد)$.
با معادل سازی معادلات به دست می آوریم:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
ما دو راه حل q دریافت کردیم: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
به ترتیب در معادله دوم جایگزین کنید:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ هیچ راه حلی وجود ندارد.
دریافتیم که: $b_(1)=4، q=2$.
بیایید عبارت دهم را پیدا کنیم: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

مجموع یک پیشرفت هندسی محدود

اجازه دهید یک پیشرفت هندسی محدود داشته باشیم. بیایید، درست مانند یک پیشروی حسابی، مجموع عبارت های آن را محاسبه کنیم.

اجازه دهید یک پیشرفت هندسی محدود داده شود: $b_(1)،b_(2)،…،b_(n-1)،b_(n)$.
اجازه دهید نام را برای مجموع عبارت‌های آن معرفی کنیم: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
در صورتی که $q=1$. تمام عبارات پیشروی هندسی برابر با جمله اول هستند، پس واضح است که $S_(n)=n*b_(1)$.
حال اجازه دهید مورد $q≠1$ را در نظر بگیریم.
مقدار فوق را در q ضرب می کنیم.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
توجه داشته باشید:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

ما فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی محدود را به دست آورده ایم.

مثال.
مجموع هفت جمله اول یک تصاعد هندسی که جمله اول آن 4 و مخرج آن 3 است را بیابید.

راه حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

مثال.
جمله پنجم پیشرفت هندسی را که مشخص است بیابید: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

راه حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
4095-$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q = $1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

ویژگی مشخصه پیشرفت هندسی

بچه ها، یک پیشرفت هندسی داده شده است. بیایید به سه عضو متوالی آن نگاه کنیم: $b_(n-1)،b_(n)،b_(n+1)$.
ما آن را میدانیم:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
سپس:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
اگر پیشرفت متناهی باشد، آنگاه این برابری برای همه ترم ها به جز اولین و آخرین برقرار است.
اگر از قبل معلوم نباشد که دنباله چه شکلی دارد، اما معلوم است که: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
سپس می توان با اطمینان گفت که این یک پیشرفت هندسی است.

یک دنباله اعداد فقط زمانی یک تصاعد هندسی است که مجذور هر عضو برابر با حاصلضرب دو عضو مجاور پیشرفت باشد. فراموش نکنید که برای یک پیشرفت متناهی این شرط برای ترم های اول و آخر برآورده نمی شود.

بیایید به این هویت نگاه کنیم: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ میانگین نامیده می شود اعداد هندسیالف و ب

مدول هر جمله یک پیشروی هندسی برابر است با میانگین هندسی دو جمله همسایه آن.

مثال.
x را طوری پیدا کنید که $x+2; 2x+2; 3x+3$ سه عبارت متوالی از یک پیشرفت هندسی بودند.

راه حل.
بیایید از ویژگی مشخصه استفاده کنیم:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و $x_(2)=-1$.
اجازه دهید راه حل های خود را به صورت متوالی با عبارت اصلی جایگزین کنیم:
با $x=2$، دنباله را دریافت کردیم: 4;6;9 - یک پیشرفت هندسی با $q=1.5$.
برای $x=-1$، دنباله را دریافت می کنیم: 1;0;0.
پاسخ: $x=2.$

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1. هشتمین جمله اول پیشروی هندسی 16;-8;4;-2… را بیابید.
2. جمله دهم پیشروی هندسی 11،22،44 را بیابید.
3. معلوم است که $b_(1)=5، q=3$. $b_(7)$ را پیدا کنید.
4. معلوم است که $b_(1)=8، q=-2، b_(n)=512$. n را پیدا کنید.
5. مجموع 11 جمله اول پیشروی هندسی 3;12;48... را بیابید.
6. x را طوری پیدا کنید که $3x+4; 2x+4; x+5$ سه جمله متوالی یک پیشرفت هندسی هستند.