\(\blacktriangleright\) Για να βρείτε το μεγαλύτερο/ μικρότερη τιμήσυνάρτηση στο τμήμα \(\) , είναι απαραίτητο να απεικονιστεί σχηματικά το γράφημα της συνάρτησης σε αυτό το τμήμα.
Στα προβλήματα από αυτό το υποθέμα, αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την παράγωγο: βρείτε τα διαστήματα αύξησης (\(f">0\) ) και μείωσης (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) Μην ξεχνάτε ότι η συνάρτηση μπορεί να λάβει τη μέγιστη/μικρότερη τιμή όχι μόνο στα εσωτερικά σημεία του τμήματος \(\) , αλλά και στα άκρα του.
\(\blacktriangleright\) Η μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι η τιμή της συντεταγμένης \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης \(f(t(x))\) αναζητείται σύμφωνα με τον κανόνα: \[(\Μεγάλο(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Perivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Συνάρτηση) f(x) & \text(Παράγωγο) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(πίνακας)\]
Εργασία 1 #2357
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y = e^(x^2 - 4)\) στο διάστημα \([-10; -2]\) .
ODZ: \(x\) - αυθαίρετο.
1) \
\ Άρα \(y" = 0\) όταν \(x = 0\) .
3) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\) στο εξεταζόμενο τμήμα \([-10; -2]\) :
4) Σκίτσο του γραφήματος στο τμήμα \([-10; -2]\) :
Έτσι, η συνάρτηση φτάνει τη μικρότερη τιμή της στο \([-10; -2]\) στο \(x = -2\) .
\ Σύνολο: \(1\) είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y\) στο \([-10; -2]\) .
Απάντηση: 1
Εργασία 2 #2355
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\)στο τμήμα \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) - αυθαίρετο.
1) \
Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία (δηλαδή τα εσωτερικά σημεία του τομέα της συνάρτησης, στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με \(0\) ή δεν υπάρχει): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]Η παράγωγος υπάρχει για οποιοδήποτε \(x\) .
2) Βρείτε τα διαστήματα του σταθερού πρόσημου \(y"\) :
3) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\) στο εξεταζόμενο τμήμα \([-1; 1]\) :
4) Σκίτσο του γραφήματος στο τμήμα \([-1; 1]\) :
Έτσι, η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο \([-1; 1]\) στο \(x = -1\) ή στο \(x = 1\) . Ας συγκρίνουμε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία.
\ Σύνολο: \(2\) είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης \(y\) στο \([-1; 1]\) .
Απάντηση: 2
Εργασία 3 #2356
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y = \cos 2x\) στο διάστημα \(\) .
ODZ: \(x\) - αυθαίρετο.
1) \
Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία (δηλαδή τα εσωτερικά σημεία του τομέα της συνάρτησης, στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με \(0\) ή δεν υπάρχει): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]Η παράγωγος υπάρχει για οποιοδήποτε \(x\) .
2) Βρείτε τα διαστήματα του σταθερού πρόσημου \(y"\) :
(εδώ υπάρχει άπειρος αριθμός διαστημάτων στα οποία εναλλάσσονται τα πρόσημα της παραγώγου).
3) Ας βρούμε διαστήματα σταθερότητας \(y"\) στο εξεταζόμενο τμήμα \(\) :
4) Σκίτσο του γραφήματος στο τμήμα \(\) :
Έτσι, η συνάρτηση φτάνει τη μικρότερη τιμή της στο \(\) στο \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .
\ Σύνολο: \(-1\) είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y\) στο \(\) .
Απάντηση: -1
Εργασία 4 #915
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Ας αποφασίσουμε για το ODZ:
1) Συμβολίστε \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) και μετά \(y(t)=-\log_(17)t\) .
Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία (δηλαδή τα εσωτερικά σημεία του τομέα της συνάρτησης, στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με \(0\) ή δεν υπάρχει): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\αριστερό βέλος\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– στο ODZ, από όπου βρίσκουμε τη ρίζα \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Η παράγωγος της συνάρτησης \(y\) δεν υπάρχει για \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) , αλλά δεδομένη εξίσωσηαρνητική διάκριση, επομένως δεν έχει λύσεις. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης, πρέπει να κατανοήσετε πώς φαίνεται σχηματικά το γράφημά της.
2) Βρείτε τα διαστήματα του σταθερού πρόσημου \(y"\) :
3) Γραφικό σκίτσο:
Έτσι, η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),
Σύνολο: \(0\) είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης \(y\) .
Απάντηση: 0
Εργασία 5 #2344
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Ας αποφασίσουμε για το ODZ:
1) Συμβολίστε \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , μετά \(y(t)=\log_(3)t\) .
Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία (δηλαδή τα εσωτερικά σημεία του τομέα της συνάρτησης, στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με \(0\) ή δεν υπάρχει): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Αριστερό δεξιό βέλος\qquad 2x+8 = 0\]- στο ODZ, από όπου βρίσκουμε τη ρίζα \ (x \u003d -4 \) . Η παράγωγος της συνάρτησης \(y\) δεν υπάρχει για \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , αλλά αυτή η εξίσωση έχει αρνητική διάκριση, επομένως, δεν έχει λύσεις. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης, πρέπει να κατανοήσετε πώς φαίνεται σχηματικά το γράφημά της.
2) Βρείτε τα διαστήματα του σταθερού πρόσημου \(y"\) :
3) Γραφικό σκίτσο:
Έτσι, \(x = -4\) είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης \(y\) και επιτυγχάνεται η μικρότερη τιμή σε αυτό:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Σύνολο: \(1\) είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y\) .
Απάντηση: 1
Εργασία 6 #917
Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση
Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Από πρακτικής άποψης, το πιο ενδιαφέρον είναι η χρήση της παραγώγου για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Με τι συνδέεται; Μεγιστοποίηση κερδών, ελαχιστοποίηση του κόστους, προσδιορισμός του βέλτιστου φορτίου εξοπλισμού... Με άλλα λόγια, σε πολλούς τομείς της ζωής, πρέπει κανείς να λύσει το πρόβλημα της βελτιστοποίησης κάποιων παραμέτρων. Και αυτό είναι το πρόβλημα της εύρεσης των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών της συνάρτησης.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης αναζητείται συνήθως σε κάποιο διάστημα X , το οποίο είναι είτε ολόκληρος ο τομέας της συνάρτησης είτε μέρος του τομέα. Το ίδιο το διάστημα X μπορεί να είναι ένα τμήμα γραμμής, ένα ανοιχτό διάστημα 
, ένα άπειρο διάστημα .
Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσουμε για τη ρητή εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών. δεδομένη λειτουργίαμία μεταβλητή y=f(x) .
Πλοήγηση στη σελίδα.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης - ορισμοί, απεικονίσεις.
Ας σταθούμε εν συντομία στους κύριους ορισμούς.
Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 
, που για οποιαδήποτε 
η ανισότητα είναι αλήθεια.
Η μικρότερη τιμή της συνάρτησηςΤο y=f(x) στο διάστημα X ονομάζεται τέτοια τιμή 
, που για οποιαδήποτε η ανισότητα είναι αλήθεια.
Αυτοί οι ορισμοί είναι διαισθητικοί: η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή που γίνεται αποδεκτή στο διάστημα που εξετάζουμε με την τετμημένη.
Σταθερά σημείαείναι οι τιμές του ορίσματος στο οποίο εξαφανίζεται η παράγωγος της συνάρτησης.
Γιατί χρειαζόμαστε ακίνητα σημεία όταν βρίσκουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από το θεώρημα του Fermat. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι εάν μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση έχει ένα άκρο (τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο) σε κάποιο σημείο, τότε αυτό το σημείο είναι ακίνητο. Έτσι, η συνάρτηση παίρνει συχνά τη μέγιστη (μικρότερη) τιμή της στο διάστημα X σε ένα από τα ακίνητα σημεία από αυτό το διάστημα.
Επίσης, μια συνάρτηση μπορεί συχνά να λάβει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε σημεία όπου δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος αυτής της συνάρτησης και ορίζεται η ίδια η συνάρτηση.
Ας απαντήσουμε αμέσως σε μια από τις πιο συνηθισμένες ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα: «Είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης»; Όχι πάντα. Μερικές φορές τα όρια του διαστήματος X συμπίπτουν με τα όρια του τομέα της συνάρτησης ή το διάστημα X είναι άπειρο. Και ορισμένες συναρτήσεις στο άπειρο και στα όρια του πεδίου ορισμού μπορούν να λάβουν και απείρως μεγάλες και απείρως μικρές τιμές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δεν μπορεί να ειπωθεί τίποτα για τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Για λόγους σαφήνειας, δίνουμε μια γραφική απεικόνιση. Δείτε τις φωτογραφίες - και πολλά θα γίνουν ξεκάθαρα.
Στο τμήμα
Στο πρώτο σχήμα, η συνάρτηση λαμβάνει τις μεγαλύτερες (max y ) και τις μικρότερες (min y ) τιμές σε σταθερά σημεία εντός του τμήματος [-6;6] .
Εξετάστε την περίπτωση που φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Αλλάξτε το τμήμα σε . Σε αυτό το παράδειγμα, η μικρότερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται σε ένα ακίνητο σημείο και η μεγαλύτερη - σε ένα σημείο με τετμημένη που αντιστοιχεί στο δεξιό όριο του διαστήματος.
Στο σχήμα Νο. 3, τα οριακά σημεία του τμήματος [-3; 2] είναι οι τετμημένες των σημείων που αντιστοιχούν στη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Στην ανοιχτή γκάμα
Στο τέταρτο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τις μεγαλύτερες (max y) και τις μικρότερες (min y) τιμές σε σταθερά σημεία εντός του ανοιχτού διαστήματος (-6;6).
Στο μεσοδιάστημα, δεν μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα για τη μεγαλύτερη τιμή.
Στο άπειρο
Στο παράδειγμα που φαίνεται στο έβδομο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή (max y ) σε ένα ακίνητο σημείο με την τετμημένη x=1 , και η μικρότερη τιμή (min y ) επιτυγχάνεται στο δεξιό όριο του διαστήματος. Στο μείον άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης προσεγγίζουν ασυμπτωτικά το y=3.
Στο διάστημα, η συνάρτηση δεν φτάνει ούτε τη μικρότερη ούτε τη μεγαλύτερη τιμή. Καθώς το x=2 τείνει προς τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο μείον το άπειρο (η ευθεία γραμμή x=2 είναι κάθετη ασύμπτωτη), και καθώς η τετμημένη τείνει στο συν άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης προσεγγίζουν ασυμπτωτικά το y=3 . Μια γραφική απεικόνιση αυτού του παραδείγματος φαίνεται στο Σχήμα 8.
Αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης στο τμήμα.
Γράφουμε έναν αλγόριθμο που μας επιτρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
- Βρίσκουμε τον τομέα της συνάρτησης και ελέγχουμε αν περιέχει ολόκληρο το τμήμα .
- Βρίσκουμε όλα τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος και τα οποία περιέχονται στο τμήμα (συνήθως τέτοια σημεία εμφανίζονται σε συναρτήσεις με όρισμα κάτω από το σύμβολο της ενότητας και στο λειτουργίες ισχύοςμε κλασματικό ορθολογικό εκθέτη). Εάν δεν υπάρχουν τέτοια σημεία, τότε μεταβείτε στο επόμενο σημείο.
- Καθορίζουμε όλα τα ακίνητα σημεία που εμπίπτουν στο τμήμα. Για να γίνει αυτό, το εξισώνουμε με το μηδέν, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και επιλέγουμε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν υπάρχουν σταθερά σημεία ή κανένα από αυτά δεν εμπίπτει στο τμήμα, τότε προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
- Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα επιλεγμένα σταθερά σημεία (εάν υπάρχουν), σε σημεία όπου δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος (αν υπάρχει), καθώς και στα x=a και x=b .
- Από τις λαμβανόμενες τιμές της συνάρτησης, επιλέγουμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη - θα είναι οι επιθυμητές μέγιστες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης, αντίστοιχα.
Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο κατά την επίλυση ενός παραδείγματος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
Παράδειγμα.
Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης
- στο τμήμα?
- στο διάστημα [-4;-1] .
Λύση.
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, εκτός από το μηδέν, δηλαδή . Και τα δύο τμήματα εμπίπτουν στο πεδίο ορισμού.
Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς: 
Προφανώς, η παράγωγος της συνάρτησης υπάρχει σε όλα τα σημεία των τμημάτων και [-4;-1] .
Τα ακίνητα σημεία προσδιορίζονται από την εξίσωση . το μοναδικό πραγματική ρίζαείναι x=2. Αυτό το ακίνητο σημείο εμπίπτει στο πρώτο τμήμα.
Για την πρώτη περίπτωση, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε ένα ακίνητο σημείο, δηλαδή για x=1 , x=2 και x=4 : 
Επομένως, η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 
επιτυγχάνεται στο x=1 , και η μικρότερη τιμή 
– σε x=2 .
Για τη δεύτερη περίπτωση, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης μόνο στα άκρα του τμήματος [-4;-1] (καθώς δεν περιέχει ακίνητα σημεία): 
Λύση.
Ας ξεκινήσουμε με το εύρος της συνάρτησης. Τετράγωνο τριώνυμοο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν πρέπει να εξαφανίζεται: 
Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι όλα τα διαστήματα από την κατάσταση του προβλήματος ανήκουν στον τομέα της συνάρτησης.
Ας διαφοροποιήσουμε τη συνάρτηση: 
Προφανώς, η παράγωγος υπάρχει σε ολόκληρο τον τομέα της συνάρτησης.
Ας βρούμε σταθερά σημεία. Το παράγωγο εξαφανίζεται στο . Αυτό το ακίνητο σημείο εμπίπτει στα διαστήματα (-3;1] και (-3;2) .
Και τώρα μπορείτε να συγκρίνετε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε κάθε σημείο με το γράφημα της συνάρτησης. Οι μπλε διακεκομμένες γραμμές υποδεικνύουν τις ασύμπτωτες.
Αυτό μπορεί να τελειώσει με την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής της συνάρτησης. Οι αλγόριθμοι που συζητούνται σε αυτό το άρθρο σάς επιτρέπουν να λαμβάνετε αποτελέσματα με ελάχιστες ενέργειες. Ωστόσο, μπορεί να είναι χρήσιμο να προσδιοριστούν πρώτα τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης και μόνο μετά από αυτό να εξαχθούν συμπεράσματα σχετικά με τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε διάστημα. Αυτό δίνει μια σαφέστερη εικόνα και μια αυστηρή αιτιολόγηση των αποτελεσμάτων.
Επιλογή 1. στο
1. Γράφημα συνάρτησης y=φά(Χ) φαίνεται στο σχήμα.
Καθορίστε τη μεγαλύτερη τιμή αυτής της συνάρτησης 1
στο τμήμα [ ένα; σι]. αλλά 0 1 β x
1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.
4. Λειτουργίες y=φά(Χ) οριστεί στο τμήμα [ ένα; σι]. στο
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου του
y=φά ´(Χ). Εξερευνήστε τα άκρα 1 σι
λειτουργία y=φά(Χ). Σημειώστε την ποσότητα στην απάντησή σας. ένα 0 1 x
ελάχιστους βαθμούς.
1) 6; 2) 7; 3) 4;
5. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης y \u003d -2x2 + 8x -7.
1) -2; 2) 7; 3) 1;
6. Βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης 
στο τμήμα .
1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.
7. Βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης y=|2x+3| - .
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .
https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> έχει ελάχιστο στο σημείο xo=1,5?
1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.στο
9. Καθορίστε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y=φά(Χ) ,
1 x
0 1
1) 2,5; 2) 3; 3) -3;
y=lg(100 – Χ2 ).
1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .
11. Βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης y=2αμαρτία-1.
1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .
Δοκιμή 14 Η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Γράφημα της συνάρτησης y=φά(Χ) φαίνεται στο σχήμα.
Καθορίστε τη μικρότερη τιμή αυτής της συνάρτησης 1
στο τμήμα [ ένα; σι]. αλλά σι
0 1 Χ
1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.
 |
2. στο Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=φά(Χ).
Πόσους μέγιστους πόντους έχει η συνάρτηση;
1
0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.
3. Σε ποιο σημείο βρίσκεται η συνάρτηση y \u003d 2x2 + 24x -25παίρνει τη μικρότερη αξία;
https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> στο τμήμα [-3;-1].
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> έχει ελάχιστο στο σημείο xo = -2?
; 2) -6;; 4) 6.στο
9. Καθορίστε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης y=φά(Χ) ,
του οποίου η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα. 1 x
0 1
1) -1,5; 2) -1; 3) -3;
10. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης y=κούτσουρο11 (121 – Χ2 ).
1) 11;; 3) 1;
11. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης y=2συν+3.
1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .
Απαντήσεις :
Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσω για αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμήςσυνάρτηση, ελάχιστα και μέγιστα σημεία.
Από τη θεωρία, σίγουρα θα χρειαστούμε πίνακας παραγώγωνΚαι κανόνες διαφοροποίησης. Είναι όλα σε αυτόν τον πίνακα:
Αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών.
Το εξηγώ ευκολότερα με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Σκεφτείτε:
Παράδειγμα:Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y=x^5+20x^3–65x στο τμήμα [–4;0].
Βήμα 1.Παίρνουμε την παράγωγο.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Βήμα 2Εύρεση ακραίων σημείων.
ακραίο σημείοονομάζουμε τέτοια σημεία στα οποία η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της.
Για να βρείτε τα ακραία σημεία, είναι απαραίτητο να εξισώσετε την παράγωγο της συνάρτησης με μηδέν (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Τώρα λύνουμε αυτή τη διτετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες που βρέθηκαν είναι τα ακραία σημεία μας.
Λύνω τέτοιες εξισώσεις αντικαθιστώντας t = x^2, μετά 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Μειώστε την εξίσωση κατά 5, παίρνουμε: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση x^2 = t:
X_(1 και 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 και 4) = ±sqrt(-13) (εξαιρούμε, κάτω από τη ρίζα δεν μπορεί να είναι αρνητικοί αριθμοί(εκτός βέβαια αν μιλάμε για μιγαδικούς αριθμούς)
Σύνολο: x_(1) = 1 και x_(2) = -1 - αυτοί είναι οι ακραίοι μας πόντοι.
Βήμα 3Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.
Μέθοδος αντικατάστασης.
Στην συνθήκη, μας δόθηκε το τμήμα [b][–4;0]. Το σημείο x=1 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το τμήμα. Δεν το λαμβάνουμε υπόψη λοιπόν. Αλλά εκτός από το σημείο x=-1, πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη τα αριστερά και δεξιά σύνορα του τμήματός μας, δηλαδή τα σημεία -4 και 0. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε και τα τρία αυτά σημεία στην αρχική συνάρτηση. Παρατηρήστε ότι το αρχικό είναι αυτό που δίνεται στη συνθήκη (y=x^5+20x^3–65x), μερικοί αρχίζουν να αντικαθιστούν την παράγωγο...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Αυτό σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι [b]44 και επιτυγχάνεται στα σημεία [b]-1, που ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης στο τμήμα [-4; 0].
Αποφασίσαμε και πήραμε απάντηση, είμαστε υπέροχοι, μπορείτε να χαλαρώσετε. Σταμάτα όμως! Δεν πιστεύετε ότι η μέτρηση του y(-4) είναι κάπως πολύ περίπλοκη; Σε συνθήκες περιορισμένου χρόνου, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο, την αποκαλώ ως εξής:
Μέσα από διαστήματα σταθερότητας.
Αυτά τα κενά βρίσκονται για την παράγωγο της συνάρτησης, δηλαδή για τη διτετραγωνική μας εξίσωση.
Το κάνω με τον εξής τρόπο. Σχεδιάζω μια γραμμή κατεύθυνσης. Θέτω τα σημεία: -4, -1, 0, 1. Παρά το γεγονός ότι το 1 δεν περιλαμβάνεται στο δεδομένο τμήμα, θα πρέπει να σημειωθεί για να προσδιορίζονται σωστά τα διαστήματα σταθερότητας. Ας πάρουμε έναν αριθμό πολλές φορές μεγαλύτερο από το 1, ας πούμε το 100, να τον αντικαταστήσουμε νοερά στη διτετραγωνική μας εξίσωση 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Ακόμη και χωρίς να μετρήσουμε τίποτα, γίνεται προφανές ότι στο σημείο 100 η συνάρτηση έχει το σύμβολο συν. Αυτό σημαίνει ότι για διαστήματα από 1 έως 100 έχει πρόσημο συν. Όταν περνάμε από το 1 (πηγαίνουμε από δεξιά προς τα αριστερά), η συνάρτηση θα αλλάξει πρόσημο σε μείον. Όταν διέρχεται από το σημείο 0, η συνάρτηση θα διατηρήσει το πρόσημό της, αφού αυτό είναι μόνο το όριο του τμήματος και όχι η ρίζα της εξίσωσης. Όταν περνάει από το -1, η συνάρτηση θα αλλάξει ξανά το πρόσημο σε συν.
Από τη θεωρία, γνωρίζουμε ότι πού βρίσκεται η παράγωγος της συνάρτησης (και το σχεδιάσαμε για αυτήν) αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (σημείο -1 στην περίπτωσή μας)η λειτουργία φτάνει Το τοπικό του μέγιστο (y(-1)=44 όπως υπολογίστηκε νωρίτερα)σε αυτό το τμήμα (αυτό είναι λογικά πολύ σαφές, η συνάρτηση έπαψε να αυξάνεται, αφού έφτασε στο μέγιστο και άρχισε να μειώνεται).
Αντίστοιχα, όπου η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επιτεύχθηκε τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης. Ναι, ναι, βρήκαμε επίσης το τοπικό ελάχιστο σημείο, το οποίο είναι 1, και το y(1) είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα, ας πούμε από -1 έως +∞. Λάβετε υπόψη ότι αυτό είναι μόνο ένα ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ, δηλαδή ένα ελάχιστο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα. Αφού η πραγματική (καθολική) ελάχιστη συνάρτηση θα φτάσει κάπου εκεί, στο -∞.
Κατά τη γνώμη μου, η πρώτη μέθοδος είναι πιο απλή θεωρητικά και η δεύτερη πιο απλή από πλευράς αριθμητικών πράξεων, αλλά πολύ πιο δύσκολη από άποψη θεωρίας. Εξάλλου, μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις που η συνάρτηση δεν αλλάζει πρόσημο όταν περνάει από τη ρίζα της εξίσωσης, και πράγματι μπορεί να μπερδευτείτε με αυτά τα τοπικά, καθολικά μέγιστα και ελάχιστα, αν και θα πρέπει να το κατακτήσετε καλά ούτως ή άλλως αν σχεδιάζετε μπαίνω πολυτεχνείο(και γιατί διαφορετικά να κάνετε την εξέταση προφίλ και να λύσετε αυτήν την εργασία). Αλλά η πρακτική και μόνο η εξάσκηση θα σας διδάξει πώς να λύσετε τέτοια προβλήματα μια για πάντα. Και μπορείτε να προπονηθείτε στον ιστότοπό μας. Εδώ .
Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, φροντίστε να ρωτήσετε. Θα χαρώ να σας απαντήσω, και να κάνω αλλαγές, προσθήκες στο άρθρο. Θυμηθείτε ότι φτιάχνουμε αυτόν τον ιστότοπο μαζί!
Ας δούμε πώς να εξερευνήσετε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας ένα γράφημα. Αποδεικνύεται ότι κοιτάζοντας το γράφημα, μπορείτε να μάθετε όλα όσα μας ενδιαφέρουν, δηλαδή:
- εύρος λειτουργίας
- εύρος λειτουργίας
- συνάρτηση μηδενικά
- περιόδους αύξησης και μείωσης
- υψηλά και χαμηλά σημεία
- τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα.
Ας διευκρινίσουμε την ορολογία:
Τετμημένηείναι η οριζόντια συντεταγμένη του σημείου.
Τεταγμένη- κάθετη συντεταγμένη.
τετμημένη- ο οριζόντιος άξονας, που συνήθως ονομάζεται άξονας.
Άξονας Υ- κατακόρυφος άξονας ή άξονας.
Διαφωνίαείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή από την οποία εξαρτώνται οι τιμές της συνάρτησης. Τις περισσότερες φορές υποδεικνύεται.
Με άλλα λόγια, εμείς οι ίδιοι επιλέγουμε , αντικαθιστούμε στον τύπο συνάρτησης και παίρνουμε .
Τομέασυναρτήσεις - το σύνολο αυτών (και μόνο αυτών) των τιμών του ορίσματος για το οποίο υπάρχει η συνάρτηση.
Συμβολίζεται: ή .
Στο σχήμα μας, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα τμήμα. Σε αυτό το τμήμα σχεδιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Μόνο εδώ υπάρχει αυτή η λειτουργία.
Εύρος λειτουργιώνείναι το σύνολο των τιμών που παίρνει η μεταβλητή. Στο σχήμα μας, αυτό είναι ένα τμήμα - από τη χαμηλότερη στην υψηλότερη τιμή.
Συναρτήσεις μηδενικά- σημεία όπου η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν, δηλ. Στο σχήμα μας, αυτά είναι τα σημεία και .
Οι τιμές των συναρτήσεων είναι θετικέςόπου . Στο σχήμα μας, αυτά είναι τα διαστήματα και .
Οι τιμές των συναρτήσεων είναι αρνητικέςόπου . Έχουμε αυτό το διάστημα (ή διάστημα) από έως.
Οι πιο σημαντικές έννοιες - αυξανόμενη και φθίνουσα λειτουργίασε κάποιο σετ. Ως σύνολο, μπορείτε να πάρετε ένα τμήμα, ένα διάστημα, μια ένωση διαστημάτων ή ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.
Λειτουργία αυξάνει
Με άλλα λόγια, όσο περισσότερα , τόσο περισσότερα, δηλαδή το γράφημα πηγαίνει δεξιά και πάνω.
Λειτουργία μειώνεταιστο σύνολο αν για κανένα και ανήκει στο σύνολο η ανισότητα συνεπάγεται την ανισότητα .
Για μια φθίνουσα συνάρτηση, μια μεγαλύτερη τιμή αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή. Το γράφημα πηγαίνει δεξιά και κάτω.
Στο σχήμα μας, η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα και μειώνεται στα διαστήματα και .
Ας ορίσουμε τι είναι μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης.
Μέγιστο σημείο- αυτό είναι ένα εσωτερικό σημείο του τομέα ορισμού, έτσι ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μεγαλύτερη από ό,τι σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά σε αυτό.
Με άλλα λόγια, το μέγιστο σημείο είναι ένα τέτοιο σημείο, η τιμή της συνάρτησης στην οποία περισσότεροπαρά σε γειτονικές. Αυτός είναι ένας τοπικός "λόφος" στο γράφημα.
Στο σχήμα μας - το μέγιστο σημείο.
Χαμηλό σημείο- ένα εσωτερικό σημείο του τομέα ορισμού, τέτοιο ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μικρότερη από ό,τι σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά σε αυτό.
Δηλαδή, το ελάχιστο σημείο είναι τέτοιο ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μικρότερη από ό,τι σε γειτονικές. Στο γράφημα, αυτή είναι μια τοπική «τρύπα».
Στο σχήμα μας - το ελάχιστο σημείο.
Το σημείο είναι το όριο. Δεν είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού και επομένως δεν ταιριάζει με τον ορισμό ενός μέγιστου σημείου. Άλλωστε, δεν έχει γείτονες στα αριστερά. Με τον ίδιο τρόπο, δεν μπορεί να υπάρχει ελάχιστο σημείο στο διάγραμμά μας.
Ο μέγιστος και ο ελάχιστος βαθμός καλούνται συλλογικά ακραία σημεία της συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι και .
Αλλά τι γίνεται αν χρειαστεί να βρείτε, για παράδειγμα, ελάχιστη λειτουργίαστο κόψιμο; Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση είναι: επειδή ελάχιστη λειτουργίαείναι η τιμή του στο ελάχιστο σημείο.
Ομοίως, το μέγιστο της συνάρτησής μας είναι . Φτάνεται στο σημείο.
Μπορούμε να πούμε ότι τα άκρα της συνάρτησης είναι ίσα με και .
Μερικές φορές σε εργασίες πρέπει να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησηςσε ένα δεδομένο τμήμα. Δεν συμπίπτουν απαραίτητα με ακρότητες.
Στην περίπτωσή μας μικρότερη τιμή συνάρτησηςστο διάστημα είναι ίσο και συμπίπτει με το ελάχιστο της συνάρτησης. Αλλά η μεγαλύτερη τιμή του σε αυτό το τμήμα ισούται με . Φτάνεται στο αριστερό άκρο του τμήματος.
Σε κάθε περίπτωση, οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα τμήμα επιτυγχάνονται είτε στα άκρα είτε στα άκρα του τμήματος.
