Die wichtigsten Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen sind: Reduzieren der Gleichungen auf die einfachste (unter Verwendung von trigonometrische Formeln), Einführung neuer Variablen, Faktorisierung. Schauen wir uns ihre Verwendung anhand von Beispielen an. Achten Sie auf das Format beim Schreiben von Lösungen für trigonometrische Gleichungen.

Eine notwendige Bedingung erfolgreiche Lösung trigonometrische Gleichungen sind Kenntnisse trigonometrischer Formeln (Thema 13 von Arbeit 6).

Beispiele.

1. Gleichungen auf das Einfachste reduziert.

1) Lösen Sie die Gleichung

Lösung:

Antwort:

2) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, zum Segment gehörend.

Lösung:

Antwort:

2. Gleichungen, die sich auf quadratisch reduzieren lassen.

1) Lösen Sie die Gleichung 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Lösung: Mit der Formel sin 2 x = 1 – cos 2 x erhalten wir

Antwort:

2) Lösen Sie die Gleichung cos 2x = 1 + 4 cosx.

Lösung: Mit der Formel cos 2x = 2 cos 2 x – 1 erhalten wir

Antwort:

3) Entscheiden Sie tgx-Gleichung– 2ctgx + 1 = 0

Lösung:

Antwort:

3. Homogene Gleichungen

1) Lösen Sie die Gleichung 2sinx – 3cosx = 0

Lösung: Sei cosx = 0, dann ist 2sinx = 0 und sinx = 0 – ein Widerspruch zur Tatsache, dass sin 2 x + cos 2 x = 1. Das bedeutet cosx ≠ 0 und wir können die Gleichung durch cosx dividieren. Wir bekommen

Antwort:

2) Lösen Sie die Gleichung 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Lösung:

Wir verwenden die Formeln 1 = sin 2 x + cos 2 x und sin 2x = 2 sinxcosx, wir erhalten

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Sei cosx = 0, dann ist sin 2 x = 0 und sinx = 0 – ein Widerspruch zu der Tatsache, dass sin 2 x + cos 2 x = 1.
Das bedeutet cosx ≠ 0 und wir können die Gleichung durch cos 2 x dividieren . Wir bekommen

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Bezeichnen wir tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Antwort: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Gleichungen der Form A sinx + B cosx = s, s≠ 0.

1) Lösen Sie die Gleichung.

Lösung:

Antwort:

5. Durch Faktorisierung gelöste Gleichungen.

1) Lösen Sie die Gleichung sin2x – sinx = 0.

Wurzel der Gleichung F (X) = φ ( X) kann nur als Zahl 0 dienen. Überprüfen wir Folgendes:

cos 0 = 0 + 1 – die Gleichheit ist wahr.

Die Zahl 0 ist die einzige Wurzel dieser Gleichung.

Antwort: 0.

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen Inhalt

• Variable Ersetzungsmethode
• Faktorisierungsmethode
• Homogene trigonometrische Gleichungen
• Verwendung trigonometrischer Formeln:
• Additionsformeln
• Reduktionsformeln
• Formeln mit doppeltem Argument

Variable Ersetzungsmethode

Verwenden des Ersatzes t = sinx oder t = cosx, wobei t∈ [−1;1] Das Lösen der ursprünglichen Gleichung reduziert sich auf das Lösen einer quadratischen oder anderen algebraischen Gleichung.

Siehe Beispiele 1 – 3

Manchmal wird eine universelle trigonometrische Substitution verwendet: t = tg

Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 Faktorisierungsmethode

Der Kern dieser Methode besteht darin, dass das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist, wenn mindestens einer von ihnen gleich Null ist und die anderen ihre Bedeutung nicht verlieren:

f(x) g(x) h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 oder g(x) = 0 oder h(x) = 0

usw. vorausgesetzt, dass jeder der Faktoren vorhanden ist

Siehe Beispiele 4 – 5

Beispiel 4 Beispiel 5 Homogene trigonometrische Gleichungen Eine Gleichung der Form a sin x + b cos x = 0 wird als homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades bezeichnet.

a sin x + b cos x = 0

Kommentar.

Division durch cos x ist seit den Lösungen akzeptabel cos-Gleichungen x = 0 sind keine Lösungen der Gleichung a sin x + b cos x = 0.

a sin x b cos x 0

a tan x + b = 0

tan x = –

Homogene trigonometrische Gleichungen

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

Eine Gleichung der Form a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 wird als homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades bezeichnet.

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

Kommentar. Wenn drin gegebene Gleichung a = 0 oder c = 0, dann wird die Gleichung mit der Erweiterungsmethode gelöst

durch Multiplikatoren.

Beispiel 6

Beispiel 8 Beispiel 9 Beispiel 10 Beispiel 11 1. Additionsformeln:

sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny

tgx + tgy

tan (x + y) =

1 − tgx tgy

sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x − y) =

1 + tgx tgy

сtgx сtgy − 1

сtg (x + y) =

сtгу + с tgх

сtgx сtgy + 1

сtg (x − y) =

сtгу − с tgх

Beispiel 12 Beispiel 13 Verwendung trigonometrischer Formeln 2. Reduktionsformeln:

Pferderegel

In der guten alten Zeit lebte ein zerstreuter Mathematiker, der auf der Suche nach einer Antwort den Namen der Funktion änderte oder nicht änderte ( Sinus An Kosinus), blickte auf sein kluges Pferd und nickte mit dem Kopf entlang der Koordinatenachse, zu der der Punkt gehörte, der dem ersten Term des Arguments entsprach π/ 2 + α oder π + α .

Wenn das Pferd mit dem Kopf entlang der Achse nickte OU, dann glaubte der Mathematiker, die Antwort gefunden zu haben „Ja, ändern“, wenn entlang der Achse OH, Das „Nein, ändere dich nicht“.

Verwendung trigonometrischer Formeln 3. Doppelargumentformeln:

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos2x – sin2x

cos 2x = 2cos2x – 1

cos 2x = 1 – 2sin2x

1 – tg2x

ctg 2x =

ctg2x – 1

Beispiel 14 Verwendung trigonometrischer Formeln 4. Formeln zur Reduzierung des Grades:

5. Halbwinkelformeln:

Verwendung trigonometrischer Formeln 6. Summen- und Differenzformeln: Verwendung trigonometrischer Formeln 7. Produktformeln: Gedächtnisregel „Trigonometrie in der Handfläche“

Sehr oft muss man die Bedeutungen auswendig kennen cos, Sünde, tg, ctg für Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Aber wenn plötzlich eine Bedeutung vergessen wird, können Sie die Handregel anwenden.

Regel: Wenn Sie Linien durch den kleinen Finger und Daumen ziehen,

dann kreuzen sie sich an einem Punkt, der „Mondhügel“ genannt wird.

Es entsteht ein Winkel von 90°. Die Linie des kleinen Fingers bildet einen Winkel von 0°.

Indem wir die Strahlen vom „Mondhügel“ durch den Ring-, Mittel- und Zeigefinger ziehen, erhalten wir Winkel von 30°, 45° bzw. 60°.

Stattdessen ersetzen N: 0, 1, 2, 3, 4, wir erhalten die Werte Sünde, für Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Für cos Der Countdown erfolgt in umgekehrter Reihenfolge.

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

Das Lösen einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten: Gleichungstransformation um es am einfachsten zu bekommen Typ (siehe oben) und Lösungdas resultierende einfachste trigonometrische Gleichung. Es sind sieben grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

1. Algebraische Methode.

(Methode zum Ersetzen und Ersetzen von Variablen).

2. Faktorisierung.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung: Sünde X+cos X = 1 .

Lösung. Verschieben wir alle Terme der Gleichung nach links:

Sünde X+cos X – 1 = 0 ,

Lassen Sie uns den Ausdruck transformieren und faktorisieren

Linke Seite der Gleichung:

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung: cos 2 X+ Sünde X cos X = 1.

Lösung: cos 2 X+ Sünde X cos X– Sünde 2 X– weil 2 X = 0 ,

Sünde X cos X– Sünde 2 X = 0 ,

Sünde X· (cos X– Sünde X ) = 0 ,

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung: weil 2 X–cos 8 X+ weil 6 X = 1.

Lösung: cos 2 X+ weil 6 X= 1 + cos 8 X,

2 weil 4 X weil 2 X= 2cos² 4 X ,

Denn 4 X · (weil 2 X– weil 4 X) = 0 ,

Denn 4 X · 2 Sünde 3 X Sünde X = 0 ,

1). weil 4 X= 0, 2). Sünde 3 X= 0, 3). Sünde X = 0 ,

3. Reduktion auf homogene Gleichung. Die gleichung angerufen homogen aus hinsichtlich Sünde Und cos , Wenn alles davon Begriffe gleichen Grades relativ zu Sünde Und cos gleichen Winkel. Um eine homogene Gleichung zu lösen, benötigen Sie: A) alle seine Mitglieder auf die linke Seite verschieben; B) Setzen Sie alle gemeinsamen Faktoren aus Klammern; V) alle Faktoren und Klammern auf Null setzen; G) Klammern gleich Null ergeben homogene Gleichung geringeren Grades, in die zerlegt werden soll cos(oder Sünde) im höheren Studiengang; D) Lösen Sie das Ergebnis algebraische Gleichung verhältnismäßigbräunen . Sünde 2 X+ 4 Sünde X cos X+ 5cos 2 X = 2. Lösung: 3sin 2 X+ 4 Sünde X cos X+ 5 weil 2 X= 2sin 2 X+ 2cos 2 X , Sünde 2 X+ 4 Sünde X cos X+ 3 weil 2 X = 0 , Bräune 2 X+ 4 Bräune X + 3 = 0 , von hier j 2 + 4j +3 = 0 , Die Wurzeln dieser Gleichung sind:j 1 = - 1, j 2 = - 3, also 1) bräunen X= –1, 2) tan X = –3,

4. Übergang zum Halbwinkel.

Schauen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels an:

BEISPIEL Gleichung lösen: 3 Sünde X– 5 cos X = 7.

Lösung: 6 Sünde ( X/ 2) cos ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 sin² ( X/ 2) – 6 Sünde ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan² ( X/ 2) – 3 braun ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Einführung eines Hilfswinkels.

Betrachten Sie eine Gleichung der Form:

A Sünde X + B cos X = C ,

Wo A, B, C– Koeffizienten;X- Unbekannt.

Nun haben die Koeffizienten der Gleichung die Eigenschaften Sinus und Cosinus, nämlich: Modul (absoluter Wert) von jedem davon nicht mehr als 1, und die Summe ihrer Quadrate ist 1. Dann können wir bezeichnen sie entsprechend Wie cos und sin (hier - sogenannt Hilfswinkel), UndNehmen Sie unsere Gleichung