Die nachgewiesene Eigenschaft der Tangente an eine Parabel ist sehr wichtig, da daraus folgt, dass die Strahlen, die vom Brennpunkt eines konkaven Parabolspiegels ausgehen, also eines Spiegels, dessen Oberfläche sich aus der Drehung der Parabel um ihre Achse ergibt, sind von einem parallelen Strahl, nämlich parallelen Spiegelachsen, reflektiert (Abb.).

Diese Eigenschaft von Parabolspiegeln wird beim Bau von Suchscheinwerfern, in den Scheinwerfern aller Autos sowie in Spiegelteleskopen genutzt. Darüber hinaus sind im letzteren Fall umgekehrt die Strahlen, die vom Himmelskörper ausgehen; Fast parallel sind sie in der Nähe des Brennpunkts des Teleskopspiegels konzentriert, und da die Strahlen, die von verschiedenen Punkten des Himmelskörpers kommen, weitgehend nicht parallel sind, werden sie in der Nähe des Brennpunkts an verschiedenen Punkten konzentriert, so dass in der Nähe des Brennpunkts ein Bild des Sterns entsteht Je größer die Brennweite der Parabel ist, desto größer ist die Leuchtkraft. Dieses Bild wird bereits durch ein Mikroskop (Teleskopokular) betrachtet. Streng genommen werden nur Strahlen, die streng parallel zur Spiegelachse verlaufen, in einem Punkt (dem Fokus) gesammelt, während parallele Strahlen, die in einem Winkel zur Spiegelachse verlaufen, nur nahezu an einem Punkt gesammelt werden, und zwar umso weiter entfernt dieser Punkt Je stärker das Bild vom Fokus abweicht, desto unschärfer wird es. Dieser Umstand schränkt das „Sichtfeld des Teleskops“ ein.

Seine Innenfläche sei eine Spiegelfläche; dieser Parabolspiegel wird von einem Lichtstrahlenbündel beleuchtet, das parallel zur Achse des Operationsverstärkers verläuft. Alle Strahlen parallel zur Operationsverstärkerachse schneiden sich nach der Reflexion in einem Punkt auf der Operationsverstärkerachse (Fokus F). Die Konstruktion von Parabolteleskopen basiert auf dieser Eigenschaft. Strahlen von entfernten Sternen kommen in Form eines parallelen Strahls zu uns. Durch den Bau eines Parabolteleskops und die Platzierung einer Fotoplatte im Fokus erhalten wir die Möglichkeit, das vom Stern kommende Lichtsignal zu verstärken.

Das gleiche Prinzip liegt der Entwicklung einer Parabolantenne zugrunde, die die Verstärkung von Funksignalen ermöglicht. Wenn Sie eine Lichtquelle im Fokus eines Parabolspiegels platzieren, werden die von dieser Quelle kommenden Strahlen nach der Reflexion an der Spiegeloberfläche nicht gestreut, sondern in einem schmalen Strahl parallel zur Spiegelachse gesammelt . Diese Tatsache wird bei der Herstellung von Strahlern und Laternen sowie verschiedenen Projektoren genutzt, deren Spiegel die Form von Paraboloiden haben.

Die oben erwähnte optische Eigenschaft eines Parabolspiegels wird zur Herstellung von Spiegelteleskopen, verschiedenen Solarheizanlagen und auch Suchscheinwerfern genutzt. Indem wir eine starke Punktlichtquelle im Brennpunkt eines Parabolspiegels platzieren, erhalten wir einen dichten Strom reflektierter Strahlen parallel zur Spiegelachse.

Wenn sich eine Parabel um ihre Achse dreht, entsteht eine Figur, die Paraboloid genannt wird. Wenn die Innenfläche des Paraboloids verspiegelt wird und ein Strahlenbündel parallel zur Symmetrieachse der Parabel darauf gerichtet wird, laufen die reflektierten Strahlen in einem Punkt zusammen, der als Fokus bezeichnet wird. Wenn gleichzeitig die Lichtquelle im Fokus platziert wird, sind die von der Spiegeloberfläche des Paraboloids reflektierten Strahlen parallel und werden nicht gestreut.

Die erste Eigenschaft ermöglicht es, im Brennpunkt des Paraboloids eine hohe Temperatur zu erreichen. Der Legende nach wurde dieses Anwesen vom antiken griechischen Wissenschaftler Archimedes (287-212 v. Chr.) genutzt. Während er Syrakus im Krieg gegen die Römer verteidigte, baute er ein System aus Parabolspiegeln, das es ermöglichte, die reflektierten Sonnenstrahlen auf die römischen Schiffe zu fokussieren. Dadurch war die Temperatur an den Brennpunkten der Parabolspiegel so hoch, dass auf den Schiffen ein Feuer ausbrach und diese abbrannten.

Die zweite Eigenschaft wird beispielsweise bei der Herstellung von Scheinwerfern und Autoscheinwerfern genutzt.

Hyperbel

4. Die Definition einer Hyperbel gibt uns eine einfache Möglichkeit, sie mit einer kontinuierlichen Bewegung zu konstruieren: Nehmen Sie zwei Fäden, deren Längenunterschied 2a beträgt, und befestigen Sie ein Ende dieser Fäden an den Punkten F" und F. Halten Sie das andere fest Verbinden Sie zwei Enden mit Ihrer Hand und bewegen Sie die Fäden mit der Spitze eines Bleistifts entlang. Achten Sie dabei darauf, dass die Fäden auf das Papier gedrückt, gedehnt und berührt werden, beginnend von der Zeichenspitze bis zu dem Punkt, an dem sich die Enden treffen. Die Spitze zeichnet Teil eines der Äste der Hyperbel (je größer, desto länger werden die Fäden genommen) (Abb.).

Wenn wir die Rollen der Punkte F" und F vertauschen, erhalten wir einen Teil eines anderen Zweigs.

Zum Beispiel, Zum Thema „Kurven 2. Ordnung“ kann man folgendes Problem betrachten:

Aufgabe. Zwei Bahnhöfe A und B liegen s km voneinander entfernt. Zu jedem Punkt M kann die Fracht von Station A entweder direkt auf der Straße (erste Route) oder per Bahn zu Station B und von dort mit dem Auto (zweite Route) geliefert werden. Der Eisenbahntarif (Preis für den Transport von 1 Tonne pro 1 km) beträgt m Rubel, der Straßentransporttarif beträgt n Rubel, n > m, der Lade- und Entladetarif beträgt k Rubel. Bestimmen Sie den Einflussbereich des Bahnhofs B, also den Bereich, in den es günstiger ist, Fracht vom Bahnhof A auf gemischtem Wege zu liefern – auf der Schiene und dann auf der Straße, also Bestimmen Sie die geometrische Lage von Punkten, für die der zweite Pfad rentabler ist als der erste.

Lösung. Bezeichnen wir AM = r, BM = r, dann sind die Lieferkosten (Transport und Be- und Entladen) entlang der Route AM gleich nr + k und die Lieferkosten entlang der Route ABM sind gleich ms + 2k + ng. Dann erfüllen die Punkte M, für die beide Werte gleich sind, die Gleichung nr + k = ms+2k+nг, oder

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

daher ist die die Region begrenzende Linie einer der Zweige der Hyperbel | r - r | = konst. Für alle Punkte der Ebene, die auf derselben Seite wie Punkt A dieser Hyperbel liegen, ist der erste Weg vorteilhafter und für Punkte, die auf der anderen Seite liegen, der zweite, daher umreißt der Zweig der Hyperbel den Einflussbereich der Station B.

Variante dieses Problems.

Zwei Bahnhöfe A und B liegen jeweils l km voneinander entfernt. Bis zum Punkt M kann die Ladung von Station A entweder per direktem Straßentransport oder per Bahn zum Bahnhof B und von dort mit dem Auto geliefert werden (Abb. 49). In diesem Fall beträgt der Eisenbahntarif (Preis für den Transport von 1 Tonne pro 1 km) m Rubel, die Be- und Entladekosten k Rubel (pro 1 Tonne) und der Straßentransporttarif beträgt n Rubel (n > m). Bestimmen wir die sogenannte Einflusszone des Bahnhofs B, also die Zone, in die es günstiger ist, Fracht von A auf einer gemischten Route zu liefern: auf der Schiene und dann auf der Straße.

Lösung. Die Kosten für die Lieferung von 1 Tonne Fracht entlang der AM-Route betragen r n, wobei r = AM, und entlang der ABM-Route betragen sie 1 m + k + r n. Wir müssen die doppelte Ungleichung r n 1m+ k+ r n lösen und bestimmen, wie die Punkte auf der Ebene (x, y) verteilt sind, an die es günstiger ist, die Fracht entweder auf dem ersten oder zweiten Weg zu liefern.

Finden wir die Gleichung der Linie, die die Grenze zwischen diesen beiden Zonen bildet, d. h. den Ort der Punkte, für die beide Wege „gleich vorteilhaft“ sind:

r n = 1m+ k+ r n

Aus dieser Bedingung erhalten wir r - r = = const.

Daher ist die Trennlinie eine Hyperbel. Für alle äußeren Punkte dieser Hyperbel ist der erste Weg vorteilhafter, für innere Punkte der zweite. Daher umreißt die Hyperbel die Einflusszone von Station B. Der zweite Zweig der Hyperbel umreißt die Einflusszone von Station A (die Fracht wird von Station B geliefert). Finden wir die Parameter unserer Hyperbel. Seine Hauptachse ist 2a = , und der Abstand zwischen den Brennpunkten (die Stationen A und B sind) beträgt in diesem Fall 2c = l.

Somit ist die Bedingung für die Möglichkeit dieses Problems, bestimmt durch die Beziehung a< с, будет

Dieses Problem verbindet das abstrakte geometrische Konzept einer Hyperbel mit einem Transport- und Wirtschaftsproblem.

Der erforderliche Punktort ist die Menge der Punkte, die innerhalb des rechten Zweigs der Hyperbel liegen, der Punkt B enthält.

6. Im Kurs " Landmaschinen» Wichtige Betriebsmerkmale eines Traktors im Hangbetrieb, die seine Stabilität anzeigen, sind der Längsneigungswinkel und der seitliche Wankwinkel.

Der Einfachheit halber betrachten wir einen Radtraktor. Die Oberfläche, auf der der Traktor arbeitet (zumindest ein relativ kleiner Teil davon), kann als Ebene (Bewegungsebene) betrachtet werden. Die Längsachse des Traktors ist die Projektion der Geraden, die die Mittelpunkte der Vorder- und Hinterachse verbindet, auf die Bewegungsebene. Der seitliche Rollwinkel ist der Winkel, der mit der horizontalen Ebene einer Geraden gebildet wird, die senkrecht zur Längsachse steht und in der Bewegungsebene liegt.

Beim Studium des Themas „Linien und Ebenen im Raum“ in einem Mathematikkurs berücksichtigen wir folgende Probleme:

a) Ermitteln Sie den Längsneigungswinkel eines Traktors, der sich entlang eines Hangs bewegt, wenn der Neigungswinkel des Hangs und der Winkel der Abweichung der Trajektorie des Traktors von der Längsrichtung bekannt sind.

b) Der maximale seitliche Wankwinkel des Traktors ist der maximal zulässige Neigungswinkel des Hanges, über den der Traktor stehen kann, ohne umzukippen. Welche Traktorparameter ausreichend sind, um den maximalen seitlichen Rollwinkel zu bestimmen; wie man dieses findet
Ecke?

7. Das Vorhandensein geradliniger Generatoren wird in Baumaschinen genutzt. Der Begründer der praktischen Anwendung dieser Tatsache ist der berühmte russische Ingenieur Wladimir Grigorjewitsch Schuchow (1853-1939). V. G. Schuchow entwarf Masten, Türme und Stützen aus Metallträgern, die entlang geradliniger Erzeugerlinien angeordnet waren einblattiges Rotationshyperboloid. Die hohe Festigkeit solcher Konstruktionen, gepaart mit Leichtigkeit, geringen Herstellungskosten und Eleganz, gewährleistet ihre weit verbreitete Verwendung im modernen Bauwesen.

8. BEWEGUNGSGESETZE EINES FREIEN STARREN KÖRPERS

Für einen freien Körper sind alle Bewegungsarten gleichermaßen möglich, was jedoch nicht bedeutet, dass die Bewegung eines freien Körpers ungeordnet ist und keinen Gesetzen gehorcht; im Gegenteil, die translatorische Bewegung eines starren Körpers, unabhängig von seiner äußeren Form, wird durch das Gesetz des Massenschwerpunkts eingeschränkt und auf die Bewegung eines Punktes reduziert, und die Rotationsbewegung erfolgt durch die sogenannten Hauptachsen der Trägheit bzw Trägheitsellipsoid. So bewegt sich ein in den freien Raum geworfener Stock oder aus einem Sortierer usw. fliegendes Getreide als ein Punkt (Massenschwerpunkt) vorwärts und rotiert gleichzeitig um den Massenschwerpunkt. Im Allgemeinen kann bei der Translationsbewegung jeder starre Körper, unabhängig von seiner Form, oder eine komplexe Maschine durch einen Punkt (Massenschwerpunkt) und bei der Rotationsbewegung durch ein Trägheitsellipsoid ersetzt werden , deren Radiusvektoren gleich -- sind, wobei / das Trägheitsmoment dieses Körpers relativ zu den Achsen ist, die durch den Mittelpunkt des Ellipsoids verlaufen.

Wenn sich das Trägheitsmoment eines Körpers während der Rotation aus irgendeinem Grund ändert, ändert sich entsprechend auch die Rotationsgeschwindigkeit. Beispielsweise verdichten sich Akrobaten bei einem Überkopfsprung zu einer Kugel, wodurch das Trägheitsmoment des Körpers abnimmt und die Rotationsgeschwindigkeit zunimmt, was für den Erfolg des Sprungs erforderlich ist. Ebenso strecken Menschen nach dem Ausrutschen ihre Arme zur Seite, wodurch das Trägheitsmoment zunimmt und die Rotationsgeschwindigkeit abnimmt. Ebenso ist das Trägheitsmoment des Ernterechens um die vertikale Achse während seiner Drehung um die horizontale Achse variabel.

Ellipsoid- eine Oberfläche im dreidimensionalen Raum, die durch Verformung einer Kugel entlang dreier zueinander senkrechter Achsen entsteht. Die kanonische Gleichung eines Ellipsoids in kartesischen Koordinaten, die mit den Verformungsachsen des Ellipsoids zusammenfällt: .

Die Größen a, b, c heißen Halbachsen des Ellipsoids. Ein Ellipsoid ist auch ein Körper, der durch die Oberfläche eines Ellipsoids begrenzt wird. Ein Ellipsoid ist eine der möglichen Formen von Flächen zweiter Ordnung.

Wenn zwei Halbachsen die gleiche Länge haben, kann man ein Ellipsoid erhalten, indem man die Ellipse um eine ihrer Achsen dreht. Ein solches Ellipsoid wird Rotationsellipsoid oder Sphäroid genannt.

Ein Ellipsoid spiegelt die idealisierte Erdoberfläche genauer wider als eine Kugel.

Volumen des Ellipsoids:.

Oberfläche des Rotationsellipsoids:

Hyperboloid- Dies ist eine Art Oberfläche zweiter Ordnung im dreidimensionalen Raum, die in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung - (einblättriges Hyperboloid) angegeben wird, wobei a und b die realen Halbachsen und c die imaginäre Halbachse sind ; oder - (zweiblättriges Hyperboloid), wobei a und b imaginäre Halbachsen und c die reale Halbachse sind.

Wenn a = b, dann heißt eine solche Fläche Rotationshyperboloid. Ein einblättriges Rotationshyperboloid kann durch Drehen der Hyperbel um ihre imaginäre Achse und ein zweiblättriges Rotationshyperboloid um ihre reale Achse erhalten werden. Ein zweiblättriges Rotationshyperboloid ist auch der Ort der Punkte P, der Modul der Abstandsdifferenz zu zwei gegebenen Punkten A und B ist konstant: | AP − BP | = konst. In diesem Fall werden A und B Brennpunkte des Hyperboloids genannt.

Ein Einblatt-Hyperboloid ist eine doppelt geregelte Oberfläche; Wenn es sich um ein Rotationshyperboloid handelt, kann es durch Drehen einer Linie um eine andere Linie, die es schneidet, erhalten werden.

Paraboloid— Art der Oberfläche zweiter Ordnung. Ein Paraboloid kann als offene, nichtzentrale (d. h. ohne Symmetriezentrum) Fläche zweiter Ordnung charakterisiert werden.

Kanonische Gleichungen eines Paraboloids in kartesischen Koordinaten:

· Wenn a und b das gleiche Vorzeichen haben, heißt das Paraboloid elliptisch.

· Wenn a und b unterschiedliche Vorzeichen haben, heißt das Paraboloid hyperbolisch.

· Wenn einer der Koeffizienten Null ist, wird das Paraboloid als Parabolzylinder bezeichnet.

ü ist ein elliptisches Paraboloid, wobei a und b das gleiche Vorzeichen haben. Die Oberfläche wird durch eine Schar paralleler Parabeln mit nach oben gerichteten Ästen beschrieben, deren Scheitelpunkte eine Parabel beschreiben, deren Äste ebenfalls nach oben gerichtet sind. Wenn a = b, dann ist ein elliptisches Paraboloid eine Rotationsfläche, die durch Drehen einer Parabel um eine vertikale Achse entsteht, die durch den Scheitelpunkt dieser Parabel verläuft.

ü ist ein hyperbolisches Paraboloid.

Ein Ellipsoid ist eine Fläche, deren Gleichung in einem bestimmten rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxyz die Form hat, wobei a ^ b ^ c > 0. Um herauszufinden, wie ein Ellipsoid aussieht, gehen wir wie folgt vor. Nehmen wir eine Ellipse auf der Oxz-Ebene und drehen Sie sie um die Oz-Achse (Abb. 46). Abb.46 Die resultierende Oberfläche ist ein Ellipsoid. Hyperboloide. Paraboloide. Zylinder und Kegel zweiter Ordnung. - Rotationsellipsoid - gibt bereits eine Vorstellung davon, wie ein allgemeines Ellipsoid aufgebaut ist. Um seine Gleichung zu erhalten, reicht es aus, das Rotationsellipsoid gleichmäßig entlang der Oy-Achse mit dem Koeffizienten J ^!, t.c. zu komprimieren. Ersetzen Sie y in seiner Gleichung durch Jt/5). 10.2. Hyperboloide Drehen der Hyperbel fl i! = a2 c2 1 um die Oz-Achse (Abb. 47) erhalten wir eine Fläche, die als einblättriges Rotationshyperboloid bezeichnet wird. Seine Gleichung ist *2 + y; ergibt sich auf die gleiche Weise wie im Fall eines Rotationsellipsoids. 5) Ein Rotationsellipsoid kann durch gleichmäßige Kompression der Kugel +yJ + *J = l" entlang der Oz-Achse mit einem Koeffizienten ~ ^ 1 erhalten werden. Durch gleichmäßige Kompression dieser Oberfläche entlang der Oy-Achse mit einem Koeffizienten 2 ^ 1 , erhalten wir ein einblättriges Hyperboloid der allgemeinen Form. Die Gleichung eines Hyperboloids und eines Kegels zweiter Ordnung ergibt sich auf die gleiche Weise wie beim oben besprochenen Ellipsoid, indem die konjugierte Hyperbel um die O-Achse gedreht wird , erhalten wir ein zweiblättriges Rotationshyperboloid (Abb. 48) durch gleichmäßiges Komprimieren dieser Fläche entlang der Achse Oy mit einem Koeffizienten von 2 ^ 1, indem wir y durch - ersetzen. y erhalten wir seine Gleichung. Durch Drehen der Parabel um die Oz-Achse (Abb. 49) erhalten wir ein Rotationsparaboloid der Form x2 + y2 = 2 pz Rotation entlang der Oy-Achse mit dem Koeffizienten yj* ^ 1 ein elliptisches Paraboloid, dessen Gleichung sich aus der Gleichung des Rotationsparaboloids ergibt, indem wir If ersetzen, dann erhalten wir ein Paraboloid der in Abb. 50. 10.4. Hyperbolisches Paraboloid Ein hyperbolisches Paraboloid ist eine Fläche, deren Gleichung in einem bestimmten rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxyz die Form hat, wobei p > 0, q > 0. Wir bestimmen den Typ dieser Fläche mit der sogenannten Schnittmethode, die aus Folgendem besteht : Parallel zu den Koordinatenebenen werden Ebenen gezeichnet, die die untersuchte Oberfläche schneiden, und durch Änderung der Konfiguration der resultierenden flachen Kurven wird ein Rückschluss auf die Struktur der Oberfläche selbst gezogen. Beginnen wir mit Schnitten durch Ebenen z = h = const, parallel zur Koordinatenebene Oxy. Für h > 0 erhalten wir Hyperbeln für h - konjugierte Hyperbeln und für - ein Paar sich schneidender Geraden. Beachten Sie, dass diese Geraden für alle Hyperbeln Asymptoten sind (d. h. für jedes h Ф 0). Projizieren wir die resultierenden Kurven auf die Oxy-Ebene. Wir erhalten das folgende Bild (Abb. 51). Allein diese Betrachtung lässt einen Rückschluss auf die sattelförmige Struktur der betrachteten Oberfläche zu (Abb. 52). Abb.51 Abb.52 Betrachten wir nun Schnitte durch Ebenen, indem wir in der Gleichung die Flächen y durch A ersetzen, erhalten wir die Gleichungen der Parabeln (Abb. 53). Ein ähnliches Bild ergibt sich beim Schneiden einer gegebenen Fläche mit Ebenen. Auch hier erhält man Parabeln, deren Äste nach unten gerichtet sind (und nicht nach oben, wie beim Schneiden mit Ebenen y = h) (Abb. 54). Kommentar. Mit der Schnittmethode können Sie die Struktur aller bisher betrachteten Flächen zweiter Ordnung verstehen. Durch Drehung der Kurven zweiter Ordnung und anschließende gleichmäßige Kompression kann man jedoch einfacher und viel schneller zu einem Verständnis ihrer Struktur gelangen. Die übrigen Flächen zweiter Ordnung wurden im Wesentlichen bereits früher betrachtet. Dies sind Zylinder: elliptische und hyperbolische Abb. 56 und ein parabolischer und zweiter Ordnungskegel, dessen Vorstellung entweder durch Drehung eines Paars sich schneidender Linien um die Oz-Achse und anschließende Komprimierung oder durch die Methode der Schnitte gewonnen werden kann. Natürlich stellen wir in beiden Fällen fest, dass die untersuchte Oberfläche die in Abb. gezeigte Form hat. 59. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Brennpunkte; , . b) Berechnen Sie die Exzentrizität; . c) Schreiben Sie die Gleichungen von Asymptoten und Leitlinien; d) Schreiben Sie die Gleichung der konjugierten Hyperbel und berechnen Sie ihre Exzentrizität. 2. Schreiben Sie die kanonische Gleichung der Parabel, wenn der Abstand vom Fokus zum Scheitelpunkt 3 beträgt. 3. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Ellipse ^ + = 1 Vetopunkt M(4, 3). 4. Bestimmen Sie die Art und Lage der durch die Gleichung gegebenen Kurve: Antworten: Ellipse, Hauptachse parallel zum Ellipsoid. Hyperboloide. Paraboloide. Zylinder und Kegel zweiter Ordnung. Ochsenachse; b) Hyperbelzentrum O (-1,2), der Winkelkoeffizient der gewichteten Achse X ist gleich 3; c) Parabel У2 = , Scheitelpunkt (3, 2), der auf die Konkavität der Parabel gerichtete Achsenvektor ist gleich (-2, -1); d) Hyperbel mit Mittelpunkt, Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen; e) ein Paar sich schneidender Geraden f) ein Paar paralleler Geraden

Die Höhe eines Paraboloids kann mit der Formel bestimmt werden

Das Volumen des den Boden berührenden Paraboloids ist gleich dem halben Volumen eines Zylinders mit Basisradius R und Höhe H, das gleiche Volumen nimmt den Raum W‘ unter dem Paraboloid ein (Abb. 4.5a)

Abb.4.5. Das Volumenverhältnis in einem Paraboloid, das den Boden berührt.

Wp – Volumen des Paraboloids, W’ – Volumen unter dem Paraboloid, Hp – Höhe des Paraboloids

Abb.4.6. Das Verhältnis der Volumina in einem Paraboloid, das die Kanten des Zylinders berührt. Hp ist die Höhe des Paraboloids. R ist der Radius des Gefäßes. Wl ist das Volumen unter der Höhe der Flüssigkeit im Gefäß vor Beginn der Rotation, z 0 ist die Position des Scheitelpunkts des Paraboloids, H ist die Höhe der Flüssigkeit im Gefäß vor Beginn der Rotation.

In Abb. 4.6a beträgt der Flüssigkeitsstand im Zylinder vor Beginn der Rotation H. Das Flüssigkeitsvolumen Wl vor und nach der Rotation bleibt erhalten und ist gleich der Summe des Volumens Wt des Zylinders mit der Höhe z 0 plus dem Flüssigkeitsvolumen unter dem Paraboloid, das gleich dem Volumen des Paraboloids Wp mit der Höhe Hn ist

Berührt das Paraboloid die Oberkante des Zylinders, teilt die Höhe der Flüssigkeit im Zylinder vor Beginn der Rotation H die Höhe des Paraboloids Hn in zwei gleiche Teile, der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) des Paraboloids liegt in Relation dazu zur Basis (Abb. 4.6c)

Darüber hinaus teilt die Höhe H das Paraboloid in zwei Teile (Abb. 4.6c), deren Volumina gleich W 2 = W 1 sind. Aus der Gleichheit der Volumina des Parabolrings W 2 und des Parabolbechers W 1, Abb. 4.6c

Wenn die Oberfläche des Paraboloids den Boden des Gefäßes schneidet (Abb. 4.7), ist W 1 =W 2 =0,5W Ring

Abb. 4.7 Volumina und Höhen, wenn die Oberfläche eines Paraboloids den Boden des Zylinders schneidet

Höhen in Abb. 4.6

Bände in Abb. 4.6.

Lage der freien Oberfläche im Gefäß

Abb.4.8. Drei Fälle relativer Ruhe während der Rotation

1. Bei offenem Gefäß gilt Po = Ratm (Abb. 4.8a). Während der Rotation fällt die Spitze des Paraboloids unter die Anfangsebene H, und die Kanten steigen über die Anfangsebene, die Position der Spitze, an

2. Wenn das Gefäß vollständig gefüllt ist, mit einem Deckel abgedeckt ist, keine freie Oberfläche hat, unter Überdruck Po>Patm steht, befindet sich vor der Rotation die Oberfläche (PP), auf der Po=Patm liegt, in einer Höhe über dem Niveau des Deckels h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. Ist das Gefäß vollständig gefüllt, steht es unter Vakuum Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotation mit hoher Winkelgeschwindigkeit (Abb. 4.9)

Wenn sich ein Flüssigkeitsbehälter mit hoher Winkelgeschwindigkeit dreht, kann die Schwerkraft im Vergleich zur Zentrifugalkraft vernachlässigt werden. Das Gesetz der Druckänderung in einer Flüssigkeit kann aus der Formel abgeleitet werden

(4.22),

Die Flächen der Wasserwaage bilden Zylinder mit einer gemeinsamen Achse, um die sich das Gefäß dreht. Wenn das Gefäß vor Beginn der Rotation nicht vollständig gefüllt ist, steigt der Druck P 0 wird entlang des Radius wirken r = r 0 , anstelle des Ausdrucks (4.22) haben wir

wobei wir g(z 0 - z) = 0 nehmen,

Reis. 4.9 Lage der Rotationsflächen ohne Schwerkraft.

Radius der Innenfläche für bekanntes H und h

Elliptisches Paraboloid

Elliptisches Paraboloid mit a=b=1

Elliptisches Paraboloid- Oberfläche, die durch eine Funktion der Form beschrieben wird

,

Wo A Und B ein Zeichen. Die Oberfläche wird durch eine Schar paralleler Parabeln mit nach oben gerichteten Ästen beschrieben, deren Scheitelpunkte eine Parabel beschreiben, deren Äste ebenfalls nach oben gerichtet sind.

Wenn A = B Dann ist ein elliptisches Paraboloid eine Rotationsfläche, die durch die Drehung einer Parabel um eine vertikale Achse gebildet wird, die durch den Scheitelpunkt einer bestimmten Parabel verläuft.

Hyperbolisches Paraboloid

Hyperbolisches Paraboloid mit a=b=1

Hyperbolisches Paraboloid(in der Konstruktion „Hypar“ genannt) ist eine sattelförmige Fläche, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch eine Gleichung der Form beschrieben wird

.

Aus der zweiten Darstellung wird deutlich, dass ein hyperbolisches Paraboloid eine Regelfläche ist.

Die Oberfläche kann durch die Bewegung einer Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind, entlang einer Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind, gebildet werden, sofern die erste Parabel ihren zweiten Scheitelpunkt berührt.

Paraboloide auf der Welt

In der Technik

In Kunst

In der Literatur

Das in Ingenieur Garins Hyperboloid beschriebene Gerät sollte es sein Paraboloid.

Wikimedia-Stiftung. 2010.

• Elon Menachem
• Eltang

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