Skalarprodukt von Vektoren (im Folgenden als SP bezeichnet). Liebe Freunde! Die Mathematikprüfung umfasst eine Gruppe von Aufgaben zur Lösung von Vektoren. Wir haben bereits über einige Probleme nachgedacht. Sie können sie in der Kategorie „Vektoren“ sehen. Im Allgemeinen ist die Theorie der Vektoren nicht kompliziert, die Hauptsache ist, sie konsequent zu studieren. Berechnungen und Operationen mit Vektoren im Schulmathematikkurs sind einfach, die Formeln sind nicht kompliziert. Schauen Sie mal rein. In diesem Artikel werden wir Probleme auf SP von Vektoren analysieren (im Einheitlichen Staatsexamen enthalten). Nun „Eintauchen“ in die Theorie:

H Um die Koordinaten eines Vektors zu ermitteln, müssen Sie von den Koordinaten seines Endes subtrahierendie entsprechenden Koordinaten seines Ursprungs

Und weiter:

*Die Vektorlänge (Modul) wird wie folgt bestimmt:

Diese Formeln muss man sich merken!!!

Lassen Sie uns den Winkel zwischen den Vektoren zeigen:

Es ist klar, dass er zwischen 0 und 180 0 variieren kann(oder im Bogenmaß von 0 bis Pi).

Wir können einige Rückschlüsse auf das Vorzeichen des Skalarprodukts ziehen. Die Längen von Vektoren haben einen positiven Wert, das ist offensichtlich. Das bedeutet, dass das Vorzeichen des Skalarprodukts vom Wert des Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren abhängt.

Mögliche Fälle:

1. Wenn der Winkel zwischen den Vektoren spitz ist (von 0 0 bis 90 0), dann hat der Kosinus des Winkels einen positiven Wert.

2. Wenn der Winkel zwischen den Vektoren stumpf ist (von 90 0 bis 180 0), dann hat der Kosinus des Winkels einen negativen Wert.

*Bei null Grad, also wenn die Vektoren die gleiche Richtung haben, ist der Kosinus gleich eins und dementsprechend ist das Ergebnis positiv.

Bei 180 °, also wenn die Vektoren entgegengesetzte Richtungen haben, ist der Kosinus gleich minus eins,und dementsprechend wird das Ergebnis negativ sein.

Jetzt der WICHTIGE PUNKT!

Bei 90 °, also wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen, ist der Kosinus gleich Null und daher ist SP gleich Null. Diese Tatsache (Konsequenz, Schlussfolgerung) wird bei der Lösung vieler Probleme genutzt, bei denen es um die relative Position von Vektoren geht, auch bei Problemen, die in der offenen Datenbank mathematischer Aufgaben enthalten sind.

Formulieren wir die Aussage: Das Skalarprodukt ist genau dann gleich Null, wenn diese Vektoren auf senkrechten Geraden liegen.

Also die Formeln für SP-Vektoren:

Wenn die Koordinaten der Vektoren oder die Koordinaten der Punkte ihrer Anfänge und Enden bekannt sind, können wir immer den Winkel zwischen den Vektoren ermitteln:

Betrachten wir die Aufgaben:

27724 Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b.

Wir können das Skalarprodukt von Vektoren mithilfe einer von zwei Formeln ermitteln:

Der Winkel zwischen den Vektoren ist unbekannt, aber wir können die Koordinaten der Vektoren leicht ermitteln und dann die erste Formel verwenden. Da die Ursprünge beider Vektoren mit dem Koordinatenursprung übereinstimmen, sind die Koordinaten dieser Vektoren gleich den Koordinaten ihrer Enden, d. h

Wie Sie die Koordinaten eines Vektors finden, wird in beschrieben.

Wir berechnen:

Antwort: 40

Lassen Sie uns die Koordinaten der Vektoren ermitteln und die Formel verwenden:

Um die Koordinaten eines Vektors zu ermitteln, müssen die entsprechenden Koordinaten seines Anfangs von den Koordinaten des Endes des Vektors subtrahiert werden

Wir berechnen das Skalarprodukt:

Antwort: 40

Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren a und b. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Die Koordinaten der Vektoren seien wie folgt:

Um den Winkel zwischen Vektoren zu ermitteln, verwenden wir die Formel für das Skalarprodukt von Vektoren:

Kosinus des Winkels zwischen Vektoren:

Somit:

Die Koordinaten dieser Vektoren sind gleich:

Setzen wir sie in die Formel ein:

Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt 45 Grad.

Antwort: 45

Somit wird die Länge des Vektors als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten berechnet
. Die Länge eines n-dimensionalen Vektors wird auf ähnliche Weise berechnet
. Wenn wir uns daran erinnern, dass jede Koordinate eines Vektors die Differenz zwischen den Koordinaten von Ende und Anfang ist, erhalten wir die Formel für die Länge des Segments, d.h. Euklidischer Abstand zwischen Punkten.

Skalarprodukt zwei Vektoren auf einer Ebene ist das Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen:
. Es kann bewiesen werden, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren ist = (x 1, x 2) und = (y 1 , y 2) ist gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Koordinaten dieser Vektoren:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

Im n-dimensionalen Raum ist das Skalarprodukt der Vektoren X= (x 1, x 2,...,x n) und Y= (y 1, y 2,...,y n) als Summe der Produkte definiert ihrer entsprechenden Koordinaten: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Der Vorgang der Multiplikation von Vektoren miteinander ähnelt der Multiplikation einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix. Wir betonen, dass das Ergebnis eine Zahl und kein Vektor sein wird.

Das Skalarprodukt von Vektoren hat folgende Eigenschaften (Axiome):

1) Kommutative Eigenschaft: X*Y=Y*X.

2) Verteilungseigenschaft bezüglich der Addition: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Für jede reelle Zahl 
.

4)
, ifX ist kein Nullvektor;
ifX ist ein Nullvektor.

Ein linearer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt von Vektoren gegeben ist, das die vier entsprechenden Axiome erfüllt, heißt Euklidischer linearer VektorRaum.

Es ist leicht zu erkennen, dass wir das Quadrat seiner Länge erhalten, wenn wir einen Vektor mit sich selbst multiplizieren. Es ist also anders Länge Ein Vektor kann als Quadratwurzel seines Skalarquadrats definiert werden:.

Die Vektorlänge hat folgende Eigenschaften:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, wobei eine reelle Zahl ist;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung);

4) |X+Y||X|+|Y| ( Dreiecksungleichung).

Der Winkel  zwischen Vektoren im n-dimensionalen Raum wird basierend auf dem Konzept eines Skalarprodukts bestimmt. Tatsächlich, wenn
, Das
. Dieser Bruch ist nicht größer als eins (gemäß der Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung), sodass wir von hier aus  finden können.

Die beiden Vektoren werden aufgerufen senkrecht oder aufrecht, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Aus der Definition des Skalarprodukts folgt, dass der Nullvektor zu jedem Vektor orthogonal ist. Wenn beide orthogonalen Vektoren ungleich Null sind, dann ist cos= 0, d. h.=/2 = 90 o.

Schauen wir uns noch einmal Abbildung 7.4 an. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass der Kosinus des Winkels  der Neigung des Vektors zur horizontalen Achse wie folgt berechnet werden kann
, und der Kosinus des WinkelsNeigung des Vektors zur vertikalen Achse ist wie folgt
. Diese Nummern werden normalerweise angerufen Richtungskosinus. Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Summe der Quadrate der Richtungskosinuswerte immer gleich eins ist: cos 2 +cos 2 = 1. Ebenso können die Konzepte der Richtungskosinuswerte für Räume höherer Dimensionen eingeführt werden.

Vektorraumbasis

Für Vektoren können wir die Konzepte definieren lineare Kombination,lineare Abhängigkeit Und UnabhängigkeitÄhnlich wie diese Konzepte für Matrixzeilen eingeführt wurden. Es gilt auch, dass, wenn die Vektoren linear abhängig sind, mindestens einer von ihnen linear durch die anderen ausgedrückt werden kann (d. h. es handelt sich um eine lineare Kombination von ihnen). Das Umgekehrte gilt auch: Wenn einer der Vektoren eine Linearkombination der anderen ist, dann sind alle diese Vektoren zusammen linear abhängig.

Beachten Sie, dass, wenn es unter den Vektoren a l , a 2 ,...am einen Nullvektor gibt, diese Menge von Vektoren notwendigerweise linear abhängig ist. Tatsächlich erhalten wir l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, wenn wir beispielsweise den Koeffizienten j am Nullvektor mit Eins und alle anderen Koeffizienten mit Null gleichsetzen. In diesem Fall sind nicht alle Koeffizienten gleich Null ( j ≠ 0).

Wenn außerdem ein Teil der Vektoren aus einer Menge von Vektoren linear abhängig ist, dann sind alle diese Vektoren linear abhängig. Wenn tatsächlich einige Vektoren in ihrer Linearkombination mit Koeffizienten, die nicht beide Null sind, einen Nullvektor ergeben, können die verbleibenden Vektoren multipliziert mit den Nullkoeffizienten zu dieser Summe der Produkte addiert werden, und es wird immer noch ein Nullvektor sein.

Wie kann man feststellen, ob Vektoren linear abhängig sind?

Nehmen wir zum Beispiel drei Vektoren: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) und a 3 = (3, 1, 4, 3). Erstellen wir daraus eine Matrix, in der sie Spalten sein werden:

Dann reduziert sich die Frage der linearen Abhängigkeit auf die Bestimmung des Rangs dieser Matrix. Wenn er gleich drei ist, sind alle drei Spalten linear unabhängig, und wenn er kleiner ist, deutet dies auf eine lineare Abhängigkeit der Vektoren hin.

Da der Rang 2 ist, sind die Vektoren linear abhängig.

Beachten Sie, dass die Lösung des Problems auch mit einer Argumentation beginnen könnte, die auf der Definition der linearen Unabhängigkeit basiert. Erstellen Sie nämlich eine Vektorgleichung  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, die die Form l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Dann erhalten wir ein Gleichungssystem:

Die Lösung dieses Systems mit der Gaußschen Methode reduziert sich darauf, die gleiche Stufenmatrix zu erhalten, nur dass sie eine weitere Spalte enthält – freie Terme. Sie werden alle Null sein, da lineare Transformationen von Nullen nicht zu einem anderen Ergebnis führen können. Das transformierte Gleichungssystem hat die Form:

Die Lösung dieses Systems lautet (-с;-с; с), wobei с eine beliebige Zahl ist; zum Beispiel (-1;-1;1). Das heißt, wenn wir  l = -1; 2 =-1 und 3 = 1 nehmen, dann ist l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, d. h. die Vektoren sind tatsächlich linear abhängig.

Aus dem gelösten Beispiel wird deutlich, dass, wenn wir die Anzahl der Vektoren größer als die Raumdimension annehmen, diese zwangsläufig linear abhängig sind. Wenn wir in diesem Beispiel fünf Vektoren nehmen würden, würden wir tatsächlich eine 4 x 5-Matrix erhalten, deren Rang nicht größer als vier sein könnte. Diese. die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten würde immer noch nicht mehr als vier betragen. Zwei, drei oder vier vierdimensionale Vektoren können linear unabhängig sein, fünf oder mehr jedoch nicht. Folglich können nicht mehr als zwei Vektoren in der Ebene linear unabhängig sein. Alle drei Vektoren im zweidimensionalen Raum sind linear abhängig. Im dreidimensionalen Raum sind vier (oder mehr) beliebige Vektoren immer linear abhängig. Usw.

Deshalb Abmessungen Der Raum kann als die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren definiert werden, die darin enthalten sein können.

Eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren eines n-dimensionalen Raums R heißt Basis diesen Raum.

Satz. Jeder Vektor des linearen Raums kann als lineare Kombination von Basisvektoren dargestellt werden, und zwar auf einzigartige Weise.

Nachweisen. Die Vektoren e l , e 2 ,...e n bilden einen basisdimensionalen Raum R. Lassen Sie uns beweisen, dass jeder Vektor X eine Linearkombination dieser Vektoren ist. Da zusammen mit dem Vektor X die Anzahl der Vektoren (n +1) wird, sind diese (n +1) Vektoren linear abhängig, d.h. Es gibt Zahlen l , 2 ,..., n ,, die nicht gleichzeitig gleich Null sind, so dass

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

In diesem Fall 0, weil andernfalls würden wir erhalten l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, wobei nicht alle Koeffizienten l , 2 ,..., n gleich Null sind. Das bedeutet, dass die Basisvektoren linear abhängig wären. Daher können wir beide Seiten der ersten Gleichung dividieren durch:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

wobei x j = -( j /),
.

Nun beweisen wir, dass eine solche Darstellung in Form einer Linearkombination eindeutig ist. Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. dass es eine andere Darstellung gibt:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Subtrahieren wir davon Term für Term den zuvor erhaltenen Ausdruck:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Da die Basisvektoren linear unabhängig sind, erhalten wir (y j - x j) = 0,
, also y j ​​= x j . Es stellte sich also heraus, dass der Ausdruck derselbe war. Der Satz ist bewiesen.

Der Ausdruck X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n heißt Zersetzung Vektor X basierend auf e l, e 2,...e n und Zahlen x l, x 2,...x n - Koordinaten Vektor x relativ zu dieser Basis oder in dieser Basis.

Es kann bewiesen werden, dass Vektoren ungleich Null eines n-dimensionalen euklidischen Raums, die paarweise orthogonal sind, eine Basis bilden. Lassen Sie uns tatsächlich beide Seiten der Gleichheit l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 mit einem beliebigen Vektor e i multiplizieren. Wir erhalten  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 für  i.

Vektoren e l , e 2 ,...e n der n-dimensionalen euklidischen Raumform orthonormale Basis, wenn diese Vektoren paarweise orthogonal sind und die Norm jedes von ihnen gleich eins ist, d.h. wenn e i *e j = 0 für i≠j и |е i | = 1 füri.

Satz (kein Beweis). In jedem n-dimensionalen euklidischen Raum gibt es eine Orthonormalbasis.

Ein Beispiel für eine Orthonormalbasis ist ein System von n Einheitsvektoren e i , bei dem die i-te Komponente gleich eins und die übrigen Komponenten gleich null sind. Jeder dieser Vektoren heißt ort. Beispielsweise bilden die Vektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) die Basis des dreidimensionalen Raums.

Winkel zwischen Vektoren

Betrachten Sie zwei gegebene Vektoren $\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(b)$. Subtrahieren wir die Vektoren $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ und $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ von einem willkürlich gewählten Punkt $O$, dann heißt der Winkel $AOB$ Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow( a)$ und $\overrightarrow(b)$ (Abb. 1).

Bild 1.

Beachten Sie hier, dass der Winkel zwischen den Vektoren $0^0$ beträgt, wenn die Vektoren $\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(b)$ gleichgerichtet sind oder einer von ihnen der Nullvektor ist.

Notation: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Das Konzept des Skalarprodukts von Vektoren

Mathematisch kann diese Definition wie folgt geschrieben werden:

Das Skalarprodukt kann in zwei Fällen Null sein:

Wenn einer der Vektoren ein Nullvektor ist (seitdem ist seine Länge Null).

Wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen (d. h. $cos(90)^0=0$).

Beachten Sie auch, dass das Skalarprodukt größer als Null ist, wenn der Winkel zwischen diesen Vektoren spitz ist (da $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) und kleiner als Null, wenn der Winkel zwischen diesen Vektoren stumpf ist (da $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Mit dem Konzept eines Skalarprodukts verwandt ist das Konzept eines Skalarquadrats.

Definition 2

Das Skalarquadrat eines Vektors $\overrightarrow(a)$ ist das Skalarprodukt dieses Vektors mit sich selbst.

Wir finden, dass das Skalarquadrat gleich ist

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Berechnung des Skalarprodukts aus Vektorkoordinaten

Neben der Standardmethode zur Ermittlung des Wertes des Skalarprodukts, die sich aus der Definition ergibt, gibt es noch eine andere Möglichkeit.

Betrachten wir es.

Die Vektoren $\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(b)$ hätten die Koordinaten $\left(a_1,b_1\right)$ bzw. $\left(a_2,b_2\right)$.

Satz 1

Das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(b)$ ist gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Koordinaten.

Mathematisch lässt sich dies wie folgt schreiben

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Nachweisen.

Der Satz ist bewiesen.

Dieser Satz hat mehrere Konsequenzen:

Folgerung 1: Die Vektoren $\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(b)$ sind genau dann senkrecht, wenn $a_1a_2+b_1b_2=0$

Folgerung 2: Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist gleich $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren

Für drei beliebige Vektoren und eine reelle Zahl $k$ gilt Folgendes:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Definition eines Skalarquadrats (Definition 2).

Reiserecht:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Definition des Skalarprodukts (Definition 1).

Verteilungsrecht:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(aufzählen)

Nach Satz 1 gilt:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Kombinationsrecht:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(aufzählen)

Nach Satz 1 gilt:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Ein Beispiel für ein Problem zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren

Beispiel 1

Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(b)$, wenn $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ und $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$, und der Winkel zwischen ihnen ist gleich $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Lösung.

Mit Definition 1 erhalten wir

Für $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Für $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Für $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Für $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ rechts)=-3\sqrt(2)\]

Vorlesung: Vektorkoordinaten; Skalarprodukt von Vektoren; Winkel zwischen Vektoren

Vektorkoordinaten

Wie bereits erwähnt, ist ein Vektor ein gerichtetes Segment, das seinen eigenen Anfang und sein eigenes Ende hat. Wenn Anfang und Ende durch bestimmte Punkte dargestellt werden, dann haben sie ihre eigenen Koordinaten in der Ebene oder im Raum.

Wenn jeder Punkt seine eigenen Koordinaten hat, können wir die Koordinaten des gesamten Vektors erhalten.

Nehmen wir an, wir haben einen Vektor, dessen Anfang und Ende die folgenden Bezeichnungen und Koordinaten haben: A(A x ; Ay) und B(B x ; By)

Um die Koordinaten eines bestimmten Vektors zu erhalten, müssen die entsprechenden Koordinaten des Anfangs von den Koordinaten des Endes des Vektors subtrahiert werden:

Um die Koordinaten eines Vektors im Raum zu bestimmen, verwenden Sie die folgende Formel:

Skalarprodukt von Vektoren

Es gibt zwei Möglichkeiten, das Konzept eines Skalarprodukts zu definieren:

• Geometrische Methode. Demnach ist das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Werte dieser Module und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

• Algebraische Bedeutung. Aus algebraischer Sicht ist das Skalarprodukt zweier Vektoren eine bestimmte Größe, die sich aus der Summe der Produkte der entsprechenden Vektoren ergibt.

Wenn die Vektoren im Raum angegeben sind, sollten Sie eine ähnliche Formel verwenden:

Eigenschaften:

• Wenn Sie zwei identische Vektoren skalar multiplizieren, ist ihr Skalarprodukt nicht negativ:

• Wenn sich herausstellt, dass das Skalarprodukt zweier identischer Vektoren gleich Null ist, gelten diese Vektoren als Null:

• Wenn ein bestimmter Vektor mit sich selbst multipliziert wird, ist das Skalarprodukt gleich dem Quadrat seines Moduls:

• Das Skalarprodukt hat eine kommunikative Eigenschaft, das heißt, das Skalarprodukt ändert sich nicht, wenn die Vektoren neu angeordnet werden:

• Das Skalarprodukt von Vektoren ungleich Null kann nur dann gleich Null sein, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen:

• Für ein Skalarprodukt von Vektoren gilt das Kommutativgesetz im Fall der Multiplikation eines der Vektoren mit einer Zahl:

• Bei einem Skalarprodukt können Sie auch die Verteilungseigenschaft der Multiplikation nutzen:

Winkel zwischen Vektoren

Im Falle eines ebenen Problems kann das Skalarprodukt der Vektoren a = (a x; a y) und b = (b x; b y) mit der folgenden Formel ermittelt werden:

a b = a x b x + a y by y

Formel für das Skalarprodukt von Vektoren für räumliche Probleme

Im Falle eines räumlichen Problems kann das Skalarprodukt der Vektoren a = (a x; a y; a z) und b = (b x; b y; b z) mit der folgenden Formel ermittelt werden:

a b = a x b x + a y by + a z b z

Formel für das Skalarprodukt n-dimensionaler Vektoren

Im Fall eines n-dimensionalen Raums kann das Skalarprodukt der Vektoren a = (a 1; a 2; ...; a n) und b = (b 1; b 2; ...; b n) mit ermittelt werden die folgende Formel:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren

1. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist immer größer oder gleich Null:

2. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist genau dann gleich Null, wenn der Vektor gleich dem Nullvektor ist:

a · a = 0<=>a = 0

3. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist gleich dem Quadrat seines Moduls:

4. Die Operation der Skalarmultiplikation ist kommunikativ:

5. Wenn das Skalarprodukt zweier Nicht-Null-Vektoren gleich Null ist, dann sind diese Vektoren orthogonal:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(ab)

7. Die Operation der Skalarmultiplikation ist distributiv:

(a + b) c = a c + b c

Beispiele für Probleme zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren

Beispiele für die Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren für ebene Probleme

Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren a = (1; 2) und b = (4; 8).

Lösung: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b, wenn ihre Länge |a| = 3, |b| = 6 und der Winkel zwischen den Vektoren beträgt 60˚.

Lösung: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren p = a + 3b und q = 5a - 3 b, wenn ihre Länge |a| = 3, |b| = 2 und der Winkel zwischen den Vektoren a und b beträgt 60˚.

Lösung:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Ein Beispiel für die Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren für räumliche Probleme

Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren a = (1; 2; -5) und b = (4; 8; 1).

Lösung: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Ein Beispiel für die Berechnung des Skalarprodukts für n-dimensionale Vektoren

Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren a = (1; 2; -5; 2) und b = (4; 8; 1; -2).

Lösung: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Das Kreuzprodukt aus Vektoren und einem Vektor heißt dritter Vektor , wie folgt definiert:

2) senkrecht, senkrecht. (1"")

3) Die Vektoren sind genauso ausgerichtet wie die Basis des gesamten Raums (positiv oder negativ).

Benennen: .

Physikalische Bedeutung des Vektorprodukts

— Kraftmoment relativ zum Punkt O; - Radius - Vektor des Kraftangriffspunkts

Wenn wir es außerdem zum Punkt O verschieben, sollte das Tripel als Basisvektor ausgerichtet sein.