Definition der Logarithmusformel. Definition von Logarithmus, grundlegende logarithmische Identität. Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Es werden die grundlegenden Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, des Graphen, des Definitionsbereichs, der Wertemenge, der Grundformeln, der Ableitung, des Integrals, der Potenzreihenentwicklung und der Darstellung der Funktion ln x durch komplexe Zahlen angegeben.

Inhalt

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann.

Ableitung ln x

Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Formeln ableiten > > >

Integral

Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:
.
Also,

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z:
.
Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir:
.
Oder
.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn Sie sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
es wird die gleiche Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Wenn die Erweiterung stattfindet:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Siehe auch:

Logarithmus der Zahl b (b > 0) zur Basis a (a > 0, a ≠ 1)– Exponent, auf den die Zahl a erhöht werden muss, um b zu erhalten.

Der Logarithmus zur Basis 10 von b kann geschrieben werden als log(b) und der Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus) ist ln(b).

Wird häufig bei der Lösung von Problemen mit Logarithmen verwendet:

Eigenschaften von Logarithmen

Es gibt vier Haupt Eigenschaften von Logarithmen.

Sei a > 0, a ≠ 1, x > 0 und y > 0.

Eigenschaft 1. Logarithmus des Produkts

Logarithmus des Produkts gleich der Summe der Logarithmen:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Eigenschaft 2. Logarithmus des Quotienten

Logarithmus des Quotienten gleich der Differenz der Logarithmen:

log a (x / y) = log a x – log a y

Eigenschaft 3. Logarithmus der Potenz

Logarithmus des Grades gleich dem Produkt aus Potenz und Logarithmus:

Liegt die Basis des Logarithmus im Grad, gilt eine andere Formel:

Eigenschaft 4. Logarithmus der Wurzel

Diese Eigenschaft lässt sich aus der Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz ermitteln, da die n-te Wurzel der Potenz gleich der Potenz von 1/n ist:

Formel zur Umrechnung eines Logarithmus einer Basis in einen Logarithmus einer anderen Basis

Diese Formel wird auch häufig bei der Lösung verschiedener Logarithmenaufgaben verwendet:

Besonderer Fall:

Vergleich von Logarithmen (Ungleichungen)

Lassen Sie uns zwei Funktionen f(x) und g(x) unter Logarithmen mit den gleichen Basen haben und zwischen ihnen gibt es ein Ungleichheitszeichen:

Um sie zu vergleichen, müssen Sie sich zunächst die Basis der Logarithmen a ansehen:

Wenn a > 0, dann ist f(x) > g(x) > 0
Wenn 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

So lösen Sie Probleme mit Logarithmen: Beispiele

Probleme mit Logarithmen in der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik für die 11. Klasse in Aufgabe 5 und Aufgabe 7 enthalten sind, finden Sie Aufgaben mit Lösungen auf unserer Website in den entsprechenden Rubriken. Auch Aufgaben mit Logarithmen finden sich in der Mathe-Aufgabendatenbank. Sie können alle Beispiele finden, indem Sie die Website durchsuchen.

Was ist ein Logarithmus?

Logarithmen gelten seit jeher als schwieriges Thema im schulischen Mathematikunterricht. Es gibt viele verschiedene Definitionen des Logarithmus, aber aus irgendeinem Grund verwenden die meisten Lehrbücher die komplexeste und erfolgloseste davon.

Wir werden den Logarithmus einfach und klar definieren. Dazu erstellen wir eine Tabelle:

Wir haben also Zweierpotenzen.

Logarithmen – Eigenschaften, Formeln, Lösungsansätze

Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz ermitteln, mit der Sie zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die vierte Potenz erhöhen. Und um 64 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die sechste Potenz erhöhen. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und nun eigentlich die Definition des Logarithmus:

Die Basis a des Arguments x ist die Potenz, mit der die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten.

Bezeichnung: log a x = b, wobei a die Basis, x das Argument und b das ist, was der Logarithmus tatsächlich ist.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Mit dem gleichen Erfolg ist log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu ermitteln, wird aufgerufen. Fügen wir also eine neue Zeile zu unserer Tabelle hinzu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Leider lassen sich nicht alle Logarithmen so einfach berechnen. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik schreibt vor, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Intervall liegen wird. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können bis ins Unendliche geschrieben werden und wiederholen sich nie. Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, belässt man es besser dabei: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass ein Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (der Basis und dem Argument) ist. Zunächst verwechseln viele Menschen die Grundlage und das Argument. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, schauen Sie sich einfach das Bild an:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition eines Logarithmus. Erinnern: Logarithmus ist eine Potenz, in die die Basis eingebaut werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die zur Potenz erhoben wird – sie ist im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Ich erzähle meinen Schülern diese wunderbare Regel gleich in der ersten Unterrichtsstunde – und es entsteht keine Verwirrung.

So zählen Sie Logarithmen

Wir haben die Definition herausgefunden – jetzt müssen wir nur noch lernen, wie man Logarithmen zählt, d. h. Entfernen Sie das „Log“-Schild. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies folgt aus der Definition eines Grades durch einen rationalen Exponenten, auf den die Definition eines Logarithmus reduziert wird.
Die Basis muss von Eins verschieden sein, da Eins bis zu jedem Grad immer noch Eins bleibt. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Macht muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen nennt man Bereich akzeptabler Werte(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass es keine Einschränkungen für die Zahl b (den Wert des Logarithmus) gibt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1.

Allerdings betrachten wir jetzt nur numerische Ausdrücke, bei denen es nicht erforderlich ist, die VA des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden von den Problemautoren bereits berücksichtigt. Wenn jedoch logarithmische Gleichungen und Ungleichungen ins Spiel kommen, werden DL-Anforderungen obligatorisch. Schließlich können Basis und Argument sehr starke Konstruktionen enthalten, die nicht unbedingt den oben genannten Einschränkungen entsprechen.

Schauen wir uns nun das allgemeine Schema zur Berechnung von Logarithmen an. Es besteht aus drei Schritten:

Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, deren minimal mögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, auf Dezimalstellen zu verzichten;
Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
Die resultierende Zahl b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr wichtig: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Das Gleiche gilt für Dezimalbrüche: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Brüche umwandeln, treten viel weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 5 25

Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Fünferpotenz vor: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Wir erhielten die Antwort: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 4 64

Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Wir erhielten die Antwort: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Wir haben die Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 7 14

Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Siebenerpotenz vor: 7 = 7 1 ; 14 kann nicht als Siebenerpotenz dargestellt werden, da 7 1< 14 < 7 2 ;
Aus dem vorherigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht zählt;
Die Antwort ist keine Änderung: Protokoll 7 14.

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie kann man sicher sein, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Es ist ganz einfach – faktorisieren Sie es einfach in Primfaktoren. Wenn die Erweiterung mindestens zwei unterschiedliche Faktoren aufweist, ist die Zahl keine exakte Potenz.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob es sich bei den Zahlen um exakte Potenzen handelt: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakter Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakter Grad;
35 = 7 · 5 – wiederum keine exakte Potenz;
14 = 7 · 2 – wiederum kein exakter Grad;

Beachten Sie auch, dass die Primzahlen selbst immer exakte Potenzen ihrer selbst sind.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so häufig, dass sie einen besonderen Namen und ein besonderes Symbol haben.

des Arguments x ist der Logarithmus zur Basis 10, d.h. Die Potenz, mit der die Zahl 10 erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x.

Beispiel: log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn in einem Lehrbuch von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ auftaucht, sollten Sie wissen, dass es sich hierbei nicht um einen Tippfehler handelt. Dies ist ein dezimaler Logarithmus. Wenn Sie mit dieser Notation jedoch nicht vertraut sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für dezimale Logarithmen.

Natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus, der eine eigene Bezeichnung hat. In mancher Hinsicht ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Wir sprechen vom natürlichen Logarithmus.

des Arguments x ist der Logarithmus zur Basis e, d.h. die Potenz, mit der die Zahl e erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x.

Viele Leute werden fragen: Was ist die Zahl e? Dies ist eine irrationale Zahl; ihr genauer Wert kann nicht gefunden und niedergeschrieben werden. Ich nenne nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459…

Wir werden nicht im Detail darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Somit ist ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus jeder rationalen Zahl irrational. Außer natürlich einer: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die auch für gewöhnliche Logarithmen gelten.

Siehe auch:

Logarithmus. Eigenschaften des Logarithmus (Potenz des Logarithmus).

Wie stellt man eine Zahl als Logarithmus dar?

Wir verwenden die Definition des Logarithmus.

Ein Logarithmus ist ein Exponent, auf den die Basis erhöht werden muss, um die Zahl unter dem Logarithmuszeichen zu erhalten.

Um also eine bestimmte Zahl c als Logarithmus zur Basis a darzustellen, müssen Sie eine Potenz mit derselben Basis wie die Basis des Logarithmus unter das Vorzeichen des Logarithmus setzen und diese Zahl c als Exponenten schreiben:

Absolut jede Zahl kann als Logarithmus dargestellt werden – positiv, negativ, ganzzahlig, gebrochen, rational, irrational:

Um a und c unter stressigen Bedingungen eines Tests oder einer Prüfung nicht zu verwechseln, können Sie die folgende Merkregel verwenden:

Was unten ist, geht nach unten, was oben ist, geht nach oben.

Beispielsweise müssen Sie die Zahl 2 als Logarithmus zur Basis 3 darstellen.

Wir haben zwei Zahlen – 2 und 3. Diese Zahlen sind die Basis und der Exponent, die wir unter dem Vorzeichen des Logarithmus schreiben. Es bleibt zu bestimmen, welche dieser Zahlen auf die Basis des Grades und welche auf den Exponenten hin geschrieben werden sollen.

Die Basis 3 in der Notation eines Logarithmus liegt unten, was bedeutet, dass wir, wenn wir zwei als Logarithmus zur Basis 3 darstellen, auch 3 zur Basis hin schreiben.

2 ist höher als drei. Und in der Schreibweise des Grades zwei schreiben wir über die drei, also als Exponenten:

Logarithmen. Erste Ebene.

Logarithmen

Logarithmus positive Zahl B bezogen auf A, Wo a > 0, a ≠ 1, heißt der Exponent, auf den die Zahl erhöht werden muss A, um zu bekommen B.

Definition von Logarithmus kann kurz so geschrieben werden:

Diese Gleichheit gilt für b > 0, a > 0, a ≠ 1. Es heißt normalerweise logarithmische Identität.
Die Aktion, den Logarithmus einer Zahl zu ermitteln, wird aufgerufen durch Logarithmus.

Eigenschaften von Logarithmen:

Logarithmus des Produkts:

Logarithmus des Quotienten:

Ersetzen der Logarithmusbasis:

Logarithmus des Grades:

Logarithmus der Wurzel:

Logarithmus mit Potenzbasis:

Dezimale und natürliche Logarithmen.

Dezimaler Logarithmus Zahlen rufen den Logarithmus dieser Zahl zur Basis 10 auf und schreiben lg B
Natürlicher Logarithmus Zahlen werden als Logarithmus dieser Zahl zur Basis bezeichnet e, Wo e- eine irrationale Zahl, die ungefähr 2,7 entspricht. Gleichzeitig schreiben sie ln B.

Weitere Hinweise zu Algebra und Geometrie

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit denselben Basen: log a x und log a y. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben.

So lösen Sie Logarithmen

Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus log a x. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen.

In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

log a a = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
log a 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Mit der Entwicklung der Gesellschaft und der Komplexität der Produktion entwickelte sich auch die Mathematik. Bewegung vom Einfachen zum Komplexen. Von der gewöhnlichen Buchführung mit der Methode der Addition und Subtraktion mit ihrer wiederholten Wiederholung kamen wir zum Konzept der Multiplikation und Division. Die Reduzierung der wiederholten Multiplikationsoperation wurde zum Konzept der Potenzierung. Die ersten Tabellen zur Abhängigkeit von Zahlen von der Basis und zur Potenzierung wurden bereits im 8. Jahrhundert vom indischen Mathematiker Varasena erstellt. Daraus können Sie den Zeitpunkt des Auftretens von Logarithmen abzählen.

Historische Skizze

Die Wiederbelebung Europas im 16. Jahrhundert förderte auch die Entwicklung der Mechanik. T erforderte einen großen Rechenaufwand im Zusammenhang mit der Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen. Die alten Tische waren von großem Nutzen. Sie ermöglichten es, komplexe Operationen durch einfachere zu ersetzen – Addition und Subtraktion. Ein großer Fortschritt war das 1544 veröffentlichte Werk des Mathematikers Michael Stiefel, in dem er die Idee vieler Mathematiker verwirklichte. Dadurch war es möglich, Tabellen nicht nur für Potenzen in Form von Primzahlen, sondern auch für beliebige rationale Zahlen zu verwenden.

Im Jahr 1614 führte der Schotte John Napier, der diese Ideen entwickelte, erstmals den neuen Begriff „Logarithmus einer Zahl“ ein. Zur Berechnung der Logarithmen von Sinus- und Cosinuswerten sowie Tangenten wurden neue komplexe Tabellen erstellt. Dies reduzierte die Arbeit der Astronomen erheblich.

Es tauchten neue Tabellen auf, die von Wissenschaftlern drei Jahrhunderte lang erfolgreich verwendet wurden. Es verging viel Zeit, bis die neue Operation in der Algebra ihre fertige Form erhielt. Die Definition des Logarithmus wurde gegeben und seine Eigenschaften untersucht.

Erst im 20. Jahrhundert, mit dem Aufkommen von Taschenrechnern und Computern, gab die Menschheit die alten Tabellen auf, die im 13. Jahrhundert erfolgreich funktioniert hatten.

Heute nennen wir den Logarithmus von b zur Basis von a die Zahl x, die die Potenz von a ist, um b zu bilden. Dies wird als Formel geschrieben: x = log a(b).

Beispielsweise wäre log 3(9) gleich 2. Dies ist offensichtlich, wenn Sie der Definition folgen. Wenn wir 3 hoch 2 erhöhen, erhalten wir 9.

Somit legt die formulierte Definition nur eine Einschränkung fest: Die Zahlen a und b müssen reell sein.

Arten von Logarithmen

Die klassische Definition heißt reeller Logarithmus und ist eigentlich die Lösung der Gleichung a x = b. Option a = 1 ist grenzwertig und nicht von Interesse. Achtung: 1 hoch zu jeder Potenz ist gleich 1.

Realwert des Logarithmus nur definiert, wenn die Basis und das Argument größer als 0 sind und die Basis nicht gleich 1 sein darf.

Besonderer Platz im Bereich der Mathematik Spielen Sie Logarithmen, die je nach Größe ihrer Basis benannt werden:

Regeln und Einschränkungen

Die grundlegende Eigenschaft von Logarithmen ist die Regel: Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der logarithmischen Summe. log abp = log a(b) + log a(p).

Als Variante dieser Aussage gilt: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), die Quotientenfunktion ist gleich der Differenz der Funktionen.

Aus den beiden vorherigen Regeln lässt sich leicht erkennen: log a(b p) = p * log a(b).

Weitere Eigenschaften sind:

Kommentar. Es besteht kein Grund, einen häufigen Fehler zu machen: Der Logarithmus einer Summe ist nicht gleich der Summe der Logarithmen.

Viele Jahrhunderte lang war die Berechnung eines Logarithmus eine ziemlich zeitaufwändige Aufgabe. Mathematiker verwendeten die bekannte Formel der logarithmischen Theorie der Polynomentwicklung:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), wobei n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, die die Genauigkeit der Berechnung bestimmt.

Logarithmen mit anderen Basen wurden unter Verwendung des Satzes über den Übergang von einer Basis zur anderen und der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts berechnet.

Da diese Methode sehr arbeitsintensiv ist und bei der Lösung praktischer Probleme Da die Implementierung schwierig war, verwendeten wir vorkompilierte Logarithmentabellen, was die gesamte Arbeit erheblich beschleunigte.

In einigen Fällen wurden speziell erstellte Logarithmendiagramme verwendet, die eine geringere Genauigkeit lieferten, aber die Suche nach dem gewünschten Wert erheblich beschleunigten. Die über mehrere Punkte konstruierte Kurve der Funktion y = log a(x) ermöglicht es Ihnen, mit einem regulären Lineal den Wert der Funktion an jedem anderen Punkt zu ermitteln. Lange Zeit verwendeten Ingenieure für diese Zwecke sogenanntes Millimeterpapier.

Im 17. Jahrhundert erschienen die ersten analogen Hilfsrechner, die im 19. Jahrhundert ihre vollständige Form erlangten. Das erfolgreichste Gerät hieß Rechenschieber. Trotz der Einfachheit des Geräts hat sein Aussehen den Prozess aller technischen Berechnungen erheblich beschleunigt, und das kann kaum überschätzt werden. Derzeit sind nur wenige Menschen mit diesem Gerät vertraut.

Das Aufkommen von Taschenrechnern und Computern machte den Einsatz anderer Geräte sinnlos.

Gleichungen und Ungleichungen

Um verschiedene Gleichungen und Ungleichungen mithilfe von Logarithmen zu lösen, werden die folgenden Formeln verwendet:

Von einer Basis zur anderen wechseln: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Als Konsequenz aus der vorherigen Option: log a(b) = 1 / log b(a).

Um Ungleichungen zu lösen, ist es nützlich zu wissen:

Der Wert des Logarithmus ist nur dann positiv, wenn Basis und Argument beide größer oder kleiner als eins sind; Wenn mindestens eine Bedingung verletzt ist, ist der Logarithmuswert negativ.
Wenn die Logarithmusfunktion auf die rechte und linke Seite einer Ungleichung angewendet wird und die Basis des Logarithmus größer als eins ist, bleibt das Vorzeichen der Ungleichung erhalten; sonst ändert es sich.

Beispielprobleme

Betrachten wir mehrere Möglichkeiten zur Verwendung von Logarithmen und ihren Eigenschaften. Beispiele zum Lösen von Gleichungen:

Erwägen Sie die Möglichkeit, den Logarithmus in eine Potenz zu bringen:

Aufgabe 3. Berechnen Sie 25^log 5(3). Lösung: Unter den Bedingungen des Problems ähnelt der Eintrag dem folgenden (5^2)^log5(3) oder 5^(2 * log 5(3)). Schreiben wir es anders: 5^log 5(3*2), oder das Quadrat einer Zahl als Funktionsargument kann als Quadrat der Funktion selbst geschrieben werden (5^log 5(3))^2. Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen entspricht dieser Ausdruck 3^2. Antwort: Als Ergebnis der Berechnung erhalten wir 9.

Praktischer Nutzen

Da es sich um ein rein mathematisches Werkzeug handelt, scheint es fernab des wirklichen Lebens, dass der Logarithmus plötzlich eine große Bedeutung für die Beschreibung von Objekten in der realen Welt erlangt hat. Es ist schwierig, eine Wissenschaft zu finden, in der sie nicht genutzt wird. Dies gilt in vollem Umfang nicht nur für natürliche, sondern auch für humanitäre Wissensgebiete.

Logarithmische Abhängigkeiten

Hier einige Beispiele für numerische Abhängigkeiten:

Mechanik und Physik

Historisch gesehen haben sich Mechanik und Physik immer mit mathematischen Forschungsmethoden entwickelt und dienten gleichzeitig als Anreiz für die Entwicklung der Mathematik, einschließlich der Logarithmen. Die Theorie der meisten Gesetze der Physik ist in der Sprache der Mathematik verfasst. Lassen Sie uns nur zwei Beispiele für die Beschreibung physikalischer Gesetze mit dem Logarithmus geben.

Das Problem der Berechnung einer so komplexen Größe wie der Geschwindigkeit einer Rakete kann mithilfe der Tsiolkovsky-Formel gelöst werden, die den Grundstein für die Theorie der Weltraumforschung legte:

V = I * ln (M1/M2), wobei

V ist die Endgeschwindigkeit des Flugzeugs.
I – spezifischer Impuls des Motors.
M 1 – Anfangsmasse der Rakete.
M 2 – Endmasse.

Ein weiteres wichtiges Beispiel- Dies wird in der Formel eines anderen großen Wissenschaftlers, Max Planck, verwendet, die zur Bewertung des Gleichgewichtszustands in der Thermodynamik dient.

S = k * ln (Ω), wobei

S – thermodynamische Eigenschaft.
k – Boltzmann-Konstante.
Ω ist das statistische Gewicht verschiedener Zustände.

Chemie

Weniger offensichtlich ist die Verwendung von Formeln in der Chemie, die das Verhältnis von Logarithmen enthalten. Nennen wir nur zwei Beispiele:

Nernst-Gleichung, der Zustand des Redoxpotentials des Mediums im Verhältnis zur Aktivität von Stoffen und der Gleichgewichtskonstante.
Auch die Berechnung von Konstanten wie dem Autolyseindex und dem Säuregehalt der Lösung ist ohne unsere Funktion nicht möglich.

Psychologie und Biologie

Und es ist überhaupt nicht klar, was Psychologie damit zu tun hat. Es stellt sich heraus, dass die Stärke der Empfindung durch diese Funktion gut als das umgekehrte Verhältnis des Reizintensitätswerts zum niedrigeren Intensitätswert beschrieben wird.

Nach den obigen Beispielen ist es nicht mehr verwunderlich, dass das Thema Logarithmen in der Biologie weit verbreitet ist. Über biologische Formen, die logarithmischen Spiralen entsprechen, könnten ganze Bände geschrieben werden.

Andere Gebiete

Es scheint, dass die Existenz der Welt ohne Verbindung mit dieser Funktion unmöglich ist, und sie unterliegt allen Gesetzen. Vor allem, wenn die Naturgesetze mit geometrischem Verlauf verbunden sind. Ein Blick auf die MatProfi-Website lohnt sich, dort gibt es viele solcher Beispiele in folgenden Tätigkeitsbereichen:

Die Liste kann endlos sein. Wenn Sie die Grundprinzipien dieser Funktion beherrschen, können Sie in die Welt der unendlichen Weisheit eintauchen.

Was ist ein Logarithmus?

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Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders Gleichungen mit Logarithmen.

Das ist absolut nicht wahr. Absolut! Glauben Sie mir nicht? Bußgeld. Jetzt können Sie in nur 10 bis 20 Minuten:

1. Du wirst es verstehen Was ist ein Logarithmus?.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse von Exponentialgleichungen zu lösen. Auch wenn Sie noch nichts davon gehört haben.

3. Lernen Sie, einfache Logarithmen zu berechnen.

Darüber hinaus müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie man eine Zahl potenziert ...

Ich habe das Gefühl, dass Sie Zweifel haben ... Na gut, nehmen Sie sich die Zeit! Gehen!

Lösen Sie zunächst diese Gleichung im Kopf:

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Logarithmische Ausdrücke, Lösungsbeispiele. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen im Zusammenhang mit der Lösung von Logarithmen befassen. Bei den Aufgaben geht es darum, die Bedeutung eines Ausdrucks herauszufinden. Es ist zu beachten, dass das Konzept des Logarithmus in vielen Aufgaben verwendet wird und es äußerst wichtig ist, seine Bedeutung zu verstehen. Was das Einheitliche Staatsexamen betrifft, wird der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen, bei angewandten Problemen und auch bei Aufgaben im Zusammenhang mit dem Studium von Funktionen verwendet.

Lassen Sie uns Beispiele geben, um die eigentliche Bedeutung des Logarithmus zu verstehen:

Grundlegende logarithmische Identität:

Eigenschaften von Logarithmen, die man sich immer merken muss:

*Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

* * *

*Der Logarithmus eines Quotienten (Bruch) ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen der Faktoren.

* * *

*Der Logarithmus eines Exponenten ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis.

* * *

*Übergang zu einer neuen Stiftung

* * *

Weitere Eigenschaften:

* * *

Die Berechnung von Logarithmen hängt eng mit der Verwendung von Exponenteneigenschaften zusammen.

Lassen Sie uns einige davon auflisten:

Der Kern dieser Eigenschaft besteht darin, dass sich bei der Übertragung des Zählers auf den Nenner und umgekehrt das Vorzeichen des Exponenten in das Gegenteil ändert. Zum Beispiel:

Eine Folgerung aus dieser Eigenschaft:

* * *

Bei der Potenzierung bleibt die Basis gleich, die Exponenten werden jedoch multipliziert.

* * *

Wie Sie gesehen haben, ist das Konzept eines Logarithmus selbst einfach. Die Hauptsache ist, dass Sie eine gute Übung brauchen, die Ihnen eine gewisse Fähigkeit verleiht. Natürlich sind Formelkenntnisse erforderlich. Wenn die Fähigkeit zur Umrechnung elementarer Logarithmen nicht entwickelt ist, können Sie beim Lösen einfacher Aufgaben leicht einen Fehler machen.

Üben Sie, lösen Sie zunächst die einfachsten Beispiele aus dem Mathematikkurs und gehen Sie dann zu komplexeren über. In Zukunft werde ich auf jeden Fall zeigen, wie „hässliche“ Logarithmen gelöst werden; diese werden im Einheitlichen Staatsexamen nicht auftauchen, aber sie sind von Interesse, verpassen Sie sie nicht!

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.