sogar, wenn für alle \(x\) aus seinem Definitionsbereich gilt: \(f(-x)=f(x)\) .

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch um die \(y\)-Achse:

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=x^2+\cos x\) ist gerade, weil \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Die Funktion \(f(x)\) wird aufgerufen seltsam, wenn für alle \(x\) aus seinem Definitionsbereich gilt: \(f(-x)=-f(x)\) .

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung:

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=x^3+x\) ist ungerade, weil \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind, heißen Funktionen allgemeiner Form. Eine solche Funktion kann immer eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dargestellt werden.

Beispielsweise ist die Funktion \(f(x)=x^2-x\) die Summe der geraden Funktion \(f_1=x^2\) und der ungeraden Funktion \(f_2=-x\).

\(\blacktriangleright\) Einige Eigenschaften:

1) Das Produkt und der Quotient zweier Funktionen gleicher Parität sind eine gerade Funktion.

2) Das Produkt und der Quotient zweier Funktionen unterschiedlicher Paritäten sind eine ungerade Funktion.

3) Summe und Differenz gerader Funktionen – gerade Funktion.

4) Summe und Differenz ungerader Funktionen – ungerade Funktion.

5) Wenn \(f(x)\) eine gerade Funktion ist, dann hat die Gleichung \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) genau dann eine eindeutige Wurzel, wenn \( x =0\).

6) Wenn \(f(x)\) eine gerade oder ungerade Funktion ist und die Gleichung \(f(x)=0\) eine Wurzel \(x=b\) hat, dann wird diese Gleichung notwendigerweise eine zweite haben Wurzel \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Die Funktion \(f(x)\) heißt periodisch auf \(X\), wenn für eine Zahl \(T\ne 0\) gilt: \(f(x)=f( x+T) \) , wobei \(x, x+T\in X\) . Das kleinste \(T\), für das diese Gleichheit erfüllt ist, wird als Hauptperiode (Hauptperiode) der Funktion bezeichnet.

Eine periodische Funktion hat eine beliebige Zahl der Form \(nT\) , wobei \(n\in \mathbb(Z)\) auch eine Periode ist.

Beispiel: Jede trigonometrische Funktion ist periodisch;
für die Funktionen \(f(x)=\sin x\) und \(f(x)=\cos x\) ist die Hauptperiode gleich \(2\pi\), für die Funktionen \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) und \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) ist die Hauptperiode gleich \(\pi\) .

Um einen Graphen einer periodischen Funktion zu erstellen, können Sie ihren Graphen auf einem beliebigen Segment der Länge \(T\) (Hauptperiode) zeichnen; dann wird der Graph der gesamten Funktion vervollständigt, indem der konstruierte Teil um eine ganzzahlige Anzahl von Perioden nach rechts und links verschoben wird:

\(\blacktriangleright\) Der Definitionsbereich \(D(f)\) der Funktion \(f(x)\) ist eine Menge bestehend aus allen Werten des Arguments \(x\), für die die Funktion einen Sinn ergibt (ist definiert).

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=\sqrt x+1\) hat einen Definitionsbereich: \(x\in

Aufgabe 1 #6364

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Bei welchen Werten des Parameters \(a\) funktioniert die Gleichung

hat eine einzige Lösung?

Beachten Sie, dass die Gleichung, wenn sie eine Wurzel \(x_0\) hat, auch eine Wurzel \(-x_0\) hat, da \(x^2\) und \(\cos x\) gerade Funktionen sind.
Tatsächlich sei \(x_0\) eine Wurzel, also die Gleichheit \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Rechts. Ersetzen wir \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Wenn also \(x_0\ne 0\) , dann hat die Gleichung bereits mindestens zwei Wurzeln. Daher ist \(x_0=0\) . Dann:

Wir haben zwei Werte für den Parameter \(a\) erhalten. Beachten Sie, dass wir die Tatsache genutzt haben, dass \(x=0\) genau die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist. Aber wir haben nie ausgenutzt, dass er der Einzige ist. Daher müssen Sie die resultierenden Werte des Parameters \(a\) in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und prüfen, für welches spezifische \(a\) die Wurzel \(x=0\) wirklich eindeutig ist.

1) Wenn \(a=0\) , dann nimmt die Gleichung die Form \(2x^2=0\) an. Offensichtlich hat diese Gleichung nur eine Wurzel \(x=0\) . Daher passt der Wert \(a=0\) zu uns.

2) Wenn \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , dann nimmt die Gleichung die Form an \ Schreiben wir die Gleichung im Formular um \ Als \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Das \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Folglich gehören die Werte der rechten Seite der Gleichung (*) zum Segment \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Da \(x^2\geqslant 0\) , ist die linke Seite der Gleichung (*) größer oder gleich \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Somit kann Gleichheit (*) nur dann wahr sein, wenn beide Seiten der Gleichung gleich \(\mathrm(tg)^2\,1\) sind. Und das bedeutet das \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Daher passt der Wert \(a=-\mathrm(tg)\,1\) zu uns.

Antwort:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Aufgabe 2 #3923

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für jeden davon den Graphen der Funktion \

symmetrisch zum Ursprung.

Wenn der Graph einer Funktion bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist, dann ist eine solche Funktion ungerade, das heißt, \(f(-x)=-f(x)\) gilt für jedes \(x\) aus dem Definitionsbereich der Definition der Funktion. Daher ist es erforderlich, die Parameterwerte zu finden, für die \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Die letzte Gleichung muss für alle \(x\) aus dem Bereich von \(f(x)\) erfüllt sein, daher gilt \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Antwort:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Aufgabe 3 #3069

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\), für die die Gleichung jeweils 4 Lösungen hat, wobei \(f\) eine gerade periodische Funktion mit der Periode \(T=\dfrac(16)3\) ist. definiert auf dem gesamten Zahlenstrahl und \(f(x)=ax^2\) für \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Aufgabe von Abonnenten)

Da \(f(x)\) eine gerade Funktion ist, ist ihr Graph symmetrisch zur Ordinatenachse, also wenn \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Also wann \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), und dies ist ein Segment der Länge \(\dfrac(16)3\) , Funktion \(f(x)=ax^2\) .

1) Sei \(a>0\) . Dann sieht der Graph der Funktion \(f(x)\) so aus:


Damit die Gleichung dann 4 Lösungen hat, ist es notwendig, dass der Graph \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) durch den Punkt \(A\) verläuft:


Somit, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aligned)\end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( versammelt)\richtig.\] Da \(a>0\) ist, ist \(a=\dfrac(18)(23)\) geeignet.

2) Sei \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Es ist notwendig, dass der Graph \(g(x)\) durch den Punkt \(B\) verläuft: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\] Seit einem<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Der Fall, wenn \(a=0\) nicht geeignet ist, da dann \(f(x)=0\) für alle \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) und die Die Gleichung hat nur eine Wurzel.

Antwort:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Aufgabe 4 #3072

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte von \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \

hat mindestens eine Wurzel.

(Aufgabe von Abonnenten)

Schreiben wir die Gleichung im Formular um \ und betrachten Sie zwei Funktionen: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) und \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Die Funktion \(g(x)\) ist gerade und hat einen Minimalpunkt \(x=0\) (und \(g(0)=49\) ).
Die Funktion \(f(x)\) für \(x>0\) ist fallend und für \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Tatsächlich wird bei \(x>0\) das zweite Modul positiv geöffnet (\(|x|=x\) ), daher ist \(f(x)\) gleich, unabhängig davon, wie sich das erste Modul öffnet zu \( kx+A\) , wobei \(A\) der Ausdruck von \(a\) ist und \(k\) entweder gleich \(-9\) oder \(-3\) ist. Wenn \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Finden wir den Wert von \(f\) am Maximalpunkt: \

Damit die Gleichung mindestens eine Lösung hat, ist es notwendig, dass die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) mindestens einen Schnittpunkt haben. Daher benötigen Sie: \ \\]

Antwort:

\(a\in \(-7\)\cup\)

Aufgabe 5 #3912

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \

hat sechs verschiedene Lösungen.

Machen wir die Ersetzung \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Dann nimmt die Gleichung die Form an \ Wir werden nach und nach die Bedingungen aufschreiben, unter denen die ursprüngliche Gleichung sechs Lösungen hat.
Beachten Sie, dass die quadratische Gleichung \((*)\) maximal zwei Lösungen haben kann. Jede kubische Gleichung \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) kann nicht mehr als drei Lösungen haben. Wenn also die Gleichung \((*)\) zwei unterschiedliche Lösungen hat (positiv!, da \(t\) größer als Null sein muss) \(t_1\) und \(t_2\), dann, indem man die Umkehrung durchführt Substitution, wir bekommen: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(gathered)\right.\] Da jede positive Zahl bis zu einem gewissen Grad als \(\sqrt2\) dargestellt werden kann, zum Beispiel: \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), dann wird die erste Gleichung der Menge in der Form umgeschrieben \ Wie wir bereits gesagt haben, hat jede kubische Gleichung nicht mehr als drei Lösungen, daher wird jede Gleichung im Satz nicht mehr als drei Lösungen haben. Das bedeutet, dass der gesamte Satz nicht mehr als sechs Lösungen haben wird.
Das bedeutet, dass die quadratische Gleichung \((*)\) zwei verschiedene Lösungen haben muss, damit die ursprüngliche Gleichung sechs Lösungen hat, und dass jede resultierende kubische Gleichung (aus der Menge) drei verschiedene Lösungen haben muss (und nicht eine einzige Lösung von eine Gleichung sollte mit jeder übereinstimmen – durch die Entscheidung der zweiten!)
Wenn die quadratische Gleichung \((*)\) eine Lösung hat, erhalten wir natürlich nicht sechs Lösungen für die ursprüngliche Gleichung.

Dadurch wird der Lösungsplan klar. Schreiben wir Punkt für Punkt die Bedingungen auf, die erfüllt sein müssen.

1) Damit die Gleichung \((*)\) zwei verschiedene Lösungen hat, muss ihre Diskriminante positiv sein: \

2) Es ist auch notwendig, dass beide Wurzeln positiv sind (da \(t>0\) ). Wenn das Produkt zweier Wurzeln positiv ist und ihre Summe positiv ist, dann sind auch die Wurzeln selbst positiv. Daher benötigen Sie: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Somit haben wir uns bereits mit zwei unterschiedlichen positiven Nullstellen \(t_1\) und \(t_2\) ausgestattet.

3) Schauen wir uns diese Gleichung an \ Für welches \(t\) wird es drei verschiedene Lösungen geben?
Betrachten Sie die Funktion \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Kann faktorisiert werden: \ Daher sind seine Nullstellen: \(x=-1;2\) .
Wenn wir die Ableitung \(f"(x)=3x^2-6x\) finden, dann erhalten wir zwei Extrempunkte \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Daher sieht die Grafik so aus:


Wir sehen, dass jede horizontale Linie \(y=k\) , wobei \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) Hatte drei verschiedene Lösungen, ist es notwendig, dass \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Sie benötigen also: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Beachten wir auch sofort, dass, wenn die Zahlen \(t_1\) und \(t_2\) unterschiedlich sind, die Zahlen \(\log_(\sqrt2)t_1\) und \(\log_(\sqrt2)t_2\) unterschiedlich sind unterschiedlich, was die Gleichungen bedeutet \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Und \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) wird unterschiedliche Wurzeln haben.
Das System \((**)\) kann wie folgt umgeschrieben werden: \[\begin(cases) 1

Somit haben wir festgestellt, dass beide Wurzeln der Gleichung \((*)\) im Intervall \((1;4)\) liegen müssen. Wie schreibe ich diese Bedingung?
Wir werden die Wurzeln nicht explizit aufschreiben.
Betrachten Sie die Funktion \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Sein Graph ist eine Parabel mit nach oben gerichteten Ästen, die zwei Schnittpunkte mit der x-Achse hat (diese Bedingung haben wir in Absatz 1 niedergeschrieben)). Wie sollte sein Graph aussehen, damit die Schnittpunkte mit der x-Achse im Intervall \((1;4)\) liegen? Also:


Erstens müssen die Werte \(g(1)\) und \(g(4)\) der Funktion an den Punkten \(1\) und \(4\) positiv sein, und zweitens muss der Scheitelpunkt der Parabel \(t_0\ ) muss ebenfalls im Intervall \((1;4)\) liegen. Daher können wir das System schreiben: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) hat immer mindestens eine Wurzel \(x=0\) . Dies bedeutet, dass zur Erfüllung der Bedingungen des Problems die Gleichung erforderlich ist \

hatte vier verschiedene Wurzeln, die von Null verschieden waren und zusammen mit \(x=0\) eine arithmetische Folge darstellten.

Beachten Sie, dass die Funktion \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) gerade ist, was bedeutet, dass, wenn \(x_0\) die Wurzel der Gleichung \( (*)\ ) , dann wird \(-x_0\) auch seine Wurzel sein. Dann ist es notwendig, dass die Wurzeln dieser Gleichung aufsteigend geordnete Zahlen sind: \(-2d, -d, d, 2d\) (dann \(d>0\)). Dann bilden diese fünf Zahlen eine arithmetische Folge (mit der Differenz \(d\)).

Damit diese Wurzeln die Zahlen \(-2d, -d, d, 2d\) sind, müssen die Zahlen \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) die Wurzeln von sein die Gleichung \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Dann gilt nach dem Satz von Vieta:

Schreiben wir die Gleichung im Formular um \ und betrachten Sie zwei Funktionen: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) und \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Die Funktion \(g(x)\) hat einen Maximalpunkt \(x=0\) (und \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nullableitung: \(x=0\) . Wenn \(x<0\) имеем: \(g">0\) , für \(x>0\) : \(g"<0\) .
Die Funktion \(f(x)\) für \(x>0\) ist steigend und für \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Tatsächlich wird bei \(x>0\) das erste Modul positiv geöffnet (\(|x|=x\)), daher ist \(f(x)\) gleich, unabhängig davon, wie sich das zweite Modul öffnet zu \( kx+A\) , wobei \(A\) der Ausdruck von \(a\) ist und \(k\) entweder gleich \(13-10=3\) oder \(13+10 ist =23\). Wenn \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Lassen Sie uns den Wert von \(f\) am Minimalpunkt ermitteln: \

Damit die Gleichung mindestens eine Lösung hat, ist es notwendig, dass die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) mindestens einen Schnittpunkt haben. Daher benötigen Sie: \ Wenn wir diese Reihe von Systemen lösen, erhalten wir die Antwort: \\]

Antwort:

\(a\in \(-2\)\cup\)

Geradeheit und Ungeradeheit einer Funktion sind eine ihrer Haupteigenschaften, und Parität nimmt einen beeindruckenden Teil des schulischen Mathematikunterrichts ein. Es bestimmt weitgehend das Verhalten der Funktion und erleichtert die Konstruktion des entsprechenden Diagramms erheblich.

Bestimmen wir die Parität der Funktion. Im Allgemeinen wird die untersuchte Funktion auch dann berücksichtigt, wenn für entgegengesetzte Werte der unabhängigen Variablen (x), die sich in ihrem Definitionsbereich befindet, die entsprechenden Werte von y (Funktion) gleich sind.

Lassen Sie uns eine strengere Definition geben. Betrachten Sie eine Funktion f (x), die im Definitionsbereich D definiert ist. Sie ist gerade, wenn für jeden Punkt x im Definitionsbereich gilt:

• -x (entgegengesetzter Punkt) liegt ebenfalls in diesem Bereich,

• f(-x) = f(x).

Aus der obigen Definition folgt die für den Definitionsbereich einer solchen Funktion notwendige Bedingung, nämlich Symmetrie in Bezug auf den Punkt O, der den Koordinatenursprung darstellt, da ein Punkt b im Definitionsbereich einer Geraden enthalten ist Funktion, dann liegt auch der entsprechende Punkt b in diesem Bereich. Aus dem oben Gesagten folgt daher die Schlussfolgerung: Die gerade Funktion hat eine bezüglich der Ordinatenachse (Oy) symmetrische Form.

Wie kann man die Parität einer Funktion in der Praxis bestimmen?

Lassen Sie es mit der Formel h(x)=11^x+11^(-x) spezifizieren. Wir folgen dem Algorithmus, der sich direkt aus der Definition ergibt, und untersuchen zunächst seinen Definitionsbereich. Offensichtlich ist es für alle Werte des Arguments definiert, d. h. die erste Bedingung ist erfüllt.

Der nächste Schritt besteht darin, das Argument (x) durch den entgegengesetzten Wert (-x) zu ersetzen.
Wir bekommen:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Da die Addition das kommutative (kommutative) Gesetz erfüllt, ist es offensichtlich, dass h(-x) = h(x) und die gegebene funktionale Abhängigkeit gerade ist.

Überprüfen wir die Parität der Funktion h(x)=11^x-11^(-x). Wenn wir dem gleichen Algorithmus folgen, erhalten wir h(-x) = 11^(-x) -11^x. Wenn wir das Minus herausnehmen, haben wir am Ende
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Daher ist h(x) ungerade.

Übrigens sei daran erinnert, dass es Funktionen gibt, die nach diesen Kriterien nicht klassifiziert werden können; sie heißen weder gerade noch ungerade.

Sogar Funktionen haben eine Reihe interessanter Eigenschaften:

• durch das Hinzufügen ähnlicher Funktionen erhalten sie eine gerade;
• als Ergebnis der Subtraktion solcher Funktionen erhält man eine gerade;
• gerade, auch gerade;
• als Ergebnis der Multiplikation zweier solcher Funktionen erhält man eine gerade Funktion;
• als Ergebnis der Multiplikation ungerader und gerader Funktionen erhält man eine ungerade;
• als Ergebnis der Division ungerader und gerader Funktionen erhält man eine ungerade;
• die Ableitung einer solchen Funktion ist ungerade;
• Wenn Sie eine ungerade Funktion quadrieren, erhalten Sie eine gerade Funktion.

Die Parität einer Funktion kann zur Lösung von Gleichungen verwendet werden.

Um eine Gleichung wie g(x) = 0 zu lösen, bei der die linke Seite der Gleichung eine gerade Funktion ist, reicht es völlig aus, ihre Lösungen für nicht negative Werte der Variablen zu finden. Die resultierenden Wurzeln der Gleichung müssen mit den entgegengesetzten Zahlen kombiniert werden. Einer davon unterliegt der Überprüfung.

Dies wird auch erfolgreich zur Lösung nicht standardmäßiger Probleme mit einem Parameter eingesetzt.

Gibt es beispielsweise einen Wert des Parameters a, für den die Gleichung 2x^6-x^4-ax^2=1 drei Wurzeln hat?

Wenn wir berücksichtigen, dass die Variable in geraden Potenzen in die Gleichung eingeht, ist klar, dass das Ersetzen von x durch - x die gegebene Gleichung nicht ändert. Daraus folgt: Wenn eine bestimmte Zahl ihre Wurzel ist, dann ist die entgegengesetzte Zahl auch die Wurzel. Die Schlussfolgerung liegt auf der Hand: Die von Null verschiedenen Wurzeln einer Gleichung sind „paarweise“ in der Menge ihrer Lösungen enthalten.

Es ist klar, dass die Zahl selbst nicht 0 ist, das heißt, die Anzahl der Wurzeln einer solchen Gleichung kann nur gerade sein und natürlich kann sie für keinen Wert des Parameters drei Wurzeln haben.

Aber die Anzahl der Wurzeln der Gleichung 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kann ungerade sein, und zwar für jeden Wert des Parameters. Tatsächlich lässt sich leicht überprüfen, dass die Wurzelmenge dieser Gleichung „paarweise“ Lösungen enthält. Lassen Sie uns prüfen, ob 0 eine Wurzel ist. Wenn wir es in die Gleichung einsetzen, erhalten wir 2=2. Somit ist 0 neben „gepaarten“ auch eine Wurzel, was deren ungerade Zahl beweist.

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Methoden zur Angabe einer Funktion

Die Funktion sei durch die Formel gegeben: y=2x^(2)-3. Indem Sie der unabhängigen Variablen x beliebige Werte zuweisen, können Sie mit dieser Formel die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y berechnen. Wenn beispielsweise x=-0,5 ist, finden wir mithilfe der Formel, dass der entsprechende Wert von y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 ist.

Wenn Sie einen beliebigen Wert des Arguments x in der Formel y=2x^(2)-3 nehmen, können Sie nur einen Wert der entsprechenden Funktion berechnen. Die Funktion kann als Tabelle dargestellt werden:

X	−2	−1	0	1	2	3
j	−4	−3	−2	−1	0	1

Anhand dieser Tabelle können Sie sehen, dass für den Argumentwert −1 der Funktionswert −3 entspricht; und der Wert x=2 entspricht y=0 usw. Es ist auch wichtig zu wissen, dass jeder Argumentwert in der Tabelle nur einem Funktionswert entspricht.

Mithilfe von Diagrammen können weitere Funktionen spezifiziert werden. Anhand eines Diagramms wird ermittelt, welcher Wert der Funktion mit einem bestimmten Wert x korreliert. In den meisten Fällen handelt es sich dabei um einen Näherungswert der Funktion.

Gerade und ungerade Funktion

Die Funktion ist gleiche Funktion, wenn f(-x)=f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich. Eine solche Funktion ist symmetrisch zur Oy-Achse.

Die Funktion ist komische Funktion, wenn f(-x)=-f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich. Eine solche Funktion ist symmetrisch zum Ursprung O (0;0) .

Die Funktion ist nicht mal, weder seltsam und heißt allgemeine Funktion, wenn es keine Symmetrie um die Achse oder den Ursprung aufweist.

Untersuchen wir die folgende Funktion auf Parität:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) mit einem symmetrischen Definitionsbereich relativ zum Ursprung. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Das bedeutet, dass die Funktion f(x)=3x^(3)-7x^(7) ungerade ist.

Periodische Funktion

Es wird die Funktion y=f(x) aufgerufen, in deren Definitionsbereich für jedes x die Gleichheit f(x+T)=f(x-T)=f(x) gilt periodische Funktion mit Periode T \neq 0 .

Wiederholen des Graphen einer Funktion auf einem beliebigen Segment der x-Achse mit der Länge T.

Die Intervalle, in denen die Funktion positiv ist, also f(x) > 0, sind Segmente der Abszissenachse, die den Punkten des Funktionsgraphen entsprechen, die über der Abszissenachse liegen.

f(x) > 0 auf (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalle, in denen die Funktion negativ ist, d. h. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Eingeschränkte Funktion

Von unten begrenzt Es ist üblich, eine Funktion y=f(x), x \in X aufzurufen, wenn es eine Zahl A gibt, für die die Ungleichung f(x) \geq A für jedes x \in X gilt.

Ein Beispiel für eine von unten begrenzte Funktion: y=\sqrt(1+x^(2)) da y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 für jedes x .

Von oben begrenzt Eine Funktion y=f(x), x \in X wird aufgerufen, wenn es eine Zahl B gibt, für die für jedes x \in X die Ungleichung f(x) \neq B gilt.

Ein Beispiel für eine unten begrenzte Funktion: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] da y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 für jedes x \in [-1;1] .

Begrenzt Es ist üblich, eine Funktion y=f(x), x \in X aufzurufen, wenn es eine Zahl K > 0 gibt, für die die Ungleichung \left | gilt f(x)\right | \neq K für jedes x \in X .

Ein Beispiel für eine eingeschränkte Funktion: y=\sin x ist auf der gesamten Zahlenachse begrenzt, da \left | \sin x \right | \neq 1.

Zunehmende und abnehmende Funktion

Es ist üblich, von einer Funktion zu sprechen, die im betrachteten Intervall zunimmt als zunehmende Funktion dann, wenn ein größerer Wert von x einem größeren Wert der Funktion y=f(x) entspricht. Daraus folgt, dass bei zwei beliebigen Werten des Arguments x_(1) und x_(2) aus dem betrachteten Intervall mit x_(1) > x_(2) das Ergebnis y(x_(1)) > ist y(x_(2)).

Eine Funktion, die im betrachteten Intervall abnimmt, wird aufgerufen abnehmende Funktion wenn ein größerer Wert von x einem kleineren Wert der Funktion y(x) entspricht. Daraus folgt, dass, wenn man aus dem betrachteten Intervall zwei beliebige Werte des Arguments x_(1) und x_(2) und x_(1) > x_(2) nimmt, das Ergebnis y(x_(1)) sein wird.< y(x_{2}) .

Funktionswurzeln Es ist üblich, die Punkte, an denen die Funktion F=y(x) schneidet, mit der Abszissenachse zu bezeichnen (sie werden durch Lösen der Gleichung y(x)=0 erhalten).

a) Wenn für x > 0 eine gerade Funktion zunimmt, dann nimmt sie für x ab< 0

b) Wenn eine gerade Funktion bei x > 0 abnimmt, nimmt sie bei x zu< 0

c) Wenn eine ungerade Funktion bei x > 0 zunimmt, dann nimmt sie auch bei x zu< 0

d) Wenn eine ungerade Funktion für x > 0 abnimmt, dann nimmt sie auch für x ab< 0

Extrema der Funktion

Minimaler Punkt der Funktion y=f(x) wird normalerweise ein Punkt x=x_(0) genannt, in dessen Umgebung es andere Punkte gibt (außer dem Punkt x=x_(0)), und für diese gilt dann die Ungleichung f(x) > f erfüllt (x_(0)) . y_(min) – Bezeichnung der Funktion am Min-Punkt.

Maximaler Punkt der Funktion y=f(x) wird üblicherweise als Punkt x=x_(0) bezeichnet, in dessen Umgebung es andere Punkte gibt (außer dem Punkt x=x_(0)), für die dann die Ungleichung f(x) erfüllt ist< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Voraussetzung

Nach dem Satz von Fermat gilt: f"(x)=0, wenn die Funktion f(x), die am Punkt x_(0) differenzierbar ist, an diesem Punkt ein Extremum hat.

Ausreichender Zustand

1. Wenn die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist x_(0) der Minimalpunkt;
2. x_(0) – ist nur dann ein Maximalpunkt, wenn die Ableitung beim Durchgang durch den stationären Punkt x_(0) das Vorzeichen von Minus nach Plus ändert.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion in einem Intervall

Berechnungsschritte:

1. Gesucht wird die Ableitung f"(x);
2. Es werden stationäre und kritische Punkte der Funktion gefunden und diejenigen ausgewählt, die zum Segment gehören;
3. Die Werte der Funktion f(x) liegen an stationären und kritischen Punkten und Enden des Segments. Das kleinere der erzielten Ergebnisse wird ausfallen der kleinste Wert der Funktion, und mehr - das größte.

Funktionsstudie.

1) D(y) – Definitionsbereich: die Menge aller Werte der Variablen x. für die die algebraischen Ausdrücke f(x) und g(x) Sinn machen.

Wenn eine Funktion durch eine Formel gegeben ist, dann besteht der Definitionsbereich aus allen Werten der unabhängigen Variablen, für die die Formel einen Sinn ergibt.

2) Eigenschaften der Funktion: gerade/ungerade, Periodizität:

Seltsam Und sogar Es werden Funktionen aufgerufen, deren Graphen bezüglich der Vorzeichenänderungen des Arguments symmetrisch sind.

Komische Funktion- eine Funktion, die den Wert ins Gegenteil ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert (symmetrisch relativ zum Koordinatenmittelpunkt).

Gleiche Funktion- eine Funktion, die ihren Wert nicht ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert (symmetrisch zur Ordinate).

Weder gerade noch ungerade Funktion (allgemeine Funktion)- eine Funktion, die keine Symmetrie aufweist. Diese Kategorie umfasst Funktionen, die nicht unter die beiden vorherigen Kategorien fallen.

Es werden Funktionen aufgerufen, die keiner der oben genannten Kategorien angehören weder gerade noch ungerade(oder allgemeine Funktionen).

Seltsame Funktionen

Ungerade Potenz wobei eine beliebige ganze Zahl ist.

Sogar Funktionen

Gerade Potenz ist eine beliebige ganze Zahl.

Periodische Funktion- eine Funktion, die ihre Werte in einem regelmäßigen Argumentintervall wiederholt, d. h. sie ändert ihren Wert nicht, wenn sie dem Argument eine feste Zahl ungleich Null hinzufügt ( Zeitraum Funktionen) über den gesamten Definitionsbereich.

3) Nullstellen (Wurzeln) einer Funktion sind die Punkte, an denen sie Null wird.

Ermitteln des Schnittpunkts des Diagramms mit der Achse Oy. Dazu müssen Sie den Wert berechnen F(0). Finden Sie auch die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse Ochse, warum die Wurzeln der Gleichung finden? F(X) = 0 (oder stellen Sie sicher, dass keine Wurzeln vorhanden sind).

Die Punkte, an denen der Graph die Achse schneidet, werden aufgerufen Funktionsnullstellen. Um die Nullstellen einer Funktion zu finden, müssen Sie die Gleichung lösen, also finden diese Bedeutungen von „x“, bei dem die Funktion Null wird.

4) Intervalle der Zeichenkonstanz, Zeichen darin.

Intervalle, in denen die Funktion f(x) das Vorzeichen beibehält.

Das Intervall der Vorzeichenkonstanz ist das Intervall an jedem Punkt davon die Funktion ist positiv oder negativ.

ÜBER der x-Achse.

UNTER der Achse.

5) Kontinuität (Diskontinuitätspunkte, Art der Diskontinuität, Asymptoten).

Kontinuierliche Funktion- eine Funktion ohne „Sprünge“, d. h. eine Funktion, bei der kleine Änderungen im Argument zu kleinen Änderungen im Wert der Funktion führen.

Abnehmbare Haltepunkte

Wenn der Grenzwert der Funktion existiert, aber die Funktion ist zu diesem Zeitpunkt noch nicht definiert, oder der Grenzwert stimmt zu diesem Zeitpunkt nicht mit dem Wert der Funktion überein:

,

dann heißt der Punkt abnehmbare Sollbruchstelle Funktionen (in der komplexen Analyse ein entfernbarer singulärer Punkt).

Wenn wir die Funktion am Punkt der entfernbaren Diskontinuität „korrigieren“ und setzen , dann erhalten wir eine Funktion, die an einem bestimmten Punkt stetig ist. Diese Operation an einer Funktion wird aufgerufen Erweiterung der Funktion auf kontinuierlich oder Neudefinition der Funktion durch Stetigkeit, was den Namen des Punktes als Punkt rechtfertigt abnehmbar Bruch.

Unstetigkeitsstellen erster und zweiter Art

Wenn eine Funktion an einem bestimmten Punkt eine Diskontinuität aufweist (d. h. der Grenzwert der Funktion an einem bestimmten Punkt fehlt oder nicht mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt übereinstimmt), gibt es für numerische Funktionen zwei mögliche Optionen mit der Existenz numerischer Funktionen verbunden einseitige Grenzen:

wenn beide einseitigen Grenzen existieren und endlich sind, dann heißt ein solcher Punkt Unstetigkeitspunkt erster Art. Entfernbare Unstetigkeitsstellen sind Unstetigkeitsstellen erster Art;

Wenn mindestens einer der einseitigen Grenzen nicht existiert oder kein endlicher Wert ist, dann heißt ein solcher Punkt Unstetigkeitspunkt zweiter Art.

Asymptote - gerade, der die Eigenschaft hat, dass der Abstand von einem Punkt auf der Kurve zu diesem ist gerade tendiert gegen Null, wenn sich der Punkt entlang der Verzweigung ins Unendliche bewegt.

Vertikal

Vertikale Asymptote - Grenzlinie .

Bei der Bestimmung der vertikalen Asymptote wird in der Regel nicht nach einer Grenze gesucht, sondern nach zwei einseitigen (links und rechts). Dies geschieht, um zu bestimmen, wie sich die Funktion verhält, wenn sie sich der vertikalen Asymptote aus verschiedenen Richtungen nähert. Zum Beispiel:

Horizontal

Horizontale Asymptote - gerade Arten, die der Existenz unterliegen Grenze

.

Geneigt

Schräge Asymptote - gerade Arten, die der Existenz unterliegen Grenzen

Hinweis: Eine Funktion kann nicht mehr als zwei schräge (horizontale) Asymptoten haben.

Hinweis: Wenn mindestens einer der beiden oben genannten Grenzwerte nicht existiert (oder gleich ist), dann existiert die schräge Asymptote bei (oder ) nicht.

wenn in Punkt 2.), dann , und der Grenzwert wird mithilfe der horizontalen Asymptotenformel ermittelt, .

6) Finden von Intervallen der Monotonie. Finden Sie Intervalle der Monotonie einer Funktion F(X)(d. h. Intervalle der Zunahme und Abnahme). Dies geschieht durch Prüfung des Vorzeichens der Ableitung F(X). Finden Sie dazu die Ableitung F(X) und löse die Ungleichung F(X)0. Auf Intervallen, in denen diese Ungleichung gilt, gilt die Funktion F(X)erhöht sich. Wobei die umgekehrte Ungleichung gilt F(X)0, Funktion F(X) nimmt ab.

Finden eines lokalen Extremums. Nachdem wir die Intervalle der Monotonie gefunden haben, können wir sofort die lokalen Extrempunkte bestimmen, an denen eine Zunahme durch eine Abnahme ersetzt wird und sich lokale Maxima befinden, und an denen sich eine Abnahme durch eine Zunahme ersetzt, lokale Minima befinden. Berechnen Sie den Wert der Funktion an diesen Punkten. Wenn eine Funktion kritische Punkte hat, die keine lokalen Extrempunkte sind, ist es sinnvoll, den Wert der Funktion auch an diesen Punkten zu berechnen.

Ermitteln des größten und kleinsten Wertes der Funktion y = f(x) auf einem Segment(Fortsetzung)

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion: F(X). 2. Finden Sie die Punkte, an denen die Ableitung Null ist: F(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Bestimmen Sie die Zugehörigkeit der Punkte X 1 ,X 2 , … Segment [ A; B]: lassen X 1A;B, A X 2A;B . 4. Finden Sie die Werte der Funktion an ausgewählten Punkten und an den Enden des Segments: F(X 1), F(X 2),..., F(X A),F(X B), 5. Auswahl der größten und kleinsten Funktionswerte aus den gefundenen. Kommentar. Wenn auf dem Segment [ A; B] Es gibt Diskontinuitätspunkte, dann ist es notwendig, an ihnen einseitige Grenzen zu berechnen und dann ihre Werte bei der Auswahl des größten und kleinsten Wertes der Funktion zu berücksichtigen.

7) Finden von Konvexitäts- und Konkavitätsintervallen. Dies geschieht durch Untersuchung des Vorzeichens der zweiten Ableitung F(X). Finden Sie Wendepunkte an den Übergängen der konvexen und konkaven Intervalle. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Wendepunkten. Wenn eine Funktion andere Kontinuitätspunkte hat (außer Wendepunkten), an denen die zweite Ableitung 0 ist oder nicht existiert, dann ist es auch sinnvoll, den Wert der Funktion an diesen Punkten zu berechnen. Gefunden haben F(X), lösen wir die Ungleichung F(X)0. In jedem Lösungsintervall ist die Funktion nach unten konvex. Lösen der umgekehrten Ungleichung F(X)0 finden wir die Intervalle, in denen die Funktion nach oben konvex (also konkav) ist. Wir definieren Wendepunkte als jene Punkte, an denen die Funktion die Konvexitätsrichtung ändert (und stetig ist).

Wendepunkt einer Funktion- Dies ist der Punkt, an dem die Funktion stetig ist und bei dessen Durchlauf die Funktion die Konvexitätsrichtung ändert.

Existenzbedingungen

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes: wenn die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes zweimal differenzierbar ist, dann oder .

Funktion ist eines der wichtigsten mathematischen Konzepte. Funktion - Variablenabhängigkeit bei aus Variable X, wenn jeder Wert X entspricht einem einzelnen Wert bei. Variable X wird als unabhängige Variable oder Argument bezeichnet. Variable bei wird als abhängige Variable bezeichnet. Alle Werte der unabhängigen Variablen (Variable X) bilden den Definitionsbereich der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt (variable j), bilden den Wertebereich der Funktion.

Funktionsgraph Nennen Sie die Menge aller Punkte der Koordinatenebene, deren Abszissen gleich den Werten des Arguments sind und deren Ordinaten gleich den entsprechenden Werten der Funktion sind, also den Werten der Entlang der Abszissenachse sind die Variablen aufgetragen X, und die Werte der Variablen werden entlang der Ordinatenachse aufgetragen j. Um eine Funktion grafisch darzustellen, müssen Sie die Eigenschaften der Funktion kennen. Die Haupteigenschaften der Funktion werden weiter unten besprochen!

Um einen Graphen einer Funktion zu erstellen, empfehlen wir die Verwendung unseres Programms „Funktionen online grafisch darstellen“. Wenn Sie beim Studium des Materials auf dieser Seite Fragen haben, können Sie diese jederzeit in unserem Forum stellen. Auch im Forum helfen sie Ihnen bei der Lösung von Problemen in Mathematik, Chemie, Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie und vielen anderen Fächern!

Grundlegende Eigenschaften von Funktionen.

1) Funktionsbereich und Funktionsumfang.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller gültigen Argumentwerte X(Variable X), für die die Funktion y = f(x) bestimmt.
Der Bereich einer Funktion ist die Menge aller reellen Werte j, was die Funktion akzeptiert.

In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen untersucht.

2) Funktionsnullstellen.

Werte X, bei welchem y=0, angerufen Funktionsnullstellen. Dies sind die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Ox-Achse.

3) Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion.

Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion sind solche Werteintervalle X, auf dem die Funktionswerte liegen j entweder nur positiv oder nur negativ genannt werden Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion.

4) Monotonie der Funktion.

Eine steigende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem größeren Wert der Funktion entspricht.

Eine abnehmende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

5) Gerade (ungerade) Funktion.

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X f(-x) = f(x). Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Ordinate.

Eine ungerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X Aus dem Definitionsbereich ist die Gleichheit wahr f(-x) = - f(x). Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Gleiche Funktion
1) Der Definitionsbereich ist symmetrisch in Bezug auf den Punkt (0; 0), das heißt, wenn der Punkt A gehört zum Definitionsbereich, dann der Punkt -A gehört ebenfalls zum Bereich der Definition.
2) Für jeden Wert X f(-x)=f(x)
3) Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch um die Oy-Achse.

Komische Funktion hat die folgenden Eigenschaften:
1) Der Definitionsbereich ist symmetrisch um den Punkt (0; 0).
2) für jeden Wert X, zum Definitionsbereich gehörend, die Gleichheit f(-x)=-f(x)
3) Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs (0; 0).

Nicht jede Funktion ist gerade oder ungerade. Funktionen Gesamtansicht sind weder gerade noch ungerade.

6) Begrenzte und unbegrenzte Funktionen.

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl M mit |f(x)| gibt ≤ M für alle Werte von x. Existiert eine solche Zahl nicht, ist die Funktion unbegrenzt.

7) Periodizität der Funktion.

Eine Funktion f(x) ist periodisch, wenn es eine Zahl T ungleich Null gibt, so dass für jedes x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f(x+T) = f(x). Diese kleinste Zahl wird als Periode der Funktion bezeichnet. Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch. (Trigonometrische Formeln).

Funktion F heißt periodisch, wenn es für jede eine solche Zahl gibt X aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ist die Periode der Funktion.

Jede periodische Funktion hat unendlich viele Perioden. In der Praxis wird üblicherweise die kleinste positive Periode berücksichtigt.

Die Werte einer periodischen Funktion wiederholen sich nach einem Intervall, das der Periode entspricht. Dies wird beim Erstellen von Diagrammen verwendet.