Aufgabe B9 gibt einen Graphen einer Funktion oder Ableitung an, aus dem Sie eine der folgenden Größen bestimmen müssen:

1. Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
2. Maximale oder minimale Punkte (Extrempunkte),
3. Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung erheblich erleichtert. Trotz der Tatsache, dass die Aufgabe zum Bereich der mathematischen Analyse gehört, sogar am meisten schwache Schüler, da hier keine tiefen theoretischen Kenntnisse erforderlich sind.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu ermitteln, gibt es einfache und Universelle Algorithmen- alle werden im Folgenden besprochen.

Lesen Sie die Bedingungen der Aufgabe B9 sorgfältig durch, um dumme Fehler zu vermeiden: Manchmal stößt man auf recht lange Texte, aber es gibt nur wenige wichtige Bedingungen, die den Lösungsverlauf beeinflussen.

Berechnung des Ableitungswertes. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph einer Funktion gegeben ist f(x), tangential zu diesem Graphen an einem Punkt x 0, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

1. Finden Sie zwei „geeignete“ Punkte im Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Bezeichnen wir diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2). Schreiben Sie die Koordinaten richtig auf – das ist ein zentraler Punkt der Lösung, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
2. Wenn man die Koordinaten kennt, ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
3. Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten: Sie müssen das Inkrement der Funktion durch das Inkrement des Arguments dividieren – und das ist die Antwort.

Beachten wir noch einmal: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente muss unbedingt mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst wird das Problem nicht richtig formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Nun ermitteln wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Es bleibt noch der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir eine Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse verläuft, ist die Ableitung der Funktion am Tangentialpunkt Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas zählen – schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung der maximalen und minimalen Punkte

Manchmal gibt Problem B9 anstelle eines Graphen einer Funktion einen Graphen der Ableitung an und erfordert die Ermittlung des Maximal- oder Minimalpunkts der Funktion. In dieser Situation ist die Zwei-Punkte-Methode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Definieren wir zunächst die Terminologie:

1. Der Punkt x 0 heißt Maximalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte aus dem Ableitungsdiagramm zu ermitteln, befolgen Sie einfach diese Schritte:

1. Zeichnen Sie den Ableitungsgraphen neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, beeinträchtigen unnötige Daten nur die Entscheidung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse – und das war’s.
2. Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung der Intervalle zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Optionen möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist aus der Originalzeichnung leicht zu ermitteln: Wenn der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≥ 0. Und umgekehrt, wenn der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≤ 0.
3. Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, ist der Mindestpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Gezählt wird immer von links nach rechts.

Dieses Schema funktioniert nur für kontinuierliche Funktionen – andere gibt es in Problem B9 nicht.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−5; 5]. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden und nur die Grenzen [−5; 5] und Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Wir beachten auch die Zeichen:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus. Dies ist die Mindestpunktzahl.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Zeichnen wir den Graphen neu und lassen nur die Grenzen [−3; 7] und Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten wir die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus – dies ist der Maximalpunkt.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−6; 4]. Finden Sie die Anzahl der Maximalpunkte der Funktion f(x), die zum Segment [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den durch das Segment [−4; 3]. Deshalb erstellen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und Nullstellen der darin enthaltenen Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen Maximalpunkt x = 2. An diesem Punkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Beispielsweise wurde im letzten Problem der Punkt x = −3,5 berücksichtigt, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 annehmen. Bei richtiger Problemstellung dürften solche Änderungen keinen Einfluss auf die Lösung haben, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ keinen unmittelbaren Beitrag zur Lösung des Problems leisten. Natürlich funktioniert dieser Trick nicht mit ganzzahligen Punkten.

Finden von Intervallen steigender und fallender Funktionen

Bei einem solchen Problem wie den Maximal- und Minimalpunkten wird vorgeschlagen, den Ableitungsgraphen zu verwenden, um Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst zunimmt oder abnimmt. Definieren wir zunächst, was Zunahme und Abnahme sind:

1. Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Mit anderen Worten: Je größer der Argumentwert, desto größer der Funktionswert.
2. Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment abnehmend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Diese. Ein größerer Argumentwert entspricht einem kleineren Funktionswert.

Lassen Sie uns formulieren ausreichende Voraussetzungen aufsteigend und absteigend:

1. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment ansteigt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d. h. f’(x) ≥ 0.
2. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d. h. f’(x) ≤ 0.

Akzeptieren wir diese Aussagen ohne Beweise. Somit erhalten wir ein Schema zum Finden von Anstiegs- und Abfallintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

1. Entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Im Originalgraphen der Ableitung interessieren uns vor allem die Nullstellen der Funktion, daher belassen wir nur diese.
2. Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Abständen zwischen den Nullen. Wenn f’(x) ≥ 0, nimmt die Funktion zu, und wenn f’(x) ≤ 0, nimmt sie ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x vorsieht, markieren wir diese zusätzlich in einem neuen Diagramm.
3. Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und die Einschränkungen kennen, müssen wir noch die für das Problem erforderliche Menge berechnen.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7.5]. Finden Sie die Abnahmeintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzen Zahlen an.

Zeichnen wir wie üblich den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann notieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es müssen noch alle ganzen Zahlen summiert werden, die innerhalb dieses Intervalls liegen:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall [−10; 4]. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden. Lassen wir nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, von denen es diesmal vier gab: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Markieren wir die Vorzeichen der Ableitung und erhalten das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. So ist f’(x) ≥ 0. Es gibt zwei solcher Intervalle im Diagramm: (−8; −6) und (−3; 2). Berechnen wir ihre Längen:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da wir die Länge des größten Intervalls ermitteln müssen, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.

Die Ableitung einer Funktion ist eines der schwierigen Themen in Lehrplan. Nicht jeder Absolvent wird die Frage beantworten, was ein Derivat ist.

Dieser Artikel erklärt auf einfache und klare Weise, was ein Derivat ist und warum es benötigt wird.. Wir streben bei der Darstellung nun nicht nach mathematischer Strenge. Das Wichtigste ist, die Bedeutung zu verstehen.

Erinnern wir uns an die Definition:

Die Ableitung ist die Änderungsrate einer Funktion.

Die Abbildung zeigt Diagramme von drei Funktionen. Welches wächst Ihrer Meinung nach schneller?

Die Antwort liegt auf der Hand – die dritte. Es hat die höchste Änderungsrate, also die größte Ableitung.

Hier ist ein weiteres Beispiel.

Kostya, Grisha und Matvey bekamen gleichzeitig Jobs. Sehen wir uns an, wie sich ihr Einkommen im Laufe des Jahres verändert hat:

Die Grafik zeigt alles auf einmal, nicht wahr? Kostyas Einkommen hat sich innerhalb von sechs Monaten mehr als verdoppelt. Und auch Grischas Einkommen stieg, aber nur geringfügig. Und Matveys Einkommen sank auf Null. Die Startbedingungen sind die gleichen, aber die Änderungsrate der Funktion ist gleich Derivat, - anders. Was Matvey betrifft, ist seine Einkommensableitung im Allgemeinen negativ.

Intuitiv können wir die Änderungsrate einer Funktion leicht abschätzen. Aber wie machen wir das?

Was wir wirklich betrachten, ist, wie steil der Graph einer Funktion nach oben (oder nach unten) verläuft. Mit anderen Worten: Wie schnell ändert sich y, wenn sich x ändert? Offensichtlich kann die gleiche Funktion an verschiedenen Stellen auftreten andere Bedeutung Ableitung – das heißt, sie kann sich schneller oder langsamer ändern.

Die Ableitung einer Funktion wird bezeichnet.

Wir zeigen Ihnen anhand einer Grafik, wie Sie es finden.

Es wurde ein Diagramm einer Funktion gezeichnet. Nehmen wir einen Punkt mit einer Abszisse darauf. Zeichnen wir an dieser Stelle eine Tangente an den Funktionsgraphen. Wir wollen abschätzen, wie steil der Graph einer Funktion ansteigt. Ein praktischer Wert hierfür ist Tangens des Tangentenwinkels.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels, der an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Bitte beachten Sie, dass wir als Neigungswinkel der Tangente den Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse nehmen.

Manchmal fragen Schüler, was eine Tangente an den Graphen einer Funktion ist. Dies ist eine gerade Linie, die einen einzigen gemeinsamen Punkt mit dem Diagramm in diesem Abschnitt hat, wie in unserer Abbildung dargestellt. Es sieht aus wie eine Tangente an einen Kreis.

Finden wir es. Wir erinnern uns, dass die Tangente eines spitzen Winkels in rechtwinkliges Dreieck gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Aus dem Dreieck:

Wir haben die Ableitung mithilfe eines Diagramms gefunden, ohne die Formel der Funktion zu kennen. Solche Probleme finden sich häufig im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik unter der Nummer.

Es gibt noch einen weiteren wichtigen Zusammenhang. Denken Sie daran, dass die Gerade durch die Gleichung gegeben ist

Die Größe in dieser Gleichung heißt Steigung einer Geraden. Er ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Geraden zur Achse.

.

Wir verstehen das

Erinnern wir uns an diese Formel. Sie drückt aus geometrische Bedeutung Derivat.

Die Ableitung der Funktion an einem Punkt ist gleich Neigung Tangente, die an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Mit anderen Worten, die Ableitung ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels.

Wir haben bereits gesagt, dass dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten unterschiedliche Ableitungen haben kann. Sehen wir uns an, wie die Ableitung mit dem Verhalten der Funktion zusammenhängt.

Lassen Sie uns einen Graphen einer Funktion zeichnen. Lassen Sie diese Funktion in einigen Bereichen zunehmen und in anderen abnehmen, und zwar mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Und lassen Sie diese Funktion maximale und minimale Punkte haben.

An einem Punkt nimmt die Funktion zu. Die Tangente an den am Punkt gezeichneten Graphen bildet sich scharfe Ecke mit positiver Achsrichtung. Das bedeutet, dass die Ableitung an diesem Punkt positiv ist.

An diesem Punkt nimmt unsere Funktion ab. Die Tangente an diesem Punkt bildet einen stumpfen Winkel mit der positiven Richtung der Achse. Da der Tangens eines stumpfen Winkels negativ ist, ist die Ableitung an diesem Punkt negativ.

Folgendes passiert:

Wenn eine Funktion wächst, ist ihre Ableitung positiv.

Wenn sie abnimmt, ist ihre Ableitung negativ.

Was passiert bei der maximalen und minimalen Punktzahl? Wir sehen, dass an den Punkten (Maximalpunkt) und (Minimalpunkt) die Tangente horizontal ist. Daher ist die Tangente der Tangente an diesen Punkten Null und die Ableitung ist ebenfalls Null.

Punkt - Maximalpunkt. An diesem Punkt wird die Zunahme der Funktion durch eine Abnahme ersetzt. Folglich wechselt das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle von „Plus“ nach „Minus“.

An dem Punkt – dem Minimalpunkt – ist die Ableitung ebenfalls Null, ihr Vorzeichen ändert sich jedoch von „Minus“ zu „Plus“.

Fazit: Mit der Ableitung können wir alles herausfinden, was uns am Verhalten einer Funktion interessiert.

Wenn die Ableitung positiv ist, wächst die Funktion.

Wenn die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion ab.

Am Maximalpunkt ist die Ableitung Null und ändert das Vorzeichen von „Plus“ zu „Minus“.

Am Minimalpunkt ist die Ableitung ebenfalls Null und wechselt das Vorzeichen von „Minus“ zu „Plus“.

Schreiben wir diese Schlussfolgerungen in Form einer Tabelle:

	erhöht sich	Maximalpunkt	nimmt ab	Mindestpunktzahl	erhöht sich
+	0	-	0	+

Lassen Sie uns zwei kleine Klarstellungen vornehmen. Eines davon benötigen Sie beim Lösen Probleme mit dem Einheitlichen Staatsexamen. Ein weiteres - im ersten Jahr, mit einem ernsthafteren Studium von Funktionen und Ableitungen.

Es ist möglich, dass die Ableitung einer Funktion irgendwann gleich Null ist, die Funktion aber an dieser Stelle weder ein Maximum noch ein Minimum hat. Dies ist das sogenannte :

An einem Punkt ist die Tangente an den Graphen horizontal und die Ableitung ist Null. Vor dem Punkt nahm die Funktion jedoch zu – und nach dem Punkt nimmt sie weiter zu. Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich nicht – es bleibt positiv, wie es war.

Es kommt auch vor, dass die Ableitung am Punkt des Maximums oder Minimums nicht existiert. In der Grafik entspricht dies einem scharfen Bruch, wenn es unmöglich ist, an einem bestimmten Punkt eine Tangente zu zeichnen.

Wie findet man die Ableitung, wenn die Funktion nicht durch einen Graphen, sondern durch eine Formel gegeben ist? In diesem Fall gilt es

Sergey Nikiforov

Wenn die Ableitung einer Funktion in einem Intervall ein konstantes Vorzeichen hat und die Funktion selbst an ihren Rändern stetig ist, werden die Randpunkte sowohl zu steigenden als auch zu fallenden Intervallen hinzugefügt, was vollständig der Definition von steigenden und fallenden Funktionen entspricht.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Guten Tag. Wie (auf welcher Grundlage) können wir sagen, dass die Funktion an dem Punkt zunimmt, an dem die Ableitung gleich Null ist? Gib Gründe. Ansonsten ist es nur jemandes Laune. Nach welchem ​​Satz? Und auch Beweise. Danke.

Unterstützung

Der Wert der Ableitung an einem Punkt steht nicht in direktem Zusammenhang mit der Zunahme der Funktion über das Intervall. Betrachten Sie zum Beispiel Funktionen – sie nehmen alle im Intervall zu

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Wenn eine Funktion im Intervall (a;b) wächst und an den Punkten a und b definiert und stetig ist, dann nimmt sie im Intervall zu. Diese. Punkt x=2 ist in diesem Intervall enthalten.

Allerdings werden Zunahme und Abnahme in der Regel nicht auf einem Segment, sondern auf einem Intervall betrachtet.

Aber am Punkt x=2 selbst hat die Funktion ein lokales Minimum. Und wie kann man Kindern erklären, dass wir bei der Suche nach Punkten der Zunahme (Abnahme) nicht die Punkte des lokalen Extremums zählen, sondern in Intervalle der Zunahme (Abnahme) eintreten?

In Anbetracht dessen, dass das erste Teil des Einheitlichen Staatsexamens Für " Mittelgruppe Kindergarten", dann sind solche Nuancen vielleicht zu viel.

Separat, Herzlichen Dank für das „Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens“ an alle Mitarbeiter - ein hervorragender Vorteil.

Sergey Nikiforov

Eine einfache Erklärung erhält man, wenn man von der Definition einer steigenden/abfallenden Funktion ausgeht. Ich möchte Sie daran erinnern, dass es sich so anhört: Eine Funktion heißt in einem Intervall erhöhend/verringernd, wenn ein größeres Argument der Funktion einem größeren/kleineren Wert der Funktion entspricht. In dieser Definition wird das Konzept der Ableitung in keiner Weise verwendet, sodass keine Fragen zu den Punkten aufkommen können, an denen die Ableitung verschwindet.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Guten Tag. Hier in den Kommentaren sehe ich die Überzeugung, dass Grenzen einbezogen werden müssen. Nehmen wir an, ich stimme dem zu. Schauen Sie sich aber bitte Ihre Lösung zur Aufgabe 7089 an. Dort werden bei der Angabe zunehmender Intervalle keine Grenzen berücksichtigt. Und das beeinflusst die Antwort. Diese. Die Lösungen zu den Aufgaben 6429 und 7089 widersprechen sich. Bitte klären Sie diese Situation.

Alexander Iwanow

Die Aufgaben 6429 und 7089 haben völlig unterschiedliche Fragestellungen.

Beim einen geht es um die Vergrößerung von Intervallen, beim anderen um Intervalle mit positiver Ableitung.

Es gibt keinen Widerspruch.

Die Extrema sind in den Intervallen der Zunahme und Abnahme enthalten, aber die Punkte, in denen die Ableitung gleich Null ist, sind nicht in den Intervallen enthalten, in denen die Ableitung positiv ist.

A Z 28.01.2019 19:09

Kolleginnen und Kollegen, es gibt ein Konzept der Steigerung an einem Punkt

(siehe zum Beispiel Fichtenholtz)

und Ihr Verständnis des Anstiegs bei x=2 widerspricht der klassischen Definition.

Zu- und Absteigen ist ein Prozess und an diesem Prinzip möchte ich festhalten.

In jedem Intervall, das den Punkt x=2 enthält, nimmt die Funktion nicht zu. Daher ist die Einbeziehung eines gegebenen Punktes x=2 ein besonderer Vorgang.

Um Verwirrung zu vermeiden, wird die Einbeziehung der Intervallenden normalerweise separat besprochen.

Alexander Iwanow

Eine Funktion y=f(x) heißt über ein bestimmtes Intervall wachsend, wenn ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem größeren Wert der Funktion entspricht.

Am Punkt x = 2 ist die Funktion differenzierbar und im Intervall (2; 6) ist die Ableitung positiv, was bedeutet, dass ihre Werte im Intervall streng positiv sind, was bedeutet, dass die Funktion in diesem Abschnitt nur zunimmt, also der Wert der Funktion am linken Ende X = −3 ist kleiner als sein Wert am rechten Ende X = −2.

Antwort: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Verwendung des Graphen der Stammfunktion Φ 2 (X ) (in unserem Fall ist dies ein blauer Graph), bestimmen Sie, welcher der beiden Funktionswerte größer ist φ 2 (−1) oder φ 2 (4)?

Aus dem Diagramm der Stammfunktion geht klar hervor, dass der Punkt X = −1 liegt im steigenden Bereich, daher ist der Wert der entsprechenden Ableitung positiv. Punkt X = 4 liegt im fallenden Bereich und der Wert der entsprechenden Ableitung ist negativ. Da der positive Wert größer als der negative ist, schließen wir, dass der Wert der unbekannten Funktion, die genau die Ableitung ist, am Punkt 4 kleiner ist als am Punkt −1.

Antwort: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Es gibt viele ähnliche Fragen, die zu einem fehlenden Diagramm gestellt werden können, was zu einer Vielzahl von Problemen mit kurzen Antworten führt, die nach demselben Schema erstellt werden. Versuchen Sie, einige davon zu lösen.

Probleme zur Bestimmung der Eigenschaften der Ableitung aus dem Graphen einer Funktion.

Bild 1.

Figur 2.

Problem 1

j = F (X ), definiert auf dem Intervall (−10,5;19). Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte, an denen die Ableitung der Funktion positiv ist.

Die Ableitung einer Funktion ist in den Bereichen positiv, in denen die Funktion zunimmt. Die Abbildung zeigt, dass dies die Intervalle (−10,5;−7,6), (−1;8,2) und (15,7;19) sind. Listen wir die gesamten Punkte innerhalb dieser Intervalle auf: „−10“, „−9“, „−8“, „0“, „1“, „2“, „3“, „4“, „5“, „6“. ", "7", "8", "16", "17", "18". Insgesamt gibt es 15 Punkte.

Antwort: 15

Anmerkungen.
1. Wenn bei Problemen zu Funktionsgraphen nach der Benennung von „Punkten“ gefragt wird, meinen sie in der Regel nur die Werte des Arguments X , die die Abszissen der entsprechenden Punkte im Diagramm sind. Die Ordinaten dieser Punkte sind die Werte der Funktion, sie sind abhängig und können bei Bedarf leicht berechnet werden.
2. Bei der Auflistung der Punkte haben wir die Ränder der Intervalle nicht berücksichtigt, da die Funktion an diesen Punkten nicht zunimmt oder abnimmt, sondern „sich entfaltet“. Die Ableitung an solchen Punkten ist weder positiv noch negativ, sie ist gleich Null, weshalb sie stationäre Punkte genannt werden. Darüber hinaus betrachten wir hier nicht die Grenzen des Definitionsbereichs, da die Bedingung besagt, dass es sich um ein Intervall handelt.

Problem 2

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion j = F (X ), definiert auf dem Intervall (−10,5;19). Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte, an denen die Ableitung der Funktion erfolgt F" (X ) ist negativ.

Die Ableitung einer Funktion ist in den Bereichen negativ, in denen die Funktion abnimmt. Die Abbildung zeigt, dass dies die Intervalle (−7,6;−1) und (8,2;15,7) sind. Ganzzahlige Punkte innerhalb dieser Intervalle: „−7“, „−6“, „−5“, „−4“, „−3“, „−2“, „9“, „10“, „11“, „12“. ", "13", "14", "15". Insgesamt gibt es 13 Punkte.

Antwort: 13

Siehe Hinweise zum vorherigen Problem.

Um die folgenden Probleme zu lösen, müssen Sie sich eine weitere Definition merken.

Die maximalen und minimalen Punkte einer Funktion werden durch einen gemeinsamen Namen vereint – Extrempunkte .

An diesen Punkten ist die Ableitung der Funktion entweder Null oder existiert nicht ( notwendige Bedingung für Extremum).
Eine notwendige Bedingung ist jedoch ein Zeichen, aber keine Garantie für die Existenz eines Extremums einer Funktion. Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum ist der Vorzeichenwechsel der Ableitung: Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von „+“ nach „−“ ändert, dann ist dies der maximale Punkt der Funktion; Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von „−“ nach „+“ ändert, dann ist dies der Minimalpunkt der Funktion; Wenn an einem Punkt die Ableitung einer Funktion gleich Null ist oder nicht existiert, sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt jedoch nicht ins Gegenteil ändert, dann ist der angegebene Punkt kein Extrempunkt der Funktion. Dies kann ein Wendepunkt, ein Bruchpunkt oder ein Bruchpunkt im Graphen einer Funktion sein.

Problem 3

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion j = F (X ), definiert auf dem Intervall (−10,5;19). Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft j = 6 oder fällt damit zusammen.

Denken Sie daran, dass die Gleichung einer geraden Linie die Form hat j = kx + B , Wo k- Neigungskoeffizient dieser Geraden zur Achse Ochse. In unserem Fall k= 0, d.h. gerade j = 6 nicht geneigt, sondern parallel zur Achse Ochse. Das bedeutet, dass auch die benötigten Tangenten parallel zur Achse verlaufen müssen Ochse und muss außerdem einen Steigungskoeffizienten von 0 haben. Tangenten haben diese Eigenschaft an den Extrempunkten von Funktionen. Um die Frage zu beantworten, müssen Sie daher lediglich alle Extrempunkte im Diagramm zählen. Davon gibt es 4 – zwei Höchstpunkte und zwei Mindestpunkte.

Antwort: 4

Problem 4

Funktionen j = F (X ), definiert auf dem Intervall (−11;23). Ermitteln Sie die Summe der Extrempunkte der Funktion auf dem Segment.

Auf dem angegebenen Segment sehen wir 2 Extrempunkte. An diesem Punkt wird das Maximum der Funktion erreicht X 1 = 4, Minimum am Punkt X 2 = 8.
X 1 + X 2 = 4 + 8 = 12.

Antwort: 12

Problem 5

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion j = F (X ), definiert auf dem Intervall (−10,5;19). Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion erfolgt F" (X ) ist gleich 0.

Die Ableitung der Funktion ist an den Extrempunkten gleich Null, von denen im Diagramm 4 sichtbar sind:
2 Maximalpunkte und 2 Minimalpunkte.

Antwort: 4

Probleme zur Bestimmung der Eigenschaften einer Funktion aus dem Graphen ihrer Ableitung.

Bild 1.

Figur 2.

Problem 6

Abbildung 2 zeigt die Grafik F" (X ) - Ableitung der Funktion F (X ), definiert auf dem Intervall (−11;23). An welchem ​​Punkt des Intervalls [−6;2] befindet sich die Funktion? F (X ) nimmt den größten Wert ein.

Auf dem angegebenen Segment war die Ableitung nirgends positiv, daher nahm die Funktion nicht zu. Es nahm ab oder durchquerte stationäre Punkte. Somit erreichte die Funktion ihren größten Wert am linken Rand des Segments: X = −6.

Antwort: −6

Kommentar: Der Graph der Ableitung zeigt, dass sie auf der Strecke [−6;2] dreimal gleich Null ist: an Punkten X = −6, X = −2, X = 2. Aber auf den Punkt X = −2 hat das Vorzeichen nicht geändert, was bedeutet, dass es zu diesem Zeitpunkt kein Extremum der Funktion geben kann. Höchstwahrscheinlich gab es im Diagramm der ursprünglichen Funktion einen Wendepunkt.

Problem 7

Abbildung 2 zeigt die Grafik F" (X ) - Ableitung der Funktion F (X ), definiert auf dem Intervall (−11;23). An welchem ​​Punkt des Segments nimmt die Funktion ihren kleinsten Wert an?

Auf dem Segment ist die Ableitung streng positiv, daher nimmt die Funktion nur in diesem Segment zu. Somit erreichte die Funktion ihren niedrigsten Wert am linken Rand des Segments: X = 3.

Antwort: 3

Aufgabe 8

Abbildung 2 zeigt die Grafik F" (X ) - Ableitung der Funktion F (X ), definiert auf dem Intervall (−11;23). Ermitteln Sie die maximale Punktzahl der Funktion F (X ), die zum Intervall [−5;10] gehören.

Entsprechend der notwendigen Extremumbedingung das Maximum der Funktion kann sein an Punkten, an denen seine Ableitung Null ist. Auf einem bestimmten Segment sind dies Punkte: X = −2, X = 2, X = 6, X = 10. Aber entsprechend der hinreichenden Bedingung, er Das wird auf jeden Fall der Fall sein nur in denen von ihnen, bei denen das Vorzeichen der Ableitung von „+“ nach „−“ wechselt. Auf dem Ableitungsgraphen sehen wir von den aufgelisteten Punkten nur den Punkt X = 6.

Antwort: 1

Problem 9

Abbildung 2 zeigt die Grafik F" (X ) - Ableitung der Funktion F (X ), definiert auf dem Intervall (−11;23). Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion F (X ), die zum Segment gehören.

Die Extrema einer Funktion können an den Punkten liegen, an denen ihre Ableitung gleich 0 ist. Auf einem bestimmten Abschnitt des Ableitungsgraphen sehen wir 5 solcher Punkte: X = 2, X = 6, X = 10, X = 14, X = 18. Aber an der Stelle X = 14 Die Ableitung hat das Vorzeichen nicht geändert und sollte daher von der Betrachtung ausgeschlossen werden. Somit verbleiben 4 Punkte.

Antwort: 4

Aufgabe 10

Abbildung 1 zeigt die Grafik F" (X ) - Ableitung der Funktion F (X ), definiert auf dem Intervall (−10,5;19). Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F (X ). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Die Intervalle der steigenden Funktion fallen mit den Intervallen der Positivität der Ableitung zusammen. In der Grafik sehen wir drei davon – (−9;−7), (4;12), (18;19). Der längste ist der zweite. Seine Länge l = 12 − 4 = 8.

Antwort: 8

Aufgabe 11

Abbildung 2 zeigt die Grafik F" (X ) - Ableitung der Funktion F (X ), definiert auf dem Intervall (−11;23). Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft F (X ) parallel zur Linie j = −2X − 11 oder fällt damit zusammen.

Der Winkelkoeffizient (auch Tangens des Neigungswinkels genannt) einer gegebenen Geraden beträgt k = −2. Uns interessieren parallele oder zusammenfallende Tangenten, d.h. Geraden mit gleicher Steigung. Basierend auf der geometrischen Bedeutung der Ableitung – dem Winkelkoeffizienten der Tangente am betreffenden Punkt im Funktionsgraphen – berechnen wir die Punkte neu, an denen die Ableitung gleich −2 ist. In Abbildung 2 gibt es 9 solcher Punkte. Es ist zweckmäßig, sie an den Schnittpunkten des Diagramms und der Koordinatengitterlinie zu zählen, die durch den Wert −2 auf der Achse verläuft Oy.

Antwort: 9

Wie Sie sehen, können Sie mithilfe desselben Diagramms eine Vielzahl von Fragen zum Verhalten der Funktion und ihrer Ableitung stellen. Dieselbe Frage kann auch auf Graphen verschiedener Funktionen angewendet werden. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie dieses Problem in der Prüfung lösen, es wird Ihnen sehr einfach vorkommen. Andere Arten von Problemen in dieser Aufgabe – zur geometrischen Bedeutung der Stammfunktion – werden in einem anderen Abschnitt behandelt.