Fläche eines Hemisphärenrechners. So ermitteln Sie die Fläche und das Volumen einer Kugel. So finden Sie die Fläche einer Kugel

Wir geben hier eine sehr einfache, wenn auch nicht ganz strenge Ableitung der Formel für die Fläche einer Kugeloberfläche; in seiner Idee steht es den Methoden der Integralrechnung sehr nahe. Gegeben sei uns also eine bestimmte Kugel mit dem Radius R. Wählen wir einen kleinen Bereich auf ihrer Oberfläche aus (Abb. 412) und betrachten wir eine Pyramide oder einen Kegel mit der Spitze in der Mitte der Kugel O und dieser Fläche als Basis ; Genau genommen sprechen wir nur bedingt von einem Kegel oder einer Pyramide, da die Grundfläche nicht flach, sondern kugelförmig ist. Wenn die Größe der Basis jedoch im Vergleich zum Radius der Kugel klein ist, unterscheidet sie sich kaum von einer flachen (wenn man beispielsweise ein nicht sehr großes Grundstück vermisst, vernachlässigt man die Tatsache, dass es nicht auf einem liegt). Ebene, sondern auf einer Kugel).

Wenn wir dann die Basis der „Pyramide“ durch die Fläche dieses Abschnitts bezeichnen, finden wir ihr Volumen als Produkt aus einem Drittel der Höhe und der Fläche der Basis (die Höhe ist der Radius der Kugel). :

Zerlegen wir nun die gesamte Oberfläche des Balls in eine sehr große Anzahl N solcher kleiner Flächen und damit das Volumen des Balls in N Volumina von „Pyramiden“, die diese Flächen als Basis haben, dann wird das gesamte Volumen durch dargestellt Summe

wobei die letzte Summe gleich der Gesamtoberfläche des Balls ist:

Das Volumen einer Kugel entspricht also einem Drittel des Produkts aus Radius und Oberfläche. Daher haben wir für die Oberfläche die Formel

Das letzte Ergebnis wird wie folgt formuliert:

Die Oberfläche einer Kugel entspricht dem Vierfachen der Fläche ihres Großkreises.

Die obige Schlussfolgerung gilt auch für die Oberfläche eines Kugelsektors (wir meinen nur die Basis, also die Kugeloberfläche oder „Kappe“; siehe Abb. 409). Und in diesem Fall entspricht das Volumen des Sektors einem Drittel des Produkts aus dem Radius der Kugel und der Fläche ihrer Kugelbasis:

wo wir die Formel für die Fläche der Kappe finden

Die sphärische Oberfläche der Kugelschicht wird Kugelgürtel genannt (siehe Abb. 408). Um die Oberfläche des Kugelgürtels zu berechnen, ermitteln wir die Differenz zwischen den Oberflächen zweier Kugelkappen:

Wo ist die Höhe der Schicht? Die Oberfläche des Kugelgürtels für eine bestimmte Kugel hängt also nur von der Höhe der entsprechenden Schicht ab, nicht jedoch von ihrer Position auf der Kugel.

Aufgabe. Die Mantelfläche eines um eine Kugel umschriebenen Kegels hat eine Fläche, die dem Eineinhalbfachen der Kugeloberfläche entspricht. Ermitteln Sie die Höhe des Kegels, wenn der Radius der Kugel gleich ist.

Lösung. Der Einfachheit halber führen wir den Winkel a zwischen der Höhe und der Mantellinie des Kegels ein (Abb. 413). Lassen Sie uns die Ausdrücke für die Höhe, den Basisradius und die Erzeugende des Kegels finden

Viele von uns lieben es, Fußball zu spielen, oder zumindest haben fast alle von uns von diesem berühmten Sportspiel gehört. Jeder weiß, dass Fußball mit einem Ball gespielt wird.

Wenn Sie einen Passanten fragen, welche geometrische Form der Ball hat, werden einige sagen, dass er kugelförmig ist, und andere werden sagen, dass er kugelförmig ist. Welches ist also richtig? Und was ist der Unterschied zwischen einer Kugel und einer Kugel?

Wichtig!

Ball ist ein räumlicher Körper. Das Innere der Kugel ist mit etwas gefüllt. Daher kann das Volumen einer Kugel ermittelt werden.

Beispiele für einen Ball im Leben: eine Wassermelone und eine Stahlkugel.

Eine Kugel und eine Kugel haben wie ein Kreis und ein Kreis einen Mittelpunkt, einen Radius und einen Durchmesser.

Wichtig!

Kugel- Oberfläche des Balls. Sie können die Oberfläche einer Kugel ermitteln.

Beispiele für Lebensbereiche: ein Volleyball und ein Tischtennisball.

So finden Sie die Fläche einer Kugel

Erinnern!

Formel für die Fläche einer Kugel: S=4 π R 2

Um die Fläche einer Kugel zu ermitteln, müssen Sie sich merken, was eine Potenz einer Zahl ist. Wenn wir die Definition des Grades kennen, können wir die Formel für die Fläche einer Kugel wie folgt schreiben.
S=4 π R 2 = 4π R · R;

Lassen Sie uns das erworbene Wissen festigen und Lösen wir das Problem auf der Fläche einer Kugel.

Zubareva 6. Klasse. Nummer 692(a)

Die Aufgabe:

Berechnen Sie die Fläche einer Kugel, wenn ihr Radius beträgt 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
= = = 88
88
= 1
R 3 = 1
R = 1 m

Wichtig!

Liebe Eltern!

Bei der endgültigen Berechnung des Radius muss das Kind nicht gezwungen werden, die Kubikwurzel zu zählen. Schüler der 6. Klasse haben die Definition von Wurzeln in der Mathematik noch nicht belegt und kennen sie nicht.

Verwenden Sie in der 6. Klasse bei der Lösung eines solchen Problems die Brute-Force-Methode.

Fragen Sie den Schüler, welche Zahl, wenn man sie dreimal mit sich selbst multipliziert, eins ergibt.

Eine Kugel ist eine Menge aller Punkte im Raum, die sich vom Mittelpunkt im Abstand eines bestimmten Radius R erstrecken. Der Radius wiederum ist das Segment, das den Mittelpunkt verbindet Ball mit jedem Punkt auf seiner Oberfläche.

Du wirst brauchen

– Formel für die Oberfläche einer Kugel;
– Formel für das Volumen einer Kugel;
– Rechenkenntnisse.

Anweisungen

1. Im Alltag besteht oft der Bedarf zu rechnen Quadrat Kugeloberfläche oder einen Teil davon, um beispielsweise den Materialverbrauch zu berechnen. Nachdem ich das Volumen berechnet habe Ball, können Sie anhand des spezifischen Gewichts die Masse der Substanz berechnen, aus der der Inhalt der Kugel besteht. Um es zu entdecken Quadrat und Lautstärke Ball Es reicht aus, seinen Radius oder Durchmesser zu kennen. Mit den Formeln, die heutige Schüler in der 11. Klasse einer weiterführenden Schule ableiten, lassen sich diese Parameter ganz einfach berechnen.

2. Nehmen wir an, der Durchmesser eines Fußballs sollte gemäß den jeweiligen FIFA-Anforderungen im Bereich von 21,8 bis 22,2 cm liegen. Zur Vereinfachung der Berechnung beträgt der Durchschnitt 22 cm. Folglich ist der Radius (R) gleich (22: 2) - 11 cm. Tee interessant zu wissen, was Quadrat Oberfläche eines Fußballs?

3. Nehmen Sie die Oberflächenformel Ball:S Ball= 4tmR2 Setzen Sie den Radius des Fußballs in die obige Formel ein – 11 cm. S = 4 x 3,14 x 11x11.

4. Nach der Durchführung einfacher mathematischer Operationen erhalten Sie das Ergebnis: 1519,76. Auf diese Weise, Quadrat Die Oberfläche eines Fußballs beträgt 1.519,76 Quadratzentimeter.

5. Berechnen Sie nun das Volumen der Kugel. Nehmen Sie die Formel zur Volumenberechnung Ball: V = 4/3tmR3 Ersetzen Sie erneut den Wert des Radius des Fußballs - 11 cm. V = 4/3 x 3,14 x 11 x 11 x 11.

6. Nach Berechnungen beispielsweise mit einem Taschenrechner erhalten Sie: 5576,89. Es stellt sich heraus, dass das Luftvolumen in einem Fußball 5.576,89 Kubikzentimeter beträgt.

Eine Kugel ist die einfachste dreidimensionale geometrische Figur, um deren Größe jeweils einen Parameter anzugeben. Die Grenzen dieser Figur werden üblicherweise als Kugel bezeichnet. Das durch die Kugel begrenzte Raumvolumen kann sowohl mit Unterstützung geeigneter trigonometrischer Formeln als auch mit verfügbaren Mitteln berechnet werden.

Anweisungen

1. Verwenden Sie die klassische Formel für das Volumen (V) einer Kugel, wenn ihr Radius (r) aus den Bedingungen bekannt ist: Erhöhen Sie den Radius auf die dritte Potenz, multiplizieren Sie ihn mit der Zahl Pi und erhöhen Sie die Summe um ein weiteres Drittel. Diese Formel kann wie folgt geschrieben werden: V=4*?*r?/3.

2. Wenn es möglich ist, den Durchmesser (d) der Kugel zu messen, teilen Sie ihn in zwei Hälften und verwenden Sie ihn als Radius in der Formel aus dem vorherigen Schritt. Oder ermitteln Sie ein Sechstel des Kubikdurchmessers multipliziert mit Pi: V=?*d?/6.

3. Wenn wir das Volumen (v) des Zylinders kennen, in den die Kugel eingeschrieben ist, dann bestimmen wir zur Bestimmung seines Volumens, wie zwei Drittel des bekannten Volumens des Zylinders gleich sind: V=?*v.

4. Wenn Sie die durchschnittliche Dichte (p) des Materials, aus dem die Kugel besteht, und seine Masse (m) kennen, reicht dies auch aus, um das Volumen zu bestimmen – dividieren Sie die zweite durch die erste: V=m/p.

5. Verwenden Sie einige Messbehälter als praktisches Hilfsmittel, um das Volumen eines kugelförmigen Gefäßes zu messen. Nehmen wir an, Sie füllen es mit Wasser und messen mit einem Messbehälter die Menge der eingegossenen Flüssigkeit ab. Wandeln Sie den resultierenden Wert in Litern in Kubikmeter um – diese Einheit wird im internationalen SI-System zur Volumenmessung übernommen. Als Indikator für die Umrechnung von Litern in Kubikmeter verwenden Sie die Zahl 1000, denn ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter und in jeden Kubikmeter passen genau tausend davon.

6. Verwenden Sie die umgekehrte Messregel wie im vorherigen Schritt beschrieben, wenn ein kugelförmiger Körper nicht mit Flüssigkeit gefüllt, aber darin eingetaucht werden kann. Füllen Sie das Messgefäß mit Wasser, fegen Sie die Etage, tauchen Sie den zu messenden Kugelkörper in die Flüssigkeit und ermitteln Sie anhand der Etagendifferenz die verdrängte Wassermenge. Anschließend wandeln Sie die resultierende Summe auf die gleiche Weise wie im vorherigen Schritt beschrieben von Litern in Kubikmeter um.

Video zum Thema

Reparaturen, Umzug, Lackieren eines Objekts – all dies erfordert eine Flächenberechnung. Es ist kein Verbrechen, sich an den Lehrplan der Schule zu erinnern.

Anweisungen

1. Erinnern wir uns daran, was ein Bereich ist. Die Fläche ist das Maß einer ebenen Figur im Verhältnis zu einer Standardfigur. Oder ein korrekter Wert, dessen numerischer Wert die folgenden Eigenschaften hat: Wenn eine Figur in Teile geteilt werden kann, die primitive Figuren sein werden, dann ist die Fläche einer solchen Figur gleich der Summe der Flächen ihrer Teile Die Fläche eines Quadrats mit einer Seite, die der Maßeinheit entspricht, ist gleich eins. Gleiche Figuren haben gleiche Flächen. Aus diesen Regeln folgt, dass die Fläche keine bestimmte Größe ist, das heißt, die Fläche gibt nur eine Bedingung an Zusammenstellung zu einer Figur. Wenn Sie die Fläche einer beliebigen Figur ermitteln möchten, müssen Sie berechnen, wie viele Quadrate mit einer Seite (die gleich eins ist) diese Figur aufnehmen kann.

2. Beispiel: Nehmen wir eine Figur – ein Rechteck, eines, in das sechsmal ein Quadratzentimeter passt. Dann beträgt die Fläche eines solchen Rechtecks 6 cm2. Nehmen wir eine schwierigere Figur, sagen wir ein Trapez, dann stellt sich heraus: Wenn das Trapez so groß ist, dass ein Quadratzentimeter nur zweimal hineinpasst, der dritte Teil aber nicht ganz hineinpasst und ein kleines Dreieck übrig bleibt. Um die Fläche dieses verbleibenden Dreiecks zu messen, müssen Sie Bruchteile eines Quadratzentimeters darauf auftragen; Sie können einen Millimeter nehmen. Allerdings ist diese Methode für schwierige Figuren nicht sehr komfortabel. Folglich gibt es unterschiedliche Formeln zur Berechnung der Fläche verschiedener Figuren. Wenn Sie die Fläche einer bestimmten Figur berechnen müssen, können Sie ein Geometrielehrbuch nehmen und sich an den Stoff erinnern, den Sie einmal in der Schule gelernt haben. Also die Formel für die Fläche eines Würfels: die Fläche von Der Würfel ist gleich der Anzahl der Gesichter multipliziert mit der Fläche des Gesichts, d.h. 6*a2

Video zum Thema

Alle Planeten des klaren Systems haben die Form Ball. Darüber hinaus sind viele von Menschenhand geschaffene Gegenstände, darunter auch Teile technischer Geräte, kugelförmig oder haben eine ähnliche Form. Eine Kugel hat wie jeder Rotationskörper eine Achse, die mit ihrem Durchmesser übereinstimmt. Dies ist jedoch keine außergewöhnliche Hauptqualität Ball. Im Folgenden besprechen wir die Haupteigenschaften dieser geometrischen Figur und die Methode zur Bestimmung ihrer Fläche.

Anweisungen

1. Wenn man einen Halbkreis oder Kreis nimmt und ihn um seine Achse dreht, erhält man einen Körper, den man Kugel nennt. Mit anderen Worten: Eine Kugel ist ein Körper, der von einer Kugel begrenzt wird. Die Kugel ist eine Hülle Ball und sein Querschnitt ist ein Kreis. Aus Ball Der Unterschied besteht darin, dass es hohl ist. Achsartig Ball, also fällt er bei einer Kugel mit dem Durchmesser zusammen und verläuft durch den Mittelpunkt. Radius Ball bezeichnet ein Segment, das von seinem Mittelpunkt zu einem beliebigen externen Punkt gezogen wird. Im Gegensatz zur Kugel Schnitt Ball sind Kreise. Viele Planeten und Himmelskörper haben eine nahezu kugelförmige Form. An verschiedenen Stellen Ball es gibt gleich geformte, aber ungleich große, sogenannte Abschnitte – Kreise unterschiedlicher Fläche.

2. Eine Kugel und eine Kugel sind im Gegensatz zu einem Kegel austauschbare Körper, obwohl der Kegel auch ein Rotationskörper ist. Kugelflächen bilden im Querschnitt immer einen Kreis, unabhängig davon, wie genau er sich dreht – horizontal oder vertikal. Eine konische Oberfläche erhält man nur durch Drehen des Dreiecks um seine Achse senkrecht zur Grundfläche. Folglich ist der Kegel anders Ball und gilt nicht als austauschbarer Rotationskörper.

3. Durch Schneiden erhält man den größtmöglichen Kreis Ball Ebene, die durch den Mittelpunkt O geht. Alle Kreise, die durch den Mittelpunkt O gehen, schneiden sich im gleichen Durchmesser. Der Radius ist immer gleich dem halben Durchmesser. Durch zwei Punkte A und B, die sich irgendwo auf der Oberfläche befinden Ball, kann eine unbegrenzte Anzahl von Kreisen oder Kreisen durchlaufen. Aus diesem Grund kann eine unbegrenzte Anzahl von Meridianen durch die Pole der Erde gezogen werden.

4. Bei der Suche nach der Gegend Ball vor allen anderen in Betracht gezogen Quadrat sphärische Oberfläche.Fläche Ball, oder besser gesagt, die Kugel, die ihre Oberfläche bildet, kann anhand der Fläche eines Kreises mit demselben Radius R berechnet werden. Aus der Tatsache, dass Quadrat Da ein Kreis das Produkt eines Halbkreises und eines Radius ist, kann er wie folgt berechnet werden: S = ?R^2 Da durch den Mittelpunkt Ball Passieren Sie dann dementsprechend vier große Hauptkreise Quadrat Ball(Kugel) ist gleich:S = 4 ?R^2

5. Diese Formel kann geeignet sein, wenn wir entweder den Durchmesser oder den Radius kennen Ball oder Kugeln. Allerdings sind diese Parameter nicht in allen geometrischen Problemen als Bedingungen angegeben. Es gibt auch Probleme, bei denen eine Kugel in einen Zylinder eingeschrieben ist. In diesem Fall sollten Sie den Satz von Archimedes verwenden, dessen Kern darin besteht Quadrat Oberflächen Ball eineinhalb Mal kleiner als die Gesamtoberfläche des Zylinders: S = 2/3 S-Zylinder, wobei S-Zylinder. – Quadrat volle Oberfläche des Zylinders.

Video zum Thema

Eine Kugel ist die einfachste dreidimensionale Figur einer geometrisch positiven Form, bei der alle Raumpunkte innerhalb der Grenzen in einem Abstand von nicht mehr als dem Radius von ihrem Mittelpunkt entfernt sind. Die Oberfläche, die von der Mehrzahl der am weitesten vom Zentrum entfernten Punkte gebildet wird, wird Kugel genannt. Um den in einer Kugel enthaltenen Raum quantitativ auszudrücken, wird ein Parameter bereitgestellt, der als Volumen der Kugel bezeichnet wird.

Anweisungen

1. Wenn Sie das Volumen einer Kugel nicht theoretisch, sondern nur mit improvisierten Mitteln messen möchten, können Sie dies beispielsweise durch die Bestimmung des von ihr verdrängten Wasservolumens tun. Diese Methode ist anwendbar, wenn die Möglichkeit besteht, den Ball in einen entsprechenden Behälter zu legen – ein Becherglas, ein Glas, ein Gefäß, einen Eimer, ein Fass, einen Pool usw. In diesem Fall fegen Sie vor dem Platzieren des Balls die Wasserschicht ab, wiederholen Sie diesen Vorgang, nachdem er vollständig eingetaucht ist, und ermitteln Sie dann den Unterschied zwischen den Markierungen. Traditionell sind industriell hergestellte Messbehälter mit einer Unterteilung ausgestattet, die das Volumen in Litern und den daraus abgeleiteten Einheiten – Milliliter, Dekaliter usw. – anzeigt. Wenn der erhaltene Wert in Kubikmeter und mehrere Volumeneinheiten umgerechnet werden muss, gehen Sie davon aus, dass ein Liter einem Kubikdezimeter oder einem Tausendstel Kubikmeter entspricht.

2. Wenn das Material bekannt ist, aus dem der Ball besteht, und die Dichte dieses Materials beispielsweise aus einem Nachschlagewerk ermittelt werden kann, kann das Volumen durch Wiegen des gegebenen Objekts bestimmt werden. Teilen Sie einfach das Wägeergebnis durch die Referenzdichte des Herstellungsstoffs: V=m/p.

3. Wenn der Radius der Kugel aus den Bedingungen des Problems bestimmt wird oder gemessen werden kann, kann die entsprechende mathematische Formel zur Berechnung des Volumens verwendet werden. Multiplizieren Sie die vierfache Zahl Pi mit der dritten Potenz des Radius und dividieren Sie die resultierende Summe durch drei: V=4*?*r?/3. Nehmen wir an, bei einem Radius von 40 cm beträgt das Volumen der Kugel 4 * 3,14 * 40?/3 = 267946,67 cm? ? 0,268 m?.

4. Das Messen des Durchmessers ist oft einfacher als das Messen des Radius. In diesem Fall ist es nicht nötig, es in zwei Hälften zu teilen, um es mit der Formel aus dem vorherigen Schritt zu verwenden – es ist besser, die Formel selbst zu vereinfachen. Gemäß der umgewandelten Formel multiplizieren Sie die Zahl Pi mit dem Durchmesser in der dritten Potenz und dividieren die Summe durch sechs: V=?*d?/6. Nehmen wir an, eine Kugel mit einem Durchmesser von 50 cm sollte ein Volumen von 3,14 * 50?/6 = 65416,67 cm? haben. ? 0,654 m?.

In Schulgeometriekursen treten häufig Probleme bei der Berechnung der Kreisfläche auf. Um es zu entdecken Quadrat Kreis, Sie müssen die Länge kennen Durchmesser oder der Radius des Kreises, in dem es eingeschlossen ist.

Du wirst brauchen

– Länge des Kreisdurchmessers.

Anweisungen

1. Ein Kreis ist eine Figur auf einer Ebene, die aus vielen Punkten besteht, die sich im gleichen Abstand von einem anderen Punkt, dem sogenannten Mittelpunkt, befinden. Ein Kreis ist eine flache geometrische Figur, die aus vielen Punkten besteht, die in einem Kreis eingeschlossen sind, der die Grenze des Kreises darstellt. Ein Durchmesser ist ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch dessen Mittelpunkt verläuft. Ein Radius ist ein Segment, das einen Punkt auf einem Kreis und seinen Mittelpunkt verbindet. ? - Zahl „pi“, mathematische Konstante, kontinuierlicher Wert. Sie gibt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seiner Länge an Durchmesser. Den genauen Wert einer Zahl berechnen? unmöglich. In der Geometrie wird der ungefähre Wert dieser Zahl verwendet: ? ? 3.14

2. Die Fläche eines Kreises ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat des Radius und der Zahl und wird nach der Formel berechnet: S=?R^2, wobei S - Quadrat Kreis, R ist die Länge des Kreisradius.

3. Aus der Definition des Radius folgt, dass er gleich der Hälfte ist Durchmesser. Folglich hat die Formel die Form: S=?(D/2)^2, wobei D die Länge ist Durchmesser Kreise. Setzen Sie den Wert in die Formel ein Durchmesser, Berechnung Quadrat Kreis.

4. Die Fläche eines Kreises wird in Flächeneinheiten gemessen – mm2, cm2, m2 usw. In welchen Einheiten werden die Informationen ausgedrückt, die Sie erhalten? Quadrat Kreis hängt von den Einheiten ab, in denen der Durchmesser des Kreises angegeben wurde.

5. Wenn Sie rechnen müssen Quadrat Um einen Ring zu erstellen, verwenden Sie die Formel: S=?(R-r)^2, wobei R, r die Radien des äußeren bzw. inneren Kreises des Rings sind.

Hilfreicher Rat
Es gibt den Internationalen Pi-Tag, der am 14. März gefeiert wird. Die genaue Zeit des Triumphdatums beträgt 1 Stunde 59 Minuten 26 Sekunden, gemäß den Zahlen des Datums - 3.1415926...

Video zum Thema

Beachten Sie!
Interessant: Das Volumen einer Kugel, deren Durchmesser dreimal größer ist als der Durchmesser einer anderen Kugel, ist neunmal größer als das Gesamtvolumen von drei solchen Kugeln.

Hilfreicher Rat
Um die Leidenschaft der Kinder für mathematische Berechnungen zu entwickeln, bieten Sie umliegende Objekte als Rechenbeispiele an: eine Kugel, eine Wassermelone, ein Knäuel aus Omas Garn. Es ist visuell und daher faszinierend.

wobei die letzte Summe gleich der Gesamtoberfläche des Balls ist:

Das Volumen einer Kugel entspricht also einem Drittel des Produkts aus Radius und Oberfläche. Daher haben wir für die Oberfläche die Formel

Das letzte Ergebnis wird wie folgt formuliert:

Die Oberfläche einer Kugel entspricht dem Vierfachen der Fläche ihres Großkreises.

wo wir die Formel für die Fläche der Kappe finden

Wo ist die Höhe der Schicht? Die Oberfläche des Kugelgürtels für eine bestimmte Kugel hängt also nur von der Höhe der entsprechenden Schicht ab, nicht jedoch von ihrer Position auf der Kugel.

Definition eines Balls

Ball Nennen Sie eine Reihe von Punkten, die von einem willkürlich gewählten Punkt (dem Mittelpunkt des Balls) in einem Abstand von nicht mehr als einem Punkt entfernt sind R R R- der Radius dieser Kugel.

Online-Rechner

Eine Kugel hat wie ein Kreis einen Durchmesser D D D, was dem doppelten Radius der Kugellänge entspricht.

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

Die Oberfläche einer Kugel kann sowohl anhand des Radius als auch des Durchmessers der Kugel ermittelt werden.

Formel für die Oberfläche einer Kugel basierend auf dem Radius der Kugel

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2S=4 ⋅ π ⋅ R 2

R R R- Radius des Balls.

Beispiel

Eine Kugel ist in einen Würfel eingeschrieben, dessen Diagonale ist d d D gleich 300\sqrt(300) 3 0 0 (cm.). Finden Sie die Oberfläche des Balls.

Lösung

D = 300 d= \sqrt(300) d =3 0 0

Der erste Schritt zur Lösung des Problems besteht darin, die Länge der Würfelseite zu ermitteln. Bezeichnen wir es mit ein a A. Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras:

D 2 = a 2 + a 2 + a 2 d^2=a^2+a^2+a^2D 2 = A 2 + A 2 + A 2

D 2 = 3 ⋅ a 2 d^2=3\cdot a^2D 2 = 3 ⋅ A 2

A = d 3 a=\frac(d)(\sqrt(3)) a =3 D

A = 300 3 = 100 = 10 a=\frac(\sqrt(300))(\sqrt(3))=\sqrt(100)=10a =3 3 0 0 = 1 0 0 = 1 0

Der Radius einer in einen Würfel eingeschriebenen Kugel ist gleich der halben Seite dieses Würfels:

R = a 2 = 10 2 = 5 R=\frac(a)(2)=\frac(10)(2)=5R=2 A = 2 1 0 = 5

Dann beträgt die Oberfläche des Balls:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 314 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot 5^2\ approx314S=4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 3 1 4 (siehe Quadrat)

Antwort: 314 cm².

Formel für die Oberfläche einer Kugel basierend auf dem Durchmesser der Kugel

Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lässt sich leicht über ihren Durchmesser ermitteln, indem man die Beziehung zwischen Radius und Durchmesser der Kugel nutzt:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ (D 2) 2 = π ⋅ D 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D )(2)\Big)^2=\pi\cdot D^2S=4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ ( 2 D ) 2 = π ⋅ D 2