Aussage des Reziprozitätssatzes der Arbeit (Satz von Betti), 1872 von E. Betti bewiesen: Die mögliche Arbeit der Kräfte des ersten Zustands an den entsprechenden Verschiebungen, die durch die Kräfte des zweiten Zustands verursacht werden, ist gleich der möglichen Arbeit der Kräfte des zweiten Zustands an den entsprechenden Verschiebungen, die durch verursacht werden die Kräfte des ersten Staates.

24. Satz über die Reziprozität von Verschiebungen (Maxwell)

Lass es sein. Satz über die Reziprozität von Verschiebungen Unter Berücksichtigung der akzeptierten Notation für die Verschiebung aus einer Einheitskraft hat es die Form: .Der Satz über die Reziprozität von Verschiebungen wurde von Maxwell bewiesen. Formulierung des Satzes über die Reziprozität von Verschiebungen: Die Verschiebung des Angriffspunkts der ersten Krafteinheit, die durch die Wirkung der zweiten Kraft verursacht wird, ist gleich der Verschiebung des Angriffspunkts der zweiten Krafteinheit, die durch die Wirkung der ersten Krafteinheit verursacht wird

25. Satz von Rayleigh über die Reziprozität von Reaktionen.

26. Gvozdevs Theorem über die Reziprozität von Verschiebungen und Reaktionen.

27. Bestimmung von Verschiebungen aufgrund von Belastung. Mohrs Formel.

Pestformel

28. Bestimmung von Verschiebungen aufgrund von Temperatureinflüssen und Verschiebungen.

Temperatureinfluss.

Entwurf

29. Wereschtschagins Herrschaft. Trapezförmige Multiplikationsformel, Simpson-Formel.

Trapez-Multiplikationsformel.

Formel zur Multiplikation gebogener Trapeze

31. Eigenschaften statisch unbestimmter Systeme.

Um die Kräfte und Reaktionen zu bestimmen, reichen die Gleichungen der Statik nicht aus; es müssen die Gleichungen der Kontinuität von Verformung und Verschiebung verwendet werden.

Die Kräfte und Reaktionen hängen vom Verhältnis der Steifigkeiten der einzelnen Elemente ab.

Durch Temperaturänderungen und Stützungssetzungen treten innere Kräfte auf.

Bei fehlender Belastung ist ein Zustand der Selbstspannung möglich.

32. Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit, Grundsätze zur Wahl des Grundsystems der Kräftemethode.

Für statisch unbestimmte Systeme W<0

Die Anzahl der zusätzlichen Verbindungen wird durch die Formel bestimmt:

L = -W+ 3K,

wobei W die Anzahl unabhängiger geometrischer Parameter ist, die die Position der Struktur in der Ebene bestimmen, ohne die Verformung der Struktur zu berücksichtigen (die Anzahl der Freiheitsgrade), K die Anzahl der geschlossenen Konturen (Konturen, in denen es vorhanden ist). kein Scharnier).

W= 3D – 2SH – Co

Tschebyscheffs Formel zur Bestimmung des Freiheitsgrades, wobei D die Anzahl der Scheiben, Ш die Anzahl der Scharniere und Co die Anzahl der Stützstangen ist.

OSMS müssen geometrisch unveränderlich sein.

Muss statisch definierbar sein (unnötige Verbindungen entfernen).

Dieses System sollte einfach zu berechnen sein.

Wenn das ursprüngliche System symmetrisch war, wird das OSMS, wenn möglich, symmetrisch gewählt.

33. Kanonische Gleichungen der Kraftmethode, ihre physikalische Bedeutung.

Kanonische Gleichungen:

Physikalische Bedeutung:

Die Gesamtbewegung in Richtung jedes Remote-Links muss = 0 sein

34. Berechnung der Koeffizienten kanonischer Gleichungen, ihrer physikalischen Bedeutung, Überprüfung der Richtigkeit der gefundenen Koeffizienten.

Bewegung in Richtung einer Fernverbindung, verursacht durch eine einzelne Kraft.

Bewegung in Richtung einer Fernverbindung, verursacht durch eine externe Last.

Um die Richtigkeit der gefundenen Koeffizienten zu überprüfen, müssen Sie sie in das kanonische Gleichungssystem einsetzen und X1 und X2 ermitteln.

Betrachten wir zwei Zustände eines elastischen Systems im Gleichgewicht. In jedem dieser Zustände unterliegt das System einer gewissen statischen Belastung (Abb. 4a). Bezeichnen wir die Bewegungen in den Richtungen der Kräfte F1 und F2 mit, wobei der Index „i“ die Bewegungsrichtung angibt und der Index „j“ die Ursache ist, die sie verursacht hat.

Bezeichnen wir die Arbeit der Last des ersten Zustands (Kraft F1) auf die Verschiebungen des ersten Zustands mit A11 und die Arbeit der Kraft F2 auf die dadurch verursachten Verschiebungen mit A22:

Mit (1.9) können die Arbeiten A11 und A22 als Schnittgrößenfaktoren ausgedrückt werden:

Betrachten wir den Fall der statischen Belastung desselben Systems (Abb. 5, a) in der folgenden Reihenfolge. Zunächst wird eine statisch ansteigende Kraft F1 auf das System ausgeübt (Abb. 23, b); Wenn der Prozess seines statischen Wachstums abgeschlossen ist, werden die Verformung des Systems und die darin wirkenden inneren Kräfte dieselben wie im ersten Zustand (Abb. 23, a). Die von Kraft F1 geleistete Arbeit ist:

Dann beginnt eine statisch ansteigende Kraft F2 auf das System zu wirken (Abb. 5, b). Dadurch erfährt das System zusätzliche Verformungen und es entstehen in ihm zusätzliche Schnittgrößen, genau wie im zweiten Zustand (Abb. 5, a). Während die Kraft F2 von Null auf ihren Endwert ansteigt, bewegt sich die Kraft F1, während sie unverändert bleibt, um den Betrag der zusätzlichen Auslenkung nach unten und verrichtet daher zusätzliche Arbeit:

Force F2 erledigt die Arbeit:

Die Gesamtarbeit A bei sequentieller Belastung des Systems durch Kräfte F1, F2 ist gleich:

Andererseits kann gemäß (1.4) die Gesamtarbeit definiert werden als:

Wenn wir die Ausdrücke (1.11) und (1.12) miteinander gleichsetzen, erhalten wir:

A12=A21 (1,14)

Gleichheit (1.14) wird als Arbeitsreziprozitätssatz oder Satz von Betti bezeichnet: Die Arbeit der Kräfte des ersten Zustands an Verschiebungen in ihre Richtungen, die durch die Kräfte des zweiten Zustands verursacht werden, ist gleich der Arbeit der Kräfte des zweiten Zustands an Verschiebungen in ihre Richtungen, die durch die Kräfte des ersten Zustands verursacht werden. Ohne Zwischenberechnungen drücken wir die Arbeit von A12 in Form von Biegemomenten, Längs- und Querkräften aus, die im ersten und zweiten Zustand auftreten:

Jeder Integrand auf der rechten Seite dieser Gleichung kann als Produkt der inneren Kraft betrachtet werden, die im Abschnitt des Stabes aus den Kräften des ersten Zustands entsteht, und der Verformung des Elements dz, die durch die Kräfte des zweiten Zustands verursacht wird.

Beweis des Arbeitsreziprozitätssatzes

Markieren wir zwei Punkte 1 und 2 auf dem Balken (Abb. 15.4, a).

Lassen Sie uns an Punkt 1 eine statische Kraft anwenden. An diesem Punkt und an Punkt 2 kommt es zu einer Durchbiegung.

Wir verwenden zwei Indizes, um Bewegungen anzuzeigen. Der erste Index bezeichnet den Ort der Bewegung und der zweite den Grund, der diese Bewegung verursacht. Das heißt, fast wie auf einem Briefumschlag, wo wir angeben: wo und von wem.

Damit ist beispielsweise die Durchbiegung des Balkens an Punkt 2 von der Last gemeint.

Nachdem das Kraftwachstum abgeschlossen ist. Wir wenden eine statische Kraft (15.4, b) auf den verformten Zustand des Balkens an Punkt 2 an. Der Balken erhält zusätzliche Ablenkungen: an Punkt 1 und an Punkt 2.

Erstellen wir einen Ausdruck für die Arbeit, die diese Kräfte an ihren entsprechenden Verschiebungen leisten: .

Hier repräsentieren der erste und der dritte Term die elastische Arbeit der Kräfte und . Nach dem Satz von Clapeyron haben sie einen Koeffizienten. Der zweite Term hat diesen Koeffizienten nicht, da die Kraft ihren Wert nicht ändert und möglicherweise Arbeit an der durch eine andere Kraft verursachten Verschiebung verrichtet.

Der Beginn möglicher Verschiebungen ist als allgemeines Prinzip der Mechanik von größter Bedeutung für die Theorie elastischer Systeme. Auf sie angewendet lässt sich dieses Prinzip wie folgt formulieren: Befindet sich das System unter der Wirkung einer aufgebrachten Last im Gleichgewicht, dann ist die Summe der Arbeit äußerer und innerer Kräfte an möglichen infinitesimalen Verschiebungen des Systems Null.

Wo - äußere Kräfte;
- mögliche Bewegungen dieser Kräfte;
- Arbeit der inneren Kräfte.

Beachten Sie, dass während des Prozesses einer möglichen Bewegung des Systems Größe und Richtung der äußeren und inneren Kräfte unverändert bleiben. Daher sollte man bei der Berechnung der Arbeit den halben und den vollen Wert des Produkts der entsprechenden Kräfte und Verschiebungen annehmen.

Betrachten wir zwei Zustände eines Systems, das sich im Gleichgewicht befindet (Abb. 2.2.9). Fähig Das System wird durch eine verallgemeinerte Kraft deformiert (Abb. 2.2.9, a), in einem Zustand - gewaltsam (Abb. 2.2.9, b).

Arbeit der Staatskräfte zu Staatsbewegungen sowie die Arbeit der Staatskräfte zu Staatsbewegungen , wird möglich sein.

(2.2.14)

Berechnen wir nun die mögliche Arbeit der inneren Kräfte des Staates auf Bewegungen, die durch staatliche Belastung verursacht werden . Betrachten Sie dazu ein beliebiges Stabelement der Länge
in beiden Fällen. Beim Flachbiegen wird die Wirkung entfernter Teile auf das Element durch ein Kräftesystem ausgedrückt ,,
(Abb. 2.2.10, a). Innere Kräfte haben entgegengesetzte Richtungen wie äußere Kräfte (dargestellt durch gestrichelte Linien). In Abb. 2.2.10, b zeigt äußere Kräfte ,,
, auf das Element einwirkend
fähig . Lassen Sie uns die durch diese Bemühungen verursachten Verformungen bestimmen.

Die Dehnung des Elements ist offensichtlich
verursacht durch Kräfte

.

Arbeit der inneren Axialkräfte zu diesem möglichen Schritt

. (2.2.15)

Gegenseitiger Drehwinkel der durch Paare verursachten Elementflächen
,

.

Arbeit der inneren Biegemomente
bei diesem Schritt

. (2.2.16)

Ebenso ermitteln wir die Arbeit der Querkräfte auf Bewegungen, die durch Kräfte verursacht werden

. (2.2.17)

Wenn wir die erhaltene Arbeit zusammenfassen, erhalten wir die mögliche Arbeit der auf das Element ausgeübten inneren Kräfte
Stab, auf Bewegungen, die durch eine andere, völlig willkürliche Belastung verursacht werden, markiert mit einem Index

Nachdem wir die elementare Arbeit innerhalb des Stabes zusammengefasst haben, erhalten wir den vollen Wert der möglichen Arbeit der inneren Kräfte:

(2.2.19)

Wenden wir den Beginn möglicher Verschiebungen an, summieren die Arbeit der inneren und äußeren Kräfte auf mögliche Verschiebungen des Systems und erhalten einen allgemeinen Ausdruck für den Beginn möglicher Verschiebungen für ein flaches elastisches Stabsystem:

(2.2.20)

Das heißt, wenn das elastische System im Gleichgewicht ist, dann ist die Arbeit äußerer und innerer Kräfte in einem Zustand auf mögliche Bewegungen durch eine andere, völlig willkürliche Belastung, gekennzeichnet mit einem Index , ist gleich Null.

Sätze zur Reziprozität von Arbeit und Bewegung

Schreiben wir die Ausdrücke für den Beginn möglicher Bewegungen für den in Abb. gezeigten Balken auf. 2.2.9, für den Staat akzeptiert als mögliche krankheitsbedingte Bewegungen , und für den Staat - Erkrankungenbedingte Bewegungen .

(2.2.21)

(2.2.22)

Da die Ausdrücke für die Arbeit der inneren Kräfte dieselben sind, ist das offensichtlich

(2.2.23)

Der resultierende Ausdruck wird als Arbeitsreziprozitätssatz (Satz von Betti) bezeichnet. Es ist wie folgt formuliert: mögliche Arbeit externer (oder interner) Staatskräfte zu Staatsbewegungen gleich der möglichen Arbeit äußerer (oder innerer) Kräfte des Staates zu Staatsbewegungen .

Wenden wir den Satz über die Reziprozität der Arbeit auf den Sonderfall der Belastung an, bei dem in beiden Zuständen des Systems eine verallgemeinerte Krafteinheit angewendet wird
Und
.

Reis. 2.2.11

Basierend auf dem Arbeitsreziprozitätssatz erhalten wir die Gleichheit

, (2.2.24)

was als Satz über die Reziprozität von Verschiebungen (Satz von Maxwell) bezeichnet wird. Es wird wie folgt formuliert: Die Bewegung des Angriffspunkts der ersten Kraft in ihrer Richtung, verursacht durch die Wirkung der zweiten Einheitskraft, ist gleich der Bewegung des Angriffspunkts der zweiten Kraft in ihre Richtung, verursacht durch die Wirkung der ersten Einheitskraft.

Theoreme über die Reziprozität von Arbeit und Verschiebung vereinfachen die Lösung vieler Probleme bei der Bestimmung der Verschiebung erheblich.

Mithilfe des Arbeitsreziprozitätssatzes bestimmen wir die Durchbiegung
Balken in der Mitte der Spannweite, wenn sie auf eine Momentenstütze wirken
(Abb. 2.2.12, a).

Wir verwenden den zweiten Zustand des Strahls – die Wirkung einer konzentrierten Kraft am Punkt 2 . Drehwinkel des Referenzabschnitts
wir bestimmen aus der Bedingung der Befestigung des Balkens am Punkt B:

Reis. 2.2.12

Nach dem Arbeitsreziprozitätssatz

,

Reziprozitätssatz der Arbeit. Satz über die Reziprozität von Verschiebungen

Betrachten wir ein linear verformbares System in zwei verschiedenen Zuständen, die zwei verschiedenen Lasten entsprechen (Abb. 5.15). Zur Vereinfachung der Berechnungen betrachten wir einen einfachen Balken mit zwei Stützen, der nacheinander durch zwei konzentrierte Kräfte belastet wird.

Abbildung 15. Direkte und umgekehrte Reihenfolge der Lastaufbringung

Wenn wir die Gesamtarbeit für die Vorwärts- und Rückwärtsreihenfolge der Lastaufbringung gleichsetzen, erhalten wir:

Die von einer Kraft tatsächlich geleistete Arbeit an Verschiebungen, die durch eine oder mehrere andere Kräfte verursacht werden, wird als zusätzliche Arbeit bezeichnet.

Nach dem Arbeitsreziprozitätssatz ist die Arbeit, die die Kräfte des ersten Zustands zur Bewegung des zweiten Zustands leisten, gleich der Arbeit, die die Kräfte des zweiten Zustands zur Bewegung des ersten Zustands leisten.

In ähnlicher Weise lässt sich auch die Reziprozität der zusätzlichen Arbeit der Schnittgrößen nachweisen.

Abbildung 16. Gegenseitigkeit der zusätzlichen Arbeit der inneren Kräfte.

Mithilfe des Energieerhaltungssatzes lässt sich zeigen, dass die Zusatzarbeit äußerer Kräfte betragsmäßig gleich der Zusatzarbeit innerer Kräfte ist:

Nehmen

wir erhalten einen Satz über die Reziprozität von Verschiebungen.

Die durch die zweite Krafteinheit verursachte Verschiebung des Angriffspunkts einer Einheitskraft in ihrer Richtung ist gleich der durch die Wirkung der zweiten Einheitskraft verursachte Verschiebung des Angriffspunkts der zweiten Einheitskraft in deren Richtung erste Einheitskraft.

Bestimmung von Verschiebungen nach der Methode von Mohr

Anstelle des Kräftesystems F 1 und F 2 führen wir Last- und Hilfszustände ein:

Abbildung 17. Einführung von Fracht- und Hilfsstaaten

Schreiben wir den Satz über die Reziprozität der Arbeit für diese beiden Zustände auf:

Nach Summation über einzelne Balkenabschnitte erhält man das Mohr-Integral

Beispiel 5.2. Betrachten wir ein Beispiel für die Verwendung des Mohr-Integrals zur Bestimmung der Verschiebungen für einen Ausleger, der mit einer konzentrierten Kraft belastet ist

Abbildung 18. Erstellung eines Last- und Hilfsdiagramms für einen Kragarmträger

Wir verwenden das Mohr-Integral.

In der Praxis ist die Anwendung dieses Ansatzes schwierig. Diese Schwierigkeit wird durch die Organisation der Integration überwunden; die Integration lässt sich leicht auf einem Computer implementieren.

Grafisch-analytisches Verfahren zur Bestimmung der Biegeverschiebung. Wereschtschagins Methode

Lassen Sie uns zwei vereinfachende Umstände einführen:

Lineare Funktion im Grenzbereich des betrachteten Bereichs.

Abb. 19 Grafisch-analytische Berechnung des Mohr-Integrals

Das letzte Integral stellt das statische Moment der Figur ABCD um die y-Achse dar. Arbeiten

stellt die Ordinate des Hilfsdiagramms unter dem Schwerpunkt der Ladung dar.

Dabei ist n die Standortnummer.

Beispiel 5.3. Schauen wir uns noch einmal den Auslegerbalken an

Abbildung 20. Verwendung der Wereschtschagin-Methode für einen freitragenden Balken

Komplexere Fälle:

1. Multiplikation von Trapez mit Trapez

Reis. 21. Trapez mit Trapez multiplizieren

Um ein Trapez mit einem Trapez zu multiplizieren, können Sie mit der Multiplikation eines Rechtecks ​​mit einem Trapez und eines Dreiecks mit einem Trapez fortfahren.

Die Definition der Multiplikation eines Rechtecks ​​mit einem Trapez bedeutet, dass wir A f über das Rechteck und M zu c über das Trapez nehmen.

Die Permutationsregel gilt nur für lineare Diagramme.

2. Parabelsegment

Abbildung 22. Fläche und Lage des Schwerpunkts eines Parabelsegments

3. Konkaves parabolisches Dreieck

Abbildung 23. Fläche und Lage des Schwerpunkts eines konkaven parabolischen Dreiecks

4. Konvexes Dreieck

Abbildung 24. Fläche und Lage des Schwerpunkts eines konvexen parabolischen Dreiecks

5. Konvexes parabolisches Trapez.

Abbildung 25. Aufteilung der Flächen und Schwerpunktlagen für ein konvexes parabolisches Trapez

Beispiel: 5.4. Betrachten wir einen komplexeren Fall der Belastung eines Kragarms, bei dem alle drei Arten externer Lasten wirken. Es ist notwendig, den maximalen Drehwinkel des Strahls zu bestimmen

Reis. Auslegerbalken unter gleichzeitiger Einwirkung von drei Lasten

Methode I Ersetzen wir das Diagramm M f durch eine Reihe einfacherer Figuren.

das heißt, der Scheitelpunkt der Parabel liegt außerhalb des Strahls.

Um ein Hilfsdiagramm zu erstellen, benötigen Sie:

1. Betrachten Sie einen Balken ohne äußere Lasten.

2. Wenden Sie an einem bestimmten Punkt F=1 bzw. M=1 an, um die Ablenkung oder den Drehwinkel zu bestimmen. Die Wirkungsrichtung äußerer Lasten ist beliebig.

3. Wir betrachten eine Einheitslast als extern, bestimmen die Reaktionen und erstellen Diagramme.

Die Formel zur Bestimmung des Drehwinkels nach der Methode von Wereschtschagin sieht wie folgt aus

wobei die Ordinate im Hilfsdiagramm M k unter dem Schwerpunkt des Ladungsdiagramms steht – unter Berücksichtigung der Aufteilung der Ladung in Elementarfiguren

Beim Konstruieren der gekrümmten Achse eines Balkens verwenden wir:

1. Verallgemeinertes Verschiebungszeichen. Für den betrachteten Fall wird der Punkt im Uhrzeigersinn gedreht.

2. Wir verwenden das Vorzeichen des Biegemoments im Lastdiagramm.

Eine ungefähre Ansicht der gekrümmten Achse des Balkens ist in Abb. dargestellt. 5.24.

II-Methode. Anwendung des Superpositionsprinzips.

Reis Anwendung des Superpositionsprinzips