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Lernziele:

1. Entwicklung von Fähigkeiten und Fertigkeiten zur Verwendung trigonometrischer Formeln zur Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke.
2. Umsetzung des Prinzips eines Aktivitätsansatzes im Unterricht der Studierenden, Entwicklung der Kommunikationsfähigkeiten und Toleranz der Studierenden, der Fähigkeit, anderen zuzuhören und zuzuhören und ihre Meinung zu äußern.
3. Steigerung des Interesses der Schüler an Mathematik.

Unterrichtsart: Ausbildung.

Unterrichtsart: Lektion über Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Studienform: Gruppe

Art der Gruppen: Gruppe sitzt zusammen. Studierende unterschiedlichen Ausbildungsniveaus, Kenntnisse über ein bestimmtes Thema, kompatible Studierende, die es ihnen ermöglichen, sich gegenseitig zu ergänzen und zu bereichern.

Ausrüstung: Planke; Kreide; Tisch „Trigonometer“; Streckenblätter; Karten mit Buchstaben (A, B, C.) zum Ausfüllen des Tests; Schilder mit Besatzungsnamen; Bewertungsbögen; Tabellen mit Namen der Etappen der Reise; Magnete, Multimediakomplex.

Während des Unterrichts

Die Schüler sitzen in Gruppen: 4 Gruppen à 5-6 Personen. Jede Gruppe ist eine Besatzung eines Autos mit Namen, die den Namen trigonometrischer Funktionen entsprechen und von einem Lenkrad geführt werden. Jeder Mannschaft wird ein Streckenblatt ausgehändigt und ein Ziel festgelegt: die vorgegebene Strecke erfolgreich und fehlerfrei zu absolvieren. Der Unterricht wird von einer Präsentation begleitet.

I. Organisatorischer Moment.

Der Lehrer informiert über das Unterrichtsthema, den Unterrichtszweck, den Unterrichtsverlauf, den Arbeitsplan der Gruppen, die Rolle der Steuermänner.

Einleitende Bemerkungen des Lehrers:

– Jungs! Notieren Sie die Nummer und das Thema der Lektion: „Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments.“

Heute lernen wir im Unterricht:

1. Werte trigonometrischer Funktionen berechnen;
2. Vereinfachen Sie trigonometrische Ausdrücke.

Dazu müssen Sie Folgendes wissen:

1. Definitionen trigonometrischer Funktionen
2. Trigonometrische Beziehungen (Formeln).

Es ist schon lange bekannt, dass ein Kopf gut ist, aber zwei besser, deshalb arbeitet man heute in Gruppen. Es ist auch bekannt, dass derjenige, der geht, den Weg meistern wird. Aber wir leben in einem Zeitalter der Geschwindigkeit und Zeit ist kostbar, was bedeutet, dass wir sagen können: „Die Straße wird von denen gemeistert, die fahren“, deshalb wird unsere Lektion heute in Form eines Spiels „Mathematische Rallye“ abgehalten. Jede Gruppe besteht aus einer Fahrzeugbesatzung, die von einem Lenkrad geführt wird.

Zweck des Spiels:

• Schließen Sie die Route für jede Besatzung erfolgreich ab.
• Identifizieren Sie Rallye-Champions.

Der Name der Besatzungen entspricht der Marke des Autos, das Sie fahren.

Die Besatzungen und ihre Steuermänner werden vorgestellt:

• Besatzung – „Sinus“
• Besatzung – „Kosinus“
• Besatzung - "Tangente"
• Besatzung – „Kotangens“

Das Motto des Rennens: „Beeil dich langsam!“

Sie müssen durch ein „mathematisches Gelände“ mit vielen Hindernissen laufen.

Jeder Besatzung wurden Streckenblätter ausgehändigt. Crews, die Definitionen und trigonometrische Formeln kennen, werden in der Lage sein, Hindernisse zu überwinden.

Während des Laufs leitet jeder Steuermann die Besatzung, unterstützt sie und bewertet den Beitrag jedes Besatzungsmitglieds zur Bewältigung der Strecke in Form von „Vor- und Nachteilen“ auf dem Punktezettel. Für jede richtige Antwort erhält die Gruppe ein „+“ und eine falsche Antwort „-“.

Sie müssen die folgenden Etappen der Reise bewältigen:

Stufe I. SDA (Verkehrsregeln).
Stufe II. Technische Überprüfung.
Stufe III. Geländerennen.
Stufe IV. Ein plötzlicher Stopp ist ein Unfall.
V-Stufe. Halt.
Stufe VI. Beenden.
VII. Stufe. Ergebnisse.

Und los geht’s!

Stufe I. SDA (Verkehrsregeln).

1) In jeder Besatzung verteilen die Steuermänner an jedes Besatzungsmitglied Tickets mit theoretischen Fragen:

1. Erklären Sie die Definition des Sinus von t und seiner Vorzeichen pro Viertel.
2. Erklären Sie die Definition des Kosinus der Zahl t und seiner Vorzeichen pro Viertel.
3. Geben Sie die kleinsten und größten Werte von sin t und cost t an.
4. Erklären Sie die Definition des Tangens der Zahl t und seiner Vorzeichen durch Viertel.
5. Erklären Sie die Definition des Kotangens der Zahl t und seiner Vorzeichen nach Vierteln.
6. Sagen Sie uns, wie wir den Wert der Funktion sin t aus einer bekannten Zahl t ermitteln können.

2) Sammeln Sie die „verstreuten“ Formeln. Auf der Geheimtafel befindet sich eine Tabelle (siehe unten). Die Besatzungen müssen die Formeln angleichen. Jedes Team schreibt die Antwort in Form einer Reihe entsprechender Buchstaben (paarweise) an die Tafel.

Antwort: ab, vg, de, igel, zi, yk.

Stufe II. Technische Überprüfung.

Mündliche Arbeit: Test.

Auf der geheimen Tafel steht geschrieben: Aufgabe: Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Die Antwortmöglichkeiten stehen daneben. Die Teams ermitteln in 1 Minute die richtigen Antworten. und nehmen Sie den entsprechenden Buchstabensatz auf.

Antwort: C V A.

Stufe III. Geländerennen.

Die Besatzungen haben 3 Minuten Zeit für eine Besprechung, um über die Aufgabe zu entscheiden. Anschließend schreiben die Besatzungsvertreter die Entscheidung an die Tafel. Wenn die Crew-Vertreter mit dem Aufschreiben der Lösung der ersten Aufgabe fertig sind, überprüfen alle Schüler (zusammen mit dem Lehrer) die Richtigkeit und Rationalität der Lösungen und schreiben sie in ein Notizbuch. Die Steuermänner bewerten den Beitrag jedes Besatzungsmitglieds anhand der „+“- und „–“-Zeichen auf den Bewertungsbögen.

Aufgaben aus dem Lehrbuch:

• Besatzung – „Sinus“: Nr. 118 g;
• Besatzung – „Cosinus“: Nr. 122 a;
• Besatzung – „Tangente“: Nr. 123 g;
• Besatzung – „Kotangens“: Nr. 125

Stufe IV. Ein plötzlicher Stopp ist ein Unfall.

– Ihr Auto ist kaputt. Ihr Auto muss repariert werden.

Für jede Besatzung werden Aussagen gemacht, die jedoch Fehler enthalten. Finden Sie diese Fehler und erklären Sie, warum sie gemacht wurden. Die Aussagen werden verwendet trigonometrische Funktionen, entsprechend den Marken Ihrer Autos.

V-Stufe. Halt.

Sie sind müde und brauchen Ruhe. Während sich die Besatzung ausruht, fassen die Steuermänner die vorläufigen Ergebnisse zusammen: Sie zählen die „Vor- und Nachteile“ der Besatzungsmitglieder und der gesamten Besatzung ab.

Für Studierende:

3 oder mehr „+“ – Punktzahl „5“;
2 „+“ – Bewertung „4“;
1 „+“ – Bewertung „3“.

Für Besatzungen:„+“ und „-“ heben sich gegenseitig auf. Es werden nur die verbleibenden Zeichen gezählt.

Erraten Sie die Scharade.

Aus den Zahlen nimmst du meine erste Silbe,
Das zweite kommt vom Wort „stolz“.
Und du wirst die dritten Pferde treiben,
Der vierte wird das Blöken eines Schafes sein.
Meine fünfte Silbe ist dieselbe wie die erste
Der letzte Buchstabe im Alphabet ist der sechste,
Und wenn Sie alles richtig erraten haben,
Dann erhalten Sie in der Mathematik einen Abschnitt wie diesen.
(Trigonometrie)

Das Wort „Trigonometrie“ (von den griechischen Wörtern „trigonon“ – Dreieck und „metreo“ – Maß) bedeutet „Messung von Dreiecken“. Die Entstehung der Trigonometrie ist mit der Entwicklung der Geographie und Astronomie verbunden – der Wissenschaft von der Bewegung der Himmelskörper, der Struktur und Entwicklung des Universums.

Aufgrund der durchgeführten astronomischen Beobachtungen entstand die Notwendigkeit, die Position der Leuchten zu bestimmen, Entfernungen und Winkel zu berechnen. Da einige Entfernungen, beispielsweise von der Erde zu anderen Planeten, nicht direkt gemessen werden konnten, begannen Wissenschaftler, Techniken zu entwickeln, um Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks zu finden, in dem sich zwei Eckpunkte auf der Erde befinden, und der dritte ist ein Planet oder Stern. Solche Beziehungen können durch die Untersuchung verschiedener Dreiecke und ihrer Eigenschaften abgeleitet werden. Aus diesem Grund führten astronomische Berechnungen zur Lösung (d. h. zum Finden der Elemente) des Dreiecks. Das ist es, was die Trigonometrie bewirkt.

Die Anfänge der Trigonometrie wurden im alten Babylon entdeckt. Babylonische Wissenschaftler konnten Sonnen- und Mondfinsternisse vorhersagen. Einige Informationen trigonometrischer Natur finden sich in antiken Denkmälern anderer alter Völker.

Stufe VI. Beenden.

Um die Ziellinie erfolgreich zu überqueren, müssen Sie sich nur anstrengen und einen „Sprint“ machen. In der Trigonometrie ist es sehr wichtig, die Werte von sin t, cost, tgt, ctg t schnell bestimmen zu können, wobei 0 ≤ t ≤ . Schließen Sie Lehrbücher.

Die Besatzungen benennen abwechselnd die Werte der Funktionen sin t, cost, tgt, ctg t, wenn:

VII. Stufe. Ergebnisse.

Ergebnisse des Spiels.

Die Steuermänner übergeben die Bewertungsbögen. Die Mannschaft, die zum Sieger der „Mathematischen Rallye“ wurde, wird ermittelt und die Arbeit der übrigen Gruppen charakterisiert. Als nächstes folgen die Namen derjenigen, die die Noten „5“ und „4“ erhalten haben.

Zusammenfassung der Lektion.

- Jungs! Was hast du heute im Unterricht gelernt? (trigonometrische Ausdrücke vereinfachen; Werte trigonometrischer Funktionen finden). Was müssen Sie dazu wissen?

• Definitionen und Eigenschaften sin t, cost, tg t, ctg t;
• Beziehungen, die die Werte verschiedener trigonometrischer Funktionen verbinden;
• Zeichen trigonometrischer Funktionen auf den Vierteln des Zahlenkreises.
• Werte trigonometrischer Funktionen des ersten Viertels des Zahlenkreises.

– Ich denke, Sie verstehen, dass Sie die Formeln gut kennen müssen, um sie richtig anzuwenden. Sie haben auch erkannt, dass die Trigonometrie ein sehr wichtiger Teil der Mathematik ist, da sie in anderen Wissenschaften verwendet wird: Astronomie, Geographie, Physik usw.

Hausaufgaben:

• für Studierende, die „5“ und „4“ erhalten haben: §6, Nr. 128a, 130a, 134a.
• für andere Studierende: §6, Nr. 119g, Nr. 120g, Nr. 121g.

Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments.

Trigonometrische Funktionen numerischer ArgumenteT sind Funktionen der Form j= Kosten t,
j= Sünde t, j= tg t, j= ctg t.

Mithilfe dieser Formeln können Sie anhand des bekannten Werts einer trigonometrischen Funktion die unbekannten Werte anderer trigonometrischer Funktionen ermitteln.

Erläuterungen.

1) Nehmen Sie die Formel cos 2 t + sin 2 t = 1 und leiten Sie daraus eine neue Formel ab.

Teilen Sie dazu beide Seiten der Formel durch cos 2 t (für t ≠ 0, d. h. t ≠ π/2 + π). k). Also:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Der erste Term ist gleich 1. Wir wissen, dass das Verhältnis von Sinus zu Kegel tangens ist, was bedeutet, dass der zweite Term gleich tg 2 t ist. Als Ergebnis erhalten wir eine neue (und Ihnen bereits bekannte) Formel:

2) Teilen Sie nun cos 2 t + sin 2 t = 1 durch sin 2 t (für t ≠ π k):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, wobei t ≠ π k + π k, k- ganze Zahl
Sünde 2 t Sünde 2 t Sünde 2 t

Das Verhältnis von Kosinus zu Sinus ist der Kotangens. Bedeutet:

Wenn Sie die Grundprinzipien der Mathematik kennen und die Grundformeln der Trigonometrie erlernt haben, können Sie die meisten anderen trigonometrischen Identitäten problemlos selbst ableiten. Und das ist noch besser, als sie nur auswendig zu lernen: Was man auswendig lernt, vergisst man schnell, aber was man versteht, bleibt lange, wenn nicht für immer im Gedächtnis. Es ist beispielsweise nicht notwendig, sich zu merken, wie groß die Summe aus Eins und dem Quadrat der Tangente ist. Wenn Sie es vergessen haben, können Sie es sich leicht merken, wenn Sie das Einfachste wissen: Der Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Cosinus. Wenden Sie außerdem die einfache Regel der Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern an und erhalten Sie das Ergebnis:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Auf die gleiche Weise können Sie leicht die Summe von Eins und das Quadrat des Kotangens sowie viele andere Identitäten ermitteln.

Trigonometrische Funktionen des Winkelarguments.

In Funktionenbei = cosT, bei = SündeT, bei = tgT, bei = ctgT Variablet kann mehr als nur ein numerisches Argument sein. Es kann auch als Maß für den Winkel betrachtet werden – also als Winkelargument.

Mithilfe des Zahlenkreises und des Koordinatensystems können Sie Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens jedes beliebigen Winkels leicht ermitteln. Dazu müssen zwei wichtige Voraussetzungen erfüllt sein:
1) Der Scheitelpunkt des Winkels muss der Mittelpunkt des Kreises sein, der auch der Mittelpunkt der Koordinatenachse ist.

2) Eine der Seiten des Winkels muss ein Strahl mit positiver Achse sein X.

In diesem Fall ist die Ordinate des Punktes, an dem sich der Kreis und die zweite Seite des Winkels schneiden, der Sinus dieses Winkels, und die Abszisse dieses Punktes ist der Kosinus dieses Winkels.

Erläuterung. Zeichnen wir einen Winkel, dessen eine Seite der positive Strahl der Achse ist X, und die zweite Seite geht vom Ursprung der Koordinatenachse (und vom Mittelpunkt des Kreises) in einem Winkel von 30° aus (siehe Abbildung). Dann entspricht der Schnittpunkt der zweiten Seite mit dem Kreis π/6. Wir kennen die Ordinate und Abszisse dieses Punktes. Sie sind auch Kosinus und Sinus unseres Winkels:

√3 1
--; --
2 2

Und wenn Sie Sinus und Cosinus eines Winkels kennen, können Sie dessen Tangens und Kotangens leicht ermitteln.

Daher ist der Zahlenkreis, der sich in einem Koordinatensystem befindet, eine bequeme Möglichkeit, den Sinus, Cosinus, Tangens oder Kotangens eines Winkels zu ermitteln.

Aber es gibt einen einfacheren Weg. Sie müssen keinen Kreis und kein Koordinatensystem zeichnen. Sie können einfache und praktische Formeln verwenden:

Beispiel: Finden Sie Sinus und Cosinus eines Winkels von 60°.

Lösung :

π 60 π √3
Sünde 60º = Sünde --- = Sünde -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Erklärung: Wir haben herausgefunden, dass Sinus und Cosinus eines Winkels von 60° den Werten eines Punktes auf einem Kreis π/3 entsprechen. Als nächstes suchen wir einfach die Werte dieses Punktes in der Tabelle – und lösen so unser Beispiel. Die Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte der Hauptpunkte des Zahlenkreises finden Sie im vorherigen Abschnitt und auf der Seite „Tabellen“.

Definition. Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments sind die gleichnamigen trigonometrischen Funktionen eines Winkels gleich dem Bogenmaß.

Lassen Sie uns diese Definition anhand konkreter Beispiele erläutern.

Beispiel 1. Berechnen wir den Wert. Hier meinen wir eine abstrakte irrationale Zahl. Laut Definition. Also, .

Beispiel 2. Berechnen wir den Wert. Mit 1,5 meinen wir hier eine abstrakte Zahl. Wie definiert (siehe Anhang II).

Beispiel 3. Berechnen Sie den Wert. Wir erhalten das Gleiche wie oben (siehe Anhang II).

Unter dem Argument trigonometrischer Funktionen werden wir in Zukunft einen Winkel (Bogen) oder nur eine Zahl verstehen, je nachdem, welches Problem wir lösen. Und in manchen Fällen kann das Argument eine Größe sein, die eine andere Dimension hat, zum Beispiel die Zeit usw. Wenn wir ein Argument einen Winkel (Bogen) nennen, können wir damit die Zahl meinen, mit der es im Bogenmaß gemessen wird.

Die wichtigste trigonometrische Identität in russischen Mathematiklehrbüchern ist die Beziehung sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

Wir haben uns die grundlegendsten trigonometrischen Funktionen angesehen (lassen Sie sich nicht täuschen, neben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens gibt es noch viele andere Funktionen, aber dazu später mehr), aber schauen wir uns zunächst einige grundlegende Eigenschaften an Funktionen bereits untersucht.

Trigonometrische Funktionen numerischer Argumente

Welche reelle Zahl t auch immer verwendet wird, sie kann einer eindeutig definierten Zahl sin(t) zugeordnet werden. Die Matching-Regel ist zwar recht komplex und besteht aus Folgendem.

Um den Wert von sin(t) aus der Zahl t zu ermitteln, benötigen Sie:

1. Positionieren Sie den Zahlenkreis so auf der Koordinatenebene, dass der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt und der Startpunkt A des Kreises auf Punkt (1; 0) fällt.
2. Finden Sie einen Punkt auf dem Kreis, der der Zahl t entspricht.
3. Finden Sie die Ordinate dieses Punktes.
4. diese Ordinate ist der gewünschte sin(t) .

Tatsächlich sprechen wir von der Funktion s = sin(t), wobei t eine beliebige reelle Zahl ist. Wir können einige Werte dieser Funktion berechnen (zum Beispiel sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) usw.), kennen wir einige seiner Eigenschaften.

Ebenso können wir davon ausgehen, dass wir bereits einige Ideen zu drei weiteren Funktionen erhalten haben: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Alle diese Funktionen werden trigonometrische Funktionen des numerischen Arguments t genannt .

Beziehung zwischen trigonometrischen Funktionen

Wie Sie hoffentlich erraten können, sind alle trigonometrischen Funktionen miteinander verbunden und auch ohne die Bedeutung einer Funktion zu kennen, kann sie durch eine andere ermittelt werden.

Die wichtigste Formel in der gesamten Trigonometrie lautet beispielsweise grundlegende trigonometrische Identität:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Wie Sie sehen, können Sie, wenn Sie den Wert des Sinus kennen, den Wert des Kosinus ermitteln und umgekehrt. Auch sehr gebräuchliche Formeln, die Sinus und Cosinus mit Tangens und Kotangens verbinden:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Aus den letzten beiden Formeln kann man eine weitere trigometrische Identität ableiten, die diesmal Tangens und Kotangens verbindet:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Sehen wir uns nun an, wie diese Formeln in der Praxis funktionieren.

BEISPIEL 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Schreiben wir zunächst den Tangens unter Beibehaltung des Quadrats:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Bringen wir nun alles auf einen gemeinsamen Nenner und wir erhalten:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Und schließlich kann, wie wir sehen, der Zähler durch die trigonometrische Hauptidentität auf eins reduziert werden, als Ergebnis erhalten wir: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Mit dem Kotangens führen wir die gleichen Aktionen aus, nur dass der Nenner kein Kosinus mehr ist, sondern ein Sinus, und die Antwort lautet wie folgt:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Nach Abschluss dieser Aufgabe haben wir zwei weitere sehr wichtige Formeln abgeleitet, die unsere Funktionen verbinden und die wir ebenfalls wie unsere Westentasche kennen müssen:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Sie müssen alle vorgestellten Formeln auswendig kennen, sonst ist ein weiteres Studium der Trigonometrie ohne sie einfach unmöglich. In Zukunft wird es noch mehr Formeln geben, und davon wird es viele geben, und ich versichere Ihnen, dass Sie sich bestimmt noch lange an alle erinnern werden, oder vielleicht auch nicht, aber JEDER sollte diese sechs Dinge wissen!