Wir haben uns das Grundlegendste angeschaut trigonometrische Funktionen(Lassen Sie sich nicht täuschen, neben Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens gibt es noch eine ganze Reihe anderer Funktionen, aber dazu später mehr), aber schauen wir uns zunächst einige grundlegende Eigenschaften der bereits untersuchten Funktionen an.

Trigonometrische Funktionen numerischer Argumente

Welche reelle Zahl t auch immer verwendet wird, sie kann einer eindeutig definierten Zahl sin(t) zugeordnet werden. Die Matching-Regel ist zwar recht komplex und besteht aus Folgendem.

Um den Wert von sin(t) aus der Zahl t zu ermitteln, benötigen Sie:

1. Positionieren Sie den Zahlenkreis so auf der Koordinatenebene, dass der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt und der Startpunkt A des Kreises auf Punkt (1; 0) fällt.
2. Finden Sie einen Punkt auf dem Kreis, der der Zahl t entspricht.
3. Finden Sie die Ordinate dieses Punktes.
4. diese Ordinate ist der gewünschte sin(t) .

Tatsächlich sprechen wir von der Funktion s = sin(t), wobei t eine beliebige reelle Zahl ist. Wir können einige Werte dieser Funktion berechnen (zum Beispiel sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) usw.), kennen wir einige seiner Eigenschaften.

Ebenso können wir davon ausgehen, dass wir bereits einige Ideen zu drei weiteren Funktionen erhalten haben: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Alle diese Funktionen werden trigonometrische Funktionen des numerischen Arguments t genannt .

Beziehung zwischen trigonometrischen Funktionen

Wie Sie hoffentlich erraten können, sind alle trigonometrischen Funktionen miteinander verbunden und auch ohne die Bedeutung einer Funktion zu kennen, kann sie durch eine andere ermittelt werden.

Die wichtigste Formel in der gesamten Trigonometrie lautet beispielsweise grundlegende trigonometrische Identität:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Wie Sie sehen, können Sie, wenn Sie den Wert des Sinus kennen, den Wert des Kosinus ermitteln und umgekehrt. Auch sehr gebräuchliche Formeln, die Sinus und Cosinus mit Tangens und Kotangens verbinden:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Aus den letzten beiden Formeln kann man eine weitere trigometrische Identität ableiten, die diesmal Tangens und Kotangens verbindet:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Sehen wir uns nun an, wie diese Formeln in der Praxis funktionieren.

BEISPIEL 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Schreiben wir zunächst den Tangens unter Beibehaltung des Quadrats:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Bringen wir nun alles auf einen gemeinsamen Nenner und wir erhalten:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Und schließlich kann, wie wir sehen, der Zähler durch die trigonometrische Hauptidentität auf eins reduziert werden, als Ergebnis erhalten wir: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Mit dem Kotangens führen wir die gleichen Aktionen aus, nur dass der Nenner kein Kosinus mehr ist, sondern ein Sinus, und die Antwort lautet wie folgt:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Nach Abschluss dieser Aufgabe haben wir zwei weitere sehr wichtige Formeln abgeleitet, die unsere Funktionen verbinden und die wir ebenfalls wie unsere Westentasche kennen müssen:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Sie müssen alle vorgestellten Formeln auswendig kennen, sonst ist ein weiteres Studium der Trigonometrie ohne sie einfach unmöglich. In Zukunft wird es noch mehr Formeln geben, und davon wird es viele geben, und ich versichere Ihnen, dass Sie sich bestimmt noch lange an alle erinnern werden, oder vielleicht auch nicht, aber JEDER sollte diese sechs Dinge wissen!

Definition1: Die durch die Formel y=sin x gegebene numerische Funktion heißt Sinus.

Diese Kurve heißt - Sinus.

Eigenschaften der Funktion y=sin x

2. Funktionswertebereich: E(y)=[-1; 1]

3. Paritätsfunktion:

y=sin x – ungerade,.

4. Periodizität: sin(x+2πn)=sin x, wobei n eine ganze Zahl ist.

Diese Funktion nimmt nach einer bestimmten Zeitspanne die gleichen Werte an. Diese Eigenschaft einer Funktion wird aufgerufen Frequenz. Das Intervall ist die Periode der Funktion.

Für die Funktion y=sin x beträgt die Periode 2π.

Die Funktion y=sin x ist periodisch, mit der Periode Т=2πn, n ist eine ganze Zahl.

Die kleinste positive Periode ist T=2π.

Mathematisch kann dies wie folgt geschrieben werden: sin(x+2πn)=sin x, wobei n eine ganze Zahl ist.

Definition2: Die durch die Formel y=cosx gegebene numerische Funktion heißt Kosinus.

Eigenschaften der Funktion y=cos x

1. Funktionsbereich: D(y)=R

2. Funktionswertbereich: E(y)=[-1;1]

3. Paritätsfunktion:

y=cos x – gerade.

4. Periodizität: cos(x+2πn)=cos x, wobei n eine ganze Zahl ist.

Die Funktion y=cos x ist periodisch mit der Periode Т=2π.

Definition 3: Die durch die Formel y=tan x gegebene numerische Funktion heißt Tangente.

Eigenschaften der Funktion y=tg x

1. Bereich der Funktion: D(y) – alle reellen Zahlen außer π/2+πk, k – ganze Zahl. Denn an diesen Punkten ist die Tangente nicht definiert.

3. Paritätsfunktion:

y=tg x – ungerade.

4. Periodizität: tg(x+πk)=tg x, wobei k eine ganze Zahl ist.

Die Funktion y=tg x ist periodisch mit der Periode π.

Definition 4: Die durch die Formel y=ctg x gegebene numerische Funktion heißt Kotangens.

Eigenschaften der Funktion y=ctg x

1. Definitionsbereich der Funktion: D(y) – alle reellen Zahlen außer πk, k ist eine ganze Zahl. Denn an diesen Punkten ist der Kotangens nicht definiert.

2. Funktionsumfang: E(y)=R.

Die Videolektion „Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments“ bietet visuelles Material, um bei der Erläuterung des Themas im Unterricht Klarheit zu schaffen. Bei der Demonstration wird das Prinzip der Wertbildung trigonometrischer Funktionen aus einer Zahl betrachtet, es werden eine Reihe von Beispielen beschrieben, die lehren, wie man die Werte trigonometrischer Funktionen aus einer Zahl berechnet. Mit Hilfe dieses Handbuchs ist es einfacher, Fähigkeiten zur Lösung relevanter Probleme zu entwickeln und das Material auswendig zu lernen. Die Nutzung des Handbuchs erhöht die Effektivität des Unterrichts und hilft, Lernziele schnell zu erreichen.

Zu Beginn der Lektion wird der Titel des Themas angezeigt. Dann besteht die Aufgabe darin, den entsprechenden Kosinus zu einem numerischen Argument zu finden. Es wird darauf hingewiesen, dass dieses Problem einfach gelöst werden kann und dies eindeutig nachgewiesen werden kann. Auf dem Bildschirm wird ein Einheitskreis angezeigt, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Es ist zu beachten, dass der Schnittpunkt des Kreises mit der positiven Halbachse der Abszissenachse im Punkt A(1;0) liegt. Es wird ein Beispiel für Punkt M gegeben, der das Argument t=π/3 darstellt. Dieser Punkt ist auf dem Einheitskreis markiert und von ihm geht eine Senkrechte zur Abszissenachse ab. Die gefundene Abszisse des Punktes ist der Kosinus von cos t. In diesem Fall beträgt die Abszisse des Punktes x=1/2. Daher ist cos t=1/2.

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass es sinnvoll ist, über die Funktion s=cos t zu sprechen. Es wird darauf hingewiesen, dass die Studierenden bereits über gewisse Kenntnisse zu dieser Funktion verfügen. Einige Kosinuswerte werden berechnet: cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Zu dieser Funktion gehören auch die Funktionen s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Es wird darauf hingewiesen, dass sie für alle einen gemeinsamen Namen haben – trigonometrische Funktionen.

Wichtige Beziehungen, die bei der Lösung von Problemen mit trigonometrischen Funktionen verwendet werden, werden demonstriert: die Hauptidentität sin 2 t+ cos 2 t=1, der Ausdruck von Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus tg t=sin t/cos t, wobei t≠π/ 2+πk für kϵZ, ctg t= cos t/sin t, wobei t≠πk für kϵZ, sowie das Verhältnis von Tangente zu Kotangente tg t·ctg t=1, wobei t≠πk/2 für kϵZ.

Als nächstes schlagen wir vor, den Beweis der Beziehung 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t zu betrachten, mit t≠π/2+πk für kϵZ. Um die Identität zu beweisen, ist es notwendig, tg 2 t in Form eines Verhältnisses von Sinus und Cosinus darzustellen und dann die Terme auf der linken Seite auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Unter Verwendung der grundlegenden trigonometrischen Identität erhalten wir 1 im Zähler, also den Endausdruck 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Die Identität 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t wird auf ähnliche Weise bewiesen, für t≠πk für kϵZ. Genau wie im vorherigen Beweis wird der Kotangens durch das entsprechende Verhältnis von Kosinus und Sinus ersetzt und beide Terme auf der linken Seite auf einen gemeinsamen Nenner reduziert: 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. Nachdem wir die grundlegende trigonometrische Identität auf den Zähler angewendet haben, erhalten wir 1/ sin 2 t. Dies ist der Ausdruck, den wir suchen.

Berücksichtigt wird die Lösung von Beispielen, in denen das erworbene Wissen angewendet wird. In der ersten Aufgabe müssen Sie die Werte von cost, tgt, ctgt ermitteln, wenn der Sinus der Zahl sint=4/5 bekannt ist und t zum Intervall π/2 gehört< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Als nächstes betrachten wir die Lösung eines ähnlichen Problems, bei dem der Tangens tgt = -8/15 bekannt ist und das Argument auf die Werte 3π/2 beschränkt ist

Um den Wert des Sinus zu ermitteln, verwenden wir die Definition des Tangens tgt= sint/cost. Daraus ergibt sich sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Da wir wissen, dass der Kotangens die Umkehrfunktion des Tangens ist, finden wir ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Die Videolektion „Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments“ dient der Steigerung der Effektivität eines Mathematikunterrichts in der Schule. Während des Fernunterrichts kann dieses Material als visuelle Hilfe zur Entwicklung von Fähigkeiten zur Lösung von Problemen verwendet werden, bei denen es um trigonometrische Funktionen einer Zahl geht. Um diese Fähigkeiten zu erwerben, kann dem Studierenden empfohlen werden, Bildmaterial selbstständig zu untersuchen.

TEXTDEKODIERUNG:

Das Thema der Lektion ist „Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments“.

Jeder reellen Zahl t kann eine eindeutig definierte Zahl cos t zugeordnet werden. Dazu müssen Sie Folgendes tun:

1) Positionieren Sie den Zahlenkreis so auf der Koordinatenebene, dass der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt und der Startpunkt A des Kreises auf Punkt (1;0) fällt;

2) Finden Sie einen Punkt auf dem Kreis, der der Zahl t entspricht;

3) Finden Sie die Abszisse dieses Punktes. Das ist kostenintensiv.

Deshalb sprechen wir über die Funktion s = cos t (es ist gleich Cosinus te), wobei t eine beliebige reelle Zahl ist. Wir haben bereits eine Vorstellung von dieser Funktion bekommen:

• Ich habe gelernt, einige Werte zu berechnen, zum Beispiel cos 0=1, cos = 0, cos = usw. (Der Cosinus von Null ist gleich eins, der Cosinus von Pi nach zwei ist gleich Null, der Cosinus von Pi nach drei ist gleich der Hälfte usw.).
• und da die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens miteinander zusammenhängen, haben wir eine Vorstellung von drei weiteren Funktionen: s = sint; s= tgt; s= ctgt. (es ist gleich Sinus te, es ist gleich Tangens te, es ist gleich Kotangens te)

Alle diese Funktionen heißen trigonometrische Funktionen des numerischen Arguments t.

Aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ergeben sich einige Beziehungen:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (Sinusquadrat te plus Kosinusquadrat te gleich eins)

2)tgt = für t ≠ + πk, kϵZ (Tangens te ist gleich dem Verhältnis von Sinus te zu Kosinus te mit te ungleich pi um zwei plus pi ka, ka gehört zu zet)

3) ctgt = für t ≠ πk, kϵZ (Kotangens te ist gleich dem Verhältnis von Kosinus te zu Sinus te, wenn te nicht gleich pi ist, ka, ka gehört zu zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 für t ≠ , kϵZ (das Produkt von Tangente te und Kotangente te ist gleich eins, wenn te nicht gleich dem Peak ka ist, dividiert durch zwei, ka gehört zu zet)

Lassen Sie uns zwei weitere wichtige Formeln beweisen:

Schauen wir uns Beispiele an.

BEISPIEL 1. Finden Sie Kosten, tgt, ctgt, wenn sint = und< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Lösung. Aus der ersten Beziehung ergibt sich, dass das Kosinusquadrat te gleich eins minus Sinusquadrat te ist: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

Das bedeutet, dass cos 2 t = 1 -() 2 = (Cosinusquadrat te ist gleich neun Fünfundzwanzigstel), also Kosten = (Cosinus te ist gleich drei Fünftel) oder Kosten = - (Cosinus te ist gleich minus drei Fünftel). Gemäß der Bedingung gehört das Argument t zum zweiten Viertel und kostet darin t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Das bedeutet, dass der Kosinus te gleich minus drei Fünftel ist, Kosten = - .

Berechnen wir den Tangens te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(Tangens te ist gleich dem Verhältnis von Sinus te zu Kosinus te, also vier Fünftel zu minus drei Fünftel und gleich minus vier Drittel)

Dementsprechend berechnen wir (den Kotangens der Zahl te. da der Kotangens te gleich dem Verhältnis des Kosinus von te zum Sinus von te ist,) ctgt = = - .

(Kotangens te ist gleich minus drei Viertel).

Antwort: cost = - , tgt= - ; ctgt = - . (Wir tragen die Antwort ein, während wir sie lösen)

BEISPIEL 2. Es ist bekannt, dass tgt = - und< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Lösung. Lassen Sie uns diese Beziehung verwenden und den Wert in diese Formel einsetzen, um Folgendes zu erhalten:

1 + (-) 2 = (eins pro Kosinusquadrat te ist gleich der Summe aus eins und dem Quadrat minus acht Fünfzehntel). Von hier aus finden wir cos 2 t =

(Kosinusquadrat te ist gleich zweihundertfünfundzwanzig zweihundertneunundachtzigstel). Das bedeutet Kosten = (Kosinus te ist fünfzehn Siebzehntel) oder

Kosten = . Gemäß der Bedingung gehört das Argument t zum vierten Quartal, wobei Kosten > 0 sind. Daher kosten = .(Cosenus te ist fünfzehn Siebzehntel)

Lassen Sie uns den Wert des Arguments sinus te ermitteln. Da aus der Beziehung (zeigen Sie die Beziehung tgt = für t ≠ + πk, kϵZ) Sinus te gleich dem Produkt von Tangens te und Kosinus te ist, dann ist das Einsetzen des Werts des Arguments te..Tangens te gleich minus acht Fünfzehntel .. durch Bedingung, und Cosinus te ist gleich, früher gelöst, wir bekommen

sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (Sinus te ist gleich minus acht Siebzehntel)

ctgt = = - . (da der Kotangens te der Kehrwert des Tangens ist, was bedeutet, dass der Kotangens te gleich minus fünfzehn Achtzehnteln ist)

Definition. Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments sind die gleichnamigen trigonometrischen Funktionen eines Winkels gleich dem Bogenmaß.

Lassen Sie uns diese Definition anhand konkreter Beispiele erläutern.

Beispiel 1. Berechnen wir den Wert. Hier meinen wir eine abstrakte irrationale Zahl. Laut Definition. Also, .

Beispiel 2. Berechnen wir den Wert. Mit 1,5 meinen wir hier eine abstrakte Zahl. Wie definiert (siehe Anhang II).

Beispiel 3. Berechnen Sie den Wert. Wir erhalten das Gleiche wie oben (siehe Anhang II).

Unter dem Argument trigonometrischer Funktionen werden wir in Zukunft einen Winkel (Bogen) oder nur eine Zahl verstehen, je nachdem, welches Problem wir lösen. Und in manchen Fällen kann das Argument eine Größe sein, die eine andere Dimension hat, zum Beispiel die Zeit usw. Wenn wir ein Argument einen Winkel (Bogen) nennen, können wir damit die Zahl meinen, mit der es im Bogenmaß gemessen wird.