Abgekürzte Multiplikationsformeln oder -regeln werden in der Arithmetik, genauer gesagt in der Algebra, verwendet, um die Auswertung großer algebraischer Ausdrücke zu beschleunigen. Die Formeln selbst leiten sich aus in der Algebra existierenden Regeln zur Multiplikation mehrerer Polynome ab.

Die Verwendung dieser Formeln bietet eine relativ schnelle Lösung verschiedener mathematischer Probleme und hilft auch, Ausdrücke zu vereinfachen. Die Regeln algebraischer Transformationen ermöglichen es Ihnen, einige Manipulationen an Ausdrücken vorzunehmen, wodurch Sie auf der linken Seite der Gleichheit den Ausdruck auf der rechten Seite erhalten oder die rechte Seite der Gleichheit transformieren können (um den Ausdruck auf der linken Seite zu erhalten). nach dem Gleichheitszeichen).

Es ist praktisch, die Formeln für die abgekürzte Multiplikation aus dem Gedächtnis zu kennen, da sie häufig zum Lösen von Problemen und Gleichungen verwendet werden. Nachfolgend sind die wichtigsten in dieser Liste enthaltenen Formeln und ihre Namen aufgeführt.

Quadrat der Summe

Um das Quadrat der Summe zu berechnen, müssen Sie die Summe ermitteln, die aus dem Quadrat des ersten Termes, dem Doppelten des Produkts aus dem ersten Term und dem zweiten und dem Quadrat des zweiten Termes besteht. In Form eines Ausdrucks wird diese Regel wie folgt geschrieben: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Quadratischer Unterschied

Um das Quadrat der Differenz zu berechnen, müssen Sie die Summe berechnen, die aus dem Quadrat der ersten Zahl, dem Doppelten des Produkts der ersten und der zweiten Zahl (mit umgekehrtem Vorzeichen) und dem Quadrat der zweiten Zahl besteht. In Form eines Ausdrucks sieht diese Regel so aus: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Differenz der Quadrate

Die Formel für die Differenz zweier Zahlen im Quadrat ist gleich dem Produkt aus der Summe dieser Zahlen und ihrer Differenz. In Form eines Ausdrucks sieht diese Regel folgendermaßen aus: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Würfel der Summe

Um die Potenz der Summe zweier Terme zu berechnen, müssen Sie die Summe berechnen, die aus der Potenz des ersten Termes, dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat des ersten Termes und dem zweiten Term und dem Dreifachen des Produkts des ersten Termes und des zweiten Termes besteht zum Quadrat und die Potenz des zweiten Termes. In Form eines Ausdrucks sieht diese Regel so aus: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Summe der Würfel

Nach der Formel ist es gleich dem Produkt aus der Summe dieser Terme und ihrem unvollständigen Differenzquadrat. In Form eines Ausdrucks sieht diese Regel folgendermaßen aus: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Beispiel. Es ist notwendig, das Volumen einer Figur zu berechnen, die durch Addition zweier Würfel entsteht. Es sind nur die Größen ihrer Seiten bekannt.

Wenn die Seitenwerte klein sind, sind die Berechnungen einfach.

Wenn die Längen der Seiten in umständlichen Zahlen ausgedrückt werden, ist es in diesem Fall einfacher, die Formel „Würfelsumme“ zu verwenden, die die Berechnungen erheblich vereinfacht.

Differenzwürfel

Der Ausdruck für die kubische Differenz klingt so: als Summe der dritten Potenz des ersten Termes, verdreifachen Sie das negative Produkt des Quadrats des ersten Termes mit dem zweiten, verdreifachen Sie das Produkt des ersten Termes mit dem Quadrat des zweiten und der negative Würfel des zweiten Termes. In Form eines mathematischen Ausdrucks sieht der Würfel der Differenz so aus: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Differenz der Würfel

Die Würfeldifferenzformel unterscheidet sich von der Würfelsumme nur um ein Vorzeichen. Somit ist die Differenz der Würfel eine Formel, die dem Produkt der Differenz dieser Zahlen und ihrem unvollständigen Quadrat der Summe entspricht. In der Form sieht die Würfeldifferenz so aus: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Beispiel. Es ist notwendig, das Volumen der Figur zu berechnen, das nach Subtraktion der gelben Volumenfigur, die ebenfalls ein Würfel ist, vom Volumen des blauen Würfels verbleibt. Vom kleinen und großen Würfel ist nur die Seitengröße bekannt.

Wenn die Seitenwerte klein sind, sind die Berechnungen recht einfach. Und wenn die Längen der Seiten in signifikanten Zahlen ausgedrückt werden, lohnt es sich, die Formel „Differenz der Würfel“ (oder „Würfel der Differenz“) anzuwenden, die die Berechnungen erheblich vereinfacht.

Abgekürzte Multiplikationsformeln.

Studieren abgekürzter Multiplikationsformeln: das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke; Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke; Kubus der Summe und Kubus der Differenz zweier Ausdrücke; Summen und Differenzen von Würfeln zweier Ausdrücke.

Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln beim Lösen von Beispielen.

Um Ausdrücke zu vereinfachen, Polynome zu faktorisieren und Polynome auf die Standardform zu reduzieren, werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet. Abgekürzte Multiplikationsformeln müssen auswendig gelernt werden.

Seien a, b R. Dann:

1. Das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke ist gleich das Quadrat des ersten Ausdrucks plus das Doppelte des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke ist gleich das Quadrat des ersten Ausdrucks minus das Doppelte des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Differenz der Quadrate zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz dieser Ausdrücke und ihrer Summe.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Würfel der Summe zwei Ausdrücke ist gleich der Potenz des ersten Ausdrucks plus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem Dreifachen des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten plus der Potenz des zweiten Ausdrucks.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Differenzwürfel zwei Ausdrücken ist gleich der Potenz des ersten Ausdrucks minus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem Dreifachen des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten minus der Potenz des zweiten Ausdrucks.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Summe der Würfel zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe des ersten und zweiten Ausdrucks und dem unvollständigen Quadrat der Differenz dieser Ausdrücke.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Differenz der Würfel zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz des ersten und zweiten Ausdrucks mit dem unvollständigen Quadrat der Summe dieser Ausdrücke.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln beim Lösen von Beispielen.

Beispiel 1.

Berechnung

a) Mit der Formel für das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke erhalten wir

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Mit der Formel für das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke erhalten wir

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Beispiel 2.

Berechnung

Mit der Formel für die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke erhalten wir

Beispiel 3.

Vereinfachen Sie einen Ausdruck

(x - y) 2 + (x + y) 2

Verwenden wir die Formeln für das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Abgekürzte Multiplikationsformeln in einer Tabelle:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Differenz der Quadrate

Lassen Sie uns die Formel für die Quadratdifferenz $a^2-b^2$ herleiten.

Beachten Sie dazu die folgende Regel:

Wenn wir dem Ausdruck ein beliebiges Monom hinzufügen und dasselbe Monom subtrahieren, erhalten wir die richtige Identität.

Fügen wir zu unserem Ausdruck das Monom $ab$ hinzu und subtrahieren es davon:

Insgesamt erhalten wir:

Das heißt, die Differenz zwischen den Quadraten zweier Monome ist gleich dem Produkt ihrer Differenz und ihrer Summe.

Beispiel 1

Präsentiert als Produkt $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Summe der Würfel

Lassen Sie uns die Formel für die Summe der Würfel $a^3+b^3$ herleiten.

Nehmen wir die gemeinsamen Faktoren aus Klammern heraus:

Nehmen wir $\left(a+b\right)$ aus den Klammern:

Insgesamt erhalten wir:

Das heißt, die Summe der Kubikzahlen zweier Monome ist gleich dem Produkt aus ihrer Summe und dem Teilquadrat ihrer Differenz.

Beispiel 2

Präsentiert als Produkt $(8x)^3+y^3$

Dieser Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Mit der Quadratdifferenzformel erhalten wir:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Differenz der Würfel

Lassen Sie uns die Formel für die Differenz der Würfel $a^3-b^3$ herleiten.

Dazu verwenden wir die gleiche Regel wie oben.

Addieren wir zu unserem Ausdruck die Monome $a^2b\ und\ (ab)^2$ und subtrahieren sie davon:

Nehmen wir die gemeinsamen Faktoren aus Klammern heraus:

Nehmen wir $\left(a-b\right)$ aus den Klammern:

Insgesamt erhalten wir:

Das heißt, die Differenz der Kubikzahlen zweier Monome ist gleich dem Produkt ihrer Differenz mit dem unvollständigen Quadrat ihrer Summe.

Beispiel 3

Präsentiert als Produkt $(8x)^3-y^3$

Dieser Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Mit der Quadratdifferenzformel erhalten wir:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Beispiel für Probleme bei der Verwendung von Formeln für die Differenz von Quadraten und die Summe und Differenz von Würfeln

Beispiel 4

Berücksichtigen Sie es.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Lösung:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Wenn wir die Quadratdifferenzformel anwenden, erhalten wir:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Schreiben wir diesen Ausdruck in der Form:

Wenden wir die Würfelformel an:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Schreiben wir diesen Ausdruck in der Form:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Wenden wir die Würfelformel an:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]

In den vorherigen Lektionen haben wir uns mit zwei Möglichkeiten befasst, ein Polynom zu faktorisieren: dem Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern und der Gruppierungsmethode.

In dieser Lektion werden wir uns eine andere Möglichkeit ansehen, ein Polynom zu faktorisieren Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln.

Wir empfehlen, dass Sie jede Formel mindestens 12 Mal schreiben. Zum besseren Auswendiglernen notieren Sie alle abgekürzten Multiplikationsformeln auf einem kleinen Spickzettel.

Erinnern wir uns daran, wie die Differenz der Würfelformel aussieht.

Der Unterschied in der Würfelformel ist nicht sehr leicht zu merken, daher empfehlen wir, eine spezielle Methode zu verwenden, um ihn sich zu merken.

Es ist wichtig zu verstehen, dass jede abgekürzte Multiplikationsformel auch funktioniert Rückseite.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Es ist notwendig, die Differenz der Würfel zu faktorisieren.

Bitte beachten Sie, dass „27a 3“ „(3a) 3“ ist, was bedeutet, dass wir für die Würfeldifferenzformel anstelle von „a“ „3a“ verwenden.

Wir verwenden die Würfeldifferenzformel. Anstelle von „a 3“ steht „27a 3“, und anstelle von „b 3“ steht wie in der Formel „b 3“.

Anwenden der Würfeldifferenz in die entgegengesetzte Richtung

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Sie müssen das Produkt von Polynomen mithilfe der abgekürzten Multiplikationsformel in die Differenz von Kubikzahlen umwandeln.

Bitte beachten Sie, dass das Produkt der Polynome „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ der rechten Seite der Würfeldifferenzformel „“ ähnelt, nur dass anstelle von „a“ „x“ steht, und zwar an Ort und Stelle Von „b“ gibt es „1“.

Für „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ verwenden wir die Würfeldifferenzformel in der entgegengesetzten Richtung.

Schauen wir uns ein komplizierteres Beispiel an. Es ist erforderlich, das Produkt von Polynomen zu vereinfachen.

Wenn wir „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)“ mit der rechten Seite der Würfeldifferenzformel vergleichen
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)„, dann können Sie verstehen, dass anstelle von „a“ aus der ersten Klammer „y 2“ und anstelle von „b“ „1“ steht.