дадени електронен ресурсе отличен материал за дирижиране интерактивно обучение V модерни училища. Написана е грамотно, има ясна структура и съответства училищен план. Благодарение на подробните обяснения, темата, представена във видео урока, ще стане ясна за възможно най-много ученици в класа. Учителите трябва да помнят, че не всички ученици имат еднаква степен на възприятие, скорост на разбиране или база. Такива материали ще ви помогнат да се справите с трудностите и да наваксате връстниците си, да подобрите академичните си постижения. С тяхна помощ, в тиха домашна среда, самостоятелно или заедно с преподавател, ученикът може да разбере определена тема, да изучава теория и да разглежда примери практическо приложениеедна или друга формула и т.н.

Този видео урок е посветен на темата „Синус и косинус от разликата на аргументите“. Предполага се, че учениците вече са научили основите на тригонометрията, запознати са с основните функции и техните свойства, призрачни формули и таблици с тригонометрични стойности.

Освен това, преди да преминете към изучаването на тази тема, трябва да имате разбиране за синуса и косинуса на сумата от аргументи, да знаете две основни формули и да можете да ги използвате.

В началото на видео урока дикторът напомня на учениците за тези две формули. След това се демонстрира първата формула - синусът на разликата на аргументите. Освен как се извежда самата формула, е показано и как се извлича от друга. По този начин ученикът няма да трябва да запомня нова формула, без да разбира какво е често срещана грешка. Това е много важно за учениците в този клас. Винаги трябва да помните, че можете да добавите знак + пред знака минус и минус върху знака плюс в крайна сметка ще се превърне в минус. С тази проста стъпка можете да използвате формулата за синус от сбор и да получите формулата за синус от разликата на аргументите.

Формулата за косинус от разликата се извежда по подобен начин от формулата за косинус от сбора на аргументите.

Говорителят обяснява всичко стъпка по стъпка и в резултат на това общата формула за косинуса на сумата и разликата на аргументите и синуса се извежда по подобен начин.

Първият пример от практическата част на този видео урок предлага намиране на косинус от Пи/12. Предлага се тази стойност да се представи под формата на определена разлика, в която умаленото и изместеното ще бъдат таблични стойности. След това ще бъде приложена формулата за косинус за разликата на аргументите. Като замените израза, можете да замените получените стойности и да получите отговора. Говорителят прочита отговора, който се показва в края на примера.

Вторият пример е уравнение. И от дясната, и от лявата страна виждаме косинусите на разликите на аргументите. Говорителят прилича на формули за отливане, които се използват за заместване и опростяване на тези изрази. Тези формули са написани от дясната страна, така че учениците да могат да разберат откъде идват определени промени.

Друг пример, третият, е определена дроб, където и в числителя, и в знаменателя имаме тригонометрични изрази, а именно разликите на продуктите.

Тук също при решаването се използват редукционни формули. Така учениците могат да видят, че ако пропуснат една тема от тригонометрията, ще им бъде все по-трудно да разберат останалите.

И накрая, четвъртият пример. Това също е уравнение, в което е необходимо да се използват нови изучени и стари формули при решаването им.

Можете да разгледате по-подробно примерите, дадени във видео урока, и да се опитате да го решите сами. Те могат да бъдат зададени като домашна работаученици.

ДЕКОДИРАНЕ НА ТЕКСТ:

Темата на урока е „Синус и косинус от разликата на аргументите“.

В предишния курс срещнахме двама тригонометрични формулисинус и косинус от сумата на аргументите.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

синус от сбора на два ъгъла равно на суматамежду произведението на синуса на първия ъгъл и косинуса на втория ъгъл и произведението на косинуса на първия ъгъл и синуса на втория ъгъл;

Косинусът на сбора от два ъгъла е равен на разликата между произведението на косинусите на тези ъгли и произведението на сбора на тези ъгли.

Използвайки тези формули, ще изведем формулите синус и косинус от разликата на аргументите.

Синус от разликата на аргументите sin(x-y)

Две формули (синус на сумата и синус на разликата) могат да бъдат записани като:

грях (xy) = sin x cos ycos x sin y.

По същия начин извеждаме формулата за косинус на разликата:

Нека пренапишем косинуса на разликата между аргументите като сума и приложим вече известната формула за косинус на сумата: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

само за аргументи x и -y. Замествайки тези аргументи във формулата, получаваме cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

sin(- y)= - siny). и получаваме крайния израз cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

Това означава cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

Косинусът от разликата на два ъгъла е равен на сумата между произведението на косинусите на тези ъгли и произведението на синусите на тези ъгли.

Комбинирайки две формули (косинус от сумата и косинус от разликата) в една, ние пишем

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

Нека си припомним, че формулите на практика могат да се прилагат както отляво надясно, така и обратно.

Нека да разгледаме примерите.

ПРИМЕР 1. Изчислете cos (косинус от pi делено на дванадесет).

Решение. Нека напишем pi делено на дванадесет като разликата на pi на три и pi делено на четири: = - .

Нека заместим стойностите във формулата за косинус на разликата: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, по този начин cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Знаем, че cos = , cos = sin= , sin = . Показване на таблица със стойности.

Нека заместим стойността на синуса и косинуса числови стойностии получаваме ∙ + ∙, когато умножаваме дроб по дроб, умножаваме числителите и знаменателите, получаваме

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.

Отговор: cos =.

ПРИМЕР 2. Решете уравнението cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (косинус от две pi минус пет x е равен на косинус от pi с две минус пет x).

Решение. Наляво и дясната странауравнения, ние прилагаме формулите за намаляване cos(2π - cos (косинус от две пи минус алфа е равен на косинус от алфа) и cos(- = sin (косинус от пи с две минус алфа е равен на синус от алфа), получаваме cos 5x = sin 5x, нека го редуцираме до формата на хомогенно уравнение от първа степен и получаваме cos 5x - sin 5x = 0. Това е хомогенно уравнение от първа степен. Нека разделим двете страни на члена на уравнението на cos 5x .Имаме:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, защото cos 5x: cos 5x = 1 и sin 5x: cos 5x = tan 5x, тогава получаваме:

Тъй като вече знаем, че уравнението tgt = a има решение t = arctga + πn, и тъй като имаме t = 5x, a = 1, получаваме

5x = arctan 1 + πn,

А arctg стойност 1, след това tg 1= Показване на таблица

Заместете стойността в уравнението и го решете:

Отговор: x = +.

ПРИМЕР 3. Намерете стойността на дробта. (в числителя е разликата на произведението на косинусите от седемдесет и пет градуса и шестдесет и пет градуса и произведението на синусите от седемдесет и пет градуса и шестдесет и пет градуса, а в знаменателя е разликата на произведението на синуса от осемдесет и пет градуса и косинус от тридесет и пет градуса и произведението от косинус от осемдесет и пет градуса и синус от тридесет и пет градуса) .

Решение. В числителя на тази дроб разликата може да се „свие“ в косинуса на сумата от аргументите 75° и 65°, а в знаменателя разликата може да се „свие“ в синуса на разликата между аргументите 85° и 35°. получаваме

Отговор: - 1.

ПРИМЕР 4. Решете уравнението: cos(-x) + sin(-x) = 1 (косинус от разликата на pi по четири и x плюс синус на разликата на pi по четири и x е равно на едно).

Решение. Нека приложим формулите косинус разлика и синус разлика.

Покажи обща формулакосинусова разлика

Тогава cos (-x) = cos cos x + sinsinх

Покажете общата формула за синусова разлика

и sin (-х)= sin cosх - защото грях X

Заместете тези изрази в уравнението cos(-x) + sin(-x) = 1 и получете:

cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,

Тъй като cos= и sin= Покажете в таблицата значението на синус и косинус

Получаваме ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,

вторият и четвъртият член са противоположни, следователно те се отменят взаимно, оставяйки:

∙ cos + ∙ cos = 1,

Нека решим дадено уравнениеи получаваме това

2∙ ∙ cos x= 1,

Тъй като вече знаем, че уравнението cos = a има решение t = аркоса+ 2πк, и тъй като имаме t=x, a =, получаваме

x = arccos + 2πn,

и тъй като стойността е arccos, тогава cos =

Формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите за два ъгъла α и β ни позволяват да преминем от сумата на тези ъгли към произведението на ъглите α + β 2 и α - β 2. Нека незабавно да отбележим, че не трябва да бъркате формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите с формулите за синусите и косинусите на сбора и разликата. По-долу изброяваме тези формули, даваме техните изводи и показваме примери за приложение при конкретни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формули за сбор и разлика от синуси и косинуси

Нека запишем как изглеждат формулите за сбор и разлика за синуси и косинуси

Формули за сбор и разлика за синуси

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формули за сбор и разлика за косинуси

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β. Ъглите α + β 2 и α - β 2 се наричат ​​съответно полусума и полуразлика на ъглите алфа и бета. Нека дадем формулировката за всяка формула.

Дефиниции на формули за суми и разлики на синуси и косинуси

Сума от синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата от тези ъгли и косинуса на полуразликата.

Разлика на синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полуразликата на тези ъгли и косинуса на полусумата.

Сума от косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от косинуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли.

Разлика на косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли, взети с отрицателен знак.

Извеждане на формули за сбор и разлика от синуси и косинуси

За извеждане на формули за сбора и разликата на синуса и косинуса на два ъгъла се използват формули за събиране. Нека ги изброим по-долу

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Нека си представим и самите ъгли като сбор от полусуми и полуразлики.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Пристъпваме директно към извеждането на формулите за сбор и разлика за sin и cos.

Извеждане на формулата за сбор от синуси

В сумата sin α + sin β заместваме α и β с изразите за тези ъгли, дадени по-горе. получаваме

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Сега прилагаме формулата за добавяне към първия израз, а към втория - формулата за синуса на ъгловите разлики (вижте формулите по-горе)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Отворете скобите, добавете подобни членове и получете необходимата формула

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Стъпките за извличане на останалите формули са подобни.

Извеждане на формулата за разликата на синусите

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Извеждане на формулата за сбор от косинуси

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Извеждане на формулата за разликата на косинусите

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Примери за решаване на практически задачи

Първо, нека проверим една от формулите, като заменим конкретни ъглови стойности в нея. Нека α = π 2, β = π 6. Нека изчислим стойността на сумата от синусите на тези ъгли. Първо, нека използваме таблицата с основните стойности тригонометрични функциии след това приложете формулата за сумата от синуси.

Пример 1. Проверка на формулата за сумата от синусите на два ъгъла

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Нека сега разгледаме случая, когато стойностите на ъглите се различават от основните стойности, представени в таблицата. Нека α = 165°, β = 75°. Нека изчислим разликата между синусите на тези ъгли.

Пример 2. Приложение на формулата за разликата на синусите

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Използвайки формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите, можете да преминете от сумата или разликата към произведението на тригонометричните функции. Често тези формули се наричат ​​формули за преминаване от сбор към продукт. Формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите се използват широко при решаването тригонометрични уравненияи при преобразуване на тригонометрични изрази.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter