Учител по математика: Нашкенова А.Н. Средно училище Майбалък План на урока по темата „Степен с рационален показател»

(алгебра, 11 клас)

Цели на урока:

Разширяване и задълбочаване на знанията на учениците за степените на числата; запознаване на учениците с понятието степен с рационален показател и техните свойства;

Развиват знания, умения и способности за изчисляване на стойностите на изрази чрез използване на свойства;

Продължаване на работата по развиване на умения за анализиране, сравняване, подчертаване на основното, дефиниране и обяснение на понятия;

Форма комуникационни компетенции, способността да дават причини за своите действия, да култивират независимост и упорит труд.

Оборудване: учебник, карти с раздаване, лаптоп,презентационен материал Power Point ;

Тип урок: урок за изучаване и първоначално консолидиране на нови знания.

План на урока:

1.Org. момент. - 1 мин.

2.Мотивация на урока.-2 мин

3.Актуализиране на основни знания. - 5 мин.

4.Учене на нов материал. - 15 мин.

5. Физкултурна минутка – 1мин.

6.Първично затвърдяване на изучения материал – 10 минути

7.Самостоятелна работа. - 7 мин.

8.Домашна работа. - 2 мин.

9. Рефлексия – 1мин.

10. Обобщение на урока. – 1 мин.

Напредък на урока

1. Организационен момент

Емоционално настроение за урока.

Искам да работя, искам

работа,
Желая ви успех днес.
В крайна сметка в бъдеще всичко това е за вас

ще дойде по-удобно.
И ще ви е по-лесно занапред

проучване(Слайд № 1)

2.Мотивация на урока

Операциите на степенуване и извличане на корен, както и четирите аритметични операции, са възникнали в резултат на практическа необходимост. Така че, заедно с проблема за изчисляване на площта на квадрат, странатаА което е известно, се срещна обратната задача: „Каква дължина трябва да има страната на квадрат, за да бъде неговата площ равна наV. През 14-15в Западна Европасе появяват банки, които дават пари срещу лихва на принцове и търговци и ги финансират при високи лихви дълги пътуванияи завоевания. За да улесним изчисленията на сложната лихва, съставихме таблици, от които можете веднага да разберете колко трябва да платите чрезп години, ако сумата е взета назаемА отp % на година. Платената сума се изразява по формулата: s = a(1 + ) п Понякога парите се заемат не за цял брой години, а например за 2 години и 6 месеца. Ако след 2,5 години суматаА контакт aq , след това през следващите 2,5 години ще се увеличи с още единр пъти и ще станат равниaq 2 . След 5 години:a=(1 + 5 , Ето защо р 2 = (1 + 5 И Средства р =

(Слайд 2) .

Така възниква идеята за степен с дробен показател.

3.Актуализиране на основни знания.

Въпроси:

1.Какво означава вписването;А п

2. Какво е А ?

3. Какво е п ?

4. А -стр =?

5. Запишете свойствата на степен с цяло число в тетрадката си.

6.Кои числа са естествени, цели, рационални? Начертайте ги с помощта на кръгове на Ойлер.(Слайд 3)

Отговори: 1. Степен с цяло число

2. а-база

3. п- експонент

4. А -стр =

5. Свойства на степен с цяло число:

а м *a п =а (m+n) ;

а м : а п =а (м-н) ( при а не равен нула );

(а м ) п =а (м*н) ;

(а*б) п =а п *б п ;

(а/б) п = (а п )/(б п ) (при b не е равно на нула);

а 1 = а;

а 0 = 1 (с а не е равно на нула);

Тези свойства ще бъдат валидни за всякакви числа a, b и всякакви цели числа m и n.

6.1,2,3, … - положителни числа – набор от естествени числа –Н

0,-1,-2,-3,.. число O и отрицателни числа- набор от цели числа -З

Q , – дробни числа(отрицателни и положителни) – набор от рационални числа -Q З

Н

кръгове на Ойлер (слайд 4)

4. Изучаване на нов материал.

Нека бъде. А - е неотрицателно число и трябва да бъде повдигнато на дробна степен . Знаете ли равенството (А м ) п = а м п (слайд 4) , т.е. правило за повдигане на степен на степен. В горното равенство приемаме, че m = , тогава получаваме: (А ) п = а =а (слайд 4)

От това можем да заключим, че е такаА корен п - та степен на числотоА , т.е. А = . от това следва, че (А п ) = п =а (слайд 4).

Следователно А =(а ) м =(а м ) = м . ( слайд 4 ).

Следователно е в сила следното равенство:А = м (слайд 4)

определение: степен на неотрицателно число А с рационален показател , Къде - несъкратима дроб, се нарича стойността на n-тия корен от число А Т .

Следователно по определение А = м (слайд 5)

Нека да разгледаме пример 1 : Напишете степента с рационален показател във формата корен n-тистепени:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (слайд 6) Решение: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( слайд 7) Със степени с рационален показател можете да извършвате операциите умножение, деление, степенуване и извличане на корен съгласно същите правила, както със степени с цели числа и степени със същите основи:А = а + А = А - (А ) = а * (a*c) = а * В ) = А / V където p, р – естествени числа, t, p са цели числа. (слайд 8) 5. Физкултурна минутка

Обърнете погледа си надясно

Обърнете погледа си наляво

Погледна към тавана

Всички гледаха напред.

Веднъж - огънете - изправете,

две ─ огънете - разтегнете,

Три-три пляскания с ръце,

Три кимвания с глава.

Пет и шест седнете тихо.

И пак на път! (слайд 9)

6. Първично консолидиране на изучения материал:

Страница 51, № 90, № 91 – направете го сами в тетрадката си,

с проверка на дъската

7.Самостоятелна работа

Вариант 1

(Слайд 10)

Вариант 1

(Слайд 11)

Изпълнение самостоятелна работас взаимна проверка.

Отговори:

Вариант 1

(Слайд 12)

И така, днес в урока се запознахме с концепцията за степен с рационален показател и се научихме да я записваме под формата на корени, прилагаме основните свойства на степените при намиране на стойностите на числови изрази.8.Домашна работа: No92, No93 Информация за домашна работа

9. Отражение

(Слайд 13)

10. Обобщение на урока:

Какви са приликите и разликите между степен с цяло число и степен с дробен показател? (сходство: всички свойства на степен с цяло число важат и за степен с рационален показател;

разлика: градуси)

Избройте свойствата на степените с рационални показатели

Днешният урок приключи,
Не можеш да бъдеш по-дружелюбен.
Но всеки трябва да знае:
Знания, постоянство, работа
Те ще доведат до прогрес в живота.
Благодаря за урока! (слайд 14)

Видео урокът „Показател с рационален показател“ съдържа визуален материал учебен материалда преподава урок по тази тема. Видео урокът съдържа информация за концепцията за степен с рационален показател, свойства на такива степени, както и примери, описващи използването на учебен материал за решаване на практически задачи. Целта на този видео урок е ясно и ясно да представи учебния материал, да улесни неговото разработване и запомняне от учениците и да развие способността за решаване на проблеми с помощта на изучените понятия.

Основните предимства на видео урока са възможността за визуално извършване на трансформации и изчисления, възможността за използване на анимационни ефекти за подобряване на ефективността на обучението. Гласовият съпровод помага за развитието на правилната математическа реч, а също така дава възможност да се замени обяснението на учителя, освобождавайки го да извършва индивидуална работа.

Видео урокът започва с представяне на темата. Свързване на проучвания нова темас предварително изучен материал се предлага да запомните, че n √a иначе се означава с 1/n за естествено n и положително a. Това представяне на n-корен се показва на екрана. След това предлагаме да разгледаме какво означава изразът a m/n, в който a е положително число, а m/n е дроб. Дефиницията на степен с рационален показател като a m/n = n √a m е дадена, подчертана в рамката. Отбелязва се, че n може да бъде естествено число, а m може да бъде цяло число.

След дефиниране на степен с рационален показател, нейното значение се разкрива чрез примери: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Показан е също пример, в който степента, представена от десетичен знак, се преобразува в обикновена дроб, за да бъде представена като корен: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример с отрицателна степен: 3 -1/ 8 = 8 √3 -1.

Отделно е посочена особеността на специалния случай, когато основата на степента е нула. Отбелязва се, че тази степен има смисъл само с положителен дробен показател. В този случай стойността му е нула: 0 m/n =0.

Отбелязва се още една особеност на степен с рационален показател - че степен с дробен показател не може да се разглежда с дробен показател. Дадени са примери за неправилно записване на градуси: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

След това във видео урока обсъждаме свойствата на степен с рационален показател. Отбелязва се, че свойствата на степен с цяло число ще бъдат валидни и за степен с рационален показател. Предлага се да се припомни списъкът с имоти, които също са валидни в този случай:

1. При умножаване на степени с еднакви основи, техните показатели се събират: a p a q =a p+q.
2. Делението на степени с еднакви основи се свежда до степен с дадена основа и разлика в показателите: a p:a q =a p-q.
3. Ако повдигнем степента на определена степен, тогава ще получим степен с дадена основа и произведението на експонентите: (a p) q =a pq.

Всички тези свойства са валидни за степени с рационални показатели p, q и положителна основа a>0. Също така трансформациите на степен при отваряне на скоби остават верни:

1. (ab) p =a p b p - повдигане на някаква степен с рационален показател произведението на две числа се редуцира до произведението на числа, всяко от които е повдигнато на дадена степен.
2. (a/b) p =a p /b p - повишаване на дроб на степен с рационален показател се свежда до дроб, чийто числител и знаменател са повдигнати на дадена степен.

Видео урокът разглежда решаването на примери, които използват разгледаните свойства на степени с рационален показател. Първият пример ви моли да намерите стойността на израз, съдържащ променливи x в дробна мощност: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Въпреки сложността на израза, като се използват свойствата на степените, той може да бъде решен доста просто. Решаването на проблема започва с опростяване на израза, който използва правилото за повишаване на степен с рационален показател на степен, както и умножение на степени с една и съща основа. След смяна зададена стойност x=8 в опростения израз x 1/3 +48, ​​лесно се получава стойността - 50.

Във втория пример трябва да намалите дроб, чийто числител и знаменател съдържат степени с рационален показател. Използвайки свойствата на степента, ние извличаме от разликата фактора x 1/3, който след това се редуцира в числителя и знаменателя, и използвайки формулата за разликата на квадратите, числителят се факторизира, което дава допълнителни редукции на идентични множители в числителя и знаменателя. Резултатът от тези трансформации е късата дроб x 1/4 +3.

Видео урокът „Показател с рационален показател“ може да се използва вместо учител да обяснява нова тема на урока. Това ръководство също така съдържа достатъчно пълна информация за самообучениестудент. Материалът може да бъде полезен и за дистанционно обучение.

Изразът a n (степен с цяло число) ще бъде дефиниран във всички случаи, с изключение на случая, когато a = 0 и n е по-малко или равно на нула.

Свойства на степените

Основни свойства на степените с цяло число:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (с ане е равно на нула);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n;

(a/b) n = (a n)/(b n) (с bне е равно на нула);

a 0 = 1 (с ане е равно на нула);

Тези свойства ще бъдат валидни за всякакви числа a, b и всякакви цели числа m и n. Заслужава да се отбележи и следното свойство:

Ако m>n, тогава a m > a n, за a>1 и a m

Можем да обобщим концепцията за степента на число за случаите, в които рационални числа действат като експонента. В същото време бих искал всичко по-горе да бъде изпълнено изброени имотиили поне някои от тях.

Например, ако свойството (a m) n = a (m*n) е изпълнено, следващото равенство ще се проведе:

(a (m/n)) n = a m.

Това равенство означава, че числото a (m/n) трябва да бъде корен n-та от числото a m.

Степента на някакво число a (по-голямо от нула) с рационален показател r = (m/n), където m е някакво цяло число, n е някакво естествено число по-голямо от едно, позвъни на номера n√(a m). Въз основа на определението: a (m/n) = n√(a m).

За всички положителни r ще се определи степента на нула. По дефиниция 0 r = 0. Отбележете също, че за всяко цяло число, всяко естествено m и n и положително Авярно е следното равенство: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Например: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

От дефиницията на степен с рационален показател пряко следва, че за всяко положително a и всяко рационално r числото a r ще бъде положителен.

Основни свойства на степен с рационален показател

За всякакви рационални числа p, q и всяко a>0 и b>0 следните равенства са верни:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Тези свойства следват от свойствата на корените. Всички тези свойства се доказват по подобен начин, така че ще се ограничим до доказването само на едно от тях, например първото (a p)*(a q) = a (p + q) .

Нека p = m/n и q = k/l, където n, l са някои естествени числа, а m, k са някои цели числа. След това трябва да докажете, че:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Първо, нека редуцираме дробите m/n k/l до общ знаменател. Получаваме дробите (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Да пренапишем лявата странаравенство, използвайки тези обозначения, получаваме:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Израз от формата a (m/n), където n е малко естествено число, m е някакво цяло число и основа на степен a, по-голяма от нула, наречена степен с дробен показател.Освен това е вярно следното равенство. n√(a m) = a (m/n) .

Както вече знаем, числата от вида m/n, където n е някакво естествено число, а m е някакво цяло число, се наричат ​​дробни или рационални числа. От всичко по-горе получаваме, че степента е дефинирана за всеки рационален показател и всяка положителна основа на степента.

За всяко рационално числата p,qи за всяко a>0 и b>0 са верни следните равенства:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p):(b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Тези свойства се използват широко при преобразуване на различни изрази, които съдържат степени с дробни показатели.

Примери за преобразуване на изрази, съдържащи степени с дробен показател

Нека да разгледаме няколко примера, които демонстрират как тези свойства могат да се използват за трансформиране на изрази.

1. Пресметнете 7 (1/4) * 7 (3/4) .

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Пресметнете 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Изчислете (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Пресметнете 24 (2/3) .

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Пресметнете (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Опростете израза ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Изчислете (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Опростете израза

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 +a - (1-a) = 2*a.

Както можете да видите, като използвате тези свойства, можете значително да опростите някои изрази, които съдържат степени с дробни показатели.