Ученик от 10 клас Юрий Котовчихин

Учениците започват да изучават уравнения с модули още в 6-ти клас; те усвояват метода на стандартното решение с помощта на разлагане на модули върху интервали с постоянен знак на подмодулни изрази. Избрах точно тази тема, защото смятам, че тя изисква по-задълбочено и задълбочено изучаване, проблемите с модула създават големи затруднения на студентите. IN училищна програмаИма задачи, съдържащи модул, като задачи с повишена сложност на изпитите, следователно трябва да сме готови да срещнем такава задача.

Изтегляне:

Преглед:

Общинска учебно заведение

Средно средно училище №5

Изследователска работа по темата:

« Алгебрични и графични решения на уравнения и неравенства, съдържащи модул»

Завършена работа:

ученик от 10 клас

Котовчихин Юрий

ръководител:

Учител по математика

Шанта Н.П.

Урюпинск

1. Въведение………………………………………………………….3

2. Понятия и дефиниции…………………………………….5

3. Доказателство на теореми…………………………………………..6

4. Методи за решаване на уравнения, съдържащи модула……………7

4.1 Решение, използващо зависимости между числата a и b, техните модули и квадрати…………………………………………………………………12

4.2. Използване на геометрична интерпретация на модула за решаване на уравнения……………………………………………………………..14

4.3.Графики на най-простите функции, съдържащи знака на абсолютната стойност.

………………………………………………………………………15

4.4.Решаване на нестандартни уравнения, съдържащи модул....16

5. Заключение………………………………………………………….17

6. Списък на използваната литература……………………………18

Цел на работата: учениците започват да изучават уравнения с модули от 6-ти клас; Избрах точно тази тема, защото смятам, че тя изисква по-задълбочено и задълбочено изучаване, проблемите с модула създават големи затруднения на студентите. В училищната програма има задачи, съдържащи модул, като задачи с повишена сложност и на изпити, следователно трябва да сме подготвени да срещнем такава задача.

1. Въведение:

Думата "модул" идва от латинската дума "modulus", което означава "мярка". Това е многозначна дума (омоним), която има много значения и се използва не само в математиката, но и в архитектурата, физиката, технологиите, програмирането и други точни науки.

В архитектурата това е първоначалната мерна единица, установена за дадена архитектурна структура и използвана за изразяване на множество съотношения на нейните съставни елементи.

В технологиите това е термин, използван в различни областитехнология, която няма универсално значение и служи за обозначаване на различни коефициенти и величини, например модул на зацепване, модул на еластичност и др.

Обемният модул (във физиката) е съотношението на нормалното напрежение в материала към относителното удължение.

2. Понятия и определения

Модулът - абсолютната стойност - на реално число A се означава с |A|.

Да учи задълбочено тази тема, трябва да се запозная с най-простите определения, които ще ми трябват:

Уравнението е равенство, съдържащо променливи.

Уравнение с модул е ​​уравнение, съдържащо променлива под знака за абсолютна стойност (под знака за модул).

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или доказване, че няма корени.

3. Доказателство на теореми

Теорема 1. Абсолютна стойностна реално число е равно на по-голямото от двете числа a или -a.

Доказателство

1. Ако числото a е положително, тогава -a е отрицателно, т.е

Например числото 5 е положително, след това -5 е отрицателно и -5

В този случай |a| = a, т.е. |a| съвпада с по-голямото от две числа a и - a.

2. Ако a е отрицателно, тогава -a е положително и a

Последица. От теоремата следва, че |-a| = |a|.

Всъщност и двете и са равни на по-голямото от числата -a и a, което означава, че са равни едно на друго.

Теорема 2. Абсолютната стойност на всяко реално число a е равна на аритметиката корен квадратенот А 2 .

Всъщност, ако тогава, по дефиниция на модула на число, ще имаме lАl>0 От друга страна, за A>0 това означава |a| = √A 2

Ако a 2

Тази теорема дава възможност за замяна на |a| при решаване на някои задачи. на

Геометрично |a| означава разстоянието на координатната линия от точката, представляваща числото a, до началото.

Ако тогава на координатната права има две точки a и -a, равноотдалечени от нулата, чиито модули са равни.

Ако a = 0, то на координатната права |a| представена от точка 0

4. Методи за решаване на уравнения, съдържащи модул.

За решаване на уравнения, съдържащи знака на абсолютната стойност, ще разчитаме на дефиницията на модула на числото и свойствата на абсолютната стойност на числото. Ще решим няколко примера по различни начини и ще видим кой метод е по-лесен за решаване на уравнения, съдържащи модул.

Пример 1. Нека решим аналитично и графично уравнението |x + 2| = 1.

Решение

Аналитично решение

1-ви метод

Ще разсъждаваме въз основа на определението за модул. Ако изразът под модула е неотрицателен, т.е. x + 2 ≥0, тогава той ще „излезе“ от под знака за модул със знак плюс и уравнението ще приеме формата: x + 2 = 1. Ако стойността на израза под знака за модул е ​​отрицателна, тогава по дефиниция тя ще бъде равна на: или x + 2=-1

Така получаваме или x + 2 = 1, или x + 2 = -1. Решавайки получените уравнения, намираме: X+2=1 или X+2+-1

X=-1 X=3

Отговор: -3;-1.

Сега можем да заключим: ако модулът на някакъв израз е равен на положително реално число a, тогава изразът под модула е или a, или -a.

Графично решение

Един от начините за решаване на уравнения, съдържащи модул, е графичният метод. Същността на този метод е да се изградят графики на тези функции. Ако графиките се пресичат, пресечните точки на тези графики ще бъдат корените на нашето уравнение. Ако графиките не се пресичат, можем да заключим, че уравнението няма корени. Този метод вероятно се използва по-рядко от други за решаване на уравнения, съдържащи модул, тъй като, първо, отнема много време и не винаги е рационален, и, второ, резултатите, получени при начертаване на графики, не винаги са точни.

Друг начин за решаване на уравнения, съдържащи модул, е да разделите числовата линия на интервали. В този случай трябва да разделим числовата линия, така че чрез дефиницията на модула знакът на абсолютната стойност на тези интервали да може да бъде премахнат. След това за всеки от интервалите ще трябва да решим това уравнение и да направим заключение относно получените корени (независимо дали те удовлетворяват нашия интервал или не). Корените, които отговарят на пропуските, ще дадат окончателния отговор.

2-ри метод

Нека установим при какви стойности на x модулът е равен на нула: |X+2|=0, X=2

Получаваме два интервала, на всеки от които решаваме уравнението:

Получаваме две смесени системи:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Нека решим всяка система:

X=-3 X=-1

Отговор: -3;-1.

Графично решение

y= |X+2|, y= 1.

Графично решение

За да решите уравнението графично, трябва да изградите графики на функции и

За да изградим графика на функция, нека построим графика на функция - това е функция, пресичаща оста OX и оста OY в точки.

Абсцисите на пресечните точки на графиките на функцията ще дадат решения на уравнението.

Правата графика на функцията y=1 се пресича с графиката на функцията y=|x + 2| в точки с координати (-3; 1) и (-1; 1), следователно решенията на уравнението ще бъдат абсцисите на точките:

x=-3, x=-1

Отговор: -3;-1

Пример 2. Решете аналитично и графично уравнението 1 + |x| = 0,5.

Решение:

Аналитично решение

Нека трансформираме уравнението: 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Ясно е, че в този случай уравнението няма решения, тъй като по дефиниция модулът винаги е неотрицателен.

Отговор: няма решения.

Графично решение

Нека трансформираме уравнението: : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Графиката на функцията е лъчи - ъглополовящи на 1-ви и 2-ри координатни ъгли. Графиката на функцията е права линия, успоредна на оста OX и минаваща през точката -0,5 на оста OY.

Графиките не се пресичат, което означава, че уравнението няма решения.

Отговор: няма решения.

Пример 3. Решете аналитично и графично уравнението |-x + 2| = 2x + 1.

Решение:

Аналитично решение

1-ви метод

Първо трябва да зададете района приемливи стойностипроменлива. Възниква естествен въпрос: защо в предишните примери не е имало нужда да се прави това, но сега е възникнало.

Факт е, че в този пример от лявата страна на уравнението е модулът на някакъв израз, а от дясната страна не е число, а израз с променлива - това е важното обстоятелство, което отличава този пример от предишни.

Тъй като от лявата страна има модул, а от дясната страна, израз, съдържащ променлива, е необходимо да се изисква този израз да бъде неотрицателен, т.е. по този начин обхватът на валидните

модулни стойности

Сега можем да разсъждаваме по същия начин както в пример 1, когато имаше положително число от дясната страна на равенството. Получаваме две смесени системи:

(1) -X+2≥0 и (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Нека решим всяка система:

(1) е включено в интервала и е коренът на уравнението.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 не е включено в интервала и не е корен на уравнението.

Отговор: ⅓.

4.1.Решение с помощта на зависимости между числата a и b, техните модули и квадратите на тези числа.

В допълнение към методите, които дадох по-горе, има известна еквивалентност между числа и модули на дадени числа, както и между квадрати и модули на дадени числа:

|a|=|b| a=b или a=-b

A2=b2 a=b или a=-b

Оттук ние на свой ред получаваме това

|a|=|b| a 2 =b 2

Пример 4. Решете уравнението |x + 1|=|2x - 5| по два различни начина.

1. Като вземем предвид връзката (1), получаваме:

X + 1=2x - 5 или x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

Корен на първото уравнение x=6, корен на второто уравнение x=11/3

Така корените на първоначалното уравнение x 1 =6, х 2 =11/3

2. По силата на съотношението (2) получаваме

(x + 1)2=(2x - 5)2, или x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>уравнението има 2 различни корена.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

Както показва решението, корените дадено уравнениесъщо и числата 11/3 и 6

Отговор: x 1 =6, x 2 =11/3

Пример 5. Решете уравнението (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

Като вземем предвид връзката (2), получаваме, че |2x + 3|=|x - 1|, от което според примера от предишния пример (и според връзката (1)):

2x + 3=x - 1 или 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Така корените на уравнението са x1 = -4 и x2 = -0, (6)

Отговор: x1=-4, x2 =0,(6)

Пример 6. Решете уравнението |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Използвайки връзката, получаваме:

x - 6=x2 - 5x + 9 или x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.k.

==> без корени.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

Проверка: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(I)

Отговор: x 1 =1; х 2 =3

4.2. Използване на геометрична интерпретация на модула за решаване на уравнения.

Геометричният смисъл на модула на разликата между количествата е разстоянието между тях. например, геометричен смисълизрази |x - a | - дължината на отсечката от координатната ос, свързваща точките с абсцисите a и x. Превеждането на алгебричен проблем на геометричен език често позволява да се избегнат тромави решения.

Пример 7. Нека решим уравнението |x - 1| + |x - 2|=1, използвайки геометричната интерпретация на модула.

Ще разсъждаваме по следния начин: въз основа на геометричната интерпретация на модула, лявата страна на уравнението е сумата от разстоянията от някаква абсцисна точка x до две фиксирани точки с абсцисни 1 и 2. Тогава е очевидно, че всички точки с абсцисни от отсечката имат търсеното свойство, а точките, разположени извън тази отсечка - не. Оттук и отговорът: множеството от решения на уравнението е отсечката.

отговор:

Пример8. Нека решим уравнението |x - 1| - |x - 2|=1 1 с помощта на геометричната интерпретация на модула.

Ще разсъждаваме подобно на предишния пример и ще открием, че разликата в разстоянията до точки с абсцисите 1 и 2 е равна на единица само за точки, разположени на координатната ос вдясно от числото 2. Следователно решението на това уравнение няма да бъде отсечката, затворена между точки 1 и 2, и лъчът, излизащ от точка 2 и насочен в положителната посока на оста OX.

Отговор: (1;+), тогава правата y=a пресича графиката на уравнение (1) в една точка. Ще намерим абсцисата на тази точка, когато решаваме уравнението за x.

Така в този интервал уравнение (1) има решение.

Ако a , тогава правата y=a пресича графиката на уравнение (1) в две точки. Абсцисите на тези точки могат да бъдат намерени от уравненията и получаваме

И.

Ако a , тогава правата y=a не пресича графиката на уравнение (1), следователно няма решения.

отговор:

Ако  (-;-1](1;+), тогава;

Ако a  , тогава ;

Ако a  , тогава няма решения.

II. Намерете всички стойности на параметъра a, за които уравнението има три различни корена.

Решение.

След като пренапишете уравнението във формуляра и разгледате двойка функции, можете да забележите, че желаните стойности на параметъра a и само те ще съответстват на онези позиции на графиката на функцията, в които има точно три точки на пресичане с функционална графика.

В координатната система xOy ще построим графика на функцията). За да направим това, можем да го представим във формата и след като разгледахме четири възникващи случая, записваме тази функция във формата

Тъй като графиката на функция е права линия, която има ъгъл на наклон към оста Ox, равен на и пресича оста Oy в точка с координати (0, a), заключаваме, че трите посочени пресечни точки могат да бъдат получени само в случай, че тази права докосва графиката на функцията. Следователно намираме производната

Отговор: .

III. Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата от уравнения

има решения.

Решение.

От първото уравнение на системата получаваме при Следователно това уравнение дефинира семейство от „полупараболи“ - десните клонове на параболата се „плъзгат“ с върховете си по абсцисната ос.

Нека изберем от лявата страна на второто уравнение перфектни квадратии го разложете на фактори

Множеството от точки на равнината, удовлетворяващи второто уравнение, са две прави линии

Нека разберем при какви стойности на параметъра a крива от семейството на „полупараболите“ има поне една обща точка с една от получените прави линии.

Ако върховете на полупараболите са вдясно от точка A, но вляво от точка B (точка B съответства на върха на „полупараболата“, който докосва

права линия), тогава разглежданите графики нямат общи точки. Ако върхът на "полупараболата" съвпада с точка А, тогава.

Определяме случая на „полупарабола“, докосваща права от условието за съществуване на уникално решение на системата

В този случай уравнението

има един корен, откъдето намираме:

Следователно оригиналната система няма решения при, но при или има поне едно решение.

Отговор: a  (-;-3] (;+).

IV. Решете уравнението

Решение.

Използвайки равенство, дадено уравнениенека го пренапишем във формата

Това уравнение е еквивалентно на системата

Пренаписваме уравнението във формата

. (*)

Последното уравнение е най-лесно за решаване с помощта на геометрични съображения. Нека построим графики на функциите и От графиката следва, че графиките не се пресичат и следователно уравнението няма решения.

Ако, тогава, когато графиките на функциите съвпадат и следователно всички стойности са решения на уравнение (*).

Когато графиките се пресичат в една точка, чиято абциса е. Така, когато уравнение (*) има единствено решение - .

Нека сега проучим при какви стойности на a намерените решения на уравнение (*) ще удовлетворят условията

Нека бъде тогава. Системата ще приеме формата

Неговото решение ще бъде интервалът x (1;5). Имайки предвид това, можем да заключим, че ако оригиналното уравнение е удовлетворено от всички стойности на x от интервала, първоначалното неравенство е еквивалентно на true числено неравенство 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Върху интеграла (1;+∞) отново получаваме линейното неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Въпреки това, същият резултат може да се получи от визуални и в същото време строги геометрични съображения. Фигура 7 показва графиките на функциите:г= f( х)=| х-1|+| х+1| иг=4.

Фигура 7.

На интегралната (-2;2) графика на функциятаг= f(х) се намира под графиката на функцията y=4, което означава, че неравенствотоf(х)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Неравенства с параметри.

Решаването на неравенства с един или повече параметри като правило е по-сложна задача в сравнение със задача, в която няма параметри.

Например неравенството √a+x+√a-x>4, което съдържа параметъра a, естествено изисква много повече усилия за решаване от неравенството √1+x + √1-x>1.

Какво означава да се реши първото от тези неравенства? Това по същество означава решаване не само на едно неравенство, а на цял клас, цял набор от неравенства, които се получават, ако дадем на параметъра конкретни числени стойности. Второто от написаните неравенства е частен случай на първото, тъй като се получава от него със стойност a = 1.

По този начин да се реши неравенство, съдържащо параметри, означава да се определи при какви стойности на параметрите неравенството има решения и за всички такива стойности на параметри да се намерят всички решения.

Пример1:

Решете неравенството |x-a|+|x+a|< b, а<>0.

За да решим това неравенство с два параметъраа u bНека използваме геометрични съображения. Фигури 8 и 9 показват графиките на функциите.

Y= f(х)=| х- а|+| х+ а| u г= b.

Очевидно е, че когатоb<=2| а| правг= bне преминава над хоризонталния сегмент на криватаг=| х- а|+| х+ а| и следователно неравенството в този случай няма решения (Фигура 8). Акоb>2| а|, след това линиятаг= bпресича графиката на функцияг= f(х) в две точки (-b/2; b) u (b/2; b)(Фигура 6) и неравенството в този случай е валидно за –b/2< х< b/2, тъй като за тези стойности на променливата криватаг=| х+ а|+| х- а| разположен под правата линияг= b.

Отговор: Акоb<=2| а| , тогава няма решения,

Акоb>2| а|, тогавах €(- b/2; b/2).

III) Тригонометрични неравенства:

При решаване на неравенства с тригонометрични функции основно се използва периодичността на тези функции и тяхната монотонност на съответните интервали. Най-простите тригонометрични неравенства. функциягрях хима положителен период от 2π. Следователно неравенства от вида:sin x>a, sin x>=a,

грях х

Достатъчно е първо да се реши някакъв сегмент с дължина 2π . Получаваме множеството от всички решения, като добавяме към всяко от решенията, намерени на този сегмент, числа от формата 2π p, pЄЗ.

Пример 1: Решете неравенствогрях х>-1/2. (Фигура 10)

Първо, нека решим това неравенство в интервала [-π/2;3π/2]. Нека го разгледаме лявата страна– сегмент [-π/2;3π/2]. Тук е уравнениетогрях х=-1/2 има едно решение x=-π/6; и функциятагрях хнараства монотонно. Това означава, че ако –π/2<= х<= -π/6, то грях х<= грях(- π /6)=-1/2, т.е. тези стойности на x не са решения на неравенството. Ако –π/6<х<=π/2 то грях х> грях(-π/6) = –1/2. Всички тези стойности на x не са решения на неравенството.

На останалия сегмент [π/2;3π/2] функциятагрях хуравнението също намалява монотонногрях х= -1/2 има едно решение x=7π/6. Следователно, ако π/2<= х<7π/, то грях х> грях(7π/6)=-1/2, т.е. всички тези стойности на x са решения на неравенството. ЗахИмамегрях х<= грях(7π/6)=-1/2, тези x стойности не са решения. Така множеството от всички решения на това неравенство в интервала [-π/2;3π/2] е интегралът (-π/6;7π/6).

Поради периодичността на функциятагрях хс период от 2π стойности на x от всеки интеграл от вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄЗ, също са решения на неравенството. Никакви други стойности на x не са решения на това неравенство.

Отговор: -π/6+2πп< х<7π/6+2π п, КъдепЄ З.

Заключение

Разгледахме графичния метод за решаване на уравнения и неравенства; Разгледахме конкретни примери, чието решение използва такива свойства на функции като монотонност и паритет.Анализът на научната литература и учебниците по математика позволи да се структурира избраният материал в съответствие с целите на изследването, да се изберат и разработят ефективни методи за решаване на уравнения и неравенства. В статията е представен графичен метод за решаване на уравнения и неравенства и примери, в които се използват тези методи. Резултатът от проекта може да се счита за творчески задачи, като помощен материал за развиване на умение за решаване на уравнения и неравенства с помощта на графичния метод.

Списък на използваната литература

Dalinger V. A. „Геометрията помага на алгебрата.“ Издателство “Училище – Прес”. Москва 1996 г

Далингер В. А. „Всичко за осигуряване на успех на финалните и приемните изпити по математика.“ Издателство на Омския педагогически университет. Омск 1995г

Окунев А. А. “Графично решение на уравнения с параметри.” Издателство “Училище - Прес”. Москва 1986 г

Писменски Д. Т. „Математика за гимназисти“. Издателство "Ирис". Москва 1996 г

Yastribinetsky G. A. “Уравнения и неравенства, съдържащи параметри.” Издателство "Просвещение". Москва 1972 г

Г. Корн и Т. Корн „Наръчник по математика“. Издателство “Наука” физико-математическа литература. Москва 1977 г

Амелкин В. В. и Рабцевич В. Л. „Проблеми с параметри“. Издателство “Асар”. Минск 1996г

Интернет ресурси

Л. А. Кустова

учител по математика

Воронеж, МБОУ лицей № 5

Проект

„Предимства графичен методрешаване на уравнения и неравенства.”

клас:

7-11

Артикул:

Математика

Цел на изследването:

Разберетепредимствата на графичния метод за решаване на уравнения и неравенства.

Хипотеза:

Някои уравнения и неравенства са по-лесни и по-естетически приятни за решаване графично.

Етапи на изследване:

Сравнете аналитични и графични методи за решаванеуравнения и неравенства.

Разберете в какви случаи графичният метод има предимства.

Помислете за решаване на уравнения с модул и параметър.

Резултати от изследването:

1. Красотата на математиката е философски проблем.

2.При решаване на някои уравнения и неравенства, графично решениенай-практичен и привлекателен.

3. Можете да приложите привлекателността на математиката в училище с помощта на графично решениеуравнения и неравенства.

„Математическите науки са привличали специално внимание от древни времена,

В момента те са получили още по-голям интерес към влиянието си върху изкуството и индустрията.

Пафнутий Лвович Чебишев.

Започвайки от 7 клас, се разглеждат различни методи за решаване на уравнения и неравенства, включително графични. Тези, които смятат, че математиката е суха наука, мисля, че променят мнението си, когато видят колко красиво могат да бъдат решени някои видовеуравнения и неравенства. Нека ви дам няколко примера:

1). Решете уравнението: = .

Можете да го решите аналитично, тоест да повдигнете двете страни на уравнението на трета степен и така нататък.

Графичният метод е удобен за това уравнение, ако просто трябва да посочите броя на решенията.

Подобни задачи често се срещат при решаването на блока „геометрия“ на OGE за 9 клас.

2). Решете уравнението с параметъра:

││ х│- 4│= а

Не е най-сложният пример, но ако го решите аналитично, ще трябва да отворите модулните скоби два пъти и за всеки случай да разгледате възможните стойности на параметъра. Графично всичко е много просто. Начертаваме функционални графики и виждаме, че:

източници:

Компютърна програмаРазширена графика .

Един от най-удобните методи за решаване на квадратни неравенства е графичният метод. В тази статия ще разгледаме как квадратните неравенства се решават графично. Първо, нека обсъдим каква е същността на този метод. След това ще представим алгоритъма и ще разгледаме примери за решаване на квадратни неравенства графично.

Навигация в страницата.

Същността на графичния метод

Изобщо графичен метод за решаване на неравенствас една променлива се използва не само за решаване на квадратни неравенства, но и на други видове неравенства. Същността на графичния метод за решаване на неравенстваследващ: разгледайте функциите y=f(x) и y=g(x), които съответстват на лявата и дясната страна на неравенството, изградете техните графики в една правоъгълна координатна система и разберете на какви интервали е графиката на една от те са по-ниски или по-високи от другите. Тези интервали, където

• графиката на функцията f над графиката на функцията g са решения на неравенството f(x)>g(x) ;
• графиката на функцията f не по-ниска от графиката на функцията g са решения на неравенството f(x)≥g(x) ;
• графиката на f под графиката на g са решения на неравенството f(x)
• графиката на функция f не по-висока от графиката на функция g са решения на неравенството f(x)≤g(x) .

Ще кажем още, че абсцисите на пресечните точки на графиките на функциите f и g са решения на уравнението f(x)=g(x) .

Нека прехвърлим тези резултати към нашия случай - да решим квадратното неравенство a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Въвеждаме две функции: първата y=a x 2 +b x+c (с f(x)=a x 2 +b x+c), съответстваща на лявата страна на квадратното неравенство, втората y=0 (с g ( x)=0 ) съответства на дясната страна на неравенството. График квадратична функция f е парабола и графиката постоянна функция g – права, съвпадаща с абсцисната ос Ox.

След това, според графичния метод за решаване на неравенства, е необходимо да се анализира на какви интервали графиката на една функция се намира над или под друга, което ще ни позволи да запишем желаното решение на квадратното неравенство. В нашия случай трябва да анализираме позицията на параболата спрямо оста Ox.

В зависимост от стойностите на коефициентите a, b и c са възможни следните шест варианта (за нашите нужди е достатъчно схематично представяне и не е необходимо да изобразяваме оста Oy, тъй като нейната позиция не влияе на решения на неравенството):

На този чертеж виждаме парабола, чиито клонове са насочени нагоре и която пресича оста Ox в две точки, чиито абциси са x 1 и x 2. Този чертеж съответства на опцията, когато коефициентът a е положителен (той отговаря за посоката нагоре на клоните на параболата) и когато стойността е положителна дискриминант на квадратен трином a x 2 +b x+c (в този случай тричленът има два корена, които означихме като x 1 и x 2 и приехме, че x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

За по-голяма яснота, нека изобразим в червено частите на параболата, разположени над оста x, а в синьо - тези, разположени под оста x.


Сега нека разберем кои интервали съответстват на тези части. Следният чертеж ще ви помогне да ги идентифицирате (в бъдеще ще правим подобни селекции под формата на правоъгълници мислено):


Така че на абсцисната ос два интервала (−∞, x 1) и (x 2 , +∞) бяха подчертани в червено, върху тях параболата е над оста Ox, те представляват решение на квадратното неравенство a x 2 +b x +c>0 , а интервалът (x 1 , x 2) е маркиран в синьо, има парабола под оста Ox, тя представлява решението на неравенството a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А сега накратко: за a>0 и D=b 2 −4 a c>0 (или D"=D/4>0 за четен коефициент b)

• решението на квадратното неравенство a x 2 +b x+c>0 е (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) или в друга нотация x x2;
• решението на квадратното неравенство a x 2 +b x+c≥0 е (−∞, x 1 ]∪ или в друга нотация x 1 ≤x≤x 2,

където x 1 и x 2 са корените на квадратния трином a x 2 +b x+c и x 1


Тук виждаме парабола, чиито клонове са насочени нагоре и която докосва абсцисната ос, т.е. има една обща точка с нея, означаваме абсцисата на тази точка като x 0. Представеният случай съответства на a>0 (клоните са насочени нагоре) и D=0 (квадратният трином има един корен x 0). Например, можете да вземете квадратичната функция y=x 2 −4·x+4, тук a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 и x 0 =2.

Чертежът ясно показва, че параболата е разположена над оста Ox навсякъде, с изключение на точката на контакт, тоест в интервалите (−∞, x 0), (x 0, ∞). За по-голяма яснота, нека подчертаем областите в чертежа по аналогия с предишния параграф.


Правим изводи: за a>0 и D=0

• решението на квадратното неравенство a·x 2 +b·x+c>0 е (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) или в друга нотация x≠x 0;
• решението на квадратното неравенство a·x 2 +b·x+c≥0 е (−∞, +∞) или в друга нотация x∈R ;
• квадратно неравенство a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратното неравенство a x 2 +b x+c≤0 има единствено решение x=x 0 (дадено е от точката на допиране),

където x 0 е коренът на квадратния трином a x 2 + b x + c.


В този случай клоните на параболата са насочени нагоре и тя няма общи точки с абсцисната ос. Тук имаме условията a>0 (клоните са насочени нагоре) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно параболата е разположена над оста Ox по цялата си дължина (няма интервали, в които да е под оста Ox, няма точка на допиране).


Така за a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a x 2 +b x+c≥0 е множеството от всички реални числа и неравенствата a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

И остават три варианта за местоположението на параболата с клони, насочени надолу, а не нагоре, спрямо оста Ox. По принцип те не трябва да се разглеждат, тъй като умножаването на двете страни на неравенството по −1 ни позволява да стигнем до еквивалентно неравенство с положителен коефициент за x 2. Но все пак не пречи да добиете представа за тези случаи. Разсъжденията тук са подобни, така че ще запишем само основните резултати.

Алгоритъм за решение

Резултатът от всички предишни изчисления е алгоритъм за графично решаване на квадратни неравенства:

включено координатна равнинаправи се схематичен чертеж, който показва оста Ox (не е необходимо да се изобразява оста Oy) и скица на парабола, съответстваща на квадратичната функция y=a·x 2 +b·x+c. За да нарисувате скица на парабола, достатъчно е да разберете две неща:

• Първо, чрез стойността на коефициента a се определя накъде са насочени неговите клонове (за a>0 - нагоре, за a<0 – вниз).
• И второ, въз основа на стойността на дискриминанта на квадратния трином a x 2 + b x + c се определя дали параболата пресича абсцисната ос в две точки (за D>0), докосва я в една точка (за D= 0), или няма общи точки с оста Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Когато чертежът е готов, използвайте го във втората стъпка от алгоритъма

  • при решаване на квадратното неравенство a·x 2 +b·x+c>0 се определят интервалите, на които параболата е разположена над абсцисата;
  • при решаване на неравенството a·x 2 +b·x+c≥0 се определят интервалите, на които параболата е разположена над абсцисната ос и се добавят абсцисите на пресечните точки (или абсцисата на допирателната точка) тях;
  • при решаване на неравенството a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • накрая, при решаване на квадратно неравенство от вида a·x 2 +b·x+c≤0 се намират интервали, в които параболата е под оста Ox и абсцисата на пресечните точки (или абсцисата на допирателната точка ) се добавя към тях;

  те представляват желаното решение на квадратното неравенство и ако няма такива интервали и точки на допиране, тогава първоначалното квадратно неравенство няма решения.

Всичко, което остава, е да се решат няколко квадратни неравенства с помощта на този алгоритъм.

Примери с решения

Пример.

Решете неравенството .

Решение.

Трябва да решим квадратно неравенство, нека използваме алгоритъма от предишния параграф. В първата стъпка трябва да скицираме графиката на квадратичната функция . Коефициентът на x 2 е равен на 2, той е положителен, следователно клоновете на параболата са насочени нагоре. Нека също да разберем дали параболата има общи точки с оста x; за да направим това, ще изчислим дискриминанта на квадратния трином . Имаме . Дискриминантът се оказа по-голям от нула, следователно триномът има два реални корена: и , тоест x 1 =−3 и x 2 =1/3.

От това става ясно, че параболата пресича оста Ox в две точки с абсциси −3 и 1/3. Ще изобразим тези точки на чертежа като обикновени точки, тъй като решаваме нестрого неравенство. Въз основа на изяснените данни получаваме следния чертеж (той отговаря на първия шаблон от първия параграф на статията):

Да преминем към втората стъпка от алгоритъма. Тъй като решаваме нестрого квадратно неравенство със знак ≤, трябва да определим интервалите, на които параболата е разположена под абсцисната ос и да добавим към тях абсцисите на пресечните точки.

От чертежа се вижда, че параболата е под оста x на интервала (−3, 1/3) и към нея добавяме абсцисите на пресечните точки, тоест числата −3 и 1/3. В резултат на това стигаме до числовия интервал [−3, 1/3] . Това е решението, което търсим. Може да се запише като двойно неравенство −3≤x≤1/3.

отговор:

[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3.

Пример.

Намерете решението на квадратното неравенство −x 2 +16 x−63<0 .

Решение.

Както обикновено, започваме с рисунка. Численият коефициент за квадрата на променливата е отрицателен, −1, следователно клоновете на параболата са насочени надолу. Нека изчислим дискриминанта или още по-добре четвъртата му част: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Стойността му е положителна, нека изчислим корените на квадратния трином: и , x 1 =7 и x 2 =9. Така че параболата пресича оста Ox в две точки с абсцисите 7 и 9 (първоначалното неравенство е строго, така че ще изобразим тези точки с празен център. Сега можем да направим схематичен чертеж).

Тъй като решаваме строго квадратно неравенство със знак<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Чертежът показва, че решенията на първоначалното квадратно неравенство са два интервала (−∞, 7) , (9, +∞) .

отговор:

(−∞, 7)∪(9, +∞) или в друга нотация x<7 , x>9 .

Когато решавате квадратни неравенства, когато дискриминантът на квадратен трином от лявата му страна е нула, трябва да внимавате да включите или изключите абсцисата на допирателната точка от отговора. Това зависи от знака на неравенството: ако неравенството е строго, то не е решение на неравенството, но ако не е строго, тогава е.

Пример.

Квадратното неравенство 10 x 2 −14 x+4,9≤0 има ли поне едно решение?

Решение.

Нека начертаем функцията y=10 x 2 −14 x+4,9. Неговите клонове са насочени нагоре, тъй като коефициентът на x 2 е положителен и докосва абсцисната ос в точката с абсцисата 0,7, тъй като D"=(−7) 2 −10 4,9=0, откъдето или 0,7 във формата на десетична дроб Схематично това изглежда така:

Тъй като решаваме квадратно неравенство със знак ≤, неговото решение ще бъде интервалите, на които параболата е под оста Ox, както и абсцисата на допирателната точка. От чертежа става ясно, че няма нито една празнина, където параболата да е под оста Ox, така че нейното решение ще бъде само абсцисата на допирателната точка, тоест 0,7.

отговор:

това неравенство има уникално решение 0.7.

Пример.

Решете квадратното неравенство –x 2 +8 x−16<0 .

Решение.

Следваме алгоритъма за решаване на квадратни неравенства и започваме с построяване на графика. Клоните на параболата са насочени надолу, тъй като коефициентът на x 2 е отрицателен, −1. Нека намерим дискриминанта на квадратния трином –x 2 +8 x−16, който имаме D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0и по-нататък x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . И така, параболата докосва оста Ox в абсцисната точка 4. Да направим чертежа:

Гледаме знака на първоначалното неравенство, той е там<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

В нашия случай това са отворени лъчи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отделно отбелязваме, че 4 - абсцисата на точката на контакт - не е решение, тъй като в точката на контакт параболата не е по-ниска от оста Ox.

отговор:

(−∞, 4)∪(4, +∞) или в друга нотация x≠4 .

Обърнете специално внимание на случаите, когато дискриминантът на квадратния трином от лявата страна на квадратното неравенство е по-малък от нула. Тук няма нужда да бързаме и да казваме, че неравенството няма решения (свикнали сме да правим такова заключение за квадратни уравнения с отрицателен дискриминант). Въпросът е, че квадратното неравенство за D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Пример.

Намерете решението на квадратното неравенство 3 x 2 +1>0.

Решение.

Както обикновено, започваме с рисунка. Коефициентът a е 3, той е положителен, следователно клоните на параболата са насочени нагоре. Изчисляваме дискриминанта: D=0 2 −4·3·1=−12 . Тъй като дискриминантът е отрицателен, параболата няма общи точки с оста Ox. Получената информация е достатъчна за схематична графика:

Решаваме строго квадратно неравенство със знак >. Неговото решение ще бъдат всички интервали, в които параболата е над оста Ox. В нашия случай параболата е над оста x по цялата си дължина, така че желаното решение ще бъде множеството от всички реални числа.

Ox , а също и към тях трябва да добавите абсцисата на точките на пресичане или абсцисата на точката на допиране. Но от чертежа ясно се вижда, че няма такива интервали (тъй като параболата е навсякъде под абсцисната ос), както няма пресечни точки, както няма и допирателни точки. Следователно първоначалното квадратно неравенство няма решения.

отговор:

няма решения или в друг запис ∅.

Референции.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра и начала математически анализ. 11 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО

ИНСТИТУТ ЗА РАЗВИТИЕ НА ОБРАЗОВАНИЕТО

“Графични методи за решаване на уравнения и неравенства с параметри”

Завършено

учител по математика

Общинско учебно заведение средно училище №62

Липецк 2008 г

ВЪВЕДЕНИЕ ................................................. ......................................................... ............. .3

X;при) 4

1.1. Паралелен трансфер................................................. ......................... 5

1.2. Завъртете................................................. ................................................. ...... 9

1.3. Хомотетия. Компресия към права линия ............................................. ..... ................. 13

1.4. Две прави в една равнина..................................... ......... 15

2. ГРАФИЧНИ ТЕХНИКИ. КООРДИНАТНА РАВНИНА ( X;А) 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................. ............................................ 20

БИБЛИОГРАФСКИ СПИСЪК ................................................ .................. 22

ВЪВЕДЕНИЕ

Проблемите, които учениците имат при решаването на нестандартни уравнения и неравенства, се дължат както на относителната сложност на тези задачи, така и на факта, че училището по правило се фокусира върху решаването на стандартни проблеми.

Много ученици възприемат параметъра като „обикновено“ число. Наистина, в някои задачи даден параметър може да се счита за постоянна стойност, но тази постоянна стойност приема неизвестни стойности! Следователно е необходимо да се разгледа проблема за всички възможни стойности на тази константа. В други проблеми може да е удобно изкуствено да декларирате едно от неизвестните като параметър.

Други ученици третират параметър като неизвестна величина и, без да се притесняват, могат да изразят параметъра по отношение на променлива в своя отговор X.

На матурите и приемните изпити има основно два вида задачи с параметри. Можете веднага да ги различите по думите им. Първо: „За всяка стойност на параметър намерете всички решения на някакво уравнение или неравенство.“ Второ: „Намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които са изпълнени определени условия за дадено уравнение или неравенство.“ Съответно отговорите на задачи от тези два вида се различават по същество. Отговорът на задача от първия тип изброява всички възможни стойности на параметъра и за всяка от тези стойности са написани решенията на уравнението. Отговорът на задача от втори тип показва всички стойности на параметрите, при които са изпълнени условията, посочени в проблема.

Решението на уравнение с параметър за дадена фиксирана стойност на параметъра е такава стойност на неизвестното, при заместването му в уравнението последното се превръща в правилно числово равенство. Аналогично се определя и решението на неравенство с параметър. Решаването на уравнение (неравенство) с параметър означава за всяка допустима стойност на параметъра намиране на множеството от всички решения на дадено уравнение (неравенство).

1. ГРАФИЧНИ ТЕХНИКИ. КООРДИНАТНА РАВНИНА ( X;при)

Наред с основните аналитични техники и методи за решаване на проблеми с параметри, има начини за използване на визуални и графични интерпретации.

В зависимост от ролята на параметъра в проблема (неравен или равен на променливата), могат да се разграничат съответно две основни графични техники: първата е изграждането на графично изображение в координатната равнина (X;y),вторият - на (X; А).

В равнината (x; y) функцията y =f (X; а)дефинира семейство от криви в зависимост от параметъра А.Ясно е, че всяко семейство fима определени свойства. Ще се интересуваме преди всичко какъв вид равнинна трансформация (паралелна транслация, ротация и т.н.) може да се използва за преминаване от една крива на семейството към друга. На всяка от тези трансформации ще бъде посветен отделен параграф. Струва ни се, че такава класификация улеснява решаващия да намери необходимото графично изображение. Имайте предвид, че при този подход идеологическата част на решението не зависи от това коя фигура (права линия, кръг, парабола и т.н.) ще бъде член на семейството на кривите.

Разбира се, графичният образ на семейството не винаги е такъв y =f (X;а)описано чрез проста трансформация. Следователно в такива ситуации е полезно да се съсредоточите не върху това как са свързани кривите от едно и също семейство, а върху самите криви. С други думи, можем да различим друг тип проблеми, при които идеята за решение се основава предимно на свойствата на конкретни геометрични форми, а не на семейството като цяло. Какви фигури (по-точно семейства от тези фигури) ще ни интересуват преди всичко? Това са прави линии и параболи. Този избор се дължи на специалното (базово) положение на линейните и квадратичните функции в училищната математика.

Говорейки за графични методи, е невъзможно да се избегне един проблем, „роден“ от практиката на конкурсните изпити. Имаме предвид въпроса за строгостта и следователно за законността на решение, основано на графични съображения. Несъмнено от формална гледна точка резултатът, взет от „картината“, неподкрепен аналитично, не е получен стриктно. Кой, кога и къде обаче определя нивото на строгост, към което трябва да се придържа един гимназист? Според нас изискванията за нивото на математическа строгост на ученика трябва да се определят от здравия разум. Разбираме степента на субективност на подобна гледна точка. Освен това графичният метод е само едно от средствата за яснота. А видимостта може да бъде измамна..gif" width="232" height="28"> има само едно решение.

Решение.За удобство обозначаваме lg b = a.Нека напишем уравнение, еквивалентно на оригиналното: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Построяване на графика на функция с област на дефиниция и (фиг. 1). Получената графика е семейство от прави линии y = aтрябва да се пресичат само в една точка. Фигурата показва, че това изискване е изпълнено само когато а > 2, т.е b> 2, b> 100.

отговор. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> определете броя на решенията на уравнението .

Решение. Нека начертаем функцията 102" height="37" style="vertical-align:top">

Нека помислим. Това е права линия, успоредна на оста OX.

отговор..gif" width="41" height="20">, след това 3 решения;

ако , тогава 2 решения;

ако , 4 решения.

Да преминем към нова поредица от задачи..gif" width="107" height="27 src=">.

Решение.Нека изградим права линия при= X+1 (фиг. 3)..gif" width="92" height="57">

имат едно решение, което е еквивалентно на уравнението ( X+1)2 = x + Аимат един корен..gif" width="44 height=47" height="47"> оригиналното неравенство няма решения. Имайте предвид, че някой, който е запознат с производната, може да получи този резултат по различен начин.

След това, премествайки „полупараболата“ наляво, ще фиксираме последния момент, когато графиките при = X+ 1 и имат две общи точки (позиция III). Това споразумение се осигурява от изискването А= 1.

Ясно е, че за сегмента [ X 1; X 2], където X 1 и X 2 – абсцисите на пресечните точки на графиките, ще бъде решението на първоначалното неравенство..gif" width="68 height=47" height="47">, тогава

Когато "полупарабола" и права се пресичат само в една точка (това съответства на случая а > 1), тогава решението ще бъде отсечката [- А; X 2"], където X 2" – най-големият от корените X 1 и X 2 (позиция IV).

Пример 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . От тук получаваме .

Нека да разгледаме функциите и . Сред тях само една дефинира семейство от криви. Сега виждаме, че замяната донесе несъмнени ползи. Успоредно с това отбелязваме, че в предишния проблем, използвайки подобна замяна, можете да направите не ход „полупарабола“, а права линия. Нека се обърнем към фиг. 4. Очевидно, ако абсцисата на върха е „полупарабола“ повече от един, т.е. –3 А > 1, , тогава уравнението няма корени..gif" width="89" height="29"> и има различен характермонотонност.

отговор.Ако тогава уравнението има един корен; ако https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

има решения.

Решение.Ясно е, че директните семейства https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Значение k1ще намерим чрез заместване на двойката (0;0) в първото уравнение на системата. Оттук к1 =-1/4. Значение к 2 получаваме, като изискваме от системата

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> когато к> 0 имат един корен. Оттук k2= 1/4.

отговор. .

Нека направим една забележка. В някои примери за тази точка ще трябва да решим стандартен проблем: за семейство линии, намерете нейния наклон, съответстващ на момента на допиране с кривата. Ще ви покажем как да направите това в общ изгледизползвайки производното.

Ако (x0; г 0) = център на въртене, след това координатите (X 1; при 1) точки на допир с кривата y =f(x)може да се намери чрез решаване на системата

Необходимият наклон кравно на .

Пример 6. За какви стойности на параметъра уравнението има уникално решение?

Решение..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, дъга AB.

Всички лъчи, минаващи между OA и OB, пресичат дъгата AB в една точка и също пресичат дъгата AB OB и OM (допирателната) в една точка..gif" width="16" height="48 src=">. Фактор на наклонатангенсът е равен на . Лесно намиране от системата

И така, директни семейства https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

отговор. .

Пример 7..gif" width="160" height="25 src="> има решение?

Решение..gif" width="61" height="24 src="> и намалява с . Точката е максималната точка.

Функция е семейство от прави линии, минаващи през точката https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> е дъгата AB. Правата линии, които ще бъдат разположени между прави OA и OB, отговарят на условията на задачата..gif" width="17" height="47 src=">.

отговор..gif" width="15" height="20">няма решения.

1.3. Хомотетия. Компресия до права линия.

Пример 8.Колко решения има системата?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> системата няма решения. За фиксирана а > 0 графиката на първото уравнение е квадрат с върхове ( А; 0), (0;-А), (-а;0), (0;А).Така членовете на семейството са хомотетични квадрати (центърът на хомотетията е точката O(0; 0)).

Нека се обърнем към фиг. 8..gif" width="80" height="25"> всяка страна на квадрата има две общи точки с кръга, което означава, че системата ще има осем решения. Когато кръгът се окаже вписан в квадрата, т.е. отново ще има четири решения. Очевидно системата няма решения.

отговор.Ако А< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, тогава има четири решения; ако , тогава има осем решения.

Пример 9. Намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които уравнението е https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Помислете за функцията ..jpg" width="195" height="162">

Броят на корените ще съответства на числото 8, когато радиусът на полуокръжността е по-голям и по-малък от , т.е. Имайте предвид, че има.

отговор. или .

1.4. Две прави в равнина

По същество идеята за решаване на проблемите на този параграф се основава на въпроса за изследването относителна позициядве прави линии: и . Лесно е да се покаже решението на този проблем в обща форма. Ще се обърнем директно към конкретни типични примери, които според нас няма да причинят щети обща странавъпрос.

Пример 10.За какво a и b прави системата

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Неравенството на системата определя полуравнина с граница при= 2x– 1 (фиг. 10). Лесно е да се разбере, че получената система има решение, ако правата линия ах +по = 5пресича границата на полуравнина или, като е успореден на нея, лежи в полуравнината при– 2x + 1 < 0.

Да започнем със случая b = 0. Тогава изглежда, че уравнението о+ от = 5 определя вертикална линия, която очевидно пресича линията y = 2X - 1. Това твърдение обаче е вярно само когато ..gif" width="43" height="20 src="> системата има решения ..gif" width="99" height="48">. В този случай условието за пресичане на линии се постига при , т.е. ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> и , или и , или и https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− В координатната равнина xOa построяваме графика на функцията.

− Разгледайте правите линии и изберете онези интервали от оста Oa, на които тези прави линии удовлетворяват следните условия: а) не пресича графиката на функцията https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24"> в една точка, в) в две точки, г) в три точки и т.н.

− Ако задачата е да се намерят стойностите на x, тогава ние изразяваме x по отношение на a за всеки от намерените интервали на стойността на a поотделно.

Изгледът на параметър като равна променлива се отразява в графичните методи..jpg" width="242" height="182">

отговор. a = 0 или a = 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Надяваме се, че анализираните проблеми убедително демонстрират ефективността на предложените методи. Въпреки това, за съжаление, обхватът на приложение на тези методи е ограничен от трудностите, които могат да се срещнат при изграждането на графично изображение. Наистина ли е толкова лошо? Явно не. Наистина, с този подход до голяма степен се губи основната дидактическа стойност на задачите с параметри като модел на миниатюрно изследване. Горните съображения обаче са адресирани до учителите, а за кандидатите формулата е напълно приемлива: целта оправдава средствата. Нещо повече, нека си позволим да кажем, че в значителен брой университети съставителите на конкурентни задачи с параметри следват пътя от картината до условието.

В тези задачи обсъдихме възможностите за решаване на проблеми с параметър, които се откриват пред нас, когато начертаем графики на функции, включени в лявата и дясната страна на уравненията или неравенствата върху лист хартия. Поради факта, че параметърът може да приема произволни стойности, едната или двете от показаните графики се движат по определен начин в равнината. Можем да кажем, че се получава цяло семейство от графики, съответстващи на различни стойности на параметъра.

Нека подчертаем дебело два детайла.

Първо, не говорим за „графично“ решение. Всички стойности, координати, корени се изчисляват строго, аналитично, като решения на съответните уравнения и системи. Същото важи и за случаите на докосване или пресичане на графики. Те се определят не на око, а с помощта на дискриминанти, производни и други налични инструменти. Картината дава само решение.

Второ, дори ако не намерите никакъв начин за решаване на проблема, свързан с показаните графики, разбирането ви за проблема ще се разшири значително, ще получите информация за самопроверка и шансовете за успех ще се увеличат значително. Като си представите точно какво се случва в даден проблем, когато различни значенияпараметър, може да намерите правилния алгоритъм за решение.

Затова ще завършим тези думи с едно спешно предложение: ако дори в най-отдалечено сложния проблем има функции, за които знаете как да рисувате графики, не забравяйте да го направите, няма да съжалявате.

БИБЛИОГРАФИЧЕН СПИСЪК

1. Черкасов,: Наръчник за гимназисти и кандидати в университети [Текст] /, . – М.: АСТ-ПРЕС, 2001. – 576 с.

2. Gorshtein, с параметри [Текст]: 3-то издание, разширено и преработено / , . – М.: Илекса, Харков: Гимназия, 1999. – 336 с.