Доказаното свойство на допирателната към парабола е много важно, тъй като от него следва, че лъчите, излизащи от фокуса на вдлъбнато параболично огледало, т.е. огледало, чиято повърхност се получава от въртенето на параболата около нейната ос, са отразени от паралелен лъч, а именно успоредни огледални оси (фиг.).

Това свойство на параболичните огледала се използва в конструкцията на прожектори, във фаровете на всеки автомобил, както и в отразяващи телескопи. Освен това, в последния случай, обратно, лъчите, идващи от небесното тяло; почти успоредни, те са концентрирани близо до фокуса на огледалото на телескопа и тъй като лъчите, идващи от различни точки на осветителното тяло, са много неуспоредни, те са концентрирани близо до фокуса в различни точки, така че близо до фокуса се получава изображение на светило се получава толкова по-голямо, колкото по-голямо е фокусното разстояние на параболата. Това изображение вече се гледа през микроскоп (окуляр на телескоп). Строго погледнато, само лъчи, които са строго успоредни на оста на огледалото, се събират в една точка (фокуса), докато успоредните лъчи, които вървят под ъгъл спрямо оста на огледалото, се събират само почти в една точка и колкото по-далеч е тази точка от фокуса, толкова по-размазано е изображението. Това обстоятелство ограничава „зрителното поле на телескопа“.

Нека вътрешната му повърхност е огледална повърхност; това параболично огледало се осветява от лъч светлинни лъчи, успореден на оста на операционния усилвател. Всички лъчи, успоредни на оста на операционния усилвател, след отражение ще се пресичат в една точка на оста на операционния усилвател (фокус F). Дизайнът на параболичните телескопи се основава на това свойство. Лъчите от далечни звезди идват при нас под формата на паралелен лъч. Като направим параболичен телескоп и поставим фотографска плака във фокуса му, получаваме възможност да усилим светлинния сигнал, идващ от звездата.

Същият принцип е в основата на създаването на параболична антена, която позволява усилване на радиосигнали. Ако поставите източник на светлина във фокуса на параболично огледало, тогава след отражение от повърхността на огледалото лъчите, идващи от този източник, няма да бъдат разпръснати, а ще бъдат събрани в тесен лъч, успореден на оста на огледалото. . Този факт се използва при производството на прожектори и фенери, различни проектори, чиито огледала са направени във формата на параболоиди.

Горепосоченото оптично свойство на параболичното огледало се използва за създаване на огледални телескопи, различни слънчеви отоплителни инсталации, а също и прожектори. Поставяйки мощен точков източник на светлина във фокуса на параболично огледало, получаваме плътен поток от отразени лъчи, успоредни на оста на огледалото.

При въртене на парабола около оста си се получава фигура, която се нарича параболоид. Ако вътрешната повърхност на параболоида се направи огледална и към нея се насочи лъч от лъчи, успореден на оста на симетрия на параболата, тогава отразените лъчи ще се съберат в една точка, която се нарича фокус. В същото време, ако източникът на светлина е поставен във фокуса, тогава лъчите, отразени от огледалната повърхност на параболоида, ще бъдат успоредни, а не разпръснати.

Първото свойство позволява да се получи висока температура във фокуса на параболоида. Според легендата това свойство е използвано от древногръцкия учен Архимед (287-212 г. пр. н. е.). Докато защитава Сиракуза във войната срещу римляните, той изгражда система от параболични огледала, които позволяват на отразените слънчеви лъчи да се фокусират върху римските кораби. В резултат на това температурата в огнищата на параболичните огледала се оказа толкова висока, че на корабите избухна пожар и те изгоряха.

Второто свойство се използва например при производството на прожектори и автомобилни фарове.

Хипербола

4. Дефиницията на хипербола ни дава прост начин да я конструираме с непрекъснато движение: вземете две нишки, чиято разлика в дължините е 2а, и прикрепете единия край на тези нишки към точки F" и F. Ако държите другия два края заедно с ръката си и се движете по нишките с върха на молив, като внимавате нишките да са притиснати към хартията, опънати и докоснати, започвайки от върха за рисуване до точката, където краищата се срещат, върхът ще изтегли част от един от клоновете на хиперболата (колкото по-голям, толкова по-дълги са взетите нишките) (фиг.).

Обръщайки ролите на точки F" и F, получаваме част от друг клон.

например,По темата „Криви от 2-ри ред“ можете да разгледате следния проблем:

Задача.Две жп гари A и B са разположени на разстояние s km една от друга. До всяка точка M, товарът може да бъде доставен от станция A или с директен автомобилен транспорт (първи маршрут), или с железопътен транспорт до станция B, а оттам с кола (втори маршрут). Железопътната тарифа (цена за превоз на 1 тон на 1 км) е m рубли, тарифата за автомобилен транспорт е n рубли, n> m, тарифата за товарене и разтоварване е k рубли. Определете зоната на влияние на жп гара Б, т.е. зоната, до която е по-евтино да се достави товар от гара А със смесени средства - по железопътен транспорт и след това по шосе, т.е. определяне на геометричното местоположение на точките, за които вторият път е по-изгоден от първия.

Решение.Нека означим AM = r, BM = g, тогава цената на доставката (транспортиране и товарене/разтоварване) по маршрута AM е равна на nr + k, а цената на доставката по маршрута ABM е равна на ms + 2k + нг. Тогава точките M, за които и двете стойности са равни, удовлетворяват уравнението nr + k = ms+2k+nг, или

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

следователно линията, ограничаваща региона, е един от клоновете на хиперболата | r - r | = конст. За всички точки на равнината, разположени от същата страна като точка А на тази хипербола, първият път е по-изгоден, а за точките, разположени от другата страна - вторият, следователно клонът на хиперболата очертава зоната на влияние на станция Б.

Вариант на този проблем.

Две жп гари A и B са разположени на разстояние l km една от друга. До точка M товарът може да бъде доставен от станция A или с директен автомобилен транспорт, или с железопътен транспорт до станция B, а оттам с автомобил (фиг. 49). В този случай железопътната тарифа (цената за транспортиране на 1 тон на 1 км) е m рубли, разходите за товарене и разтоварване k рубли (за 1 тон), а тарифата за автомобилен транспорт е n рубли (n> m). Нека определим така наречената зона на влияние на железопътна гара Б, т.е. зоната, до която е по-евтино да се достави товар от А по смесен маршрут: по железопътен транспорт и след това по шосе.

Решение.Цената за доставка на 1 тон товар по маршрута AM е r n, където r = AM, а по маршрута ABM ще бъде равна на 1m + k + r n. Трябва да решим двойното неравенство r n 1m+ k+ r n и да определим как са разпределени точките на равнината (x, y), до които е по-евтино да доставим товара по първия или по втория маршрут.

Нека намерим уравнението на линията, образуваща границата между тези две зони, т.е. геометричното място на точките, за които и двата пътя са „еднакво полезни“:

r n = 1m+ k+ r n

От това условие получаваме r - r = = const.

Следователно разделителната линия е хипербола. За всички външни точки на тази хипербола по-изгоден е първият път, а за вътрешните точки - вторият. Следователно хиперболата ще очертае зоната на влияние на станция B. Второто разклонение на хиперболата ще очертае зоната на влияние на станция A (товарът се доставя от станция B). Нека намерим параметрите на нашата хипербола. Голямата му ос е 2a = , а разстоянието между фокусите (които са станции A и B) в този случай е 2c = l.

По този начин условието за възможността за този проблем, определено от връзката a< с, будет

Тази задача свързва абстрактната геометрична концепция за хипербола с транспортна и икономическа задача.

Търсеното геометрично място на точките е множеството от точки, лежащи вътре в десния клон на хиперболата, съдържаща точка B.

6. В знанието " Селскостопански машини» важни експлоатационни характеристики на трактор, работещ по наклон, показващи неговата стабилност, са надлъжният ъгъл на наклон и ъгълът на странично накланяне.

За простота ще разгледаме колесен трактор. Повърхността, върху която работи тракторът (поне сравнително малка част от нея), може да се счита за равнина (равнина на движение). Надлъжната ос на трактора е проекцията на правата линия, свързваща средните точки на предния и задния мост върху равнината на движение. Ъгълът на странично накланяне е ъгълът, образуван с хоризонталната равнина на права линия, перпендикулярна на надлъжната ос и лежаща в равнината на движение.

Когато изучаваме темата „Прави и равнини в пространството“ в курса по математика, разглеждаме следните проблеми:

а) Намерете ъгъла на надлъжния наклон на трактор, движещ се по наклон, ако са известни ъгълът на наклона на наклона и ъгълът на отклонение на траекторията на трактора от надлъжната посока.

б) Максималният страничен ъгъл на накланяне на трактора е максимално допустимият ъгъл на наклон на наклона, през който тракторът може да стои, без да се преобърне. Какви параметри на трактора е достатъчно да знаете, за да определите максималния страничен ъгъл на ролка; как да намеря този
ъгъл?

7. Наличието на праволинейни образуващи се използва в строителната техника. Основоположник на практическото приложение на този факт е известният руски инженер Владимир Григориевич Шухов (1853-1939). В. Г. Шухов извърши проектирането на мачти, кули и опори, съставени от метални греди, разположени по протежение на праволинейни образуващи еднолистов хиперболоид на революцията.Високата якост на такива конструкции, съчетана с лекота, ниска производствена цена и елегантност, осигуряват широкото им използване в съвременното строителство.

8. ЗАКОНИ НА ДВИЖЕНИЕТО НА СВОБОДНО ТВЪРДО ТЯЛО

За свободното тяло всички видове движение са еднакво възможни, но това не означава, че движението на свободното тяло е безпорядъчно и не се подчинява на никакви закони; напротив, постъпателното движение на твърдо тяло, независимо от външната му форма, е ограничено от закона за центъра на масата и се свежда до движението на една точка, а въртеливото движение е от така наречените главни оси на инерция или елипсоид на инерцията. Така пръчка, хвърлена в свободно пространство, или зърно, излитащо от сортировач и т.н., се движи напред като една точка (център на масата) и в същото време се върти около центъра на масата. По принцип по време на постъпателно движение всяко твърдо тяло, независимо от формата му, или сложна машина може да бъде заменено с една точка (център на масата), а по време на въртеливо движение - с елипсоид на инерция , чиито радиус-вектори са равни на --, където / е инерционният момент на това тяло спрямо осите, минаващи през центъра на елипсоида.

Ако инерционният момент на тялото се промени по някаква причина по време на въртене, тогава скоростта на въртене ще се промени съответно. Например, по време на скок отгоре, акробатите се компресират в топка, което води до намаляване на инерционния момент на тялото и увеличаване на скоростта на въртене, което е необходимо за успеха на скока. По същия начин, след подхлъзване, хората изпъват ръцете си встрани, което води до увеличаване на инерционния момент и намаляване на скоростта на въртене. По същия начин инерционният момент на греблото за жътва около вертикалната ос е променлив по време на въртенето му около хоризонталната ос.

Елипсоид- повърхност в триизмерно пространство, получена чрез деформиране на сфера по три взаимно перпендикулярни оси. Каноничното уравнение на елипсоид в декартови координати, съвпадащи с осите на деформация на елипсоида: .

Величините a, b, c се наричат ​​полуоси на елипсоида. Елипсоид също е тяло, ограничено от повърхността на елипсоид. Елипсоидът е една от възможните форми на повърхности от втори ред.

В случай, че двойка полуоси имат еднаква дължина, елипсоидът може да се получи чрез завъртане на елипсата около една от нейните оси. Такъв елипсоид се нарича елипсоид на въртене или сфероид.

Елипсоидът отразява идеализираната повърхност на Земята по-точно от сферата.

Обем на елипсоида:.

Площ на повърхността на елипсоида на въртене:

Хиперболоид- това е вид повърхност от втори ред в тримерното пространство, зададена в декартови координати чрез уравнението - (еднолистов хиперболоид), където a и b са реалните полуоси, а c е въображаемата полуос ; или - (двулистов хиперболоид), където a и b са въображаеми полуоси, а c е реалната полуос.

Ако a = b, тогава такава повърхност се нарича хиперболоид на въртене. Еднолистов хиперболоид на въртене може да се получи чрез завъртане на хиперболата около въображаемата й ос, а двулистов хиперболоид около реалната й ос. Двуслоен хиперболоид на въртене също е геометричното място на точките P, модулът на разликата в разстоянията, от които до две дадени точки A и B е постоянен: | AP − BP | = конст. В този случай A и B се наричат ​​фокуси на хиперболоида.

Еднолистният хиперболоид е повърхност с двойна линейка; ако е хиперболоид на въртене, тогава може да се получи чрез завъртане на линия около друга линия, която я пресича.

Параболоид— тип повърхност от втори ред. Параболоидът може да се характеризира като отворена нецентрална (т.е. без център на симетрия) повърхност от втори ред.

Канонични уравнения на параболоид в декартови координати:

· ако a и b са с еднакъв знак, то параболоидът се нарича елиптичен.

· ако a и b са с различни знаци, то параболоидът се нарича хиперболичен.

· ако един от коефициентите е нула, то параболоидът се нарича параболичен цилиндър.

ü е елиптичен параболоид, където a и b са с еднакъв знак. Повърхността се описва от семейство успоредни параболи с разклонения, насочени нагоре, чиито върхове описват парабола с разклонения, също насочени нагоре. Ако a = b, тогава елиптичен параболоид е повърхност на въртене, образувана от въртене на парабола около вертикална ос, минаваща през върха на тази парабола.

ü е хиперболичен параболоид.

Елипсоидът е повърхност, чието уравнение в определена правоъгълна декартова координатна система Oxyz има формата, където a ^ b ^ c > 0. За да разберем как изглежда елипсоидът, процедираме по следния начин. Да вземем елипса в равнината Oxz и да я завъртим около оста Oz (фиг. 46). Фиг.46 Получената повърхност е елипсоид. Хиперболоиди. Параболоиди. Цилиндрите и конусът от втори ред. - елипсоид на революцията - вече дава представа как е структуриран общ елипсоид. За да се получи неговото уравнение, е достатъчно елипсоидът на въртене да се компресира еднакво по оста Oy с коефициента J ^!, т.к. замени y в неговото уравнение с Jt/5). 10.2. Хиперболоиди Завъртане на хиперболата fl i! = a2 c2 1 около оста Oz (фиг. 47), получаваме повърхност, наречена еднослоен хиперболоид на въртене. Неговото уравнение е *2 + y; се получава по същия начин, както в случая на елипсоид на въртене. 5) Елипсоид на въртене може да се получи чрез равномерно компресиране на сферата +yJ + *J = l" по оста Oz с коефициент ~ ^ 1. Чрез равномерно компресиране на тази повърхност по оста Oy с коефициент 2 ^ 1 , получаваме еднолистов хиперболоид. Неговото уравнение е елипсоид O, получаваме двуслоен хиперболоид на въртене (фиг. 48). Като заменим y, получаваме двуслоен хиперболоид по оста Oy с -y получаваме нейното уравнение. Завъртайки параболата около оста Oz (фиг. 49), получаваме параболоид с форма на въртене x2 + y2 = 2 pz по оста Oy с коефициент yj* ^ 1, получаваме елиптичен параболоид. Неговото уравнение се получава от уравнението на ротационния параболоид чрез замяна на If, тогава получаваме параболоид с формата, показана на фиг. 50. 10.4. Хиперболичен параболоид Хиперболичен параболоид е повърхност, чието уравнение в определена правоъгълна декартова координатна система Oxyz има формата, където p > 0, q > 0. Ние определяме вида на тази повърхност, като използваме така наречения метод на сечението, който се състои от следното : успоредно на координатните равнини се изчертават равнини, които пресичат изследваната повърхност и чрез промяна на конфигурацията на получените плоски криви се прави заключение за структурата на самата повърхност. Да започнем със сечения с равнини z = h = const, успоредни на координатната равнина Oxy. За h > 0 получаваме хиперболи за h - спрегнати хиперболи, а за - двойка пресичащи се прави линии, забележете, че тези прави линии са асимптоти за всички хиперболи (т.е. за всяко h Ф 0). Нека проектираме получените криви върху равнината Oxy. Получаваме следната картина (фиг. 51). Само това съображение ни позволява да направим заключение за седловидната структура на разглежданата повърхност (фиг. 52). Фиг.51 Фиг.52 Нека сега разгледаме сечения с равнини Заменяйки повърхнините y с A в уравнението, получаваме уравненията на параболите (фиг. 53). Подобна картина възниква при разрязване на дадена повърхност с равнини. В този случай също се получават параболи, чиито клонове са насочени надолу (а не нагоре, както при разрязване с равнини y = h) (фиг. 54).

Височината на параболоида може да се определи по формулата

Обемът на параболоида, докосващ дъното, е равен на половината от обема на цилиндър с радиус на основата R и височина H, същият обем заема пространството W’ под параболоида (фиг. 4.5a)

Фиг.4.5. Съотношението на обемите в параболоид, докосващ дъното.

Wп – обем на параболоида, W’ – обем под параболоида, Hп – височина на параболоида

Фиг.4.6. Съотношението на обемите в параболоид, докосващ ръбовете на цилиндъра Hp е височината на параболоида., R е радиусът на съда, Wl е обемът под височината на течността в съда преди началото на въртенето, z 0 е позицията на върха на параболоида, H е височината на течността в съда преди началото на въртенето.

На фиг. 4.6а нивото на течността в цилиндъра преди началото на въртенето е H. Обемът на течността Wl преди и след въртенето се поддържа и е равен на сумата от обема Wt на цилиндъра с височина z 0 плюс обем течност под параболоида, който е равен на обема на параболоида Wp с височина Hn

Ако параболоидът докосне горния ръб на цилиндъра, височината на течността в цилиндъра преди началото на въртенето H разделя височината на параболоида Hn на две равни части, най-ниската точка (връх) на параболоида се намира по отношение на към основата (фиг. 4.6c)

В допълнение, височината H разделя параболоида на две части (фиг. 4.6c), чиито обеми са равни на W 2 = W 1. От равенството на обемите на параболичния пръстен W 2 и параболичната чаша W 1, фиг. 4.6c

Когато повърхността на параболоида пресича дъното на съда (фиг. 4.7) W 1 =W 2 =0,5W пръстен

Фиг. 4.7 Обеми и височини, когато повърхността на параболоид пресича дъното на цилиндъра

Височините на фиг. 4.6

обеми на фиг. 4.6.

Местоположение на свободната повърхност в съда

Фиг.4.8. Три случая на относителен покой по време на въртене

1. Ако съдът е отворен, Po = Ratm (фиг. 4.8a). По време на въртене върхът на параболоида пада под първоначалното ниво-H, а ръбовете се издигат над първоначалното ниво, позицията на върха

2. Ако съдът е напълно напълнен, покрит с капак, няма свободна повърхност, намира се под свръхналягане Po>Patm, преди въртене повърхността (PP), върху която Po=Patm ще бъде над нивото на капака на височина. h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. Ако съдът е напълно напълнен, той е под вакуум Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Въртене при висока ъглова скорост (фиг. 4.9)

Когато съд, съдържащ течност, се върти с висока ъглова скорост, силата на гравитацията може да бъде пренебрегната в сравнение с центробежните сили. Законът за промяна на налягането в течност може да се получи от формулата

(4.22),

Повърхностите на нивелира образуват цилиндри с обща ос, около която се върти съдът. Ако съдът не е напълно напълнен преди да започне въртенето, налягането P 0 ще действа по радиуса r = r 0 , вместо израз (4.22) ще имаме

в който приемаме g(z 0 - z) = 0,

ориз. 4.9 Местоположение на повърхностите на въртене при липса на гравитация.

Радиус на вътрешната повърхност за известни H и h

Елиптичен параболоид

Елиптичен параболоид с a=b=1

Елиптичен параболоид- повърхност, описана от функция на формата

,

Къде аИ bедин знак. Повърхността се описва от семейство успоредни параболи с разклонения, насочени нагоре, чиито върхове описват парабола, с разклонения, също насочени нагоре.

Ако а = bтогава елипсовиден параболоид е повърхност на въртене, образувана от въртенето на парабола около вертикална ос, минаваща през върха на дадена парабола.

Хиперболичен параболоид

Хиперболичен параболоид с a=b=1

Хиперболичен параболоид(наричана "хипар" в конструкцията) е повърхност с форма на седло, описана в правоъгълна координатна система чрез уравнение от формата

.

От второто представяне е ясно, че хиперболичният параболоид е линейчата повърхност.

Повърхността може да се образува от движението на парабола, чиито клонове са насочени надолу, по протежение на парабола, чиито клонове са насочени нагоре, при условие че първата парабола е в контакт с втория си връх.

Параболоиди в света

В технологиите

В чл

В литературата

Устройството, описано в Хиперболоида на инженер Гарин, трябваше да бъде параболоид.

Фондация Уикимедия.

• 2010 г.
• Илон Менахем

Елтанг

Вижте какво е "Елиптичен параболоид" в други речници: ЕЛИПТИЧЕН ПАРАБОЛОИД

Голям енциклопедичен речникелипсовиден параболоид - един от двата вида параболоиди. * * * ЕЛИПТИЧЕН ПАРАБОЛОИД ЕЛИПТИЧЕН ПАРАБОЛОИД, един от двата вида параболоиди (вижте ПАРАБОЛОИДИ) ...

Елиптичен параболоидЕнциклопедичен речник - един от двата вида параболоиди (вижте параболоиди) ...

Вижте какво е "Елиптичен параболоид" в други речници:Велика съветска енциклопедия - открита повърхност от втори ред. Канонич. уравнението на електронното поле е разположено от едната страна на равнината Oxy (виж фигурата). Секциите на електрически повърхности от равнини, успоредни на равнината Oxy, са елипси с еднакъв ексцентрицитет (ако p ...

Вижте какво е "Елиптичен параболоид" в други речници:Математическа енциклопедия - един от двата вида параболоиди...

Естествознание. Енциклопедичен речникПАРАБОЛОИД - (гръцки, от parabole parabola и eidos подобие). Тяло, образувано от въртяща се парабола. Речник на чуждите думи, включени в руския език. Chudinov A.N., 1910. PARABOLOID е геометрично тяло, образувано от въртенето на парабола, така че... ...

Естествознание. Енциклопедичен речникРечник на чуждите думи на руския език - ПАРАБОЛОИД, параболоид, съпруг. (виж парабола) (мат.). Повърхнина от втори ред без център. Параболоид на въртене (образуван от въртене на парабола около оста си). Елиптичен параболоид. Хиперболичен параболоид. Обяснителният речник на Ушаков...

Естествознание. Енциклопедичен речникОбяснителен речник на Ушаков - ПАРАБОЛОИД, повърхност, получена от движението на парабола, чийто връх се плъзга по друга, неподвижна парабола (с ос на симетрия, успоредна на оста на движещата се парабола), докато нейната равнина, движеща се успоредно на себе си, остава. .. ...

Съвременна енциклопедия- - тип повърхност от втори ред. Параболоидът може да се характеризира като отворена нецентрална (т.е. без център на симетрия) повърхност от втори ред. Канонични уравнения на параболоид в декартови координати: ако едно... ... Wikipedia

Естествознание. Енциклопедичен речник- отворена нецентрална повърхност от втори ред. Канонич. Параболични уравнения: елиптичен параболоид (за p = q се нарича ротационен параболоид) и хиперболичен параболоид. А. Б. Иванов ... - открита повърхност от втори ред. Канонич. уравнението на електронното поле е разположено от едната страна на равнината Oxy (виж фигурата). Секциите на електрически повърхности от равнини, успоредни на равнината Oxy, са елипси с еднакъв ексцентрицитет (ако p ...