Просто казано, това са зеленчуци, приготвени във вода по специална рецепта. Ще разгледам два първоначални компонента (зеленчукова салата и вода) и крайния резултат - борш. Геометрично може да се разглежда като правоъгълник, като едната страна представлява маруля, а другата страна представлява вода. Сумата от тези две страни ще покаже борш. Диагоналът и площта на такъв правоъгълник „борш“ са чисто математически понятия и никога не се използват в рецепти за борш.
Как марулята и водата се превръщат в борш от математическа гледна точка? Как сумата от две отсечки може да стане тригонометрия? За да разберем това, имаме нужда от линейни ъглови функции.
В учебниците по математика няма да намерите нищо за линейни ъглови функции. Но без тях не може да има математика. Законите на математиката, както и законите на природата, работят независимо дали знаем за тяхното съществуване или не.
Линейните ъглови функции са закони на добавяне.Вижте как алгебрата се превръща в геометрия и как геометрията се превръща в тригонометрия.
Възможно ли е без линейни ъглови функции? Възможно е, защото математиците все още се справят без тях. Номерът на математиците е, че те винаги ни казват само за онези проблеми, които самите те знаят как да решат, и никога не говорят за онези проблеми, които не могат да решат. Вижте. Ако знаем резултата от събирането и един член, използваме изваждане, за да намерим другия член. Всички. Ние не знаем други проблеми и не знаем как да ги решим. Какво трябва да направим, ако знаем само резултата от събирането и не знаем и двата члена? В този случай резултатът от събирането трябва да се разложи на два члена с помощта на линейни ъглови функции. След това ние сами избираме какъв може да бъде един член, а линейните ъглови функции показват какъв трябва да бъде вторият член, така че резултатът от добавянето да е точно това, от което се нуждаем. Може да има безкраен брой такива двойки термини. В ежедневието се справяме добре, без да разлагаме сумата; изваждането ни е достатъчно. Но в научните изследвания на законите на природата, разлагането на сума на нейните компоненти може да бъде много полезно.
Друг закон за добавяне, за който математиците не обичат да говорят (още един техен трик) изисква членовете да имат еднакви мерни единици. За салата, вода и борш това могат да бъдат единици за тегло, обем, стойност или мерна единица.
Фигурата показва две нива на разлика за математически. Първото ниво са разликите в полето на числата, които са посочени а, b, c. Това правят математиците. Второто ниво са разликите в областта на мерните единици, които са показани в квадратни скоби и обозначени с буквата U. Това правят физиците. Можем да разберем третото ниво - разликите в площта на описваните обекти. Различните обекти могат да имат еднакъв брой еднакви мерни единици. Колко важно е това, можем да видим в примера на тригонометрията на борша. Ако добавим индекси към едно и също обозначение на единица за различни обекти, можем да кажем точно коя математическа величина описва конкретен обект и как се променя с времето или поради нашите действия. Писмо УВодата ще обознача с буква СЩе обознача салатата с буква б- борш. Ето как ще изглеждат линейните ъглови функции за борш.
Ако вземем част от водата и част от салатата, заедно те ще се превърнат в една порция борш. Предлагам ви да си починете малко от борша и да си спомните далечното си детство. Помните ли как ни учеха да събираме зайчета и патета заедно? Трябваше да се намери колко животни ще има. Какво ни учеха да правим тогава? Учеха ни да отделяме мерните единици от числата и да събираме числа. Да, всеки един номер може да бъде добавен към всеки друг номер. Това е пряк път към аутизма на съвременната математика - ние го правим неразбираемо какво, неразбираемо защо и много слабо разбираме как това е свързано с реалността, тъй като от трите нива на разлика математиците оперират само с едно. Би било по-правилно да се научите как да преминавате от една мерна единица към друга.
Зайчетата, патетата и зверчетата могат да се броят на части. Една обща мерна единица за различни обекти ни позволява да ги събираме заедно. Това е детска версия на проблема. Нека да разгледаме подобен проблем за възрастни. Какво получавате, когато добавите зайчета и пари? Тук има две възможни решения.
Първи вариант. Определяме пазарната стойност на зайчетата и я добавяме към наличната сума пари. Получихме общата стойност на нашето богатство в парично изражение.
Втори вариант. Можете да добавите броя на зайчетата към броя на банкнотите, които имаме. Ще получим количеството движимо имущество на части.
Както можете да видите, един и същ закон за събиране ви позволява да получите различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.
Но да се върнем на нашия борш. Сега можем да видим какво ще се случи за различни ъглови стойности на линейни ъглови функции.
Ъгълът е нула. Имаме салата, но няма вода. Не можем да сготвим борш. Количеството борш също е нула. Това изобщо не означава, че нула борш е нула вода. Може да има нула борш с нула салата (прав ъгъл).
За мен лично това е основното математическо доказателство за факта, че . Нулата не променя числото при добавяне. Това се случва, защото самото добавяне е невъзможно, ако има само един член и вторият член липсва. Можете да мислите за това както искате, но помнете - всички математически операции с нула са измислени от самите математици, така че изхвърлете логиката си и глупаво натъпчете определенията, измислени от математиците: „деление на нула е невъзможно“, „всяко число, умножено по нула е нула” , „отвъд точката на пробиване нула” и други глупости. Достатъчно е да си спомните веднъж, че нулата не е число и никога вече няма да имате въпроса дали нулата е естествено число или не, защото такъв въпрос губи всякакъв смисъл: как може нещо, което не е число, да се счита за число ? Все едно да питате към какъв цвят трябва да се класифицира един невидим цвят. Добавянето на нула към число е същото като рисуване с боя, която не е там. Размахахме суха четка и казахме на всички, че „рисувахме“. Но се отклоних малко.
Ъгълът е по-голям от нула, но по-малък от четиридесет и пет градуса. Имаме много маруля, но не достатъчно вода. В резултат на това ще получим гъст борш.
Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и салата. Това е идеалният борш (простете ми, готвачи, това е просто математика).
Ъгълът е по-голям от четиридесет и пет градуса, но по-малък от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко салата. Ще получите течен борш.
Прав ъгъл. Имаме вода. От салатата остават само спомени, тъй като продължаваме да измерваме ъгъла от линията, която някога е маркирала салатата. Не можем да сготвим борш. Количеството борш е нула. В този случай изчакайте и пийте вода, докато я имате)))
тук Нещо такова. Тук мога да разкажа и други истории, които биха били повече от подходящи тук.
Двама приятели имаха дялове в общ бизнес. След като убиха единия, всичко отиде при другия.
Появата на математиката на нашата планета.
Всички тези истории са разказани на езика на математиката с помощта на линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно нека се върнем към тригонометрията на борша и да разгледаме проекциите.
Събота, 26 октомври 2019 г
Гледах интересно видео за Грънди серия Едно минус едно плюс едно минус едно - Numberphile. Математиците лъжат. Те не са извършили проверка за равенство по време на своите разсъждения.
Това отразява моите мисли за.
Нека да разгледаме по-подробно знаците, че математиците ни заблуждават. В самото начало на спора математиците казват, че сборът на редицата ЗАВИСИ от това дали има четен брой елементи или не. Това е ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. Какво се случва след това?
След това математиците изваждат последователността от единицата. До какво води това? Това води до промяна в броя на елементите на редицата - четно число се променя в нечетно число, нечетно число се променя в четно число. В крайна сметка ние добавихме един елемент, равен на единица към последователността. Въпреки цялото външно сходство, последователността преди трансформацията не е равна на последователността след трансформацията. Дори и да говорим за безкрайна редица, трябва да помним, че безкрайна редица с нечетен брой елементи не е равна на безкрайна редица с четен брой елементи.
Приравнявайки две редица с различен брой елементи, математиците твърдят, че сумата на редицата НЕ ЗАВИСИ от броя на елементите в редицата, което противоречи на ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. По-нататъшното разсъждение за сумата на безкрайна последователност е невярно, тъй като се основава на фалшиво равенство.
Ако видите, че математиците в хода на доказателствата поставят скоби, пренареждат елементи от математически израз, добавят или премахват нещо, бъдете много внимателни, най-вероятно те се опитват да ви измамят. Подобно на магьосниците на карти, математиците използват различни манипулации на изразяването, за да отвлекат вниманието ви, за да ви дадат в крайна сметка фалшив резултат. Ако не можете да повторите трик с карти, без да знаете тайната на измамата, тогава в математиката всичко е много по-просто: дори не подозирате нищо за измама, но повтарянето на всички манипулации с математически израз ви позволява да убедите другите в правилността на полученият резултат, точно както когато -те ви убедиха.
Въпрос от публиката: Безкрайността (като броя на елементите в редицата S) четна или нечетна? Как можете да промените паритета на нещо, което няма паритет?
Безкрайността е за математиците, както Небесното царство е за свещениците - никой никога не е бил там, но всеки знае как точно работи всичко там))) Съгласен съм, след смъртта ще бъдете абсолютно безразлични дали сте живели четно или нечетно число дни, но... Добавяйки само един ден в началото на живота ви, ще получим съвсем различен човек: неговото фамилно име, име и бащино име са абсолютно същите, само датата на раждане е напълно различна - той е бил роден един ден преди теб.
А сега да преминем към същината))) Да кажем, че крайна последователност, която има паритет, губи този паритет, когато отива към безкрайност. Тогава всеки краен сегмент от безкрайна последователност трябва да загуби паритет. Ние не виждаме това. Фактът, че не можем да кажем със сигурност дали една безкрайна последователност има четен или нечетен брой елементи, не означава, че паритетът е изчезнал. Паритетът, ако съществува, не може да изчезне безследно в безкрайността, като в ръкава на острие. Има много добра аналогия за този случай.
Питали ли сте някога кукувицата, която седи в часовника в каква посока се върти стрелката на часовника? За нея стрелката се върти в посока, обратна на това, което наричаме „по часовниковата стрелка“. Колкото и парадоксално да звучи, посоката на въртене зависи единствено от това от коя страна наблюдаваме въртенето. И така, имаме едно колело, което се върти. Не можем да кажем в каква посока се извършва въртенето, тъй като можем да го наблюдаваме както от едната страна на равнината на въртене, така и от другата. Можем само да свидетелстваме, че има ротация. Пълна аналогия с четността на безкрайна последователност С.
Сега нека добавим второ въртящо се колело, чиято равнина на въртене е успоредна на равнината на въртене на първото въртящо се колело. Все още не можем да кажем със сигурност в каква посока се въртят тези колела, но можем абсолютно да кажем дали и двете колела се въртят в една и съща посока или в обратна посока. Сравняване на две безкрайни последователности Си 1-S, показах с помощта на математиката, че тези последователности имат различни паритети и поставянето на знак за равенство между тях е грешка. Лично аз вярвам на математиката, не вярвам на математиците))) Между другото, за да разберем напълно геометрията на трансформациите на безкрайни последователности, е необходимо да въведем концепцията "едновременност". Това ще трябва да се начертае.
сряда, 7 август 2019 г
Завършвайки разговора, трябва да разгледаме безкрайно множество. Работата е там, че понятието „безкрайност“ въздейства на математиците, както боа на заек. Трепетният ужас от безкрайността лишава математиците от здрав разум. Ето един пример:
Първоизточникът е локализиран. Алфа означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкрайния набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени в следната форма:
За да докажат ясно, че са прави, математиците измислиха много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на шамани, танцуващи с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите са празни и се настаняват нови гости, или част от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гости (много човешки). Представих моето виждане за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават разсъжденията ми? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гост, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на времето. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво игнориран, но това ще бъде в категорията „никой закон не е писан за глупаци“. Всичко зависи от това какво правим: приспособяваме реалността към математическите теории или обратното.
Какво е „безкраен хотел“? Безкраен хотел е хотел, който винаги има произволен брой празни легла, независимо колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор за "посетители" са заети, има още един безкраен коридор със стаи за "гости". Ще има безкрайно много такива коридори. Освен това „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците не могат да се дистанцират от баналните битови проблеми: винаги има само един Бог-Аллах-Буда, има само един хотел, има само един коридор. И така, математиците се опитват да жонглират с поредните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да „вкараме невъзможното“.
Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на един много прост въпрос: колко набора от естествени числа има - един или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като ние сами сме измислили числата; числата не съществуват в природата. Да, природата е страхотна в броенето, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Друг път ще ви кажа какво мисли Природата. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа има. Нека разгледаме и двата варианта, както подобава на истинските учени.
Вариант едно. „Нека ни бъде даден“ един единствен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафта. Взимаме този комплект от рафта. Това е, други естествени числа не са останали на рафта и няма къде да ги вземете. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. Ами ако наистина искате? няма проблеми Можем да вземем един от вече взетия комплект и да го върнем на рафта. След това можем да вземем един от рафта и да го добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново ще получим безкраен набор от естествени числа. Можете да запишете всички наши манипулации така:
Записах действията в алгебрична нотация и в нотация на теория на множествата, с подробен списък на елементите на множеството. Долният индекс показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако от него се извади едно и се добави същата единица.
Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки факта, че практически не се различават. Нека вземем един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да съберем две групи естествени числа. Ето какво получаваме:
Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни множества. Да, ако добавите един към безкраен набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да е същият като оригиналния набор. Ако добавите друго безкрайно множество към едно безкрайно множество, резултатът е ново безкрайно множество, състоящо се от елементи на първите две множества.
Наборът от естествени числа се използва за броене по същия начин, както линийката се използва за измерване. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър към линийката. Това ще бъде различна линия, неравна на оригиналната.
Можете да приемете или да не приемете разсъжденията ми - това е ваша работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не следвате пътя на фалшивите разсъждения, утъпкан от поколения математици. В края на краищата, изучаването на математика, на първо място, формира у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това добавя към нашите умствени способности (или, обратно, ни лишава от свободомислие).
pozg.ru
Неделя, 4 август 2019 г
Завършвах послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:
Четем: „... богатата теоретична основа на математиката на Вавилон нямаше холистичен характер и беше сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и доказателствена база.“
Уау! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Трудно ли ни е да разглеждаме съвременната математика в същия контекст? Перифразирайки леко горния текст, аз лично получих следното:
Богатата теоретична база на съвременната математика не е холистична по природа и се свежда до набор от различни раздели, лишени от обща система и база от доказателства.
Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - има език и конвенции, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различно значение. Искам да посветя цяла поредица от публикации на най-очевидните грешки на съвременната математика. до скоро
Събота, 3 август 2019 г
Как да разделим набор на подмножества? За да направите това, трябва да въведете нова мерна единица, която присъства в някои от елементите на избрания набор. Нека разгледаме един пример.
Нека имаме много Асъстоящ се от четирима души. Това множество се формира на базата на "хора". Нека обозначим елементите на това множество с буквата А, индексът с число ще показва поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "пол" и да я обозначим с буквата b. Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора Авъз основа на пола b. Забележете, че нашият набор от „хора“ сега се превърна в набор от „хора с полови характеристики“. След това можем да разделим половите белези на мъжки bmи дамски bwполови белези. Сега можем да приложим математически филтър: избираме един от тези сексуални белези, без значение кой - мъжки или женски. Ако човек го има, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава използваме обикновена училищна математика. Вижте какво стана.
След умножение, редукция и пренареждане получихме две подмножества: подмножеството на мъжете Bmи подгрупа от жени Bw. Математиците разсъждават приблизително по същия начин, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни казват подробностите, а ни дават крайния резултат - „много хора се състоят от подгрупа от мъже и подгрупа от жени“. Естествено, може да имате въпрос: колко правилно е приложена математиката в трансформациите, описани по-горе? Смея да ви уверя, че по същество всичко е направено правилно; достатъчно е да познавате математическите основи на аритметиката, булевата алгебра и други клонове на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.
Що се отнася до суперсетите, можете да комбинирате два комплекта в един суперсет, като изберете мерната единица, присъстваща в елементите на тези два комплекта.
Както можете да видите, мерните единици и обикновената математика правят теорията на множествата реликва от миналото. Знак, че не всичко е наред с теорията на множествата е, че математиците са измислили свой собствен език и нотация за теорията на множествата. Математиците действаха като шаманите някога. Само шаманите знаят как да прилагат „правилно“ своите „знания“. Те ни учат на това „знание“.
В заключение искам да ви покажа как математиците манипулират
Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.
Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждаха по един или друг начин апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... в изследването на въпроса са включени математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.
От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да надбяга костенурката.
Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.
Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:
За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.
Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.
Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:
Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.
В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент една летяща стрела е в покой в различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, на което искам да обърна специално внимание е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото дават различни възможности за изследване.
Ще ви покажа процеса с пример. Избираме „червеното твърдо вещество в пъпка“ - това е нашето „цяло“. В същото време виждаме, че тези неща са с лък, а има и без лък. След това избираме част от „цялото“ и оформяме комплект „с лък“. Ето как шаманите си набавят храната, като обвързват своята теория за множествата с реалността.
Сега нека направим малък трик. Нека вземем „твърд с пъпка и лък“ и комбинираме тези „цели“ според цвета, избирайки червените елементи. Имаме много "червени". Сега последният въпрос: получените комплекти „с лък“ и „червено“ един и същ комплект ли са или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно те самите не знаят нищо, но както казват, така ще бъде.
Този прост пример показва, че теорията на множествата е напълно безполезна, когато става въпрос за реалността. каква е тайната Оформихме набор от "червено плътно с пъпка и лък." Оформянето се извършва според четири различни мерни единици: цвят (червено), здравина (твърдо), грапавост (пъпчиво), украса (с лък). Само набор от мерни единици ни позволява да опишем адекватно реални обекти на езика на математиката. Ето как изглежда.
Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. Мерните единици, чрез които се разграничава „цялото“ на предварителния етап, са отбелязани в скоби. Извън скоби е извадена мерната единица, с която се формира наборът. Последният ред показва крайния резултат - елемент от множеството. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шамани с тамбури. Шаманите могат „интуитивно“ да стигнат до същия резултат, като твърдят, че той е „очевиден“, тъй като мерните единици не са част от техния „научен“ арсенал.
Използвайки мерни единици, е много лесно да разделите един комплект или да комбинирате няколко комплекта в един супермножество. Нека разгледаме по-подробно алгебрата на този процес.
Тригонометричните формули имат редица свойства, едно от които е използването на формули за намаляване на степента. Те помагат за опростяване на изразите чрез намаляване на степента.
Определение 1
Формулите за редукция работят на принципа на изразяване на степента на синус и косинус чрез синус и косинус на първа степен, но кратно на ъгъла. Когато се опрости, формулата става удобна за изчисления и кратността на ъгъла се увеличава от α до n α.
Формули за намаляване на степени, тяхното доказателство
По-долу е дадена таблица с формули за намаляване на градуса от 2 до 4 за ъгли sin и cos. След като се запознаете с тях, ще зададем обща формула за всички степени.
sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 sin α - sin 3 α 4 sin 4 = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Тези формули са предназначени за намаляване на степента.
Има формули за двойния ъгъл на косинус и синус, от които следват формулите за намаляване на степента cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1. Равенствата се разрешават по отношение на квадрата на синус и косинус, които са дадени от sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .
Формулите за намаляване на степените на тригонометрични функции имат нещо общо с формулите за синус и косинус на половин ъгъл .
Формулата за троен ъгъл sin 3 α = 3 · sin α - 4 · sin 3 α и cos 3 α = - 3 · cos α + 4 · cos 3 α.
Ако решим равенството по отношение на синус и косинус в куб, получаваме формули за намаляване на степени за синус и косинус:
sin 3 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4.
Формулите за четвъртата степен на тригонометричните функции изглеждат така: sin 4 α = 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8.
За да намалите степените на тези изрази, можете да действате на 2 етапа, тоест да ги намалите два пъти, тогава изглежда така:
sin 4 α = (sin 2 α) 2 = (1 - cos 2 α 2) 2 = 1 - 2 cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 - 2 cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = (cos 2 α) 2 = (1 + cos 2 α 2) 2 = 1 + 2 cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
За решаване на някои проблеми ще бъде полезна таблица с тригонометрични идентичности, което ще направи много по-лесно трансформирането на функции:Най-простите тригонометрични тъждества
Частното от деленето на синуса на ъгъл алфа на косинуса на същия ъгъл е равно на тангенса на този ъгъл (Формула 1). Вижте също доказателството за коректността на преобразуването на най-простите тригонометрични тъждества.
Частното от деленето на косинуса на ъгъл алфа на синуса на същия ъгъл е равно на котангенса на същия ъгъл (Формула 2)
Секансът на ъгъл е равен на единица, разделена на косинуса на същия ъгъл (Формула 3)
Сборът от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равен на едно (Формула 4). вижте също доказателството за сумата от квадратите на косинус и синус.
Сборът от едно и тангенса на ъгъл е равен на съотношението едно към квадрата на косинуса на този ъгъл (Формула 5)
Едно плюс котангенсът на ъгъл е равно на частното от едно, делено на синус квадрат на този ъгъл (Формула 6)
Произведението на тангенса и котангенса на един и същи ъгъл е равно на единица (Формула 7).
Преобразуване на отрицателни ъгли на тригонометрични функции (четни и нечетни)
За да се отървете от отрицателната стойност на градусната мярка на ъгъл при изчисляване на синус, косинус или тангенс, можете да използвате следните тригонометрични трансформации (тъждества), базирани на принципите на четни или нечетни тригонометрични функции.
Както можете да видите, косинуси секансът е дори функция, синус, тангенс и котангенс са нечетни функции.
Синусът на отрицателен ъгъл е равен на отрицателната стойност на синуса на същия положителен ъгъл (минус синус алфа).
Косинусът минус алфа ще даде същата стойност като косинуса на ъгъла алфа.
Тангенс минус алфа е равен на минус тангенс алфа.
Формули за намаляване на двойни ъгли (синус, косинус, тангенс и котангенс на двойни ъгли)
Ако трябва да разделите ъгъл наполовина или обратното, да преминете от двоен ъгъл към единичен ъгъл, можете да използвате следните тригонометрични идентичности:
Преобразуване на двоен ъгъл (синус на двоен ъгъл, косинус на двоен ъгъл и тангенс на двоен ъгъл) в единичен възниква съгласно следните правила:
Синус на двоен ъгълравно на удвоеното произведение на синуса и косинуса на един ъгъл
Косинус на двоен ъгълравна на разликата между квадрата на косинуса на отделен ъгъл и квадрата на синуса на този ъгъл
Косинус на двоен ъгълравно на удвоения квадрат на косинуса на отделен ъгъл минус едно
Косинус на двоен ъгълравно на едно минус двоен синус на квадрат на единичен ъгъл
Тангенс на двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е два пъти тангенса на единичен ъгъл, а знаменателят е равен на едно минус тангенса на квадрат на единичен ъгъл.
Котангенс на двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е квадрат на котангенса на отделен ъгъл минус едно, а знаменателят е равен на удвоения котангенс на единичен ъгъл
Формули за универсално тригонометрично заместване
Формулите за преобразуване по-долу могат да бъдат полезни, когато трябва да разделите аргумента на тригонометрична функция (sin α, cos α, tan α) на две и да намалите израза до стойността на половин ъгъл. От стойността на α получаваме α/2.Тези формули се наричат формули на универсално тригонометрично заместване. Тяхната стойност се състои в това, че с тяхна помощ един тригонометричен израз се свежда до изразяване на тангенса на половин ъгъл, независимо какви тригонометрични функции (sin cos tan ctg) са били първоначално в израза. След това уравнението с тангенса на половин ъгъл е много по-лесно за решаване.
Тригонометрични тъждества за полуъглови трансформации
Следват формулите за тригонометрично преобразуване на половин ъгъл в цялата му стойност.Стойността на аргумента на тригонометричната функция α/2 се редуцира до стойността на аргумента на тригонометричната функция α.
Тригонометрични формули за събиране на ъгли
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Тангенс и котангенс на сбора от ъглиалфа и бета могат да бъдат преобразувани, като се използват следните правила за преобразуване на тригонометрични функции:
Тангенс на сбора от ъглие равно на дроб, чийто числител е сумата от тангенса на първия и тангенса на втория ъгъл, а знаменателят е едно минус произведението на тангенса на първия ъгъл и тангенса на втория ъгъл.
Тангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е равен на разликата между тангенса на ъгъла, който се намалява, и тангенса на ъгъла, който се изважда, а знаменателят е едно плюс произведението на тангенсите на тези ъгли.
Котангенс на сбора от ъглие равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на котангенсите на тези ъгли плюс едно, а знаменателят е равен на разликата между котангенса на втория ъгъл и котангенса на първия ъгъл.
Котангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е произведението на котангенсите на тези ъгли минус едно, а знаменателят е равен на сбора от котангенсите на тези ъгли.
Тези тригонометрични идентичности са удобни за използване, когато трябва да изчислите, например, тангенса на 105 градуса (tg 105). Ако си го представите като tg (45 + 60), тогава можете да използвате дадените идентични трансформации на тангенса на сумата от ъгли и след това просто да замените табличните стойности на тангентата 45 и тангентата 60 градуса.
Формули за преобразуване на сумата или разликата на тригонометрични функции
Изрази, представляващи сбор от формата sin α + sin β, могат да бъдат трансформирани с помощта на следните формули:
Формули за троен ъгъл - преобразуване sin3α cos3α tan3α в sinα cosα tanα
Понякога е необходимо да се трансформира тройната стойност на ъгъл, така че аргументът на тригонометричната функция да стане ъгъл α вместо 3α.В този случай можете да използвате формулите за трансформация на троен ъгъл (идентичности):
Формули за преобразуване на произведения на тригонометрични функции
Ако има нужда да се преобразува произведението на синуси от различни ъгли, косинуси от различни ъгли или дори произведение от синус и косинус, тогава можете да използвате следните тригонометрични идентичности:
В този случай произведението на функциите синус, косинус или тангенс на различни ъгли ще бъде преобразувано в сбор или разлика.
Формули за редуциране на тригонометрични функции
Трябва да използвате таблицата за намаляване, както следва. В реда избираме функцията, която ни интересува. В колоната има ъгъл. Например синусът на ъгъла (α+90) в пресечната точка на първия ред и първата колона, откриваме, че sin (α+90) = cos α.
Формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите за два ъгъла α и β ни позволяват да преминем от сумата на тези ъгли към произведението на ъглите α + β 2 и α - β 2. Нека незабавно да отбележим, че не трябва да бъркате формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите с формулите за синусите и косинусите на сбора и разликата. По-долу изброяваме тези формули, даваме тяхното извеждане и показваме примери за приложение за конкретни задачи.
Формули за сбор и разлика от синуси и косинуси
Нека запишем как изглеждат формулите за сбор и разлика за синуси и косинуси
Формули за сбор и разлика за синуси
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Формули за сбор и разлика за косинуси
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β. Ъглите α + β 2 и α - β 2 се наричат съответно полусума и полуразлика на ъглите алфа и бета. Нека дадем формулировката за всяка формула.
Дефиниции на формули за суми и разлики на синуси и косинуси
Сума от синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата от тези ъгли и косинуса на полуразликата.
Разлика на синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полуразликата на тези ъгли и косинуса на полусумата.
Сума от косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от косинуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли.
Разлика на косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли, взети с отрицателен знак.
Извеждане на формули за сбор и разлика от синуси и косинуси
За извеждане на формули за сбора и разликата на синуса и косинуса на два ъгъла се използват формули за събиране. Нека ги изброим по-долу
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Нека си представим и самите ъгли като сбор от полусуми и полуразлики.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Пристъпваме директно към извеждането на формулите за сбор и разлика за sin и cos.
Извеждане на формулата за сбор от синуси
В сумата sin α + sin β заместваме α и β с изразите за тези ъгли, дадени по-горе. получаваме
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Сега прилагаме формулата за добавяне към първия израз, а към втория - формулата за синуса на ъгловите разлики (вижте формулите по-горе)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Отворете скобите, добавете подобни членове и получете необходимата формула
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Стъпките за извличане на останалите формули са подобни.
Извеждане на формулата за разликата на синусите
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Извеждане на формулата за сбор от косинуси
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Извеждане на формулата за разликата на косинусите
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Примери за решаване на практически задачи
Първо, нека проверим една от формулите, като заменим конкретни ъглови стойности в нея. Нека α = π 2, β = π 6. Нека изчислим стойността на сумата от синусите на тези ъгли. Първо ще използваме таблицата с основните стойности на тригонометричните функции и след това ще приложим формулата за сбора на синусите.
Пример 1. Проверка на формулата за сумата от синусите на два ъгъла
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Нека сега разгледаме случая, когато стойностите на ъглите се различават от основните стойности, представени в таблицата. Нека α = 165°, β = 75°. Нека изчислим разликата между синусите на тези ъгли.
Пример 2. Приложение на формулата за разликата на синусите
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Използвайки формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите, можете да преминете от сумата или разликата към произведението на тригонометричните функции. Често тези формули се наричат формули за преминаване от сбор към продукт. Формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения и при преобразуване на тригонометрични изрази.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
