Задача B9 дава графика на функция или производна, от която трябва да определите една от следните величини:
- Стойността на производната в дадена точка x 0,
- Максимални или минимални точки (екстремни точки),
- Интервали на нарастващи и намаляващи функции (интервали на монотонност).
Функциите и производните, представени в този проблем, са винаги непрекъснати, което прави решението много по-лесно. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела на математическия анализ, дори най-много слаби ученици, тъй като тук не са необходими задълбочени теоретични познания.
За да се намери стойността на производната, точките на екстремум и интервалите на монотонност, има прости и универсални алгоритми- всички те ще бъдат разгледани по-долу.
Прочетете внимателно условията на задача B9, за да избегнете глупави грешки: понякога попадате на доста дълги текстове, но има няколко важни условия, които влияят на хода на решението.
Изчисляване на производната стойност. Метод с две точки
Ако за задачата е дадена графика на функция f(x), допирателна към тази графика в някаква точка x 0, и се изисква да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:
- Намерете две „адекватни“ точки на допирателната графика: техните координати трябва да са цели числа. Нека означим тези точки като A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Запишете правилно координатите - това е ключов момент в решението и всяка грешка тук ще доведе до неправилен отговор.
- Познавайки координатите, е лесно да се изчисли увеличението на аргумента Δx = x 2 − x 1 и увеличението на функцията Δy = y 2 − y 1 .
- Накрая намираме стойността на производната D = Δy/Δx. С други думи, трябва да разделите увеличението на функцията на увеличението на аргумента - и това ще бъде отговорът.
Още веднъж да отбележим: точките A и B трябва да се търсят именно по допирателната, а не по графиката на функцията f(x), както често се случва. Допирателната задължително ще съдържа поне две такива точки - в противен случай задачата няма да бъде съставена правилно.
Разгледайте точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Нека намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Задача. Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .
Помислете за точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Сега намираме стойността на производната: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Задача. Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .
Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Остава да намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
От последния пример можем да формулираме правило: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на допирателна е нула. В този случай дори не е нужно да броите нищо - просто погледнете графиката.
Изчисляване на максимални и минимални точки
Понякога, вместо графика на функция, задача B9 дава графика на производната и изисква намиране на максималната или минималната точка на функцията. В тази ситуация двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-прост алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:
- Точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено неравенството f(x 0) ≥ f(x).
- Точката x 0 се нарича точка на минимум на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено неравенството f(x 0) ≤ f(x).
За да намерите максималните и минималните точки от производната графика, просто изпълнете следните стъпки:
- Преначертайте производната графика, като премахнете цялата ненужна информация. Както показва практиката, ненужните данни само пречат на решението. Затова маркираме нулите на производната на координатната ос - и това е всичко.
- Намерете знаците на производната на интервалите между нулите. Ако за дадена точка x 0 е известно, че f'(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f'(x 0) ≥ 0 или f'(x 0) ≤ 0. Знакът на производната е лесно се определя от оригиналния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f'(x) ≥ 0. И обратното, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f'(x) ≤ 0.
- Отново проверяваме нулите и знаците на производната. Там, където знакът се променя от минус на плюс, е минималната точка. Обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Броенето винаги се извършва отляво надясно.
Тази схема работи само за непрекъснати функции - в задача B9 няма други.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−5; 5]. Намерете минималната точка на функцията f(x) върху тази отсечка.
Нека се отървем от ненужната информация и оставим само границите [−5; 5] и нули на производната x = −3 и x = 2.5. Отбелязваме и знаците:
Очевидно в точката x = −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f(x) на този сегмент.
Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нули на производната x = −1.7 и x = 5. Нека отбележим знаците на производната върху получената графика. Ние имаме:
Очевидно в точката x = 5 знакът на производната се променя от плюс на минус - това е максималната точка.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−6; 4]. Намерете броя на максималните точки на функцията f(x), принадлежащи на отсечката [−4; 3].
От условията на задачата следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от сегмента [−4; 3]. Затова изграждаме нова графика, на която отбелязваме само границите [−4; 3] и нули на производната вътре в него. А именно точки x = −3,5 и x = 2. Получаваме:
На тази графика има само една максимална точка x = 2. Именно в тази точка знакът на производната се променя от плюс на минус.
Малка бележка за точки с нецелочислени координати. Например в последната задача беше разгледана точката x = −3,5, но със същия успех можем да вземем x = −3,4. Ако проблемът е компилиран правилно, подобни промени не трябва да влияят на отговора, тъй като точките „без определено място на пребиваване“ не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, този трик няма да работи с цели точки.
Намиране на интервали на нарастващи и намаляващи функции
В такъв проблем, подобно на максималните и минималните точки, се предлага да се използва графиката на производната, за да се намерят области, в които самата функция нараства или намалява. Първо, нека дефинираме какво е увеличаване и намаляване:
- Казва се, че функция f(x) нараства на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
- Функция f(x) се нарича намаляваща на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тези. По-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.
Да формулираме достатъчни условиявъзходящо и низходящо:
- За да расте непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е положителна, т.е. f’(x) ≥ 0.
- За да намалява една непрекъсната функция f(x) върху отсечката , е достатъчно нейната производна вътре в отсечката да е отрицателна, т.е. f’(x) ≤ 0.
Нека приемем тези твърдения без доказателства. По този начин получаваме схема за намиране на интервали на нарастване и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на точки на екстремум:
- Премахнете цялата ненужна информация. В оригиналната графика на производната се интересуваме предимно от нулите на функцията, така че ще оставим само тях.
- Отбележете знаците на производната на интервалите между нулите. Когато f’(x) ≥ 0, функцията нараства, а когато f’(x) ≤ 0, тя намалява. Ако проблемът поставя ограничения върху променливата x, ние допълнително ги маркираме на нова графика.
- Сега, след като знаем поведението на функцията и ограниченията, остава да изчислим необходимото количество в проблема.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7.5]. Намерете интервалите на спадане на функцията f(x). В отговора си посочете сумата от целите числа, включени в тези интервали.
Както обикновено, нека преначертаем графиката и да маркираме границите [−3; 7.5], както и нули на производната x = −1.5 и x = 5.3. След това отбелязваме знаците на производната. Ние имаме:
Тъй като производната е отрицателна на интервала (− 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да се сумират всички цели числа, които са вътре в този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−10; 4]. Намерете интервалите на нарастване на функцията f(x). В отговора си посочете дължината на най-голямата от тях.
Да се отървем от ненужната информация. Нека оставим само границите [−10; 4] и нули на производната, които този път бяха четири: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Нека маркираме знаците на производната и получаваме следната картина:
Ние се интересуваме от интервалите на нарастваща функция, т.е. където f’(x) ≥ 0. Има два такива интервала на графиката: (−8; −6) и (−3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Тъй като трябва да намерим дължината на най-големия от интервалите, записваме стойността l 2 = 5 като отговор.
Сергей Никифоров
Ако производната на функция е с постоянен знак на интервал, а самата функция е непрекъсната на своите граници, тогава граничните точки са прикрепени както към нарастващи, така и към намаляващи интервали, което напълно отговаря на определението за нарастващи и намаляващи функции.
Фарит Ямаев 26.10.2016 18:50
Здравейте. Как (на каква база) можем да кажем, че в точката, където производната е равна на нула, функцията нараства. Посочете причини. Иначе е просто нечия прищявка. По каква теорема? А също и доказателство. Благодаря ти.
поддържа
Стойността на производната в точка не е пряко свързана с нарастването на функцията през интервала. Помислете например за функции - всички те нарастват на интервала
Владлен Писарев 02.11.2016 22:21
Ако една функция нараства в интервала (a;b) и е дефинирана и непрекъсната в точки a и b, тогава тя нараства в интервала . Тези. точка x=2 е включена в този интервал.
Въпреки че по правило увеличението и намалението се разглеждат не на сегмент, а на интервал.
Но в точката x=2 функцията има локален минимум. И как да обясним на децата, че когато търсят точки на нарастване (намаление), ние не броим точките на локален екстремум, а влизаме в интервали на нарастване (намаление).
Като се има предвид, че първото част от Единния държавен изпитЗа " средна група детска градина“, тогава може би такива нюанси са твърде много.
Отделно, Благодаря многоза "Решаване на Единния държавен изпит" на всички служители - отлично предимство.
Сергей Никифоров
Лесно обяснение може да се получи, ако започнем от определението за нарастваща/намаляваща функция. Нека ви напомня, че звучи така: функция се нарича нарастваща/намаляваща на интервал, ако по-голям аргумент на функцията съответства на по-голяма/по-малка стойност на функцията. Това определение не използва понятието производна по никакъв начин, така че не могат да възникнат въпроси относно точките, в които производната изчезва.
Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46
Добър ден. Тук в коментарите виждам убеждения, че границите трябва да бъдат включени. Да кажем, че съм съгласен с това. Но моля, погледнете вашето решение на задача 7089. Там, когато се посочват нарастващи интервали, границите не са включени. И това се отразява на отговора. Тези. решенията на задачи 6429 и 7089 си противоречат. Моля, изяснете тази ситуация.
Александър Иванов
Задачи 6429 и 7089 имат съвсем различни въпроси.
Единият е за нарастващи интервали, а другият е за интервали с положителна производна.
Няма никакво противоречие.
Екстремумите се включват в интервалите на нарастване и намаляване, но точките, в които производната е равна на нула, не се включват в интервалите, в които производната е положителна.
А Я 28.01.2019 19:09
Колеги, има понятие за увеличаване на точка
(вижте например Фихтенхолц)
и вашето разбиране за увеличението при x=2 е в противоречие с класическата дефиниция.
Увеличаването и намаляването е процес и бих искал да се придържам към този принцип.
Във всеки интервал, който съдържа точката x=2, функцията не нараства. Следователно включването на дадена точка x=2 е специален процес.
Обикновено, за да се избегне объркване, включването на краищата на интервалите се обсъжда отделно.
Александър Иванов
За функция y=f(x) се казва, че нараства през определен интервал, ако по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.
В точката x=2 функцията е диференцируема, а на интервала (2; 6) производната е положителна, което означава на интервала )
