В стандартния курс училищна математикасвойствата на функциите се използват главно за построяване на техните графики. Функционалният метод за решаване на уравнения се използва тогава и само ако уравнението F(x) = G(x) в резултат на трансформации или замяна на променливи не може да бъде сведено до едно или друго стандартно уравнение, което има специфичен алгоритъм за решение.
За разлика от графичния метод, познаването на свойствата на функциите ви позволява да намерите точните корени на уравнението, без да е необходимо да конструирате графики на функции. Използването на свойствата на функциите помага да се рационализира решението на уравненията.
В работата се разглеждат следните свойства на функцията: област на дефиниране на функцията; функционален диапазон; свойства на монотонност на функция; свойства на изпъкналост на функция; свойства на четните и нечетните функции.
Цел на работата: да се извърши класификация на нестандартни уравнения според тяхната употреба общи свойствафункции, описват същността на всяко свойство, дават препоръки за използването му, инструкции за употреба.
Цялата работа е придружена от решаването на конкретни задачи, предложени на Единния държавен изпит през различни години.
Глава 1. Използване на концепцията за област на дефиниция на функция.
Нека въведем няколко ключови определения.
Областта на дефиниране на функцията y = f(x) е множеството от стойности на променливата x, за които функцията има смисъл.
Нека е дадено уравнението f(x) = g(x), където f(x) и g(x) са елементарни функции, определени върху множествата D1, D2. Тогава областта D на допустимите стойности на уравнението ще бъде набор, състоящ се от тези стойности на x, които принадлежат и на двата набора, т.е. D = D1∩ D2. Ясно е, че когато множеството D е празно (D= ∅), тогава уравнението няма решения. (Приложение No1).
1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.
ODZ:-1 =0⇔-3
Отговор: няма решения.
2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.
ODZ: x2-4x+3>=0,x>0.8x-2x2-6>=0⇔x∈(-безкрайност;1∪ 3;безкрайност),x>01
Проверете: x = 1.
(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,
0 = 0 - вярно.
x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 - неправилно.
Често се оказва достатъчно да се разгледа не цялата област на дефиниране на функция, а само нейното подмножество, на което функцията приема стойности, които отговарят на определени условия (например само неотрицателни стойности).
1. x+27-x(x-9 +1) = 1.
ODZ: x-9>=0, x>=9.
За x>=9 x+2>0, 7-x 0, следователно, произведението на трите фактора от лявата страна на уравнението е отрицателно, а дясната страна на уравнението е положителна, което означава, че уравнението няма решения.
Отговор: ∅.
2. 3-x2+ x+2 = x-2.
ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔
Върху множеството от допустими стойности лявата страна на уравнението е положителна, а дясната е отрицателна, което означава, че уравнението няма решения.
Отговор: няма решения.
Глава 2. Използване на концепцията за функционален диапазон.
Диапазонът от стойности на функцията y = f(x) е множеството от стойности на променливата y при приемливи стойностипроменлива x.
Казва се, че функция y = f(x) е ограничена отдолу (съответно отгоре) на множеството X, ако съществува число M, така че неравенството fx>=M е валидно за X (съответно fx
Функция y = f(x) се нарича ограничена на даден интервал (съдържащ се в неговата област на дефиниция), ако има число M >0, така че за всички стойности на аргумента, принадлежащи на този интервал, неравенството f(x ) държи
Нека е дадено уравнението f(x) = g(x), където g(x) са елементарни функции, дефинирани върху множествата D1, D2. Нека обозначим диапазона на изменение на тези функции като E1 и E2, съответно. Ако x1 е решение на уравнението, тогава численото равенство f(x1) = g(x1) ще се запази, където f(x1) е стойността на функцията f(x) при x = x1, а g(x1) е стойността на функцията g(x) при x = x1. Това означава, че ако уравнението има решение, тогава обхватите на функциите f(x) и g(x) имат общи елементи (E1∩E2 !=∅). Ако такива общи елементине съдържа множества E1 и E2, то уравнението няма решения.
Основните неравенства се използват за изчисляване на изрази. (Приложение No 2).
Нека е дадено уравнението f(x) = g(x). Ако f(x)>=0 и g(x)
1. x2+2xsinxy+1=0.
Решение. От лявата страна има единица, което означава, че можете да използвате основната тригонометрична идентичност: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.
Сумата от първите три члена е перфектен квадрат:
(x+sinxy)2+cos2xy =0.
Следователно от лявата страна е сумата на квадратите; тя е равна на нула, когато изразите в квадратите са едновременно равни на нула. Нека напишем системата: cosxy=0,x+sinxy=0.
Ако cosxy=0, тогава sinxy= +-1, следователно тази система е еквивалентна на комбинация от две системи: x+1=0,cosxy=0 или x-1=0,cosxy=0.
Техните решения са двойки числа x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.
Отговор: x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z и x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.
Ако на интервала X най-висока стойностедна от функциите y = f(x), y = g(x) е равна на A и най-малка стойностдруга функция също е равна на A, тогава уравнението f(x) = g(x) е еквивалентно на интервала X на системата от уравнения fx=A, gx=A.
1. Намерете всички стойности на a, за които уравнението има решение
2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).
След замяна на t= 22x-x2 стигаме до уравнението cos(2t+PI3)=a-12.
Функцията t=2m нараства, което означава, че достига най-голямата си стойност при най-високата стойност на m. Но m=2х - х има най-голяма стойност равна на 1. Тогава tmax = 22·1-1=2. Така наборът от стойности на функцията t= 22x-x2 е интервалът (0;2, а функцията cos(2t+PI3) е интервалът -1;0.5). Следователно, първоначалното уравнение има решение за онези и само онези стойности на a, които удовлетворяват неравенствата -1Отговор: -12. Решете уравнението (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.
Използвайки очевидните неравенства
Отговор: x= - 5+32, ако a=1+32 и x=-5+32, ако a= 1-32.
Можете да разгледате други уравнения по-подробно. (Приложение No3).
Глава 3. Използване на свойството монотонност на функция.
За функция y = f(x) се казва, че нараства (съответно, намалява) на набор X, ако на този набор, когато аргументът се увеличава, стойностите на функцията се увеличават (съответно, намаляват).
С други думи, функцията y = f(x) нараства в множеството X, ако от x1∈X, x2∈X и x1 Тя намалява в това множество, ако от x1∈X, x2∈X и x1 f(x2).
За функция y = f(x) се казва, че е нестриктно нарастваща (съответно нестриктно намаляваща) върху X, ако x1∈X, x2∈X и x1=f(x2)).
Функциите, които нарастват и намаляват върху X, се наричат монотонни върху X, а функциите, които не са строго нарастващи или намаляващи върху X, се наричат нестриктно монотонни върху X.
За доказване на монотонността на функциите се използват следните твърдения:
1. Ако функция f нараства върху множество X, тогава за всяко число C функцията f + C също нараства върху X.
2. Ако функцията f нараства върху множеството X и C > 0, тогава функцията Cf също нараства върху X.
3. Ако функция f нараства върху множество X, то функцията - f намалява върху това множество.
4. Ако функция f нараства на множеството X и запазва знака на множеството X, тогава функцията 1f намалява на това множество.
5. Ако функциите f и g нарастват върху множество X, то тяхната сума f+g също нараства върху това множество.
6. Ако функциите f и g са нарастващи и неотрицателни на множеството X, то тяхното произведение fg също нараства на X.
7. Ако функцията f е нарастваща и неотрицателна върху множеството X и n - естествено число, тогава функцията fn също нараства с X.
8. Ако и двете функции f(x) и g(x) нарастват или и двете намаляват, тогава функцията h(x) = f(g(x)) е нарастваща функция. Ако една от функциите се увеличава. А другата е намаляваща, тогава h(x) = f(g(x)) е намаляваща функция.
Нека формулираме теореми за уравненията.
Теорема 1.
Ако функцията f(x) е монотонна в интервала X, тогава уравнението f(x) = C има най-много един корен в интервала X.
Теорема 2.
Ако функцията f(x) е монотонна в интервала X, тогава уравнението f(g(x)) = f(h(x)) е еквивалентно в интервала X на уравнението g(x) = h(x) .
Теорема 3.
Ако функцията f(x) нараства на интервала X, а g(x) намалява на интервала X, тогава уравнението g(x) = f(x) има най-много един корен на интервала X.
Теорема 4.
Ако функцията f(x) нараства на интервала X, тогава уравнението f(f(x)) = x е еквивалентно на интервала X на уравнението f(x) = x.
1. Намерете всички стойности на a, за които уравнението има точно три корена
4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.
Решение. Да се трансформираме дадено уравнениена ум
2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).
Ако поставим u = x2-2x, v=2x-a-1, тогава стигаме до уравнението
2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).
Функцията f (t) = 2tlog3(t+3) нараства монотонно за t >-2, така че от последното уравнение можем да отидем до еквивалента u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1 )2=2x -a.
Това уравнение, както се вижда от фигурата, има точно три корена в следните случаи:
1. Върхът на графиката на функцията y = 2x-a се намира във върха на параболата y = (x-1)2, което съответства на a = 1;
2. Левият лъч на графиката y = 2x-a докосва параболата, а десният я пресича в две точки; това е възможно при a=12;
3. Десният лъч се докосва, а левият лъч пресича параболата, което се получава при a=32.
Нека обясним втория случай. Уравнението на левия лъч е y = 2a-2x, неговото наклоне равно на -2. Следователно ъгловият коефициент на допирателната към параболата е равен на
2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 и допирателната точка има координати (0; 1). От условието, че тази точка принадлежи на лъча, намираме a=12.
Третият случай може да се разгледа по подобен начин или като се използват съображения за симетрия.
Отговор: 0,5; 1;1.5.
Можем да разгледаме други уравнения по-подробно. (Приложение № 4).
Глава 4. Използване на свойствата на изпъкналостта.
Нека функция f(x) е дефинирана на интервал X, тя се нарича строго изпъкнала надолу (нагоре) върху X, ако за всяко u и v от X, u!=v и 0
Геометрично това означава, че всяка точка от хордата BC (т.е. отсечка с краища в точки B(u;f(u)) и C(v;f(v)), различна от точките B и C, лежи над (долу) точката И графиката на функцията f(x), съответстваща на същата стойност на аргумента (Приложение № 5).
Функции, които са строго изпъкнали нагоре и надолу, се наричат строго изпъкнали.
Следните твърдения са верни.
Теорема 1.
Нека функцията f(x) е строго изпъкнала надолу върху интервала X, u ,v ∈X, u
От теорема 1 следва следното твърдение.
Теорема 2.
Ако функцията f(x) е строго изпъкнала на интервала X, функциите u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) са такива, че за всички x от уравненията на ODZ f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) техните стойности u(x), v(x), u1(x), v1(x) са се съдържа в X и условието u е изпълнено +v = u1 +v1, тогава уравнението f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) на ODZ е еквивалентно на множеството от уравнения u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).
1. 41-sin4x+41-cos4x=412.
Решение. Ако зададем fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, тогава това уравнение ще бъде записано във формата (1). Тъй като f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7, тогава функцията fx е строго изпъкнала нагоре върху сегмента -1;1. Очевидно, останалите са изпълнени условията Теорема 2 и следователно уравнението е еквивалентно на уравнението cos2x = 0,5, x = PI4 +PIk2, където k∈Z.
Отговор: x = PI4 +PIk2, където k∈Z.
Теорема 3.
Нека функцията fx е строго изпъкнала на интервала X и u,v, λv+(1-λ)u∈X. Тогава равенството f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) е валидно тогава и само ако u=v или λ=0, или λ=1 .
Примери: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.
Уравнението има формата (4), ако fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.
Очевидно е, че функцията fx е строго изпъкнала надолу върху R. Следователно, съгласно теорема 3, оригиналното уравнение е еквивалентно на набора от уравнения sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.
От тук получаваме, че неговите решения ще бъдат PIk2, PI12+PIn3, където k,n∈Z.
Отговор: PIk2, PI12+PIn3, където k,n∈Z.
Използването на свойства на изпъкналост се използва при решаване и др сложни уравнения. (Приложение No 6).
Глава 5. Използване на четни или нечетни свойства на функции.
Функция fx се извиква, дори ако за всяка стойност x, взета от домейна на функцията, стойността - x също принадлежи към домейна на дефиницията и е изпълнена равенство f-x=fx. Функция fx се нарича нечетна, ако за всяка стойност x, взета от областта на дефиниция на функцията, стойността - x също принадлежи към областта на дефиниция и е изпълнено равенството f-x = - fx.
От дефиницията следва, че областите на четните и нечетните функции са симетрични относно нула (необходимо условие).
За всеки две симетрични стойности на аргумента от домейна на дефиницията четната функция приема равни числови стойности, а нечетни - равни в абсолютна стойност, но с обратен знак.
Теорема 1.
Сборът, разликата, произведението и частното на две четни функции са четни функции.
Теорема 2.
Произведението и частното на две нечетни функции са дори функции.
Нека имаме уравнението F(x)=0, където F(x) е четна или нечетна функция.
За да се реши уравнението F(x) = 0, където F(x) е четна или нечетна функция, е достатъчно да се намерят положителни (или отрицателни) корени, които са симетрични на получените, и за странна функциякоренът ще бъде x = 0, ако тази стойност е в областта на F(x). За четна функция стойността x = 0 се проверява чрез директно заместване в уравнението.
Имаме четни функции от двете страни на уравнението. Следователно е достатъчно да се намерят решения за x>=0. Тъй като x=0 не е корен на уравнението, разгледайте два интервала: (0;2, 2;безкрайност.
а) На интервала (0;2 имаме:
8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.
б) На интервала 2;безкрайност имаме:
8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.
Но тъй като x = 0 не е корен на уравнението, тогава за x>0 това уравнение има корен x = 43. Тогава x = - 43 също е корен на уравнението.
Отговор: 43; - 43.
Авторът смята, че работата може да се използва от учители и ученици от общообразователните видове в извънкласни дейности, в подготовка за Математически олимпиади, полагане на Единния държавен изпит, приемни изпитикъм техническите училища.
цел:разгледайте проблемите на ZNO с помощта на функционално-графични методи, като използвате пример експоненциална функция y = a x, a>0, a1
Цели на урока:
повторете свойството монотонност и ограниченост на експоненциалната функция;
повторете алгоритъма за конструиране на функционални графики с помощта на трансформации;
намерете много стойности и много дефиниции на функция по тип формула и използване на графика;
реши експоненциални уравнения, неравенства и системи, използващи графики и свойства на функции.
работа с функционални графики, съдържащи модул;
вижте графиките сложна функцияи техния диапазон от стойности;
1. Встъпителни бележкиучители. Мотивация за изучаване на тази тема
Слайд 1 Експоненциална функция. “Функционално – графични методи за решаване на уравнения и неравенства”
Функционално-графичният метод се основава на използването на графични илюстрации, прилагането на свойствата на функцията и ви позволява да решавате много задачи по математика.
Слайд 2 Цели на урока
Днес ще разгледаме ZNO задачи с различни нива на сложност, използвайки функционално-графични методи, като използваме примера на експоненциалната функция y = a x, a>o, a1. С помощта на графична програма ще създадем илюстрации към задачите.
Слайд 3 Защо е толкова важно да знаем свойствата на експоненциалната функция?
Според закона за експоненциалната функция всички живи същества на Земята биха се размножили, ако има благоприятни условия за това, т.е. нямаше естествени врагове и имаше много храна. Доказателство за това е разпространението на зайци в Австралия, които преди не са били там. Достатъчно беше да се освободят няколко индивида и след известно време тяхното потомство се превърна в национална катастрофа.
В природата, технологията и икономиката има множество процеси, по време на които стойността на дадено количество се променя еднакъв брой пъти, т.е. според закона за експоненциалната функция. Тези процеси се наричат процеси органичен растежили органично затихване.
например, бактериален растежпри идеални условия съответства на процеса на органичен растеж; радиоактивно разпаданевещества– процес на органично затихване.
Подчинени на законите на органичния растеж растеж на депозитав Спестовна каса, възстановяване на хемоглобинав кръвта на донор или ранен, който е загубил много кръв.
Дайте вашите примери
Приложение в реалния живот(доза от лекарството).
Всеки знае, че хапчетата, препоръчани от лекаря за лечение, трябва да се приемат няколко пъти на ден, в противен случай те ще бъдат неефективни. Необходимостта от повторно приложение на лекарството за поддържане на постоянна концентрация в кръвта е причинена от разрушаването на лекарството, което се случва в тялото. Фигурата показва как в повечето случаи концентрацията на лекарства в кръвта на човек или животно се променя след еднократно приложение. Слайд4.
Намаляването на концентрацията на лекарството може да се апроксимира чрез експонента, чийто показател съдържа време. Очевидно скоростта на разрушаване на лекарството в организма трябва да бъде пропорционална на интензивността на метаболитните процеси.
Има един трагичен случай, възникнал поради непознаване на тази зависимост. СЪС научна точкаНаркотикът LSD, който предизвиква особени халюцинации при нормалните хора, е много интересен за психиатрите и неврофизиолозите. Някои изследователи решиха да проучат реакцията на слона към това лекарство. За да направят това, те взеха количеството LSD, което вбесява котките, и го умножиха по колко пъти масата на слона е по-голяма от масата на котка, вярвайки, че дозата на приложеното лекарство трябва да бъде правопропорционална на масата на животното. Прилагането на такава доза LSD на слон доведе до смъртта му в рамките на 5 минути, от което авторите заключиха, че слоновете имат повишена чувствителност към това лекарство. Рецензия на тази работа, която се появи по-късно в пресата, я нарече „слонска грешка“ от авторите на експеримента.
2. Актуализиране на знанията на учениците.
Какво означава да изучаваш функция? (формулирайте определение, опишете свойства, нарисувайте графика)
Каква функция се нарича експоненциална? Дайте пример.
Какви основни свойства на експоненциалната функция знаете?
Обхват на значимост (ограниченост)
област на дефиниция
монотонност (състояние на нарастване и намаляване)
Слайд 5 . Посочете различни стойности на функцията (според готовия чертеж)
Слайд 6. Назовете условието за нарастваща и намаляваща функция и съпоставете формулата на функцията с нейната графика
Слайд 7. Въз основа на готовия чертеж опишете алгоритъма за конструиране на функционални графики
б) y=3 x-2 – 2
3.Диагностика самостоятелна работа(чрез компютър).
Класът е разделен на две групи. Основната част от класа изпълнява тестови задачи. Силните ученици изпълняват по-сложни задачи.
Самостоятелна работа по програматаМощност точка(за основната част от класа по вид тестови задачиот ЗНО със затворен формуляр за отговор)
Коя експоненциална функция нараства?
Намерете областта на дефиниция на функцията.
Намерете диапазона на функцията.
Графиката на функцията се получава от графиката на експоненциалната функция чрез паралелно транслиране по оста... с.. единици...
Използвайки готовия чертеж, определете областта на дефиниция и областта на стойност на функцията
Определете при каква стойност a експоненциалната функция преминава през точката.
Коя фигура показва графиката на експоненциална функция с основа, по-голяма от единица?
Свържете графиката на функцията с формулата.
Графичното решение на кое неравенство е показано на фигурата.
Решете неравенството графично (като използвате готовия чертеж)
Самостоятелна работа (за силната част от класа)
Слайд 8. Запишете алгоритъма за изграждане на графика на функция, назовете нейната област на дефиниране, диапазон на стойността, интервали на нарастване и намаляване.
Слайд 9. Свържете формулата на функцията с нейната графика
Учениците проверяват отговорите си, без да коригират грешките; самостоятелната работа се предава на учителя
Слайд 10. Отговори на тестови задачи
5) D 6) C 7) B 8) 1-G 2-A 3-C 4- B
9) A 10)(2;+ 
)
Слайд 11 (задача за проверка 8)
4. Проучване нова тема. Приложение на функционално-графичния метод за решаване на уравнения, неравенства, системи, определяне на диапазона от стойности на сложна функция
Слайд 12. Функционално графичен метод за решаване на уравнения
Да се реши функционално уравнение от вида f(x)=g(x). графичен методтрябва да:
Да се построят графики на функциите y=f(x) и y=g(x) в една и съща координатна система.
Определете координатите на пресечната точка на графиките на тези функции.
Запишете отговора.
ЗАДАЧА No1 РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ
Слайд 13.
Уравнението има ли корен и ако има, положителен или отрицателен е?
6 х =1/6
(4/3) x = 4
СЛАЙД 14
5. Правене на практическа работа.
Слайд 15.
Това уравнение може да бъде решено графично. Учениците трябва да изпълнят задачата и след това да отговорят на въпроса: „Необходимо ли е да се построят графики на функции, за да се реши това уравнение?“ Отговор: „Функцията нараства в цялата област на дефиниция и функцията намалява. Следователно графиките на такива функции имат най-много една пресечна точка, което означава, че уравнението има най-много един корен. Чрез селекция намираме, че „.
Решете уравнението:
Слайд 16. .Решение:Използваме функционалния метод за решаване на уравнения:
защото тази система има уникално решение, тогава с помощта на метода за избор намираме x = 1
ЗАДАЧА No2 РЕШАВАНЕ НА НЕРАВЕНСТВА
Графичните методи позволяват да се решават неравенства, съдържащи различни функции. За да направите това, след като построите графики на функциите от лявата и дясната страна на неравенството и определите абсцисата на точката на пресичане на графиките, е необходимо да определите интервала, в който лежат всички точки на една от графиките по-горе (под 0 точки от секундата.
Решете неравенство:
а) cos x 1 + 3 x
Слайд 1 8. Решение:
Отговор: ( ; )
Решете неравенството графично.
Слайд 19.
(Графиката на експоненциалната функция се намира над функцията, написана от дясната страна на уравнението.)
Отговор: x>2. ЗА
.
Отговор: x>0.
ЗАДАЧА № 3 Показателната функция съдържа знака на модула в показателя.
Нека повторим дефиницията на модула.
(запишете на дъската)
Слайд 20.
Правете бележки в бележника си:
1). 
2). 
На слайда е представена графична илюстрация. Обяснете как са построени графиките.
Слайд 21.
За да решите това уравнение, трябва да запомните свойството ограниченост на експоненциалната функция. Функцията приема стойности >
1, а – 1 >
1, следователно равенството е възможно само ако двете страни на уравнението са едновременно равни на 1. Това означава, че Решавайки тази система, намираме, че X = 0.
ЗАДАЧА 4. Намиране на диапазона от стойности на сложна функция.
Слайд 22.
Използване на способността за изграждане на графика квадратична функция, определете последователно координатите на върха на параболата, намерете обхвата на стойностите.
Слайд 23.
, е върхът на параболата.
Въпрос:определя естеството на монотонността на функцията.
Експоненциалната функция y = 16 t нараства, тъй като 16>1.
Точността на такова решение е ниска, но с помощта на графика можете интелигентно да изберете първото приближение, от което да започнете по-нататъшното решаване на уравнението. Има два начина за решаване на уравнения графично.
Първи начин . Всички членове на уравнението се прехвърлят в лявата страна, т.е. уравнението се представя във формата f(x) = 0. След това се построява графика на функцията y = f(x), където f(x) е лявата страна на уравнението. Абсцисите на точките на пресичане на графиката на функцията y = f(x) с оста воли са корените на уравнението, защото в тези точки y = 0.
Втори начин . Всички членове на уравнението са разделени на две групи, като едната е записана от лявата страна на уравнението, а другата отдясно, т.е. представи го във формата j(x) = g(x). След това се начертават графики на две функции y = j(x) и y = g(x). Абсцисите на пресечните точки на графиките на тези две функции служат като корени на това уравнение. Нека точката на пресичане на графиките има абциса x o, ординатите на двете графики в тази точка са равни една на друга, т.е. j(x o) = g(x o). От това равенство следва, че x 0 е коренът на уравнението.
Разделяне на корените
Процесът на намиране на приблизителни стойности на корените на уравнението е разделен на два етапа:
1) отделяне на корените;
2) прецизиране на корените до дадена точност.
Разглежда се коренът x на уравнението f(x) = 0 разделени на интервала, ако уравнението f(x) = 0 няма други корени на този интервал.
Разделянето на корени означава разделяне на целия диапазон от приемливи стойности на сегменти, всеки от които съдържа един корен.
Графичен метод за отделяне на корени - в този случай продължете по същия начин, както при графичния метод за решаване на уравнения.
Ако кривата докосва оста x, тогава в тази точка уравнението има двоен корен (например уравнението x 3 - 3x + 2 = 0 има три корена: x 1 = -2; x 2 = x 3 = 1 ).
Ако уравнението има троен реален корен, тогава в точката на контакт с оста X кривата y = f(x) има инфлексна точка (например уравнението x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 има корен x 1 = x 2 = x 3 = 1).
Аналитичен метод за разделяне на корени . За да направите това, използвайте някои свойства на функциите.
Теорема 1 . Ако функцията f(x) е непрекъсната на сегмент и приема стойности с различни знаци в краищата на този сегмент, тогава вътре в сегмента има поне един корен на уравнението f(x) = 0.
Теорема 2. Ако функцията f(x) е непрекъсната и монотонна на сегмент и приема стойности с различни знаци в краищата на сегмента, тогава сегментът съдържа корена на уравнението f(x) = 0 и този корен е уникален .
Теорема 3 . Ако функцията f (x) е непрекъсната на сегмент и приема стойности на различни знаци в краищата на този сегмент, а производната f "(x) поддържа постоянен знак вътре в сегмента, тогава вътре в сегмента има корен на уравнението f(x) = 0 и освен това уникален.
Ако функцията f(x) е дадена аналитично, тогава област на съществуване (област на дефиниция) на функцията е множеството от всички онези реални стойности на аргумента, за които аналитичният израз, дефиниращ функцията, не губи численото си значение и приема само реални стойности.
Извиква се функцията y = f(x). нарастваща , ако с нарастването на аргумента стойността на функцията се увеличава и намаляващи , ако с нарастването на аргумента стойността на функцията намалява.
Функцията се извиква монотонен , ако в даден интервал или само нараства или само намалява.
Нека функцията f (x) е непрекъсната на сегмента и приема стойности на различни знаци в краищата на сегмента, а производната f "(x) поддържа постоянен знак на интервала. Тогава, ако във всички точки на интервала първата производна е положителна, т.е. f "(x) >0, тогава функцията f(x) в този интервал увеличава . Ако във всички точки на интервала първата производна е отрицателна, т.е. f "(x)<0, то функция в этом интервале намалява .
Нека функцията f(x) на интервал има производна от втори ред, която поддържа постоянен знак през целия интервал. Тогава, ако f ""(x)>0, тогава графиката на функцията е изпъкнал надолу ; ако f ""(x)<0, то график функции является изпъкнал нагоре .
Точките, в които първата производна на функция е равна на нула, както и тези, в които тя не съществува (например се обръща към безкрайност), но функцията запазва непрекъснатост, се наричат критичен .
Процедура за отделяне на корени с помощта на аналитичния метод:
1) Намерете f "(x) - първата производна.
2) Направете таблица със знаци на функцията f(x), като приемете X равно на:
а) критични стойности (корени) на производната или най-близките до тях;
б) гранични стойности (въз основа на обхвата на допустимите стойности на неизвестното).
Пример. Разделете корените на уравнението 2 x - 5x - 3 = 0.
Имаме f(x) = 2 x - 5x - 3 . Областта на дефиниране на функцията f(x) е цялата числена ос.
Нека изчислим първата производна f "(x) = 2 x ln(2) - 5.
Приравняваме тази производна на нула:
2 x log(2) - 5 = 0; 2 x ln(2) = 5; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .
Съставяме таблица със знаци на функцията f(x), приемайки X равни на: а) критични стойности (корени на производната) или най-близки до тях; б) гранични стойности (въз основа на обхвата на допустимите стойности на неизвестното):
Корените на уравнението лежат в интервалите (-1.0) и (4.5).
Идеята за графичен метод за решаване на уравнение е проста. Необходимо е да се построят графики на функциите, съдържащи се в двете страни на уравнението, и да се намерят абсцисите на пресечните точки. Но графиката на някои функции е трудна. Не винаги има нужда да се прибягва до начертаване на графики. Такива уравнения могат да бъдат решени с помощта на метода за избор на корен, като се използват свойствата на монотонност и ограниченост на функциите. Това ви позволява доста бързо да решавате задачите, предложени при полагане на Единния държавен изпит.
Изтегляне:
Преглед:
Общинско учебно заведение
"Гимназия № 24"
Функционално-графичен метод
Решения на уравнения.
Подготвен от учителя
Данилина Олга Сергеевна.
Магадан 2007г
« Функционално – графичен метод за решаване на уравнения“
Цел на урока: да се развие способността за решаване на уравнения от определен тип с помощта на функционално-графичен метод, като се използват свойствата на ограничеността и монотонността на функциите
Структура на урока:
Встъпителна реч на учителя, въведение в темата на урока, поставяне на цели
Актуализиране на предварително придобитите знания, необходими за усвояване на темата на урока
Презентация от водещи, съдържаща представяне на нов материал с примерни решения на различни видове уравнения
Работа по групи с цел първично затвърдяване на наученото
Провеждане на игра, подобна на играта: „Какво? къде? кога?"
Обобщаване на урока.
- Във встъпителното слово учителят споделя своя опит с новия метод. говори за необходимостта от усвояването му, значението му и възможността за придобиване на умения за по-рационално решаване на уравнения
- Актуализиране на знанията:: нарастващи и намаляващи функции, примери, свойства на монотонността и ограничените функции.
- Представяне на нова тема с помощта на слайдове, очертаващи теоретичен материал с примери за решения на уравнения (вижте приложението).
- Работа по групи: На всяка група се раздават карти със задачи, примерни решения и задачи. Студентите-консултанти, водещи урока, следят напредъка на задачите и се притичват на помощ, ако е необходимо. По време на работата си работещите в групи могат да използват компютри, които са конфигурирани със специална програма, която им позволява да изграждат графики на функциите. Благодарение на това в трудни ситуации компютърът може да се използва като подсказка или като възможност за нагледна демонстрация правилността на решението и правилността на избрания метод.
- Защита от представител на групата на изпълнените задачи, с помощта на мултимедийна дъска, която демонстрира решението на уравнения чрез графичен метод за потвърждаване на точността на изпълнената задача. RA
- Провеждане на играта. За всяка група от екрана на монитора се чува въпрос, предварително записан от различни училищни учители, и се дава минута за обсъждане, след което децата трябва да дадат своя аргументиран отговор. След това, от нововключения екран, учителят, който преди това е задал въпроса, представя версия на своя отговор. Това многократно повторение на разсъждения по новоизучавана тема, особено когато се произнася компетентно от различни хора, постига най-благоприятни условия за усвояване. нова тема (вижте приложението).
- Обобщаване: Идентифициране на най-добрите „петима експерти, най-добрият играч.
Въпроси към класа;
Какво научихте в днешния урок?
Какви уравнения могат да бъдат решени с помощта на метода за избор?
Какви свойства на функциите се използват в този случай.
Въпроси към участниците в играта:
Уважаеми експерти, за една минута намерете корена на това уравнение и докажете, че то е единственото.
Отговор: Сборът от две нарастващи функции е нарастваща функция. y = - нараства монотонно, следователно уравнението има един корен, т.к графиката на тази функция се пресича с правата линия y=3 веднъж. Когато x=1, получаваме правилното равенство. Отговор: x=1
Уважаеми експерти, за една минута назовете функциите, които се съдържат в двете страни на неравенството и намерете корена на това уравнение.
Отговор: y = - експоненциална функция, нарастваща върху множеството от реални числа. y=6 - x е линейна функция, тя намалява монотонно върху множеството от реални числа. Това означава, че графиките на функциите се пресичат в една точка, уравнението има един корен. Когато x=2, получаваме правилното равенство. Отговор: x=2
3. Уважаеми експерти, вече знаете, че уравнението има един корен x=3. След една минута отговорете при какви стойности на x е валидно неравенството.
Отговор: неравенството е в сила за x Є, т.к на този интервал графиката на функцията y = е разположена под графиката на функцията y =
4. Уважаеми експерти, много хора срещат трудности при решаването на уравнението. За една минута намерете корена на това уравнение и докажете, че то е уникално.
Отговор: коренът на уравнението x = -3 е уникален, тъй като лявата страна на уравнението съдържа намаляваща функция, а дясната страна съдържа нарастваща, което означава, че графиките на функциите се пресичат в една точка и уравнението има един корен.
5. Уважаеми експерти, имам труден въпрос към вас. Можете лесно да намерите корена на уравнението. Докажи, че е единственият. Отговор: x=1 е единственият корен.
Функционално – графичен метод за решаване на уравнения.
________________________________________________________________________
Цел на урока: Научете се да решавате уравнения чрез метода на заместване, като използвате свойствата на монотонност и ограниченост на функциите.
_________________________________________________________________________
Справочен материал
- Функция се нарича нарастваща (намаляваща) на набор X, ако на този набор, тъй като аргументът се увеличава (намалява), стойността на функцията се увеличава (намалява).
Пример 1:
- увеличават се функциите
Пример 2:
са намаляващи функции
Справочен материал
2. Сумата от две нарастващи функции е нарастваща функция.
Пример:
3. Сборът от две намаляващи функции е намаляваща функция.
