Цифров кръге единична окръжност, чиито точки съответстват на определени реални числа.

Единична окръжност е окръжност с радиус 1.

Обща форма числов кръг.

1) Неговият радиус се приема като мерна единица.

2) Хоризонталните и вертикалните диаметри разделят числовия кръг на четири четвърти. Те се наричат ​​съответно първа, втора, трета и четвърта четвърт.

3) Хоризонталният диаметър се означава с AC, като A е най-крайният точноточка.
Вертикалният диаметър е обозначен с BD, като B е най-високата точка.
Съответно:

първата четвърт е дъгата AB

втора четвърт - дъга пр.н.е

трета четвърт - дъга CD

четвърта четвърт - дъга DA

4) Началната точка на числовата окръжност е точка А.

Броенето по числовата окръжност може да се извърши както по посока на часовниковата стрелка, така и обратно на часовниковата стрелка.

Преброяване от точка А срещучасовниковата стрелка се нарича положителна посока.

Преброяване от точка А отнаречена по часовниковата стрелка отрицателна посока.

Цифров кръг включен координатна равнина.

Центърът на радиуса на числовата окръжност съответства на началото (число 0).

Хоризонталният диаметър съответства на оста х, вертикална ос г.

Начална точка Цифров кръгтройникът е на остахи има координати (1; 0).

Имена и местоположение на основните точки в числовия кръг:

Как да запомните имената на кръговете с числа.

Има няколко прости шаблона, които ще ви помогнат лесно да запомните основните имена на числовия кръг.

Преди да започнем, нека ви напомним: броенето се извършва в положителна посока, тоест от точка А (2π) обратно на часовниковата стрелка.

1) Да започнем с крайни точкипо координатните оси.

Началната точка е 2π (най-дясната точка на оста х, равно на 1).

Както знаете, 2π е обиколката на кръг. Това означава, че половин кръг е 1π или π. ос хразделя кръга точно наполовина. Съответно най-лявата точка на оста хравно на -1 се нарича π.

Най-високата точка на оста при, равно на 1, разделя горния полукръг наполовина. Това означава, че ако един полукръг е π, тогава половин полукръг е π/2.

В същото време π/2 също е четвърт от окръжност. Нека преброим три такива четвърти от първата до третата - и ще стигнем до най-ниската точка на оста при, равно на -1. Но ако включва три четвърти, тогава името му е 3π/2.

2) Сега нека да преминем към останалите точки. Моля, обърнете внимание: всички противоположни точки имат същия знаменател- и това са противоположни точки и спрямо оста при, както спрямо центъра на осите, така и спрямо оста х. Това ще ни помогне да знаем техните точкови стойности, без да се тъпчем.

Трябва само да запомните значението на точките от първата четвърт: π/6, π/4 и π/3. И тогава ще „видим“ някои модели:

- Спрямо оста при в точки от втората четвърт, срещу точките от първа четвърт, числата в числителите са с 1 по-малки от размера на знаменателите. Например вземете точката π/6. Точката срещу него спрямо оста присъщо има 6 в знаменателя и 5 в числителя (1 по-малко). Тоест името на тази точка е: 5π/6. Точката срещу π/4 също има 4 в знаменателя и 3 в числителя (1 по-малко от 4) – тоест това е 3π/4 точка.
Точката срещу π/3 също има 3 в знаменателя и 1 по-малко в числителя: 2π/3.

- Спрямо центъра на координатните осивсичко е обратното: числата в числителите на срещуположните точки (в третата четвърт) са с 1 по-големи от стойността на знаменателите. Нека отново вземем точката π/6. Точката срещу него спрямо центъра също има 6 в знаменателя, а в числителя числото е с 1 повече - тоест е 7π/6.
Точката срещу точката π/4 също има 4 в знаменателя, а в числителя числото е с 1 повече: 5π/4.
Точката срещу точката π/3 също има 3 в знаменателя, а в числителя числото е с 1 повече: 4π/3.

- Спрямо оста х(четвърто тримесечие)въпросът е по-сложен. Тук трябва да добавите към стойността на знаменателя число, което е с 1 по-малко - тази сума ще бъде равна на числовата част от числителя на противоположната точка. Нека започнем отново с π/6. Нека добавим към стойността на знаменателя, равна на 6, число, което е с 1 по-малко от това число - тоест 5. Получаваме: 6 + 5 = 11. Това означава, че е противоположно на оста хточката ще има 6 в знаменателя и 11 в числителя - тоест 11π/6.

Точка π/4. Добавяме към стойността на знаменателя число с 1 по-малко: 4 + 3 = 7. Това означава, че е срещуположно на оста хточката има 4 в знаменателя и 7 в числителя - тоест 7π/4.
Точка π/3. Знаменателят е 3. Към 3 добавяме с единица по-малко число – тоест 2. Получаваме 5. Това означава, че точката срещу него има 5 в числителя – и това е точката 5π/3.

3) Друг модел за точките на средните точки на четвъртините. Ясно е, че знаменателят им е 4. Нека обърнем внимание на числителите. Числителят на средата на първата четвърт е 1π (но не е обичайно да се пише 1). Числителят на средата на втората четвърт е 3π. Числителят на средата на третата четвърт е 5π. Числителят на средата на четвъртата четвърт е 7π. Оказва се, че числителите на средните четвърти съдържат първите четири нечетни числа във възходящ ред:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Това също е много просто. Тъй като средните точки на всички четвъртини имат 4 в знаменателя, ние вече ги знаем пълни имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Характеристики на числовия кръг. Сравнение с числовата ос.

Както знаете, на числовата ос всяка точка съответства на единствено число. Например, ако точка А на права е равна на 3, тогава тя вече не може да бъде равна на друго число.

Различно е върху числовия кръг, защото е кръг. Например, за да стигнете от точка А на окръжност до точка М, можете да го направите като по права линия (само като преминете през дъга) или можете да обиколите цял кръг и след това да стигнете до точка М. Заключение:

Нека точка M е равна на някакво число t. Както знаем, обиколката на кръг е 2π. Това означава, че можем да напишем точка t върху окръжност по два начина: t или t + 2π. Това са еквивалентни стойности.
Тоест t = t + 2π. Единствената разлика е, че в първия случай сте стигнали веднага до точка М, без да направите кръг, а във втория случай сте направили кръг, но сте се озовали в същата точка М. Можете да направите две, три или двеста такива кръгове. Ако означим броя на кръговете с буквата н, тогава получаваме нов израз:
t = t + 2π н.

Оттук и формулата:

В този урок ще повторим важна собственостчислова окръжност и поставете единицата числова окръжност в координатната равнина според определени правила. Нека си припомним уравнението на окръжността на единичното число и да го използваме, за да решим няколко задачи за намиране на координатите на точка в окръжността на единичното число. В края на урока ще съставим таблица с координати за точки, кратни на π/6 и π/4.

Тема на урока, повторение

Преди това изучавахме числовия кръг и открихме неговите свойства (фиг. 1).

Всяко реално число съответства на една точка от окръжността.

Всяка точка от числовия кръг съответства не само на число, но и на всички числа от формуляра

Цифров кръг в координатната равнина

Нека поставим кръга вътре координатна равнина. Както преди, всяко число съответства на точка от кръга. Сега тази точка от окръжността съответства на две координати, точно както всяка точка от координатната равнина.

Нашата задача е да даден номернамерете не само точка, но и нейните координати и обратно, като използвате координатите, намерете едно или повече съответстващи числа.

Пример 1. Дадена е точка - средата на една дъга съответства на числа от формата

Намерете координатите на точката (фиг. 3).

Координатите могат да бъдат намерени по два различни начина, нека ги разгледаме последователно.

1. Точката лежи върху окръжността, R=1, което означава, че тя удовлетворява уравнението на окръжността

По условие. Помним, че големината на централния ъгъл е числено равна на дължината на дъгата в радиани, което означава ъгълът. Това също означава, че правата линия разделя първата четвърт точно наполовина, което означава, че е права линия

Точка лежи на права и следователно удовлетворява уравнението на тази права.

Нека създадем система от две уравнения.

След като решихме системата, получаваме необходимите координати.

2. Помислете за правоъгълна (фиг. 4).

И така, зададохме число, намерихме точка и нейните координати. Нека определим и координатите на симетрични на него точки (фиг. 5).

Намиране на правоъгълни координати на точки, чиито криволинейни координати са кратни

Следващата задача е да се определят координатите на точки, кратни на

В координатната равнина е поставена окръжност с радиус R=1. Намерете точка на окръжността и нейните координати (фиг. 6).

Помислете - правоъгълен.

Тоест ъгълът

Да намерим координатите на симетричните точки (фиг. 7).

Зададохме число, намерихме точка от окръжността, тази точка е единствената и намерихме нейните координати.

Разрешаване на проблем

Пример 1. Дадена е точка, да се намерят нейните правоъгълни координати.

Точката е средата на третата четвърт (фиг. 8).

Заключение, заключение

Поставихме числовия кръг в координатната равнина, научихме се да намираме точка върху кръга и нейните координати с помощта на числото. Тази техника е в основата на дефиницията на синус и косинус, които ще бъдат обсъдени по-късно.

Библиография

Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Урок за образователни институции(профилно ниво)/ред.

А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за общообразователни институции (ниво на профил) / изд.

А. Г. Мордкович. - М.: Мнемосина, 2007. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математически анализ за 10 клас ( урокза ученици от училища и паралелки със задълбочено изучаване на математика). - М.: Образование, 1996. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Задълбочено проучванеалгебра и математически анализ. - М.: Просвещение, 1997. Сборник от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави). - М.: Висше училище, 1992. Мерзляк А. Г., Полонски В. Б., Якир М. С. Алгебричен симулатор. - K .: A. S. K., 1997. Саакян С. М., Голдман А. М., Денисов Д. В. Проблеми по алгебра и принципи на анализа (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции). - М .: Образование, 2003. Карп А. П. Колекция от проблеми по алгебра и принципи на анализ: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани математика. - М.: Образование, 2006.

Математика. ru. проблеми. ru. АЗ ЩЕ РАЗРЕША УПОТРЕБАТА.

Домашна работа

Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за общообразователни институции (ниво на профил) / изд. А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2007.

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Цифров кръг в координатната равнина

Да повторим: Единична окръжност– числова окръжност, чийто радиус е 1. R=1 C=2 π + - y x

Ако точка M от числовата окръжност съответства на числото t, то тя също съответства на число от вида t+2 π k, където k е всяко цяло число (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), където k ϵ Z

Основни оформления Първо оформление 0 π y x Второ оформление y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Нека намерим координатите на точка M, съответстваща на точката. 1) 2) x y M P 45° O A

Координати на основните точки на първото оформление 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Нека намерим координатите на точката M, съответстваща на точката. 1) 2) 30°

M P Намерете координатите на точка M, съответстваща на точката. 1) 2) 30° x y O A B

Използвайки свойството на симетрия, намираме координатите на точки, кратни на y x

Координати на основните точки на второто оформление x y x y y x

Пример Намерете координатите на точка върху числова окръжност. Решение: P y x

Пример Намерете точки с ордината върху числовата окръжност Решение: y x ​​​​x y x y

Упражнения: Намерете координатите на точките от числовата окръжност: а) , б) . Намерете точките с абсцисата върху числовата окръжност.

Координати на основните точки 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Координати на основните точки на първото оформление x y x y Координати на главните точки от второто оформление

По темата: методически разработки, презентации и бележки

Дидактически материал по алгебра и началото на анализа в 10 клас (ниво на профил) "Числова окръжност на координатната равнина"

Вариант 1.1 Намерете точката на числовата окръжност: A) -2∏/3B) 72. Коя четвърт от числовата окръжност намира точка 16.3.

Аналитична геометриядава единни техники за решаване на геометрични задачи. За да направите това, всички зададени и търсени точки и линии се присвояват на една координатна система.

В една координатна система всяка точка може да се характеризира със своите координати, а всяка права – с уравнение с две неизвестни, чиято графика е тази права. По този начин геометрична задачасе свежда до алгебраични, където всички методи за изчисление са добре развити.

Окръжността е геометрично място на точки с едно специфично свойство (всяка точка от окръжността е на еднакво разстояние от една точка, наречена център). Уравнението на окръжност трябва да отразява това свойство и да отговаря на това условие.

Геометричната интерпретация на уравнението на окръжност е линията на окръжност.

Ако поставите окръжност в координатна система, тогава всички точки на окръжността отговарят на едно условие - разстоянието от тях до центъра на окръжността трябва да бъде същото и равно на окръжността.

Окръжност с център в точка А и радиус Р поставете го в координатната равнина.

Ако централните координати (a;b) , и координатите на всяка точка от окръжността (x;y) , тогава уравнението на окръжността има формата:

Ако квадратът на радиуса на окръжност е равен на сумата от квадратите на разликите между съответните координати на всяка точка от окръжността и нейния център, тогава това уравнение е уравнението на окръжност в равнинна координатна система.

Ако центърът на окръжността съвпада с началото, тогава квадратът на радиуса на окръжността е равен на сбора от квадратите на координатите на всяка точка от окръжността. В този случай уравнението на кръга приема формата:

Следователно всяка геометрична фигуракак геометричното място на точките се определя от уравнение, свързващо координатите на неговите точки. Обратно, уравнението, свързващо координатите х И при , дефинирайте линия като геометрично място на точки от равнината, чиито координати отговарят на това уравнение.

Примери за решаване на задачи за уравнение на окръжност

Задача. Напишете уравнение за даден кръг

Напишете уравнение за окръжност с център в точка O (2;-3) и радиус 4.

Решение.
Нека се обърнем към формулата за уравнението на окръжност:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Нека заместим стойностите във формулата.
Радиус на кръга R = 4
Координати на центъра на окръжността (според условието)
а = 2
b = -3

Получаваме:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
или
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Задача. Една точка принадлежи ли към уравнението на окръжност?

Проверете дали дадена точка принадлежи на A(2;3)уравнение на окръжност (x - 2) 2 +(y+3) 2 = 16 .

Решение.
Ако една точка принадлежи на окръжност, тогава нейните координати удовлетворяват уравнението на окръжността.
За да проверите дали точка с дадени координати принадлежи на окръжност, заместете координатите на точката в уравнението на дадената окръжност.

В уравнението ( х - 2) 2 + (г + 3) 2 = 16
Нека заместим според условието координатите на точка A(2;3), т.е
х = 2
y=3

Нека проверим истинността на полученото равенство
(х - 2) 2 + (г + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенството е фалшиво

По този начин, зададена точка не принадлежи дадено уравнениекръгове.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.