Каноничното уравнение на елипсата има формата
където a е голямата полуос; б – малка полуос. Точките F1(c,0) и F2(-c,0) − c се наричат
a, b - полуоси на елипсата.
Намиране на фокуси, ексцентричност, директриси на елипса, ако е известно нейното канонично уравнение.
Определение за хипербола. Трикове с хипербола.
Определение. Хипербола е набор от точки в равнина, за които модулът на разликата в разстоянията от две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност, по-малка от разстоянието между фокусите.
По дефиниция |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – фокуси на хиперболата. F1F2 = 2c.
Каноничното уравнение на хипербола. Полуоси на хипербола. Построяване на хипербола, ако е известно нейното канонично уравнение.
Канонично уравнение:
Голямата полуос на хипербола е половината от минималното разстояние между два клона на хиперболата, от положителната и отрицателната страна на оста (ляво и дясно спрямо началото). За клон, разположен на от положителната страна, полуоста ще бъде равна на:
Ако го изразим чрез коничното сечение и ексцентричността, тогава изразът ще приеме формата:
Намиране на фокуси, ексцентричност, директриси на хипербола, ако е известно нейното канонично уравнение.
Ексцентричност на хипербола
Определение. Съотношението се нарича ексцентричност на хиперболата, където c –
половината от разстоянието между фокусите и е реалната полуос.
Като се вземе предвид факта, че c2 – a2 = b2:
Ако a = b, e = , тогава хиперболата се нарича равностранна (еквистранна).
Директриси на хипербола
Определение. Две прави, перпендикулярни на реалната ос на хиперболата и разположени симетрично спрямо центъра на разстояние a/e от него, се наричат директриси на хиперболата. Техните уравнения са: .
Теорема. Ако r е разстоянието от произволна точка M на хиперболата до всеки фокус, d е разстоянието от същата точка до директрисата, съответстваща на този фокус, тогава съотношението r/d е постоянна стойност, равна на ексцентрицитета.
Дефиниция на парабола. Фокус и директриса на парабола.
Парабола. Параболата е геометричното място на точки, всяка от които е еднакво отдалечена от дадена фиксирана точка и от дадена фиксирана линия. Точката, за която ние говорим зав дефиницията се нарича фокус на параболата, а правата е нейната директриса.
Канонично уравнение на парабола. Парабола парабола. Построяване на парабола.
Каноничното уравнение на парабола в правоъгълна координатна система: (или, ако осите са разменени).
Построяването на парабола за дадена стойност на параметъра p се извършва в следната последователност:
Начертайте оста на симетрия на параболата и върху нея начертайте отсечката KF=p;
Директриса DD1 се изчертава през точка K перпендикулярно на оста на симетрия;
Сегментът KF се разделя наполовина, за да се получи връх 0 на параболата;
Поредица от произволни точки 1, 2, 3, 5, 6 се измерват отгоре с постепенно нарастващо разстояние между тях;
Чрез тези точки начертайте спомагателни прави линии, перпендикулярни на оста на параболата;
На помощните прави линии направете серифи с радиус равно на разстояниетоот директен до директор;
Получените точки са свързани с гладка крива.
Линии от втори ред.
Елипса и нейното канонично уравнение. кръг
След задълбочено проучване прави линии в равнинатаПродължаваме да изучаваме геометрията на двуизмерния свят. Залозите са удвоени и ви каня да посетите живописна галерия от елипси, хиперболи, параболи, които са типични представители линии от втори ред. Екскурзията вече започна и първо кратка информацияза цялата изложба на различните етажи на музея:
Концепцията за алгебрична права и нейния ред
Права на равнина се нарича алгебричен, ако в афинна координатна системанеговото уравнение има формата , където е полином, състоящ се от членове на формата ( – реално число, – неотрицателни цели числа).
Както можете да видите, уравнението на алгебрична линия не съдържа синуси, косинуси, логаритми и друг функционален бомонд. Влизат само X и Y неотрицателни цели числастепени.
Ред на линияравен на максималната стойност на включените в него условия.
Съгласно съответната теорема концепцията за алгебрична линия, както и нейният ред, не зависят от избора афинна координатна система, следователно, за по-лесно съществуване, приемаме, че всички последващи изчисления се извършват в Декартови координати.
Общо уравнениевторият ред има формата , където 
– произволни реални числа (Прието е да се пише с коефициент две), а коефициентите не са равни на нула в същото време.
Ако , тогава уравнението се опростява до 
, и ако коефициентите не са равни на нула в същото време, тогава това е точно общо уравнение на "плоска" линия, което представлява първа линия за поръчка.
Мнозина разбраха значението на новите термини, но въпреки това, за да овладеем материала на 100%, ние пъхаме пръстите си в гнездото. За да определите реда на редовете, трябва да повторите всички условиянеговите уравнения и намерете за всяко от тях сбор от градусивходящи променливи.
Например:
терминът съдържа “x” на 1-ва степен;
членът съдържа "Y" на 1-ва степен;
В термина няма променливи, така че сумата от техните степени е нула.
Сега нека разберем защо уравнението определя правата второпоръчка:
членът съдържа “x” на 2-ра степен;
събираемото е сумата от степените на променливите: 1 + 1 = 2;
терминът съдържа "Y" на 2-ра степен;
всички други условия - по-малкостепени.
Максимална стойност: 2
Ако добавим допълнително, да речем, към нашето уравнение, тогава то вече ще определи линия от трети ред. Очевидно е, че общата форма на уравнението на линията от 3-ти ред съдържа „пълен набор“ от членове, сумата от степените на променливите, в които е равна на три:
, където коефициентите не са равни на нула едновременно.
Ако добавите един или повече подходящи термини, които съдържат 
, тогава вече ще говорим за Линии от 4-ти реди т.н.
Ще трябва да срещнем алгебрични линии от 3-ти, 4-ти и по-високи порядъци повече от веднъж, по-специално, когато се запознаем с полярна координатна система.
Нека обаче се върнем към общото уравнение и си припомним най-простите му училищни варианти. Като примери възниква парабола, чието уравнение може лесно да се сведе до общ вид, и хипербола с еквивалентно уравнение. Не всичко обаче е толкова гладко...
Съществен недостатък общо уравнениее, че почти винаги не е ясно коя линия задава. Дори в най-простия случай няма веднага да разберете, че това е хипербола. Такива оформления са добри само на маскарад, така че имайте предвид аналитична геометриясе разглежда типична задача привеждане на уравнението на линията от 2-ри ред до канонична форма.
Каква е каноничната форма на уравнение?
Това е общоприетата стандартна форма на уравнение, когато за секунди става ясно какъв геометричен обект определя. В допълнение, каноничната форма е много удобна за решаване на много практически задачи. Така, например, според каноничното уравнение "плоска" права, първо, веднага става ясно, че това е права линия, и второ, точката, принадлежаща към нея, и векторът на посоката са лесно видими.
Очевидно, всякакви 1-ва линия за поръчкае права линия. На втория етаж вече не ни чака пазачът, а много по-разнообразна компания от девет статуи:
Класификация на линии от втори ред
Използвайки специален набор от действия, всяко уравнение на линия от втори ред се редуцира до една от следните форми:
(и са положителни реални числа)
1) 
– канонично уравнение на елипсата;
2) – канонично уравнение на хипербола;
3) 
– канонично уравнение на парабола;
4) – въображаемелипса;
5) – двойка пресичащи се прави;
6) – двойка въображаемпресичащи се линии (с една валидна пресечна точка в началото);
7) – двойка успоредни прави;
8) – двойка въображаемпаралелни линии;
9) – двойка съвпадащи линии.
Някои читатели може да имат впечатлението, че списъкът е непълен. Например в точка № 7 уравнението уточнява двойката директен, успоредна на оста, и възниква въпросът: къде е уравнението, което определя правите, успоредни на ординатната ос? Отговор: то не се считат за канонични. Правите линии представляват същия стандартен случай, завъртян на 90 градуса, а допълнителният запис в класификацията е излишен, тъй като не носи нищо принципно ново.
По този начин има девет и само девет различни типа линии от 2-ри ред, но на практика най-често срещаните са елипса, хипербола и парабола.
Нека първо да разгледаме елипсата. Както обикновено, аз се фокусирам върху онези точки, които имат голямо значениеза решаване на задачи, а ако имате нужда от подробно извеждане на формули, доказателства на теореми, вижте например учебника на Базилев/Атанасян или Александров.
Елипса и нейното канонично уравнение
Правопис... моля, не повтаряйте грешките на някои потребители на Yandex, които се интересуват от „как да се изгради елипса“, „разликата между елипса и овал“ и „ексцентричността на елипса“.
Каноничното уравнение на елипса има формата , където са положителни реални числа и . По-късно ще формулирам самата дефиниция на елипса, но засега е време да си дадем почивка от разговорите и да разрешим общ проблем:
Как да построим елипса?
Да, просто го вземете и просто го нарисувайте. Задачата се появява често и значителна част от учениците не се справят правилно с чертежа:
Пример 1
Построете елипсата, дадена от уравнението
Решение: първо нека намалим уравнението до канонична форма:
Защо да донесе? Едно от предимствата на каноничното уравнение е, че ви позволява незабавно да определите върховете на елипсата, които са разположени в точки. Лесно се вижда, че координатите на всяка от тези точки удовлетворяват уравнението.
В такъв случай : 
Линеен сегментНаречен главна оселипса;
линейна отсечка – второстепенна ос;
номер 
Наречен полу-голям валелипса;
номер 
– второстепенна ос.
в нашия пример: .
За да си представите бързо как изглежда определена елипса, просто погледнете стойностите на „a“ и „be“ на нейното канонично уравнение.
Всичко е наред, спретнато и красиво, но има едно предупреждение: направих рисунката с помощта на програмата. И можете да направите рисунката с помощта на всяко приложение. В суровата реалност обаче на масата има карирано листче, а мишките танцуват в кръг по ръцете ни. Хората с артистичен талант, разбира се, могат да спорят, но вие също имате мишки (макар и по-малки). Не напразно човечеството е изобретило линийка, компас, транспортир и други прости устройства за рисуване.
Поради тази причина е малко вероятно да успеем да начертаем точно елипса, познавайки само върховете. Всичко е наред, ако елипсата е малка, например с полуоси. Като алтернатива можете да намалите мащаба и съответно размерите на чертежа. Но в общ случайМного е желателно да намерите допълнителни точки.
Има два подхода за построяване на елипса - геометричен и алгебричен. Не харесвам конструирането с пергел и линийка, защото алгоритъмът не е най-краткият и чертежът е значително претрупан. В случай на спешност, моля, обърнете се към учебника, но в действителност е много по-рационално да използвате инструментите на алгебрата. От уравнението на елипсата в черновата бързо изразяваме: 
След това уравнението се разделя на две функции: 
– определя горната дъга на елипсата; 
– определя долната дъга на елипсата.
Елипса, дефинирана от каноничното уравнение, е симетрична по отношение на координатните оси, както и по отношение на началото. И това е страхотно - симетрията почти винаги е предвестник на безплатните. Очевидно е достатъчно да се справим с 1-вата координатна четвърт, така че имаме нужда от функцията 
. Моли да се намерят допълнителни точки с абсцисите 
. Нека докоснем три SMS съобщения на калкулатора: 
Разбира се, също така е хубаво, че ако се направи сериозна грешка в изчисленията, това веднага ще стане ясно по време на строителството.
Маркирайте точките на чертежа (червен цвят), симетрични точкивърху останалите дъги ( Син цвят) и внимателно свържете цялата компания с линия: 
По-добре е да нарисувате първоначалната скица много тънко и едва след това да приложите натиск с молив. Резултатът трябва да е доста прилична елипса. Между другото, бихте ли искали да знаете каква е тази крива?
Дефиниция на елипса. Фокус на елипса и ексцентричност на елипса
Елипса е специален случайовал Думата „овал“ не трябва да се разбира във филистимския смисъл („детето нарисува овал“ и т.н.). Това е математически термин, който има подробна формулировка. Целта на този урок не е да разглежда теорията на овалите и различните им видове, на които практически не се обръща внимание в стандартния курс на аналитична геометрия. И в съответствие с по-актуалните нужди веднага преминаваме към стриктното определение на елипса:
Елипсае множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията до всяка от които от две дадени точки, т.нар. триковеелипса - е постоянна величина, числено равен на дължинатаглавната ос на тази елипса: .
В този случай разстоянията между фокусите са по-малки от тази стойност: .
Сега всичко ще стане по-ясно: 
Представете си, че синята точка „пътува“ по елипса. Така че, независимо коя точка от елипсата вземем, сумата от дължините на сегментите винаги ще бъде една и съща:
Нека се уверим, че в нашия пример стойността на сумата наистина е равна на осем. Мислено поставете точката „хм“ в десния връх на елипсата, след това: , което трябва да се провери.
Друг метод за рисуване се основава на определението за елипса. Висшата математика понякога е причина за напрежение и стрес, така че е време за още една разтоварваща сесия. Моля, вземете ватман или голям лист картон и го закрепете на масата с два пирона. Това ще са трикове. Завържете зелен конец към стърчащите глави на ноктите и го издърпайте докрай с молив. Оловото на молива ще завърши в определена точка, която принадлежи на елипсата. Сега започнете да движите молива по листа хартия, като държите зеления конец опънат. Продължете процеса, докато се върнете в началната точка... страхотно... рисунката може да бъде проверена от лекаря и учителя =)
Как да намерим фокусите на елипса?
В горния пример изобразих „готови“ фокусни точки и сега ще научим как да ги извличаме от дълбините на геометрията.
Ако една елипса е дадена от канонично уравнение, тогава нейните фокуси имат координати 
, къде е разстоянието от всеки фокус до центъра на симетрия на елипсата.
Изчисленията са по-прости от прости: 
! Конкретните координати на огнища не могат да се идентифицират със значението на “це”!Повтарям, че това е РАЗСТОЯНИЕ от всеки фокус до центъра(който в общия случай не е задължително да се намира точно в началото).
И следователно разстоянието между фокусите също не може да бъде обвързано с каноничната позиция на елипсата. С други думи, елипсата може да бъде преместена на друго място и стойността ще остане непроменена, докато фокусите естествено ще променят своите координати. Моля имайте предвид този моментпо време на по-нататъшното изучаване на темата.
Ексцентричност на елипса и нейното геометрично значение
Ексцентричността на елипса е съотношение, което може да приема стойности в диапазона.
В нашия случай:
Нека да разберем как формата на елипсата зависи от нейния ексцентричност. За това фиксирайте левия и десния върхна разглежданата елипса, т.е. стойността на голямата полуос ще остане постоянна. Тогава формулата за ексцентричност ще приеме формата: .
Нека започнем да доближаваме стойността на ексцентричността до единица. Това е възможно само ако. Какво означава? ...помнете триковете 
. Това означава, че фокусите на елипсата ще се „раздалечат“ по абсцисната ос към страничните върхове. И тъй като „зелените сегменти не са гумени“, елипсата неизбежно ще започне да се изравнява, превръщайки се във все по-тънка и по-тънка наденица, нанизана на ос.
По този начин, как по-близка стойностексцентричността на елипсата до единица, толкова по-удължена е елипсата.
Сега нека моделираме обратния процес: фокусите на елипсата 
вървяха един към друг, приближавайки се към центъра. Това означава, че стойността на “ce” става все по-малка и съответно ексцентричността клони към нула: .
В този случай „зелените сегменти“, напротив, ще „се претъпкат“ и ще започнат да „бутат“ линията на елипса нагоре и надолу.
По този начин, Колкото по-близка е стойността на ексцентричността до нула, толкова по-подобна е елипсата... разгледайте ограничаващия случай, когато фокусите са успешно обединени отново в началото:
Кръгът е частен случай на елипса
Наистина, в случай на равенство на полуосите, каноничното уравнение на елипсата приема формата , което рефлексивно се трансформира в уравнението на окръжност с център в началото на радиус "а", добре познато от училище.
На практика по-често се използва обозначението с „говорещата“ буква „ер“: . Радиусът е дължината на сегмент, като всяка точка на окръжността е отдалечена от центъра на радиус.
Обърнете внимание, че определението за елипса остава напълно правилно: фокусите съвпадат и сумата от дължините на съвпадащите сегменти за всяка точка от окръжността е константа. Тъй като разстоянието между фокусите е , тогава ексцентричността на всеки кръг е нула.
Конструирането на кръг е лесно и бързо, просто използвайте компас. Понякога обаче е необходимо да разберете координатите на някои от неговите точки, в този случай вървим по познатия начин - привеждаме уравнението до веселата форма на Матанов:
– функция на горния полукръг;
– функция на долния полукръг.
След това намираме необходимите стойности, диференцират, интегрирами прави други добри неща.
Статията, разбира се, е само за справка, но как можете да живеете в света без любов? Творческа задачаза самостоятелно решение
Пример 2
Съставете каноничното уравнение на елипса, ако са известни един от нейните фокуси и малка полуос (центърът е в началото). Намерете върхове, допълнителни точки и начертайте линия в чертежа. Изчислете ексцентричността.
Решение и рисунка в края на урока
Нека добавим действие:
Завъртете и паралелно преместете елипса
Нека се върнем към каноничното уравнение на елипсата, а именно към условието, чиято мистерия измъчва любознателните умове от първото споменаване на тази крива. Така че разгледахме елипсата 
, но не е ли възможно на практика да се изпълни уравнението 
? Все пак и тук май е елипса!
Този вид уравнение е рядко, но се среща. И всъщност дефинира елипса. Нека демистифицираме: 
В резултат на конструкцията се получи нашата родна елипса, завъртяна на 90 градуса. Това е, 
- Това неканоничен записелипса 
. запис!- уравнението 
не определя никаква друга елипса, тъй като няма точки (фокуси) на оста, които да отговарят на определението за елипса.
Теорема. В каноничната координатна система за елипса уравнението на елипсата има формата:
Доказателство. Извършваме доказването на два етапа. На първия етап ще докажем, че координатите на всяка точка, разположена върху елипсата, удовлетворяват уравнение (4). На втория етап ще докажем, че всяко решение на уравнение (4) дава координатите на точка, лежаща върху елипсата. От това ще следва, че уравнение (4) е удовлетворено от тези и само тези точки координатна равнина, които лежат на елипсата. От това и дефиницията на уравнението на крива ще следва, че уравнение (4) е уравнение на елипса.
1) Нека точката M(x, y) е точка на елипсата, т.е. сумата от неговите фокусни радиуси е 2a:
Нека използваме формулата за разстоянието между две точки в координатната равнина и използваме тази формула, за да намерим фокалните радиуси на дадена точка M:
Откъде го вземаме:
Нека преместим един корен към правилната странаравенство и го повдигнете на квадрат:
Намалявайки, получаваме:
Представяме подобни, намаляваме с 4 и премахваме радикала:
.
Квадратура
Отворете скобите и съкратете с:
където получаваме:
Използвайки равенство (2), получаваме:
.
Разделяйки последното равенство на , получаваме равенство (4) и т.н.
2) Нека сега двойка числа (x, y) удовлетворява уравнение (4) и нека M(x, y) е съответната точка в координатната равнина Oxy.
Тогава от (4) следва:
Заместваме това равенство в израза за фокалните радиуси на точка М:
.
Тук използвахме равенство (2) и (3).
По този начин, . По същия начин,.
Сега отбележете, че от равенство (4) следва, че
Или и т.н. , тогава следва неравенството:
От тук следва, на свой ред, че
От равенствата (5) следва, че т.е. точката M(x, y) е точка от елипсата и т.н.
Теоремата е доказана.
Определение. Уравнение (4) се нарича канонично уравнение на елипсата.
Определение. Каноничните координатни оси за една елипса се наричат главни оси на елипсата.
Определение. Началото на каноничната координатна система за елипса се нарича център на елипсата.
Елипсасе нарича геометрично място на точки в равнина, за всяка от които сумата от разстоянията до две дадени точки от една и съща равнина, наречени фокуси на елипсата, е постоянна стойност. За елипсата могат да се дадат още няколко еквивалентни определения. Желаещите могат да се запознаят с тях в по-сериозни учебници по аналитична геометрия. Тук само отбелязваме, че елипсата е крива, получена като проекция върху равнината на окръжност, лежаща в равнината, която образува остър ъгълсъс самолет. За разлика от кръга, не е възможно да се запише уравнението на елипса в произволна координатна система в „удобна“ форма. Следователно, за фиксирана елипса е необходимо да изберете координатна система, така че уравнението й да е съвсем просто. Нека и са фокусите на елипсата. Нека поставим началото на координатната система в средата на сегмента. Нека насочим оста по този сегмент, оста перпендикулярна на този сегмент
24)Хипербола
От училищен курс по математика знаем, че крива, дефинирана от уравнението , където е число, се нарича хипербола. Това обаче е специален случай на хипербола (равностранна хипербола). Определение 12. 5 Хипербола е геометричното място на точки в равнина, за всяка от които абсолютна стойностразликата в разстоянията до две фиксирани точки от една и съща равнина, наречени фокуси на хипербола, е постоянна стойност. Точно както в случая с елипса, за да получим уравнението на хипербола, избираме подходяща координатна система. Нека поставим началото на координатите в средата на сегмента между фокусите, насочим оста по този сегмент и насочим ординатната ос перпендикулярно на него. Теорема 12. 3 Нека разстоянието между фокусите и хиперболата е равно и абсолютната стойност на разликата в разстоянията от точката на хиперболата до фокусите е равна. Тогава хиперболата в избраната по-горе координатна система има уравнението (12.8), където 
(12.9) Доказателство. Нека е текущата точка на хиперболата (фиг. 12.9). 
Ориз. 12 . 9 . Тъй като разликата между двете страни на триъгълник е по-малка от третата страна, тогава 
, това е , . По силата на последното неравенство реалното число, определено с формула (12.9), съществува. По конвенция фокусите са , . Използвайки формула (10.4) за случай на равнина, получаваме По дефиниция на хипербола Записваме това уравнение във формата Квадратираме двете страни: След привеждане на подобни членове и разделяне на 4, стигаме до равенството 
Отново повдигаме двете страни на квадрат: Отваряйки скобата и привеждайки подобни членове, получаваме Като вземем предвид формула (12.9), уравнението приема формата 
Нека разделим двете страни на уравнението на и да получим уравнение (12.8) Уравнение (12.8) се нарича канонично уравнение на хипербола. Предложение 12. 3 Хиперболата има две взаимно перпендикулярни оси на симетрия, едната от които съдържа фокусите на хиперболата, и център на симетрия. Ако една хипербола е дадена от канонично уравнение, тогава нейните оси на симетрия са
координатни оси и , а началото е центърът на симетрия на хиперболата. Доказателство. Доказателството е подобно на предложение 12.1. Нека построим хиперболата, дадена от уравнение (12.8). Забележете, че поради симетрията е достатъчно да се построи кривата само при първия координатен ъгъл. Нека изразим от каноничното уравнение като функция, при условие че,
и изградете графика на тази функция. Областта на дефиниране е интервалът , , функцията нараства монотонно. Производна 
съществува в цялата област на дефиницията, с изключение на точката. Следователно графиката е гладка крива (без ъгли). Втора производна 
е отрицателна във всички точки на интервала, следователно графиката е изпъкнала нагоре. Нека проверим графиката за наличие на асимптота при . Нека асимптотата има уравнението . След това, според правилата на математическия анализ 
Умножаваме израза под знака за граница и делим на . Получаваме: И така, графиката на функцията има асимптота. От симетрията на хиперболата следва, че тя е и асимптота. Природата на кривата в близост до точката остава неясна, а именно дали графиката формира 
и частта от хиперболата, която е симетрична на нея спрямо оста в тази точка е ъгъл или хипербола в тази точка - гладка крива (има допирателна). За да разрешим този проблем, изразяваме от уравнение (12.8) чрез: 
Очевидно е, че тази функция има производна в точката , , а в точката хиперболата има вертикална допирателна. Използвайки получените данни, начертаваме графика на функцията (фиг. 12.10). 
Ориз. 12 . 10. Графика на функция Накрая, използвайки симетрията на хиперболата, получаваме кривата от фигура 12.11. 
Ориз. 12 . 11. Дефиниция на хипербола 12. 6 Точките на пресичане на хиперболата, определена от каноничното уравнение (12.8) с оста, се наричат върхове на хиперболата, сегментът между тях се нарича реална ос на хиперболата. Отсечката от ординатната ос между точките се нарича въображаема ос. Числата и се наричат съответно реална и имагинерна полуос на хиперболата. Началото на координатите се нарича негов център. Количеството се нарича ексцентричност на хиперболата. Бележка 12. 3 От равенството (12.9) следва, че , т.е. за хиперболата . Ексцентричността характеризира ъгъла между асимптотите; колкото по-близо е до 1, толкова по-малък е този ъгъл. Бележка 12. 4 За разлика от елипсата, в каноничното уравнение на хипербола връзката между величините и може да бъде произволна. По-специално, когато получим равностранна хипербола, известна от училищния курс по математика. Неговото уравнение има позната форма, ако вземем , и осите и ги насочим по ъглополовящите на четвъртия и първия координатен ъгъл (фиг. 12.12). 
Ориз. 12 . 12. Равностранна хипербола За отразяване във фигурата качествени характеристикина хипербола, достатъчно е да се идентифицират нейните върхове, да се начертаят асимптотите и да се начертае гладка крива, минаваща през върховете, приближаваща се до асимптотите и подобна на кривата на Фигура 12.10. Пример 12. 4 Изградете хипербола, намерете нейните фокуси и ексцентричност. Решение. Нека разделим двете страни на уравнението на 4. Получаваме каноничното уравнение , . Начертаваме асимптоти и изграждаме хипербола (фиг. 12.13). 
Ориз. 12 . 13.Хипербола От формула (12.9) получаваме. Тогава триковете са , , . Пример 12. 5 Конструирайте хипербола. Намерете неговите фокуси и ексцентричност. Решение. Нека трансформираме уравнението във формата Това уравнениене е канонично уравнение на хипербола, тъй като знаците са преди и срещу знаците в каноничното уравнение. Въпреки това, ако преназначим променливите , , тогава в новите променливи получаваме каноничното уравнение Реалната ос на тази хипербола лежи върху оста, т.е. върху оста на оригиналната координатна система, асимптотите имат уравнение, т.е. , уравнението в първоначалните координати. Реалната полуос е равна на 5, имагинерната е 2. В съответствие с тези данни извършваме конструкцията (фиг. 12.14). Ориз. 12 . 14.Хипербола с уравнение От формула (12.9) получаваме, , фокусите лежат на реалната ос - , , където координатите са посочени в оригиналната координатна система.
Парабола
IN училищен курсматематиката изучава достатъчно подробно параболата, която по дефиниция е графика квадратен тричлен. Тук ще дадем друга (геометрична) дефиниция на парабола. Определение 12. 7 Параболата е геометричното място на точки в равнина, за всяка от които разстоянието до фиксирана точка от тази равнина, наречена фокус, е равно на разстоянието до фиксирана права линия, лежаща в същата равнина и наречена директриса на параболата. За да получим уравнението на крива, отговаряща на това определение, въвеждаме подходяща координатна система. За да направите това, спуснете перпендикуляра от фокуса към директрисата. Нека поставим началото на координатите в средата на сегмента и насочим оста по сегмента, така че нейната посока да съвпада с посоката на вектора. Нека начертаем оста, перпендикулярна на оста (фиг. 12.15). 
Ориз. 12 . 15 . Теорема 12. 4 Нека разстоянието между фокуса и директрисата на параболата е равно на . Тогава в избраната координатна система параболата има уравнение (12.10) Доказателство. В избраната координатна система фокусът на параболата е точката, а директрисата има уравнението (фиг. 12.15). Нека е текущата точка на параболата. След това, използвайки формула (10.4) за случая на равнина, намираме 
Разстоянието от точка до директрисата е дължината на перпендикуляра, пуснат към директрисата от точката. От фигура 12.15 е очевидно, че . Тогава по дефиницията на парабола, т.е 
Нека повдигнем на квадрат двете страни на последното уравнение: 
където 
След като приведем подобни членове, получаваме уравнение (12.10). Уравнение (12.10) се нарича канонично уравнение на парабола. Предложение 12. 4 Параболата има ос на симетрия. Ако парабола е дадена от канонично уравнение, тогава оста на симетрия съвпада с оста. Доказателство. Продължете по същия начин като доказателството (предложения 12.1). Пресечната точка на оста на симетрия с параболата се нарича връх на параболата. Ако преназначим променливите, тогава уравнението (12.10) може да бъде написано във форма, която съвпада с обичайното уравнение на парабола в училищен курс по математика. Затова ще начертаем парабола без допълнителни изследвания (фиг. 12.16). 
Ориз. 12 . 16. Парабола Пример 12. 6 Конструирайте парабола. Намерете нейния фокус и режисьор. Решение. Уравнението е каноничното уравнение на параболата, , . Оста на параболата е оста, върхът е в началото, клоновете на параболата са насочени по оста. За да построим, ще намерим няколко точки на параболата. За да направите това, присвояваме стойности на променливата и намираме стойностите. Да вземем точки , , . Като вземем предвид симетрията спрямо оста, начертаваме крива (фиг. 12.17) 
Ориз. 12 . 17. Парабола, дадено от уравнениетоФокусът лежи върху оста на разстояние от върха, тоест има координати. Директрисата има уравнение, т.е. Парабола, подобно на елипса, има свойство, свързано с отразяването на светлината (фиг. 12.18). Нека формулираме свойството отново без доказателство. Предложение 12. 5 Позволявам да бъде фокусът на параболата, произволна точка на параболата и лъч с произход в точка, успоредна на оста на параболата. Тогава нормалата към параболата в точката разделя ъгъла, образуван от сегмента и лъча наполовина. 
Ориз. 12 . 18. Отражение на светлинен лъч от парабола Това свойство означава, че светлинен лъч, напускащ фокуса, отразен от параболата, след това ще премине успоредно на оста на тази парабола. И обратно, всички лъчи, идващи от безкрайността и успоредни на оста на параболата, ще се събират в нейния фокус. Това свойство се използва широко в технологиите. Прожекторите обикновено имат огледало, чиято повърхност се получава чрез завъртане на парабола около нейната ос на симетрия (параболично огледало). Източникът на светлина в прожекторите е поставен във фокуса на парабола. В резултат на това прожекторът произвежда лъч от почти успоредни лъчи светлина. Същото свойство се използва в приемни антени за космически комуникации и в огледала на телескопи, които събират поток от паралелни лъчи на радиовълни или поток от паралелни лъчи светлина и го концентрират във фокуса на огледалото.
26) Дефиниция на матрицата. Матрицата е правоъгълна таблица с числа, съдържаща определен брой m реда и определен брой n колони.
Основни концепции за матрицата: Числата m и n се наричат порядъци на матрицата. Ако m=n, матрицата се извиква квадрат, а числото m=n е неговият ред.
По-нататък ще се използва следната нотация за запис на матрицата:
Въпреки че понякога в литературата се появява обозначението:
Въпреки това, за кратко обозначаване на матрица, често се използва Главна буквалатиница, (например A), или символа ||a ij ||, а понякога и с обяснение: A=||a ij ||=(a ij) (i=1,2,..., m; j=1,2,...n)
Числата a ij, включени в тази матрица, се наричат нейни елементи. В записа a ij първият индекс i означава номера на реда, а вторият индекс j означава номера на колоната.
Например, матрица
това е матрица от порядък 2×3, нейните елементи са a 11 =1, a 12 =x, a 13 =3, a 21 =-2y, ...
И така, ние въведохме определението за матрица. Нека разгледаме видовете матрици и да дадем съответните определения.
Видове матрици
Нека въведем концепцията за матрици: квадрат, диагонал, единица и нула.
Дефиниция на квадратна матрица: Квадратна матрицаМатрица от n-ти ред се нарича n × n матрица.
В случай на квадратна матрица
Въвежда се понятието главни и второстепенни диагонали. Главен диагонална матрица е диагоналът, който преминава от горния ляв ъгъл на матрицата до долния й десен ъгъл.
Страничен диагонална същата матрица се нарича диагоналът, преминаващ от долния ляв ъгъл до горния десен ъгъл.
Концепцията за диагонална матрица: Диагонале квадратна матрица, в която всички елементи извън главния диагонал са равни на нула.
Концепцията за матрицата на идентичността: Неженен(обозначена с E понякога I) се нарича диагонална матрица с единици на главния диагонал.
Концепцията за нулева матрица:Нулае матрица, чиито елементи са нула.
Две матрици A и B се наричат равни (A=B), ако са с еднакъв размер (т.е. имат еднакъв брой редове и еднакъв брой колони и съответните им елементи са равни). Така че, ако 
тогава A=B, ако a 11 =b 11, a 12 =b 12, a 21 =b 21, a 22 =b 22
Матрици специален тип
Квадратна матрица 
Наречен горна триъгълна, ако при i>j, И долна триъгълна, ако при i
Обща форматриъгълни матрици:
Имайте предвид, че сред диагоналните елементи 
може да има елементи равни на нула. Матрица 
наречен горен трапец, ако са изпълнени следните три условия:
1. за i>j;
2. Има такова нещо естествено число r, удовлетворяващи неравенствата 
, Какво 
.
3. Ако някой диагонален елемент е , тогава всички елементи i-ти реди всички следващи редове са равни на нула.
Общ изглед на горните трапецовидни матрици:
при 
.
при .
при r=n
при r=m=n.
Обърнете внимание, че когато r=m=n, горната трапецовидна матрица е триъгълна матрица с ненулеви диагонални елементи.
27) Действия с матрици
Събиране на матрица
Могат да се подреждат матрици с еднакъв размер.
Сумата от две такива матрици A и B се нарича матрица C, чиито елементи са равни на сумата от съответните елементи на матриците A и B. Символно ще го запишем така: A+B=C.
Лесно е да се види, че добавянето на матрици се подчинява на комутативните и комбинационните закони:
(A+B)+C=A+(B+C).
При събиране на матрици нулевата матрица играе ролята на обикновена нула при събиране на числа: A+0=A.
Изваждане на матрици.
Разликата между две матрици A и B с еднакъв размер е матрица C, такава че
От това определение следва, че елементите на матрицата C са равни на разликата на съответните елементи на матриците A и B.
Разликата между матриците A и B се обозначава по следния начин: C=A – B.
3. Матрично умножение
Разгледайте правилото за умножение на две квадратни матрици от втори ред.
Произведението на матрица A и матрица B се нарича матрица C=AB.
Правила за умножение на правоъгълни матрици:
Умножаването на матрица A по матрица B има смисъл в случая, когато броят на колоните на матрица A съвпада с броя на редовете в матрица B.
В резултат на умножаването на две правоъгълни матрици се получава матрица, съдържаща толкова реда, колкото е имало редове в първата матрица и толкова колони, колкото е имало колони във втората матрица.
4. Умножение на матрица с число
Когато матрица A се умножи по число , всички числа, които съставляват матрица A, се умножат по число . Например, нека умножим матрицата по числото 2. Получаваме, т.е. При умножаване на матрица по число факторът се „въвежда“ под знака на матрицата.
Транспониране на матрица
Транспонираната матрица е матрица AT, получена от оригиналната матрица A чрез замяна на редове с колони.
Формално, транспонираната матрица за матрица A с размери m*n е матрица AT с размери n*m, дефинирана като AT = A .
Например,
Свойства на транспонираните матрици
2. (A + B)T = AT + BT
28) Концепцията за детерминанта от n-ти ред
Нека ни е дадена квадратна таблица, състояща се от числа, подредени в n хоризонтални и n вертикални реда. С помощта на тези числа по определени правила се изчислява определено число, което се нарича детерминанта от n-ти ред и се обозначава по следния начин:
(1)
Хоризонталните редове в детерминантата (1) се наричат редове, вертикалните редове се наричат колони, числата са елементи на детерминантата (първият индекс означава номера на реда, вторият – номера на колоната, в пресечната точка на която стои елементът ; i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Редът на детерминанта е броят на неговите редове и колони.
Въображаема права линия, свързваща елементи от детерминантата, за които двата индекса са еднакви, т.е. елементи
се нарича главен диагонал, другият диагонал се нарича вторичен диагонал.
Детерминантата от n-ти ред е число, което е алгебрична суман! термини, всеки от които е продукт на n от своите елементи, взети само по един от всеки n реда и от всеки n колони на квадратна таблица с числа, като половината от (определени) термини са взети с техните знаци, а останалите с противоположни знаци.
Нека покажем как се изчисляват детерминантите на първите три реда.
Детерминантата на първия ред е самият елемент, т.е.
Детерминантата от втори ред е числото, получено по следния начин:
(2)
Формула (3) показва, че членовете, взети със знаците им, са произведение на елементите на главния диагонал, както и на елементите, разположени във върховете на два триъгълника, чиито основи са успоредни на него; с противоположни - членове, които са продукти на елементи от страничния диагонал, както и елементи, разположени във върховете на два триъгълника, които са успоредни на него.
Пример 2. Изчислете детерминанта от трети ред:
Решение. Използвайки правилото на триъгълника, получаваме
Изчисляването на детерминанти от четвърти и следващи редове може да се сведе до изчисляване на детерминанти от втори и трети ред. Това може да стане с помощта на свойствата на детерминантите. Сега преминаваме към тяхното разглеждане.
Свойства на детерминанта от n-ти ред
Свойство 1. При замяна на редове с колони (транспониране) стойността на детерминантата няма да се промени, т.е.
Свойство 2. Ако поне един ред (ред или колона) се състои от нули, то детерминантата е равна на нула. Доказателството е очевидно.
Всъщност тогава във всеки член на детерминантата един от факторите ще бъде нула.
Свойство 3. Ако два съседни успоредни реда (редове или колони) се разменят в детерминантата, то детерминантата ще смени знака си на противоположен, т.е.
Свойство 4. Ако детерминантата съдържа две еднакви успоредни серии, то детерминантата е равна на нула:
Свойство 5. Ако две успоредни серии в детерминантата са пропорционални, то детерминантата е равна на нула:
Свойство 6. Ако всички елементи на детерминантата, които са в един ред, се умножат по едно и също число, тогава стойността на детерминантата ще се промени този брой пъти:
Последица. Общият фактор, който се съдържа във всички елементи на един ред, може да бъде изваден от детерминантния знак, например:
Свойство 7. Ако в детерминанта всички елементи от една серия са представени като сума от два члена, то тя равно на суматадвама квалификанти:
Свойство 8. Ако продуктът на съответните елементи на паралелна серия с постоянен фактор се добави към елементите на всяка серия, тогава стойността на детерминантата няма да се промени:
Свойство 9. Ако добавим към елементите на i-тия ред линейна комбинациясъответстващи елементи на няколко паралелни серии, тогава стойността на детерминантата няма да се промени:
могат да се конструират различни минори от първи, втори и трети ред.
