След като изучават тема за правоъгълни триъгълници, учениците често забравят цялата информация за тях. Включително как се намира хипотенузата, да не говорим какво е тя.

И напразно. Защото в бъдеще диагоналът на правоъгълника се оказва същата хипотенуза и тя трябва да бъде намерена. Или диаметърът на окръжност съвпада с най-голямата страна на триъгълник, чийто един от ъглите е прав. И е невъзможно да го намерите без това знание.

Има няколко варианта за намиране на хипотенузата на триъгълник. Изборът на метод зависи от първоначалния набор от данни в задачата за количествата.

Метод номер 1: дадени са и двете страни

Това е най-запомнящият се метод, защото използва Питагоровата теорема. Само понякога учениците забравят, че тази формула се използва за намиране на квадрата на хипотенузата. Това означава, че за да намерите самата страна, ще трябва да извадите корен квадратен. Следователно формулата за хипотенузата, която обикновено се обозначава с буквата "c", ще изглежда така:

c = √ (a 2 + b 2), където буквите "a" и "b" представляват двата катета на правоъгълен триъгълник.

Метод номер 2: кракът и ъгълът, прилежащ към него, са известни

За да разберете как да намерите хипотенузата, ще трябва да запомните тригонометрични функции. А именно косинус. За удобство ще приемем, че са дадени катет „а” и прилежащият към него ъгъл α.

Сега трябва да запомним, че косинусът на ъгъла на правоъгълен триъгълник равно на съотношениетодве страни. Числителят ще съдържа стойността на катета, а знаменателят ще съдържа хипотенузата. От това следва, че последното може да се изчисли по формулата:

c = a / cos α.

Метод номер 3: даден крак и ъгъл, който лежи срещу него

За да не се объркаме във формулите, нека въведем обозначението за този ъгъл - β и оставим страната същата „a“. В този случай ще ви е необходима друга тригонометрична функция - синус.

Както в предишния пример, синусът е равен на отношението на крака към хипотенузата. Формулата за този метод изглежда така:

c = a / sin β.

За да не се объркате в тригонометричните функции, можете да запомните проста мнемоника: ако в проблем ние говорим за o pr Опротивоположен ъгъл, тогава трябва да го използвате с Идобре, ако - о пр Ив легнало положение, след което да Осинусите. Обърнете внимание на първите гласни в ключови думи. Те образуват двойки о-иили и около.

Метод номер 4: по радиуса на описаната окръжност

Сега, за да разберете как да намерите хипотенузата, ще трябва да запомните свойството на окръжността, която е описана около правоъгълен триъгълник. Той гласи следното. Центърът на окръжността съвпада със средата на хипотенузата. Казано по друг начин, най-дългата страна на правоъгълен триъгълник е равна на диагонала на кръга. Тоест удвоете радиуса. Формулата за този проблем ще изглежда така:

c = 2 * r, където буквата r означава известния радиус.

Това е всичко възможни начиникак да намерите хипотенузата на правоъгълен триъгълник. За всяка конкретна задача трябва да използвате метода, който е най-подходящ за набора от данни.

Примерна задача No1

Състояние: в правоъгълен триъгълникмедианите бяха начертани от двете страни. Дължината на изтеглената към по-голямата страна е √52. Другата медиана има дължина √73. Трябва да изчислите хипотенузата.

Тъй като медианите са начертани в триъгълник, те разделят краката на два равни сегмента. За удобство на разсъжденията и търсенето на това как да намерите хипотенузата, трябва да въведете няколко обозначения. Нека двете половини на по-големия крак да бъдат обозначени с буквата "x", а другата с "y".

Сега трябва да разгледаме два правоъгълни триъгълника, чиито хипотенузи са известните медиани. За тях трябва да напишете формулата на Питагоровата теорема два пъти:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Тези две уравнения образуват система с две неизвестни. След като ги решите, ще бъде лесно да намерите краката на първоначалния триъгълник и от тях неговата хипотенуза.

Първо трябва да повдигнете всичко на втора степен. Оказва се:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

От второто уравнение става ясно, че y 2 = 73 - 4x 2. Този израз трябва да бъде заменен в първия и да се изчисли „x“:

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

След преобразуване:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 или 15 x 2 = 240.

От последния израз x = √16 = 4.

Сега можете да изчислите "y":

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Според условията се оказва, че краката на оригиналния триъгълник са равни на 6 и 8. Това означава, че можете да използвате формулата от първия метод и да намерите хипотенузата:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Отговор: хипотенузата е равна на 10.

Примерна задача No2

Условие: изчислете диагонала, начертан в правоъгълник с по-къса страна, равна на 41. Ако се знае, че той разделя ъгъла на тези, които се отнасят като 2 към 1.

В тази задача диагоналът на правоъгълник е най-дългата страна в 90º триъгълник. Така че всичко се свежда до това как да намерим хипотенузата.

Проблемът е в ъглите. Това означава, че ще трябва да използвате една от формулите, която съдържа тригонометрични функции. Първо трябва да определите размера на един от острите ъгли.

Нека по-малкият от ъглите, обсъдени в условието, се обозначи с α. Тогава правият ъгъл, който е разделен на диагонала, ще бъде равен на 3α. Математическата нотация за това изглежда така:

От това уравнение е лесно да се определи α. Тя ще бъде равна на 30º. Освен това, той ще лежи срещу по-малката страна на правоъгълника. Следователно ще ви е необходима формулата, описана в метод №3.

Хипотенузата е равна на съотношението на крака към синуса на противоположния ъгъл, тоест:

41 / грях 30º = 41 / (0,5) = 82.

Отговор: Хипотенузата е 82.

В живота често ще трябва да се справяме с задачи по математика: в училище, в университета и след това да помогнете на детето си да завърши домашна работа. Хората в определени професии ще се сблъскват с математиката ежедневно. Следователно е полезно да запомните или да си припомните математическите правила. В тази статия ще разгледаме един от тях: намиране на страната на правоъгълен триъгълник.

Какво е правоъгълен триъгълник

Първо, нека си припомним какво е правоъгълен триъгълник. Правоъгълен триъгълник е геометрична фигураот три сегмента, които свързват точки, които не лежат на една и съща права линия, а един от ъглите на тази фигура е 90 градуса. Страните, образуващи прав ъгъл, се наричат ​​катети, а страната, която лежи срещу него прав ъгъл– хипотенуза.

Намиране на катета на правоъгълен триъгълник

Има няколко начина да разберете дължината на крака. Бих искал да ги разгледам по-подробно.

Питагорова теорема за намиране на страната на правоъгълен триъгълник

Ако знаем хипотенузата и катета, тогава можем да намерим дължината на неизвестния катет с помощта на Питагоровата теорема. Звучи така: „Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката.“ Формула: c²=a²+b², където c е хипотенузата, a и b са катетите. Преобразуваме формулата и получаваме: a²=c²-b².

Пример. Хипотенузата е 5 см, а катетът е 3 см. Преобразуваме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². След това решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; а=√16; а=4 (cm).

Тригонометрични съотношения за намиране на катета на правоъгълен триъгълник

Също така е възможно да се намери неизвестна страна, ако има друга страна и изобщо остър ъгълправоъгълен триъгълник. Има четири опции за намиране на катет с помощта на тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангенс. Таблицата по-долу ще ни помогне да разрешим проблемите. Нека разгледаме тези опции.

Намерете катета на правоъгълен триъгълник с помощта на синус

Синусът на ъгъл (sin) е отношението на срещуположната страна към хипотенузата. Формула: sin=a/c, където a е катет срещу дадения ъгъл, а c е хипотенузата. След това трансформираме формулата и получаваме: a=sin*c.

Пример. Хипотенузата е 10 см, ъгъл А е 30 градуса. Използвайки таблицата, изчисляваме синуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това, използвайки трансформираната формула, решаваме: a=sin∠A*c; а=1/2*10; а=5 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате косинус

Косинусът на ъгъл (cos) е отношението на съседния катет към хипотенузата. Формула: cos=b/c, където b е катетът, съседен на даден ъгъл, а c е хипотенузата. Нека преобразуваме формулата и получаваме: b=cos*c.

Пример. Ъгъл А е равен на 60 градуса, хипотенузата е равна на 10 см. Използвайки таблицата, изчисляваме косинуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник с помощта на допирателната

Тангенс на ъгъл (tg) е отношението на срещуположната страна към съседната страна. Формула: tg=a/b, където a е противоположната страна на ъгъла, а b е съседната страна. Нека трансформираме формулата и получаваме: a=tg*b.

Пример. Ъгъл А е равен на 45 градуса, хипотенузата е равна на 10 см. Използвайки таблицата, изчисляваме тангенса на ъгъл А, той е равен на Решете: a=tg∠A*b; а=1*10; а=10 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник с котангенс

Котангенс на ъгъл (ctg) е съотношението на съседната страна към противоположната страна. Формула: ctg=b/a, където b е катетът, съседен на ъгъла, и е срещуположният катет. С други думи, котангенсът е „обърнат допирателна“. Получаваме: b=ctg*a.

Пример. Ъгъл А е 30 градуса, противоположният катет е 5 см. Според таблицата тангенсът на ъгъл А е √3. Изчисляваме: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Така че сега знаете как да намерите катет в правоъгълен триъгълник. Както можете да видите, не е толкова трудно, основното е да запомните формулите.

Познавайки един от катетите в правоъгълен триъгълник, можете да намерите втория катет и хипотенузата, като използвате тригонометрични съотношения - синус и тангенс на известен ъгъл. Тъй като съотношението на крака срещу ъгъла към хипотенузата е равно на синуса на този ъгъл, следователно, за да намерите хипотенузата, трябва да разделите крака на синуса на ъгъла. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Вторият катет може да се намери от тангенса на известен ъгъл, като отношението на известния катет към тангентата. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

За да изчислите неизвестния ъгъл в правоъгълен триъгълник, трябва да извадите стойността на ъгъл α от 90 градуса. β=90°-α

Периметърът и площта на правоъгълен триъгълник могат да бъдат изразени чрез катета и ъгъла срещу него чрез заместване на получените преди това изрази за втория катет и хипотенузата във формулите. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Можете също да изчислите височината чрез тригонометрични съотношения, но във вътрешния правоъгълен триъгълник със страна a, който тя образува. За да направите това, трябва да умножите страна a, като хипотенуза на такъв триъгълник, по синуса на ъгъл β или косинус α, тъй като според тригонометрични тъждествате са еквивалентни. (Фиг. 79.2) h=a cos⁡α

Медианата на хипотенузата е равна на половината от хипотенузата или известния катет a, разделен на два синуса α. За да намерим медианите на катетите, редуцираме формулите до съответния вид за известните страни и ъгли. (Фиг.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Тъй като ъглополовящата на прав ъгъл в триъгълник е произведението на две страни и корен от две, разделен на сумата от тези страни, след това замествайки един от катетите със съотношението на известния катет към допирателната, получаваме следния израз. По същия начин, като заместите съотношението във втората и третата формула, можете да изчислите ъглополовящите на ъглите α и β. (Фиг.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Средната линия върви успоредно на една от страните на триъгълника, като същевременно образува друг подобен правоъгълен триъгълник със същите ъгли, в който всички страни са наполовина по-малки от първоначалния. Въз основа на това средните линии могат да бъдат намерени от следните формули, познавайки само крака и ъгъла срещу него. (Фиг.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Радиусът на вписаната окръжност е равен на разликата между краката и хипотенузата, разделена на две, а за да намерите радиуса на вписаната окръжност, трябва да разделите хипотенузата на две. Заменяме втория катет и хипотенузата със съотношението на катет a към синус и тангенс, съответно. (Фиг. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Използвайки калкулатор, извлечете Корен квадратенот разликата на хипотенузата на квадрат и известния катет, също на квадрат. Катетът е страната на правоъгълен триъгълник, съседна на правия ъгъл. Този израз е извлечен от Питагоровата теорема, която гласи, че квадратът на хипотенузата на триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите.

Преди да разгледаме различните начини за намиране на катет в правоъгълен триъгълник, нека приемем някои обозначения. Проверете кой от изброените случаи отговаря на условието на вашата задача и в зависимост от това следвайте съответния параграф. Разберете кои количества знаете във въпросния триъгълник. Използвайте следния израз, за ​​да изчислите катета: a=sqrt(c^2-b^2), ако знаете стойностите на хипотенузата и другия катет.

Връзките между страните и ъглите на тази геометрична фигура са разгледани подробно в математическа дисциплинатригонометрия. За да приложите това уравнение, трябва да знаете дължината на всеки две страни на правоъгълен триъгълник.

Изчислете дължината на единия катет, ако са известни размерите на хипотенузата и другия катет. Ако задачата уточнява хипотенузата и един от острите ъгли, съседни на нея, използвайте таблици на Брадис.

Вътрешният триъгълник ще бъде подобен на външния, тъй като средните линии са успоредни на краката и хипотенузата и съответно са равни на техните половини. Тъй като хипотенузата е неизвестна, за да намерите средната линия M_c, трябва да замените радикала от Питагоровата теорема.

Хипотенузата е най-дългата страна на правоъгълен триъгълник. Лежи срещу прав ъгъл. Може да се намери дължината на хипотенузата различни начини. Ако дължината на двата крака е известна, тогава неговият размер се изчислява с помощта на питагоровата теорема: сумата от квадратите на двата крака е равна на квадрата на хипотенузата. Знаейки, че сборът от всички ъгли е 180°, извадете правия ъгъл и вече известния.

При изчисляване на параметрите на правоъгълен триъгълник е важно да се обърне внимание на известни стойностии решете проблема, като използвате най-простата формула. Първо, нека си припомним какво е правоъгълен триъгълник. Правоъгълният триъгълник е геометрична фигура от три сегмента, които свързват точки, които не лежат на една и съща права линия, като един от ъглите на тази фигура е 90 градуса. Има няколко начина да разберете дължината на крака.

Формула: c²=a²+b², където c е хипотенузата, a и b са катетите

Ако знаем хипотенузата и катета, тогава можем да намерим дължината на неизвестния катет с помощта на Питагоровата теорема. Звучи така: „Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката.“ Има четири опции за намиране на катет с помощта на тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангенс. Синусът на ъгъл (sin) е отношението на срещуположната страна към хипотенузата. Формула: sin=a/c, където a е катет срещу дадения ъгъл, а c е хипотенузата.

Необичайните свойства на правоъгълните триъгълници са открити от древногръцкия учен Питагор, който открива, че квадратът на хипотенузата в такива триъгълници е равен на сумата от квадратите на катетите

Надморската височина е перпендикулярът, простиращ се от който и да е връх на триъгълника към противоположната страна (или нейното продължение, за триъгълник с тъп ъгъл). Височините на триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ако това е произволен правоъгълен триъгълник, тогава няма достатъчно данни.

Също така е полезно да знаете стойностите на тригонометричните функции за най-често срещаните ъгли от 30, 45, 60, 90, 180 градуса. Ако условията посочват размерите на катетите, намерете дължината на хипотенузата. В живота често ще трябва да се справяме с математически проблеми: в училище, в университета, а след това помагаме на детето си с домашните.

След това трансформираме формулата и получаваме: a=sin*c

Таблицата по-долу ще ни помогне да разрешим проблемите. Нека разгледаме тези опции. интересно специален случай, когато единият от острите ъгли е 30 градуса.

Хората в определени професии ще се сблъскват с математиката ежедневно.

Можете също така да намерите неизвестен катет, ако са известни друга страна и всеки остър ъгъл на правоъгълен триъгълник. Намерете страната на правоъгълен триъгълник с помощта на Питагоровата теорема. Също така, страните на правоъгълен триъгълник могат да бъдат намерени с помощта на различни формули в зависимост от броя на известните променливи.

Правоъгълният триъгълник съдържа огромен брой зависимости. Това го прави привлекателен обект за всякакъв вид геометрични задачи. Един от най-често срещаните проблеми е намирането на хипотенузата.

Правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник е триъгълник, който съдържа прав ъгъл, т.е. 90 градусов ъгъл. Само в правоъгълен триъгълник тригонометричните функции могат да бъдат изразени чрез страните. В произволен триъгълник ще трябва да се направят допълнителни конструкции.
В правоъгълен триъгълник две от трите височини съвпадат със страните се наричат ​​катети. Третата страна се нарича хипотенуза. Височината, изтеглена към хипотенузата, е единствената в този тип триъгълник, която изисква допълнителна конструкция.

Ориз. 1. Видове триъгълници.

Правоъгълният триъгълник не може да има тъпи ъгли. Точно както е невъзможно съществуването на втори прав ъгъл. В този случай се нарушава идентичността на сумата от ъглите на триъгълник, която винаги е равна на 180 градуса.

хипотенуза

Нека преминем директно към хипотенузата на триъгълника. Хипотенузата е най-дългата страна на триъгълник. Хипотенузата винаги е по-голяма от който и да е от катетите, но винаги е по-малка от сбора на катетите. Това е следствие от теоремата за неравенството на триъгълника.

Теоремата гласи, че в триъгълник нито една страна не може да бъде по-голяма от сбора на другите две. Има втора формулировка или втора част от теоремата: в триъгълник срещу по-голямата страна лежи по-големият ъгъл и обратно.

Ориз. 2. Правоъгълен триъгълник.

В правоъгълен триъгълник големият ъгъл е правият ъгъл, тъй като не може да има втори прав ъгъл или тъп ъгъл поради вече споменатите причини. Това означава, че по-голямата страна винаги лежи срещу правия ъгъл.

Изглежда неясно защо правоъгълният триъгълник заслужава отделно име за всяка от страните си. Всъщност в равнобедрен триъгълникстраните също имат свои имена: страни и основа. Но именно за краката и хипотенузите учителите особено обичат да дават двойки. Защо? От една страна, това е почит към паметта на древните гърци, изобретателите на математиката. Именно те са изучавали правоъгълните триъгълници и заедно с това знание са оставили цял слой информация, върху която да се гради съвременна наука. От друга страна, съществуването на тези имена значително опростява формулирането на теореми и тригонометрични тъждества.

Питагорова теорема

Ако учител попита за формулата за хипотенузата на правоъгълен триъгълник, има 90% шанс той да има предвид Питагоровата теорема. Теоремата гласи: В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата равно на суматаквадрати на краката.

Ориз. 3. Хипотенуза на правоъгълен триъгълник.

Забележете колко ясно и кратко е формулирана теоремата. Такава простота не може да бъде постигната без използването на понятията хипотенуза и крак.

Теоремата има следната формула:

$c^2=b^2+a^2$ – където c е хипотенузата, a и b са катетите на правоъгълен триъгълник.

Какво научихме?

Говорихме какво е правоъгълен триъгълник. Разбрахме защо изобщо са измислени имената на краката и хипотенузата. Открихме някои свойства на хипотенузата и дадохме формулата за дължината на хипотенузата на триъгълник, използвайки Питагоровата теорема.

Тест по темата

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.6. Общо получени оценки: 213.