Най-простите тригонометрични тъждества
Частното от деленето на синуса на ъгъл алфа на косинуса на същия ъгъл е равно на тангенса на този ъгъл (Формула 1). Вижте също доказателството за коректността на преобразуването на най-простите тригонометрични тъждества.
Частното от деленето на косинуса на ъгъл алфа на синуса на същия ъгъл е равно на котангенса на същия ъгъл (Формула 2)
Секансът на ъгъл е равен на единица, разделена на косинуса на същия ъгъл (Формула 3)
Сборът от квадратите на синуса и косинуса на един и същи ъгъл е равен на едно (Формула 4). вижте също доказателството за сумата от квадратите на косинус и синус.
Сборът от едно и тангенса на ъгъл е равен на съотношението едно към квадрата на косинуса на този ъгъл (Формула 5)
Едно плюс котангенсът на ъгъл е равно на частното от едно, делено на синус квадрат на този ъгъл (Формула 6)
Произведението на тангенса и котангенса на един и същи ъгъл е равно на единица (Формула 7).
Преобразуване на отрицателни ъгли на тригонометрични функции (четни и нечетни)
За да се отървете от отрицателната стойност на градусната мярка на ъгъл при изчисляване на синус, косинус или тангенс, можете да използвате следните тригонометрични трансформации (тъждества), базирани на принципите на четно или нечетно тригонометрични функции.
Както можете да видите, косинуси секансът е дори функция
, синус, тангенс и котангенс са нечетни функции.
синусите отрицателен ъгълравни отрицателна стойностсинус от същото положителен ъгъл(минус синус алфа).
Косинусът минус алфа ще даде същата стойност като косинуса на ъгъла алфа.
Тангенс минус алфа е равен на минус тангенс алфа.
Формули за намаляване на двойни ъгли (синус, косинус, тангенс и котангенс на двойни ъгли)
Ако трябва да разделите ъгъла наполовина или обратното, отидете от двоен ъгълза единично, можете да използвате следните тригонометрични идентичности:
Преобразуване на двоен ъгъл (синус на двоен ъгъл, косинус на двоен ъгъл и тангенс на двоен ъгъл) в единичен се случва съгласно следните правила:
Синус на двоен ъгълравно на удвоеното произведение на синуса и косинуса на един ъгъл
Косинус на двоен ъгълравна на разликата между квадрата на косинуса на отделен ъгъл и квадрата на синуса на този ъгъл
Косинус на двоен ъгълравно на удвоения квадрат на косинуса на отделен ъгъл минус едно
Косинус на двоен ъгълравно на едно минус двоен синус на квадрат на единичен ъгъл
Тангенс на двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е два пъти тангенса на единичен ъгъл, а знаменателят е равен на едно минус тангенса на квадрат на единичен ъгъл.
Котангенс на двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е квадрат на котангенса на отделен ъгъл минус едно, а знаменателят е равен на удвоения котангенс на единичен ъгъл
Формули за универсално тригонометрично заместване
Формулите за преобразуване по-долу могат да бъдат полезни, когато трябва да разделите аргумента на тригонометрична функция (sin α, cos α, tan α) на две и да намалите израза до стойността на половин ъгъл. От стойността на α получаваме α/2.Тези формули се наричат формули на универсално тригонометрично заместване. Тяхната стойност се крие във факта, че тригонометричният израз с тяхна помощ се свежда до изразяване на тангенса на половин ъгъл, независимо от това какви тригонометрични функции ( sincos tg ctg) бяха в израза първоначално. След това уравнението с тангенса на половин ъгъл е много по-лесно за решаване.
Тригонометрични тъждества за полуъглови трансформации
Формулите по-долу тригонометрична трансформацияполовината от стойността на ъгъла към цялата му стойност.Стойността на аргумента на тригонометричната функция α/2 се редуцира до стойността на аргумента на тригонометричната функция α.
Тригонометрични формули за събиране на ъгли
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Тангенс и котангенс на сбора от ъглиалфа и бета могат да бъдат преобразувани, като се използват следните правила за преобразуване на тригонометрични функции:
Тангенс на сбора от ъглие равно на дроб, чийто числител е сумата от тангенса на първия и тангенса на втория ъгъл, а знаменателят е едно минус произведението на тангенса на първия ъгъл и тангенса на втория ъгъл.
Тангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е равен на разликата между тангенса на ъгъла, който се намалява, и тангенса на ъгъла, който се изважда, а знаменателят е едно плюс произведението на тангенсите на тези ъгли.
Котангенс на сбора от ъглие равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на котангенсите на тези ъгли плюс едно, а знаменателят е равен на разликата между котангенса на втория ъгъл и котангенса на първия ъгъл.
Котангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е произведението на котангенсите на тези ъгли минус едно, а знаменателят равно на суматакотангенси на тези ъгли.
Тези тригонометрични идентичности са удобни за използване, когато трябва да изчислите, например, тангенса на 105 градуса (tg 105). Ако си го представите като tg (45 + 60), тогава можете да използвате дадените идентични трансформации на тангенса на сумата от ъгли и след това просто да замените табличните стойности на тангентата 45 и тангентата 60 градуса.
Формули за преобразуване на сумата или разликата на тригонометрични функции
Изрази, представляващи сбор от формата sin α + sin β, могат да бъдат трансформирани с помощта на следните формули:
Формули за троен ъгъл - преобразуване sin3α cos3α tan3α в sinα cosα tanα
Понякога е необходимо да се трансформира тройната стойност на ъгъл, така че аргументът на тригонометричната функция да стане ъгъл α вместо 3α.В този случай можете да използвате формулите за трансформация на троен ъгъл (идентичности):
Формули за преобразуване на произведения на тригонометрични функции
Ако има нужда да се преобразува произведението на синуси от различни ъгли, косинуси от различни ъгли или дори произведение от синус и косинус, тогава можете да използвате следните тригонометрични идентичности:
В този случай произведението на функциите синус, косинус или тангенс на различни ъгли ще бъде преобразувано в сбор или разлика.
Формули за редуциране на тригонометрични функции
Трябва да използвате таблицата за намаляване, както следва. В реда избираме функцията, която ни интересува. В колоната има ъгъл. Например синусът на ъгъла (α+90) в пресечната точка на първия ред и първата колона, откриваме, че sin (α+90) = cos α.
IN трансформации на идентичността тригонометрични изрази Могат да се използват следните алгебрични техники: събиране и изваждане на еднакви членове; извеждане на общия множител извън скоби; умножение и деление с една и съща величина; прилагане на формули за съкратено умножение; разпределение пълен квадрат; разграждане квадратен тричленпо множители; въвеждане на нови променливи за опростяване на трансформациите.
Когато преобразувате тригонометрични изрази, които съдържат дроби, можете да използвате свойствата на пропорцията, съкращаване на дроби или преобразуване на дроби в общ знаменател. Освен това можете да използвате избора на цялата част от фракцията, като умножите числителя и знаменателя на фракцията с една и съща сума и също така, ако е възможно, да вземете предвид хомогенността на числителя или знаменателя. Ако е необходимо, можете да представите дроб като сбор или разлика на няколко по-прости дроби.
Освен това, когато се прилагат всички необходими методи за преобразуване на тригонометрични изрази, е необходимо постоянно да се взема предвид площта приемливи стойностиконвертируеми изрази.
Нека да разгледаме няколко примера.
Пример 1.
Изчислете A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+
sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2
Решение.
От формулите за намаляване следва:
sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;
sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;
sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.
Откъдето, по силата на формулите за добавяне на аргументи и основното тригонометрично тъждество, получаваме
A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1
Отговор: 1.
Пример 2.
Преобразувайте израза M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ в произведение.
Решение.
От формулите за добавяне на аргументи и формулите за преобразуване на сумата от тригонометрични функции в произведение след подходящо групиране имаме
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).
Отговор: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
Пример 3.
Покажете, че изразът A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) взема единица за всички x от R и същото значение. Намерете тази стойност.
Решение.
Ето два начина за решаване на този проблем. Прилагайки първия метод, чрез изолиране на пълен квадрат и използване на съответните основни тригонометрични формули, получаваме
A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
Решавайки задачата по втория начин, разгледайте A като функция на x от R и изчислете нейната производна. След трансформациите получаваме
А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =
Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =
Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =
Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.
Следователно, поради критерия за постоянство на функция, диференцируема на интервал, заключаваме, че
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
Отговор: A = 3/4 за x € R.
Основните техники за доказване на тригонометрични идентичности са:
а)намаляване на лявата страна на идентичността в дясната чрез подходящи трансформации;
б)намаляване на дясната страна на идентичността вляво;
V)редуциране на дясната и лявата страна на идентичността до една и съща форма;
G)свеждане до нула на разликата между лявата и дясната страна на доказваната идентичност.
Пример 4.
Проверете дали cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
Решение.
Трансформиране дясната странатази идентичност според съотв тригонометрични формули, имаме
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.
Дясната страна на идентичността е намалена до лявата.
Пример 5.
Докажете, че sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, ако α, β, γ са вътрешните ъгли на някой триъгълник.
Решение.
Като се има предвид, че α, β, γ са вътрешните ъгли на някакъв триъгълник, получаваме, че
α + β + γ = π и следователно γ = π – α – β.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =
Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
Първоначалното равенство е доказано.
Пример 6.
Докажете, че за да бъде един от ъглите α, β, γ на триъгълника равен на 60°, е необходимо и достатъчно sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Решение.
Условието на този проблем включва доказване както на необходимост, така и на достатъчност.
Първо нека докажем необходимост.
Може да се покаже, че
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
Следователно, като вземем предвид, че cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, получаваме, че ако един от ъглите α, β или γ е равен на 60°, тогава
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 и следователно sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Нека докажем сега адекватностпосоченото състояние.
Ако sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, тогава cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, и следователно
или cos (3α/2) = 0, или cos (3β/2) = 0, или cos (3γ/2) = 0.
следователно
или 3α/2 = π/2 + πk, т.е. α = π/3 + 2πk/3, 
или 3β/2 = π/2 + πk, т.е. β = π/3 + 2πk/3,
или 3γ/2 = π/2 + πk,
тези. γ = π/3 + 2πk/3, където k ϵ Z.
От факта, че α, β, γ са ъглите на триъгълник, имаме
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
Следователно, за α = π/3 + 2πk/3 или β = π/3 + 2πk/3 или
γ = π/3 + 2πk/3 от всички kϵZ само k = 0 е подходящо.
От това следва, че или α = π/3 = 60°, или β = π/3 = 60°, или γ = π/3 = 60°.
Твърдението е доказано.
Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да опростите тригонометричните изрази?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Изпълнява се за всички стойности на аргумента (от общия обхват).
Универсални формули за заместване.
С тези формули е лесно да превърнете всеки израз, който съдържа различни тригонометрични функции на един аргумент, в рационален израз на една функция tg (α /2):
Формули за превръщане на сборовете в произведения и произведенията в сборове.
Преди това горните формули бяха използвани за опростяване на изчисленията. Те изчисляваха с помощта на логаритмични таблици, а по-късно - с логаритмична линейка, тъй като логаритмите са най-подходящи за умножаване на числа. Ето защо всеки оригинален израз беше намален до форма, която би била удобна за логаритмиране, тоест до продукти например:
2 грях α грях b = cos (α - b) - cos (α + b);
2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);
2 грях α cos b = грях (α - b) + грях (α + b).
къде е ъгълът, за който по-специално
Формулите за функциите тангенс и котангенс се получават лесно от горното.
Формули за намаляване на степента.
|
sin 2 α = (1 - cos 2α)/2; |
cos 2 α = (1 + cos 2α)/2; |
|
грях 3α = (3 гряхα - грях 3α )/4; |
cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4. |
С помощта на тези формули тригонометрични уравнениялесно се свеждат до уравнения с по-ниски степени. По същия начин се извеждат формули за намаляване на повече високи градуси гряхИ cos.
Изразяване на тригонометрични функции чрез една от тях на същия аргумент.
Знакът пред корена зависи от местоположението на четвърт ъгъл α .
