ТЕМА НА УРОКА: Решаване на прости тригонометрични неравенства

Цел на урока:показват алгоритъм за решаване на тригонометрични неравенства с помощта на единичната окръжност.

Цели на урока:

Образователни – осигуряват повторение и систематизиране на материала по темата; създават условия за контрол върху усвояването на знания и умения;

Развитие - да се насърчи формирането на умения за прилагане на техники: сравнение, обобщение, идентифициране на основното, прехвърляне на знания в нова ситуация, развитие на математически хоризонти, мислене и реч, внимание и памет;

Образователни – за насърчаване на интерес към математиката и нейните приложения, активност, мобилност, комуникативни умения и обща култура.

Знания и умения на учениците:
- познават алгоритъма за решаване на тригонометрични неравенства;

Да може да решава прости тригонометрични неравенства.

Оборудване: интерактивна дъска, презентация към урока, карти със задачи за самостоятелна работа.

НАПРЕДЪК НА УРОКА:
1. Организационен момент (1 мин.)

Предлагам думите на Сухомлински като мото на урока: „Днес ние учим заедно: аз, вашият учител и вие сте моите ученици. Но в бъдеще ученикът трябва да надмине учителя, иначе няма да има напредък в науката.”

2. Загрейте.Диктовка "Вярно - невярно"

3. Повторение

За всяка опция - задача на слайда, продължете всеки запис. Времетраене 3 мин.

Нека проверим тази наша работа, като използваме таблицата с отговори на дъската.

Критерий за оценка:“5” - всички 9 “+”, “4” - 8 “+”, “3” - 6-7 “+”

4. Актуализиране на знанията на учениците(8 минути)
Днес в клас трябва да научим понятието тригонометрични неравенства и да овладеем уменията за решаване на такива неравенства.
– Нека първо си припомним какво е единична окръжност, радианова мярка на ъгъл и как ъгълът на завъртане на точка от единична окръжност е свързан с радианова мярка на ъгъл. (работа с презентация)

Единична окръжносте окръжност с радиус 1 и център в началото.

Ъгълът, образуван от положителната посока на оста OX и лъча OA, се нарича ъгъл на завъртане. Важно е да запомните къде са нулевите ъгли; 90; 180; 270; 360.

Ако A се премести обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли.

Ако А се премести по посока на часовниковата стрелка, получаваме отрицателни ъгли.

сos t е абсцисата на точката от единичната окръжност, sin t е ординатата на точката от единичната окръжност, t е ъгълът на завъртане с координати (1;0).
5. Обяснение на нов материал (17 мин.)
Днес ще се запознаем с най-простите тригонометрични неравенства.
Определение.
Най-простите тригонометрични неравенства са неравенства от формата:

Момчетата ще ни кажат как да решаваме такива неравенства (представяне на проекти от ученици с примери). Учениците записват определения и примери в тетрадките си.

По време на презентацията учениците обясняват решението на неравенството, а учителят допълва чертежите на дъската.
След презентацията на учениците е даден алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства. Учениците виждат на екрана всички етапи на решаване на неравенство. Това насърчава визуалното запаметяване на алгоритъма за решаване на даден проблем.

Алгоритъм за решаване на тригонометрични неравенства с единична окръжност:
1. По оста, съответстваща на дадената тригонометрична функция, маркирайте дадената числена стойност на тази функция.
2. Начертайте права линия през маркираната пресечна точка единична окръжност.
3. Изберете точките на пресичане на линията и окръжността, като вземете предвид строгия или нестрогия знак за неравенство.
4. Изберете дъгата на окръжността, върху която са разположени решенията на неравенството.
5. Определете стойностите на ъглите в началната и крайната точка на кръговата дъга.
6. Запишете решението на неравенството, като вземете предвид периодичността на дадената тригонометрична функция.
За решаване на неравенства с тангенс и котангенс е полезна концепцията за линия от тангенси и котангенси. Това са правите x = 1 и y = 1, съответно, допирателни към тригонометричната окръжност.
6. Практическа част(12 минути)
За да практикуваме и консолидираме теоретичните знания, ще изпълняваме малки задачи. Всеки ученик получава карти със задачи. След като решите неравенствата, трябва да изберете отговор и да запишете номера му.

7. Рефлексия върху дейности в урока
- Каква беше нашата цел?
- Назовете темата на урока
- Успяхме да използваме добре познат алгоритъм
- Анализирайте работата си в клас.

8. Домашна работа(2 минути)

Решете неравенството:

9. Обобщение на урока(2 минути)

Предлагам да завършим урока с думите на Y.A. Komensky: „Смятайте за нещастен този ден или този час, в който не сте научили нищо ново и не сте добавили нищо към своето образование.“

Модел на урока по темата:

"Решаване на тригонометрични уравнения и неравенства"

като част от реализацията на регионалния компонент по математика

за ученици от 10 клас.

Помикалова

Елена Викторовна

учител по математика

Общинска образователна институция средно училище село Восход

Балашовски район

Саратовска област

Цел на урока.

1. Обобщете теоретични знанияпо темата: „Решаване на тригонометрични уравнения и неравенства“, повторете основните методи за решаване на тригонометрични уравнения и неравенства.

2. Развийте качествата на мисленето: гъвкавост, фокус, рационалност. Организирайте работата на учениците по определената тема на ниво, съответстващо на нивото на вече формирани знания.

3. Култивирайте точността на бележките, културата на речта и независимостта.

Тип урок: урок за обобщаване и систематизиране на знанията, придобити по време на изучаването на тази тема.

Методи на обучение: системно обобщение, тестова проверка на нивото на знанията, решаване на задачи за обобщение.

Форми на организация на урока: челен, индивидуален.

Оборудване: компютър , мултимедиен проектор, листове за отговори, карти със задачи, таблица с формули за корени на тригонометрични уравнения.

Прогрес на урока.

аз . Начало на урока

Учителят информира учениците за темата на урока, целта и привлича вниманието на учениците към раздавателните материали.

II . Контрол на знанията на учениците

1) Устна работа (Задачата се прожектира на екрана)

Изчислете:

А) ;

б) ;

V) ;

G) ;

г) ;
д) .

2) Фронтално анкетиране на учениците.

Какви уравнения се наричат ​​тригонометрични?

Какви видове тригонометрични уравнения познавате?

Кои уравнения се наричат ​​най-простите тригонометрични уравнения?

Какви уравнения се наричат ​​хомогенни?

Какви уравнения се наричат ​​квадратни?

Кои уравнения се наричат ​​нееднородни?

Какви методи за решаване на тригонометрични уравнения знаете?

След като учениците отговорят, на екрана се проектират някои начини за решаване на тригонометрични уравнения.

Въвеждане на нова променлива:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3ctg = 4.

Нека sinx = t, |t|≤1,Нека tg = z,

Ние имаме: 2 t² – 5 t + 2 = 0. Ние имаме: z + = 4.

2. Факторизация :

2 sinxcos 5 х – cos 5 х = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Имаме : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; ...

3. Хомогенни тригонометрични уравнения:

азстепени IIстепени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Разделете на cosx≠ 0. 1) ако a ≠ 0, разделете наcos² х ≠ 0

Имаме : a tgx + b = 0; ...имаме : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) ако a = 0, тогава

имаме: bsinxcosx + ccos² х =0;…

4. Нехомогенни тригонометрични уравнения:

Уравнения от вида: асинкс + bcosx = c

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Покажи два начина)

1) използване на универсално заместване:

sinx = (2 tgх/2) / (1 + tg 2 х/2);

cosx = (1– tg 2 х/2) / (1 + tg 2 х/2);

2) въвеждане на спомагателен аргумент:

4 sinx + 3 cosx = 5

Разделете двете страни на 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Тъй като (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, тогава нека 4/5 = sinφ; 3/5= cosφ, където 0< φ < π /2, тогава

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos(х – φ ) = 1

х – φ = 2 πn, п € З

х = 2 πn + φ , п € З

φ = arccos 3/5 означава х = аркос 3/5 +2 πn, п € З

отговор: arccos 3/5 + 2 πn, п € З

3) Решаване на уравнения чрез формули за намаляване на степента.

4) Приложение на формули с двоен и троен аргумент.

а) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III . Изпълнение тестова задача

Учителят моли учениците да приложат току-що формулираните теоретични факти за решаване на уравнения.

Задачата се изпълнява под формата на тест. Учениците попълват формуляра за отговори, който се намира на бюрата им.

Задачата се прожектира на екрана.

Предложете начин за решаване на това тригонометрично уравнение:

1) редуциране на квадрат;

2) свеждане до хомогенност;

3) факторизация;

4) намаляване на степента;

5) преобразуване на сумата от тригонометрични функции в продукт.

Форма за отговор.

опция аз

Уравнение

Решения

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 ко s²x- cosx– 1 = 0

2 грях² х / 2 +cosx=1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

опция II

Уравнение

Решения

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x - cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11 sin²x = 3

sin3x = sin17x

Отговори:

опция азопция II

IV . Повтаряне на формули за решаване на уравнения

Формули за корени на тригонометрични уравнения.

генерал

Частно

Уравнение

Коренна формула

Уравнение

Коренна формула

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1) п arcsin a + πk,

кє З

1. sinx = 0

x = πk, kє З

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

кє З

2. sinx = 1

x = + 2πk, к є З

3. тен x = a

x = arctan a + πk, kє З

3. sinx = –1

x = – + 2πk, к є З

4.ctg x = a

x = arcctg a + πk,kє З

4. cosx = 0

x = + πk, к є З

5. cosx = 1

x = 2πk, к є З

6. cosx = –1

x = π + 2πk, к є З

Устна работа върху решаване на прости тригонометрични уравнения

Учителят моли учениците да приложат току-що формулираните теоретични факти за решаване на уравнения. На екрана се прожектира тренажор за устна работа по темата: „Тригонометрични уравнения“.

Решете уравнения.

гряхх = 0

cosх = 1

тен х = 0

ctg x = 1

грях х = - 1 / 2

sin x = 1

cos x = 1 / 2

грях х = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

грях x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

тен x = √3

грях x = 1 / 2

sin x = -1

cos x = - 1 / 2

грях x = √3 / 2

тен x = -√3

ctg x = √3 / 3

тен x = - √3 / 3

детско легло x = -√3

cos x – 1 =0

2 sin x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0

V . Решаване на примери.

Карти със задачи се раздават на всеки чин, една е на бюрото на учителя за учениците, идващи на дъската.

№1. Намерете средноаритметичната стойност на всички корени на уравнението , отговарящи на условието ;

Решение.

Намерете средната аритметична стойност на всички корени дадено уравнениеот между .

.

Отговор: а).

№2 . Решете неравенството .

Решение.

,

,

.

отговор:

№3. Решете уравнението .

(Заедно определете метод за решаване на проблема)

Решение.

Нека оценим дясната и лявата страна на последното равенство.

Следователно равенството е в сила тогава и само ако е в сила системата

Отговор: 0,5

VI . Самостоятелна работа

Учителят дава задачи за самостоятелна работа. Картите се подготвят според нивата на трудност.

По-подготвените ученици могат да получат карти със задачи с повишено ниво на сложност.

Учителят раздаде на учениците от 2-ра група карти със задачи основно нивосложност.

За учениците от 3-та група учителят състави карти със задачи с основно ниво на сложност, но това са, като правило, ученици с лоша математическа подготовка, те могат да изпълняват задачи под наблюдението на учителя.

Заедно със задачите учениците получават формуляри за изпълнение на задачите.

1 група

Вариант №1 (1)

1. Решете уравнението

2. Решете уравнението .

Вариант №2 (1)

1. Решете уравнението .

2. Решете уравнението .

2-ра група

Вариант №1 (2)

1. Решете уравнението .

2. Решете уравнението .

Темата „Тригонометрични неравенства” е обективно трудна за възприемане и осмисляне от учениците в 10 клас. Ето защо е много важно последователно, от просто към сложно, да се развие разбиране на алгоритъма и да се развие стабилно умение за решаване на тригонометрични неравенства.

Статията представя алгоритъм за решаване на най-прости тригонометрични неравенства и дава обобщение на урок, в който се усвояват по-сложни видове тригонометрични неравенства.

Изтегляне:

Преглед:

Шчалпегина И.В.

Темата „Тригонометрични неравенства” е обективно трудна за възприемане и осмисляне от учениците в 10 клас. Ето защо е много важно последователно, от просто към сложно, да се развие разбиране на алгоритъма и да се развие стабилно умение за решаване на тригонометрични неравенства.

Успехът в усвояването на тази тема зависи от познаването на основните дефиниции и свойства на тригонометрични и обратни тригонометрични функции, познаване на тригонометрични формули, умение за решаване на цели и дробни рационални неравенства и основните видове тригонометрични уравнения.

Особено внимание трябва да се постави върху метода на преподаване на решенияпротозои тригонометрични неравенства, т.к всяко тригонометрично неравенство се свежда до решаване на най-простите неравенства.

За предпочитане е да се въведе основната идея за решаване на прости тригонометрични неравенства с помощта на графики на синус, косинус, тангенс и котангенс. И едва след това се научете да решавате тригонометрични неравенства върху окръжност.

Ще се спра на основните етапи на разсъжденията при решаването на най-простите тригонометрични неравенства.

1. На окръжността намираме точки, чийто синус (косинус) е равен на даденото число.
2. При строго неравенство отбелязваме тези точки на окръжността като пунктирани, при нестрого неравенство ги маркираме като защриховани.
3. Точката, лежаща върхуосновният интервал на монотонностсинусови (косинусови) функции, наречени P t1, друга точка - П t2.
4. Отбелязваме по синусовата (косинусовата) ос интервала, който удовлетворява това неравенство.
5. Избираме дъга върху окръжността, съответстваща на този интервал.
6. Определяме посоката на движение по дъгата (от точка P t1 до точка P t2 по дъга ), рисуваме стрелка по посока на движението, над която пишем знак „+“ или „-“ в зависимост от посоката на движение. (Този етап е важен за наблюдение на намерените ъгли. Учениците могат да илюстрират често срещаната грешка при намиране на границите на интервал, като използват примера за решаване на неравенствотопо график синус или косинус иоколо обиколката).
7. Намиране на координатите на точки P t1 (като аркуссинус или аркосинус на дадено число)и Р t2 тези. границите на интервала, ние контролираме правилността на намирането на ъглите чрез сравняване на t 1 и t 2.
8. Записваме отговора под формата на двойно неравенство (или пропуск) от по-малкия ъгъл към по-големия.

Причината за решаване на неравенства с тангенс и котангенс е подобна.

Чертежът и записът на решението, което трябва да се отрази в ученическите тетрадки, са дадени в предложения конспект.

Обобщение на урока по темата: „Решаване на тригонометрични неравенства“.

Цел на урока – продължават да изучават решението на тригонометрични неравенства, съдържащи функциите синус и косинус, преминават от най-простите неравенства към по-сложни.

Цели на урока:

1. консолидиране на знанията за тригонометрични формули, таблични стойности на тригонометрични функции, формули за корените на тригонометрични уравнения;
2. развиване на умение за решаване на прости тригонометрични неравенства;
3. усвояване на техники за решаване на по-сложни тригонометрични неравенства;
4. развитие на логическо мислене, семантична памет, умения за самостоятелна работа, самопроверка;
5. насърчаване на точност и яснота при формулирането на решения, интерес към предмета и уважение към съучениците.
6. формиране на образователни, когнитивни, информационни и комуникационни компетентности.

Оборудване: графичен проектор, раздатъчни карти с готови чертежи тригонометрични кръгове, преносима дъска, карти за домашни.

форма организация на обучението – уч.Методи обучение, използвано в урока - словесно, нагледно, репродуктивно, проблемно-търсещо, индивидуално и фронтално анкетиране, устен и писмен самоконтрол, самостоятелна работа.

N p/p	Етапи на урока.
	Организиране на час за работа.
	преглед домашна работа.	(Събиране на тетрадки с домашни)
	Изявление на целта на урока.	Днес в урока ще повторим решението на най-простите тригонометрични неравенства и ще разгледаме по-сложни случаи.
	Устна работа.	(Задачите и отговорите са записани на касета, отварям отговорите, докато ги решавам) Решете тригонометрични уравнения: sinx = -, 2sinx =, sin2x =, sin(x -) = 0, cosx =, cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1. Посочете основните интервали на монотонност на функциите синус и косинус.
	Повторение.	Нека си припомним алгоритъма за решаване на най-простите тригонометрични неравенства. (На дъската има заготовки от два кръга. Извиквам двама ученика един по един да решават неравенства. Ученикът обяснява подробно алгоритъма за решаване. Класът работи заедно с отговарящите на дъската върху предварително подготвени карти с изображението от кръг). 1) sinx ≥ -; t 1  t 2 ; t 1 = arcsin(-) = -; t 2 =  + = ; 2) cosx ≥ -; t 1  t 2 ; t 1 = arccos(-) =  - arccos = =  - = ; t 2 = -; 2  n ≤ x ≤ + 2  n, n  Z. Как решението на строгото неравенство влияе на отговора? (3) и 4) двама ученици решават неравенства на лента на шрайбпроектор, класът ги решава самостоятелно на карти). 3) cosx  ; t 1  t 2 ; t 1 = arccos = ; t 2 = 2  - = ; 4) sinx  ; t 1  t 2 ; t 1 = arcsin = ; t 2 = -  - = -; 2  n  x  + 2  n, n  Z. Разменете опциите, вземете химикалка с различен цвят, проверете работата на приятеля си. (Самопроверка от лента на шрайбпроектор. Ученикът, който изпълнява задачата, коментира решението. След връщане на работата, размисъл). Как се променя решението на неравенството, когато аргументът x се замени с 2x, с (Оценяване на работата на ученика).
	Нов материал.	Нека да преминем към по-сложни тригонометрични неравенства, чието решение ще се сведе до решаване на най-простите тригонометрични неравенства. Нека да разгледаме примерите. (Решаване на неравенства на дъската под ръководството на учителя). номер 1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Нека си припомним техниката за решаване на тригонометрични уравнения чрез поставяне на общия множител извън скоби). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Заместване: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0;Второто неравенство не удовлетворява условието ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Решете неравенството сами. Проверете отговора). Отговор: +  n  x  +  n, n  Z. номер 2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Запомнете метода за решаване на тригонометрични уравнения чрез промяна на променлива. Ученикът го решава на дъската с коментари). Заместване sinx = t, ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0,6(t -)(t -), Отговор: + 2  n ≤ x ≤ + 2  n, -  -arcsin+ 2  k ≤ x ≤ arcsin+ 2  k, n, k  Z. номер 3. sinx + cos2x  1. (Обсъждаме опциите за решение. Припомняме формулата на косинуса двоен ъгъл. Класът решава самостоятелно, един ученик - на индивидуална дъска с последваща проверка). sinx + cos2x - 1  0, sinx – 2sin 2 x  0, sinx(1 - 2 sinx)  0, отговор: 2  n  x  + 2  n, 2  n  x   + 2  n, n  Z. Анализирайте ситуации, в които отговорът е решението квадратно неравенствозаписваме го под формата на набор от две неравенства, а когато - под формата на система. Следната диаграма е полезна: номер 4. coscosx - sinsinx  -. (Беседа. За всяка стъпка от решението се извиква по един ученик на дъската, етапите се коментират. Учителят проверява записа с учениците, работещи на място). cos(x +)  -, цена  -. 2  n  t  + 2  n, n  Z, 2  n  x +  + 2  n, n  Z, отговор: 2  n  x  + 2  n, n  Z. номер 5. Дефинирайте всичкоА , за всяко от които неравенството 4sinx + 3cosx ≤ a има поне едно решение. (Запомнете алгоритъма за решаване на тригонометрично уравнение с нормализиращ коефициент. Решението е записано на лента на шрайбпроектор. Отварям го стъпка по стъпка, докато разсъждавам. Диференцирана работа). 4sinx + 3cosx ≤ a , M = = 5. Разделете двете страни на неравенството на 5: sinx + cosx ≤ . защото () 2 + () 2 = 1, тогава има ъгъл α, такъв че cosα = и sinα = . Нека пренапишем предишното неравенство във формата: sin(x + α) ≤ . Последното неравенство и следователно първоначалното неравенство имат поне едно решение за всякои такова нещо ≥ -1, тоест за всеки a ≥ -5. Отговор: a ≥ -5.
	домашна работа.	(Раздавам карти с написани домашни. Коментирам решението на всяко неравенство). cosx  sin 2 x; 4sin2xcos2x  -; cos 2 ≤ sin 2 - 0,5; sinx + cosx  1. Преглед на тригонометрични формули за събиране и подготовка за самостоятелна работа.
	Обобщаване, размисъл.	Назовете методи за решаване на тригонометрични неравенства. Как знанията за алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства се използват при решаването на по-сложни неравенства? Кои неравенства предизвикаха най-много трудности? (Оценявам работата на учениците в час).

Самостоятелна работа

въз основа на резултатите от усвояването на материала.

Вариант 1. Решете неравенства 1 – 3: sin3x -  0; cos 2 x + 3cosx  0; coscos2x - sinsin2x ≥ -. Дефинирайте всички a , за всеки от които неравенството 12sinx + 5cosx ≤А има поне едно решение.

Вариант 2. Решете неравенства 1 – 3: 2cos  1; sin 2 x – 4sinx  0; sincos3x - cossin3x ≤ -. Дефинирайте всички a , за всяко от които неравенството 6sinx - 8cosx ≤А има поне едно решение.

Урок No19-20 Тема: Тригонометрични неравенства

Тип урок: диференциран, проблемен.

Цел на урока: Подобрение умения за взаимодействие в клас в групи, решаване на проблемни проблеми. Развиване на способностите на учениците за самооценка. Организация на ставата образователни дейности, което дава възможност за формулиране и решаване на проблемни проблеми.

Цели на урока:

Образователни: Повторете алгоритми за решаване на тригонометрични неравенства; консолидират умения за решаване на тригонометрични неравенства; въвежда учениците в решаването на система от тригонометрични неравенства; разработи алгоритъм за решаване на система от тригонометрични неравенства; консолидират способността за решаване на система от тригонометрични неравенства

Развитие: Научете се да излагате хипотези и умело да защитавате мнението си с доказателства. Умейте да разпознавате и решавате проблемни проблеми. Проверете способността си да обобщавате и систематизирате знанията си.

Образователни: Повишете интереса към предмета и се подгответе за решаване на по-сложни проблеми.

Урок 1

1. Организационно въведение. Поставяне на учебна задача.

Класът е разделен на три групи, които обединяват ученици с еднакво ниво на знания.

I група "А"

II група “Б”

III група “С”

Ученици, обучаващи се условно на „3”

Учениците, обучаващи се условно на "4"

Учениците условно на „5”

Всеки ученик получава личен лист за постижения.

Учител: Разгледайте внимателно листа с лични постижения. Въведете вашето фамилно име, име и име на групата. Темата на нашия урок е „Решаване на тригонометрични неравенства, системи от неравенства“. Днес сме с вас

Нека повторим алгоритмите за решаване на тригонометрични неравенства;

Да затвърдим умението да решаваме тригонометрични неравенства;

Да се ​​запознаем с решението на системата от тригонометрични неравенства;

Нека разработим алгоритъм за решаване на система от тригонометрични неравенства;

Ще затвърдим умението да решаваме система от тригонометрични неравенства;

Хайде да играем мач с компютъра.

1. Повторение

Алгоритъмът за решаване на тригонометрични неравенства се повтаря с помощта на слайдове. Преди да демонстрира всеки слайд, учителят поставя задачата: „Кажете алгоритъма за решаване на неравенството“ и извиква 4 ученика, по един за всяка точка от алгоритъма. Всеки ученик произнася съдържанието на една от точките на алгоритъма и едва тогава информацията се появява на слайда. Може би ученикът ще направи свой собствен коментар; тази част от отговора е в курсив в текста.

Учител: .

Учител: Обяснете алгоритъма за решаване на неравенството

Учител: Обяснете алгоритъма за решаване на неравенството

Учител: Обяснете алгоритъма за решаване на неравенството

2. Работа в групи

Учителят раздава на всеки ученик в групата албумни листове, на които са изтеглени 3 числа тригонометрични кръгове. (диференцирани раздавателни материали)

Учител: Всеки ученик трябва да реши 3 задачи. В група “А” една задача е проблемна (последната). В група „Б” две задачи са проблемни (последните две). В група “В” всички задачи са проблемни. В продължение на 5 минути учениците си помагат да решат задачите, след което в рамките на 10 минути учениците решават задачите сами и докато решават задачата, отиват до дъската и закрепват своите листчета с решението на дъската.

Учителят ги проверява, докато са публикувани. При вярно решена задача се поставя “+”, а при неправилно решена задача се поставя “-”. След 10 минути решаването спира и в рамките на 5 минути започва анализ на решените задачи. Анализират се само проблемни задачи, но ако има нужда, могат да се анализират и други задачи.

Групови задачи за студенти

I група "А"

Задача № 3 с повишена трудност за ниво “А”

II група “Б”

Задачи № 2 и № 3 с повишена трудност за ниво “В”

III група “С”

2.

3.

2.

3.

2.

3.

2.

3.

2.

2.

2.

3.

Всички задачи с повишена трудност за нивото

"С"

Учител: Учениците се състезават в групата (успелите да публикуват правилните задачи получават допълнителни 3 точки за бързина). Отборите също се състезават помежду си (отборите на учениците получават 3 допълнителни точки, ако този отбор има повече правилно решени задачи)

Допълнителните точки за бързина се дават от учителя в последната колона.

Урок 2

Индивидуален тест по проблемна тема

Учител: Нека си припомним как се решава система от неравенства от вида:

отговор:

Учителят извиква ученик от група „В” на дъската за решаване на системата от неравенства, учениците от група „Б” изричат ​​решението от местата си.

Учител: Всяка група получава задача под формата на решаване на три системи от тригонометрични неравенства (всяка група получава еднакви системи, т.е. всички ученици са в равни условия).

№1.

Отговор: .

: голяма дъга.

И .

.

Изберете кръговата дъга, съответстваща на интервала: голяма дъга.

Запишете числови стойностигранични точки на дъгата:И .

Запишете общо решениенеравенства:.

3. Ученик от група „В” (3 точки) (ученик от същата група помага от място):

- Изберете пресечната точка на дъги и определете числените стойности на граничните точки на получените дъги:И ; И .

Запишете общото решение на системата от неравенства:

№2 Създайте алгоритъм и решете система от тригонометрични неравенства от вида:

отговор: .

Групите получават 2 минути за обсъждане на проблема и след това самият учител извиква ученици на дъската, които с помощта на подготвени кръгове, със скритата подсказка на учителя, решават система от неравенства. Учителят извиква ученици от различни групи, като ги кара да изпълняват задачи с различна трудност. Единият ученик работи на дъската, а другият помага от мястото.

Ученик от група „А” (3 точки) (ученик от същата група помага от място):

Изберете кръговата дъга, съответстваща на интервала: голяма дъга.

Запишете числените стойности на граничните точки на дъгата:И .

Запишете общото решение на неравенството:.

2. Ученик от група „Б” (3 точки) (ученик от същата група помага от място):

Изберете кръговата дъга, съответстваща на интервала: по-малка дъга.

Запишете числените стойности на граничните точки на дъгата:И . Създайте алгоритъм и решете система от тригонометрични неравенства от вида:

отговор: .

Групите получават 2 минути за обсъждане на проблема и след това самият учител извиква ученици на дъската, които с помощта на подготвени кръгове, със скритата подсказка на учителя, решават система от неравенства. Учителят извиква ученици от различни групи, като ги кара да изпълняват задачи с различна трудност. Единият ученик работи на дъската, а другият помага от мястото.

Ученик от група „А” (3 точки) (ученик от същата група помага от място):

Изберете кръговата дъга, съответстваща на интервала.

5. Обобщаване

Ние сме с вас:

Повторихме алгоритмите за решаване на тригонометрични неравенства;

Решени тригонометрични неравенства в групи, както прости, така и проблемни;

Анализирахме решението на 3 тригонометрични системи от неравенства;

Разработихме алгоритъм за решаване на система от тригонометрични неравенства в общ вид.

Допълнителна информациякъм урока:

Приложение 1: Лист за лични постижения.

Приложение 2: „Решаване на тригонометрични неравенства“

Приложение 3 „Решаване на система от тригонометрични неравенства“

Лист за лични постижения

Фамилия, собствено име ________________________________________________

Група___________________

1. Повторение (поставете отметка в квадратчето):

0 точки за грешен отговор ______

1 б за неясен отговор ______

2 точки за ясен отговор ______

3 b за способността да намирате и коригирате грешка ______

2. Работа в групи (поставете отметка в квадратчето):

0 точки за нерешена задача ______

1 точка за грешно решение (учителят поправи грешката) ______

2 точки за грешно решение (ученикът коригира грешката) ______

3 точки за правилно решаване на една задача ______

3. Индивидуален контрол по проблемна тема (поставете отметка в квадратчето):

0 точки за неучастие в обсъждането на проблема _______

1 б за участие в обсъждането на проблема _______

2 б за активно обсъждане на проблема _______

3 б за способността да се създаде алгоритъм за решаване на _______

Оценете знанията си

Тема на урока: Решаване на тригонометрични неравенства

Урокът се проведе в 11 клас на училище № 4 на името на. Горки, Брянск (2007).

Класът работи по учебника

https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">

Учител: учител най-висока категория, заслужил учител на Руската федерация Нина Владимировна Кусачева.

цели урок:

1) Идентифицирайте техники за намаляване на тригонометричните неравенства до най-простите: разглеждане на сложен аргумент като прост; използване на еквивалентни трансформации; прилагане на тригонометрични формули.

2) Определете начини за решаване на тригонометрични неравенства: редукция до най-простите; въвеждане на нова променлива.

3) Научете се да разпознавате начини за решаване на тригонометрични неравенства.

4) Научете се да пишете отговора, ако не се използват таблични стойности на тригонометрични функции.

5) Подобряване на способността за решаване на тригонометрични неравенства.

6) Тествайте способността си да решавате прости тригонометрични неравенства.

Тип урок: урок за подобряване на уменията.

План на урока:

1. Идентифициране на техники и методи за решаване на тригонометрични неравенства, трудности при попълване на домашна работа чрез анализ на решенията на най-сложните неравенства.

2. Подобряване на способността за решаване на тригонометрични неравенства:

а) разпознаване на методите за решаване и повторение на алгоритъма за решаване на прости тригонометрични неравенства;

б) работа с най-простото неравенство, където табличните стойности не се използват за записване на отговора;

в) подобряване на способността за решаване на неравенства, които могат да бъдат сведени до най-простите тригонометрични с помощта на еквивалентни трансформации чрез сравнение на неравенства;

г) подобряване на способността за решаване на неравенства, които могат да бъдат сведени до най-простите тригонометрични с помощта на формули за редукция;

д) подобряване на способността за решаване на тригонометрични неравенства чрез използването на няколко метода за решаване.

3. Самостоятелна работа по решаване на тригонометрични неравенства.

4. Поставяне на домашна работа.

Напредък на урока:

1. Идентифициране на техники и методи за решаване на тригонометрични неравенства, трудности при попълване на домашна работа чрез анализ на решенията на най-сложните неравенства.

Учител:(Решенията на неравенства No 7, 8, 10 от домашната карта са записани на дъската).

Вижте решението на неравенство № 7. Какви въпроси имате относно някоя от стъпките в решението?

№7 грях х ≤ - cos x;

грях х + cos x ≤0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src="> грях х + cos x) ≤ 0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;

грях(х + ) ≤ 0;

х+ О [ - π +2π п, 2π п], пО Z

хО [ -5π/4 + 2π п,- π/4+ 2π п], пО Z

отговор: хО [ -5π/4 +2π п,- π/4+ 2π п], пО Z

Учител:Тогава имам няколко въпроса. Как се получи 3-ти ред?

Ученици:Умножихме и разделихме всеки член на .

Учител:Възможно ли е да се извърши такова преобразуване на неравенство?

Ученици:Да, това преобразуване е еквивалентно.

Учител:С каква цел направихме това?

Ученици:За да може да кандидатства тригонометрична формуласъбирането е синус от сбора на два ъгъла.

Учител:Какво е другото име на тази техника?

Ученици:Техника за въвеждане на спомагателен ъгъл.

Учител:Как се досетихте, че трябва да умножите и разделите всеки член точно на?

Ученици:е корен квадратен от сбора на квадратите на коефициентите в трансформираното неравенство.

Учител:Назовете неравенството, което може да се счита за най-просто и мотивирайте отговора си.

Ученици:Неравенство грях(х+ ) ≤ 0 може да се счита за най-простият, ако разгледаме сложния аргумент ( х+ ) като просто, например t.

Учител:И така, основната идея за решаване на неравенство № 7 е да се сведе до най-простото тригонометрично неравенство. Да повторим какви техники са използвани?

Ученици: 1) еквивалентни трансформации (прехвърляне на термини; умножение и деление на всеки термин с едно и също число; въвеждане на спомагателен ъгъл);

(Учителят помага на учениците, като им посочва един или друг ред от решението.)

Учител:Вижте решението на неравенство #8.

№ 8 грях 2х+ https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2 cos 2х) ≥ 1;

2 грях (2х+ π/3) ≥ 1;

грях (2х+ π/3) ≥ 1/2;

2х+ π/3 О [π/6 + 2π п, 5π/6 + 2π п], пО Z;

хО [-π/12 + π п, π/4 + π п], n О Z;

отговор: хО [-π/12 + π п, π/4 + π п], пО Z.

Какви въпроси имате относно някоя от стъпките на решение? (пауза) Какви техники са използвани за решаване на това неравенство?

Ученици: 1) еквивалентни трансформации (прехвърляне на термини; умножение и деление на всеки термин с едно и също число; въвеждане на спомагателен ъгъл, деление на двете страни на неравенството с положително число);

2) прилагане на тригонометричната формула,

3) третира сложен аргумент като прост.

Учител:Помислете за решението на неравенство #10:

№10 cos 2 х – 2cosх >0;

Нека cos x= t;

t 2 – 2t >0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;

2. cos(3π/2 + х) < -/2;

3. cos(π + 2 х) – 1 ≥ 0;

4. грях х > 2/3;

5. 5cos(х– π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4грях 2 3х < 3.

Учител:Подчертайте неравенствата, които изискват използването на еквивалентни трансформации при редуциране на тригонометрично неравенство до най-простата му форма?

Ученици: 1, 3, 5.

Учител:Кои са неравенствата, при които трябва да разглеждате сложен аргумент като прост?

Ученици: 1, 2, 3, 5, 6.

Учител:Кои са неравенствата, при които могат да се прилагат тригонометрични формули?

Ученици: 2, 3, 6.

Учител:Посочете неравенствата, при които може да се приложи методът за въвеждане на нова променлива?

Ученици: 6.

Учител:Сега ще започнем да решаваме неравенствата от най-простите и ще научим как да напишем отговора, ако не се използват таблични стойности. Но първо отговорете дали е вярно, че най-простите тригонометрични неравенства могат да бъдат решени с помощта на алгоритъма, написан на дъската:

Алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства

1. Заменете устно неравенството с уравнение. Начертайте единична окръжност и отбележете върху нея точките, съответстващи на уравнението.

2. Маркирайте точките от окръжността, съответстващи на неравенството, т.е. изберете съответната дъга.

3. Посочете посоката на броене.

4. Намерете началото на дъгата и съответстващия й ъгъл.

5. Намерете ъгъла, съответстващ на края на дъгата.

6. Записваме отговора под формата на интервал, като отчитаме периодичността на функцията.

Учител:Това ли е редът, в който решавате най-простите неравенства?

Ученици:да

Коментирайте. Задачата за анализиране на списък от неравенства от гледна точка на методите за решаването им ви позволява да практикувате тяхното разпознаване. Когато развивате умения, е важно да идентифицирате етапите на неговото прилагане и да ги формулирате общ изглед, който е представен в алгоритъма за решаване на най-простите тригонометрични неравенства.

б) Работа с най-простото неравенство, където табличните стойности не се използват за записване на отговора.

Учител:Да започнем решаването с неравенство No4.

Организация на по-нататъшната работа:

https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Един ученик решава неравенството на дъската, като произнася всяка стъпка от алгоритъма на глас

5cos(х– π/6) – 1 ≥ 0;

cos(х– π/6) ≥ 1/5;

х– π/6 О [- arccos 1/5 + 2π п, arccos 1/5 + 2π п], пО Z;

хО [π/6 – arccos 1/5 + 2π п, π/6 + arccos 1/5 + 2π п], пО Z.

След приключване на решението учителят задава на ученика, решил неравенството на дъската, следните въпроси:

Учител:Как би се променил отговорът, ако беше дадено строго неравенство?

ученик:Тогава квадратните скоби ще бъдат заменени с кръгли скоби.

Учител:Как бихте записали отговора, ако е дадено неравенство? cos (х– π/6) ≤ 1/5?

ученик: хО [π/6 + arccos 1/5 + 2π п, 13π/6 – arccos 1/5 + 2π п], пО Z.

Учител:Какви методи за свеждане до най-простото тригонометрично неравенство са използвани?

ученик:Използвани са еквивалентни трансформации (прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга, разделяне на двете страни на неравенството с положително число); третира сложния аргумент като прост.

Учител:(обръща се към класа); Имате ли въпроси или коментари към респондента? (ученикът отговаря на въпросите на учениците и се съгласява или не с коментарите, след което сяда).

Учител:На какво неравенство е сходно неравенство № 1 и по какъв начин?

Ученици:Към неравенство No 5 като го сведем до най-простото; към неравенство № 4 по местоположението на дъгата.

Учител:Решете устно неравенство № 1: 2 грях (х– π/4) ≥ .

Ученици:отговор: хО [ π/2 + 2π п, π + 2π п], пО Z.

Коментирайте. Подобряването на способността за решаване на тригонометрични неравенства се улеснява от следните въпроси: „Как ще решим група неравенства?“; „Как едно неравенство се различава от друго?“; „По какво едно неравенство е подобно на друго?“; Как би се променил отговорът, ако беше дадено строго неравенство?"; Как би се променил отговорът, ако вместо знака ">" имаше "<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».

г) Подобряване на способността за решаване на неравенства, които могат да бъдат сведени до най-простите тригонометрични с помощта на редукционни формули.

Учител:Разгледайте неравенство № 2 cos(3π/2 + х)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Желаещ ученик решава неравенството на дъската, без да казва решението:

cos(3π/2 + х)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;

отговор: хО (- 2π/3 + 2π п,-π/3 + 2π п), пО Z.

След завършване на решението учениците проверяват форматирането и правят коментари, ако е необходимо. След това учителят задава на респондента следните въпроси:

Учител:С какво това неравенство се различава от решените по-рано?

ученик:Това неравенство е сведено до най-простата си форма с помощта на формулата за редукция.

Учител:Има ли други неравенства, които могат да бъдат решени по този начин?

ученик: № 3.

Учител:Ще решаваме неравенството устно, като коментираме хода на решаването.

Ученици:(те коментират напредъка на решението по ред, учителят прави промени в неравенството)

№ 3 cos(π + 2 х) – 1 ≥ 0;

cos(π + 2 х) ≥ 1;

- cos 2х ≥ 1;

cos 2х ≤ -1

2х= -π + 2π п , пО Z;

х= -π/2 + π п , пО Z.

Учител:И така, каква е особеността на решаването на това неравенство?

Ученици:Решението му се свеждаше до решаването на уравнение.

Учител:И така, какво правите след това, когато видите, че аргументът на тригонометрична функция е сложен?

Ученици:Ще видим дали можем да използваме формули за редукция, за да опростим аргумента.