Как да начертая графика на функцията y=sin x? Първо, нека разгледаме синусовата графика на интервала.

Взимаме един сегмент с дължина 2 клетки в тетрадката. На оста Oy отбелязваме едно.

За удобство закръгляме числото π/2 до 1,5 (а не до 1,6, както се изисква от правилата за закръгляване). В този случай сегмент с дължина π/2 съответства на 3 клетки.

На оста Ox маркираме не единични сегменти, а сегменти с дължина π/2 (на всеки 3 клетки). Съответно сегмент с дължина π съответства на 6 клетки, а сегмент с дължина π/6 съответства на 1 клетка.

При този избор на единична отсечка графиката, изобразена на лист от тетрадка в кутия, съответства максимално на графиката на функцията y=sin x.

Нека направим таблица със синусови стойности на интервала:

Маркираме получените точки на координатната равнина:

Тъй като y=sin x е нечетна функция, синусовата графика е симетрична по отношение на началото - точка O(0;0). Като вземем предвид този факт, продължаваме да начертаваме графиката вляво, след това точките -π:

Функцията y=sin x е периодична с период T=2π. Следователно графиката на функция, взета в интервала [-π;π], се повтаря безкраен брой пъти надясно и наляво.

ФУНКЦИОНАЛНА ГРАФИКА

Функция синус

- много Рвсички реални числа.

Множество функционални стойности— сегмент [-1; 1], т.е. синусова функция - ограничен.

Странна функция: sin(−x)=−sin x за всички x ∈ Р.

Функцията е периодична

sin(x+2π k) = sin x, където k ∈ Зза всички x ∈ Р.

sin x = 0за x = π·k, k ∈ З.

sin x > 0(положително) за всички x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ З.

грях х< 0 (отрицателно) за всички x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ З.

Функция косинус

Функционален домейн- много Рвсички реални числа.

Множество функционални стойности— сегмент [-1; 1], т.е. косинусова функция - ограничен.

Четна функция: cos(−x)=cos x за всички x ∈ Р.

Функцията е периодичнас най-малък положителен период 2π:

cos(x+2π к) = cos x, където к ∈ Зза всички x ∈ Р.

cos x = 0при
cos x > 0за всички
cos x< 0 за всички
Функцията се увеличаваот −1 до 1 на интервали:
Функцията намаляваот −1 до 1 на интервали:
Най-висока стойност функции гряхх = 1по точки:
Най-малката стойност на функцията sin x = −1по точки:

Тангенсна функция

Множество функционални стойности— цялата числова ос, т.е. тангенс - функция неограничен.

Странна функция: tg(−x)=−tg x
Графиката на функцията е симетрична спрямо оста OY.

Функцията е периодичнас най-малък положителен период π, т.е. tg(x+π к) = тен x, к ∈ Зза всички x от областта на дефиницията.

Функция котангенс

Множество функционални стойности— цялата числова ос, т.е. котангенс - функция неограничен.

Странна функция: ctg(−x)=−ctg x за всички x от областта на дефиницията.
Графиката на функцията е симетрична спрямо оста OY.

Функцията е периодичнас най-малък положителен период π, т.е. cotg(x+π к)=ctg x, к ∈ Зза всички x от областта на дефиницията.

Функция арксинус

Функционален домейн— сегмент [-1; 1]

Множество функционални стойности- сегмент -π /2 arcsin x π /2, т.е. арксинус - функция ограничен.

Странна функция: arcsin(−x)=−arcsin x за всички x ∈ Р.
Графиката на функцията е симетрична спрямо началото.

В цялата зона на дефиниране.

Арк косинус функция

Функционален домейн— сегмент [-1; 1]

Множество функционални стойности— сегмент 0 arccos x π, т.е. аркосинус - функция ограничен.

Функцията се увеличававърху цялата зона на дефиниране.

Арктангенс функция

Функционален домейн- много Рвсички реални числа.

Множество функционални стойности— сегмент 0 π, т.е. арктангенс - функция ограничен.

Странна функция: arctg(−x)=−arctg x за всички x ∈ Р.
Графиката на функцията е симетрична спрямо началото.

Функцията се увеличававърху цялата зона на дефиниране.

Функция аркутангенс

Функционален домейн- много Рвсички реални числа.

Множество функционални стойности— сегмент 0 π, т.е. арккотангенс - функция ограничен.

Функцията не е нито четна, нито нечетна.
Графиката на функцията не е асиметрична нито по отношение на началото, нито по отношение на оста Oy.

Функцията намалявавърху цялата зона на дефиниране.

Центриран в точка А.
α - ъгъл, изразен в радиани.

Определение
Синус (sin α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета правоъгълен триъгълник, равно на съотношениетодължина на срещуположната страна |BC| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.

Косинус (cos α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.

Приети означения

;
;
.

;
;
.

Графика на функцията синус, y = sin x

Графика на функцията косинус, y = cos x

Свойства на синуса и косинуса

Периодичност

Функции y = грях хи y = cos xпериодичен с период 2π.

Паритет

Функцията синус е нечетна. Функцията косинус е четна.

Област на определение и стойности, екстремуми, нарастване, намаляване

Функциите синус и косинус са непрекъснати в тяхната област на дефиниране, тоест за всички x (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).

	y= грях х	y= cos x
Обхват и приемственост	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Увеличава се
Спускане
Максимум, y ​​= 1
Минимуми, y = - 1
Нули, y = 0
Пресечни точки с ординатната ос, x = 0	y= 0	y= 1

Основни формули

Сбор от квадрати на синус и косинус

Формули за синус и косинус от сбор и разлика

;
;

Формули за произведение на синуси и косинуси

Формули за сбор и разлика

Изразяване на синус чрез косинус

;
;
;
.

Изразяване на косинус чрез синус

;
;
;
.

Изразяване чрез тангенс

; .

Когато , имаме:
; .

в:
; .

Таблица на синусите и косинусите, тангенсите и котангенсите

Тази таблица показва стойностите на синусите и косинусите за определени стойности на аргумента.

Изрази чрез комплексни променливи

;

Формула на Ойлер

Изразяване чрез хиперболични функции

;
;

Деривати

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

Извеждане на формули >>>

Производни от n-ти ред:

Секанс, косекансОбратни функции

Обратни функции

към синус и косинус са съответно арксинус и арккосинус.

Арксинус, арксинус
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Назад Напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Желязото ръждясва, без да намери никаква употреба,
Негазирана водагние или замръзва на студа,
и умът на човека, без да намира никаква употреба за себе си, изнемогва.
Леонардо да Винчи

Използвани технологии:проблемно-базирано обучение, критично мислене, комуникативна комуникация.

Цели:

• развитие познавателен интерескъм учене.
• Изучаване свойствата на функцията y = sin x.
• Формиране на практически умения за построяване на графика на функцията y = sin x въз основа на изучения теоретичен материал.

Задачи:

1. Използвайте съществуващия потенциал от знания за свойствата на функцията y = sin x в конкретни ситуации.

2. Прилага съзнателно установяване на връзки между аналитични и геометрични модели на функцията y = sin x.

Развийте инициативност, определена воля и интерес за намиране на решение; способността да вземате решения, да не спирате дотук и да защитавате своята гледна точка.

Да насърчава у учениците когнитивна активност, чувство за отговорност, уважение един към друг, взаимно разбиране, взаимна подкрепа и самочувствие; култура на общуване.

Напредък на урока

Етап 1. Актуализиране на основни знания, мотивиране за усвояване на нов материал

"Влизане в урока."

На дъската са написани 3 твърдения:

1. Тригонометричното уравнение sin t = a винаги има решения.
2. График странна функцияможе да се конструира с помощта на трансформация на симетрия относно оста Oy.
3. Тригонометрична функция може да бъде начертана като се използва една главна полувълна.

Учениците обсъждат по двойки: верни ли са твърденията? (1 минута). След това резултатите от първоначалното обсъждане (да, не) се въвеждат в таблицата в колоната „Преди“.

Учителят определя целите и задачите на урока.

2. Актуализиране на знанията (фронтално върху модел на тригонометрична окръжност).

Вече се запознахме с функцията s = sin t.

1) Какви стойности може да приеме променливата t. Какъв е обхватът на тази функция?

2) В какъв интервал се съдържат стойностите на израза sin t? Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията s = sin t.

3) Решете уравнението sin t = 0.

4) Какво се случва с ординатата на точка, докато се движи по първата четвърт? (ординатата нараства). Какво се случва с ординатата на точка, докато се движи през втората четвърт? (ординатата постепенно намалява). Как това е свързано с монотонността на функцията? (функцията s = sin t нараства на отсечката и намалява на отсечката ).

5) Нека напишем функцията s = sin t във формата y = sin x, която ни е позната (ще я конструираме в обичайната xOy координатна система) и съставете таблица със стойностите на тази функция.

X	0
при	0			1			0

Етап 2. Възприятие, разбиране, първично консолидиране, неволно запаметяване

Етап 4. Първична систематизациязнания и методи на дейност, тяхното пренасяне и прилагане в нови ситуации

6. № 10.18 (b,c)

Етап 5. Заключителен контрол, поправка, оценка и самооценка

7. Връщаме се към твърденията (началото на урока), обсъждаме използването на свойствата на тригонометричната функция y = sin x и попълваме колоната „След“ в таблицата.

8. D/z: клауза 10, № 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Открихме това поведение тригонометрични функции, и функции y = sin x по-специално, на цялата числова линия (или за всички стойности на аргумента X) се определя изцяло от поведението му в интервала 0 < X < π / 2 .

Следователно, първо ще начертаем функцията y = sin x точно в този интервал.

Нека направим следната таблица със стойности на нашата функция;

Като маркираме съответните точки на координатната равнина и ги съединим с гладка линия, получаваме кривата, показана на фигурата

Получената крива може да се конструира и геометрично, без да се съставя таблица със стойностите на функцията y = sin x .

1. Разделете първата четвърт на окръжност с радиус 1 на 8 равни части, които са синусите на съответните ъгли.

2. Първата четвърт от кръга съответства на ъгли от 0 до π / 2 . Следователно, на ос XНека вземем отсечка и я разделим на 8 равни части.

3. Нека начертаем прави линии, успоредни на осите X, а от точките на разделяне построяваме перпендикуляри до пресичането им с хоризонтални линии.

4. Свържете пресечните точки с гладка линия.

Сега нека да разгледаме интервала π / 2 < X < π .
Стойност на всеки аргумент Xот този интервал може да се представи като

х = π / 2 + φ

Къде 0 < φ < π / 2 . Според формулите за намаляване

грях( π / 2 + φ ) = cos φ = грях ( π / 2 - φ ).

Точки на осите Xс абсцисите π / 2 + φ и π / 2 - φ симетрични една спрямо друга спрямо точката на оста Xс абсцисата π / 2 , а синусите в тези точки са еднакви. Това ни позволява да получим графика на функцията y = sin x в интервала [ π / 2 , π ] чрез просто симетрично показване на графиката на тази функция в интервала спрямо правата линия X = π / 2 .

Сега използва имота функция за нечетен паритет y = sin x,

грях (- X) = - грях X,

лесно е да начертаете тази функция в интервала [- π , 0].

Функцията y = sin x е периодична с период 2π ;. Следователно, за да се изгради цялата графика на тази функция, е достатъчно да продължите кривата, показана на фигурата, наляво и надясно периодично с период 2π .

Получената крива се нарича синусоида . Той представлява графиката на функцията y = sin x.

Фигурата добре илюстрира всички свойства на функцията y = sin x , което вече сме доказали. Нека си припомним тези свойства.

1) Функция y = sin x определени за всички стойности X , така че неговата област е множеството от всички реални числа.

2) Функция y = sin x ограничен. Всички стойности, които приема, са между -1 и 1, включително тези две числа. Следователно диапазонът на изменение на тази функция се определя от неравенството -1 < при < 1. Кога X = π / 2 + 2k π функция отнема най-високи стойности, равно на 1, и за x = - π / 2 + 2k π - най-малки стойности, равно на - 1.

3) Функция y = sin x е нечетен (синусоидата е симетрична спрямо началото).

4) Функция y = sin x периодичен с период 2 π .

5) На 2n интервали π < х < π + 2n π (n е всяко цяло число) то е положително и в интервали π + 2k π < X < 2π + 2k π (k е всяко цяло число) то е отрицателно. При x = k π функцията отива на нула. Следователно тези стойности на аргумента x (0; ± π ; ±2 π ; ...) се наричат ​​функционални нули y = sin x

6) На интервали - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π функция y = грях х нараства монотонно и на интервали π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π намалява монотонно.

Трябва да обърнете специално внимание на поведението на функцията y = sin x близо до точката X = 0 .

Например, sin 0,012 ≈ 0,012; грях (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = грях π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

В същото време трябва да се отбележи, че за всякакви стойности на x

| грях х| < | x | . (1)

Наистина, нека радиусът на кръга, показан на фигурата, е равен на 1,
а / AOB = X.

Тогава грях х= AC. Но AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Дължината на тази дъга очевидно е равна на X, тъй като радиусът на окръжността е 1. И така, при 0< X < π / 2

грях х< х.

Следователно, поради странността на функцията y = sin x лесно е да се покаже, че когато - π / 2 < X < 0

| грях х| < | x | .

И накрая, кога х = 0

| грях x | = | x |.

По този начин за | X | < π / 2 неравенство (1) е доказано. Всъщност това неравенство е вярно и за | х | > π / 2 поради факта, че | грях X | < 1, а π / 2 > 1

Упражнения

1.Според графиката на функцията y = sin x определете: а) грях 2; б) грях 4; в) грях (-3).

2.Според функционалната графика y = sin x определете кое число от интервала
[ - π / 2 , π / 2 ] има синус, равен на: а) 0,6; б) -0,8.

3. Според графиката на функцията y = sin x определи кои числа имат синус,
равно на 1/2.

4. Намерете приблизително (без да използвате таблици): а) sin 1°; б) грях 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2°30").