Тест върху експоненциални и логаритмични уравнения. Тест по математика на тема „Логаритмични уравнения и неравенства

1 от 22

Описание на презентацията по отделни слайдове:

Слайд № 1

Научно ръководство по алгебра Тема: „Логаритмични и експоненциални уравнения и неравенства“ Изпълнил: Мануилова Л.Н. - учител по математика в МБОУ № 76, Ижевск Удмуртия

Слайд № 2

Съдържание: Глава 1. 1.1. Понятието логаритъм 1.2. Свойства на логаритъма 1.3. Логаритмични уравненияА. Теоретична частБ. Примери 1.4. Логаритмични неравенства А. Теоретична част Б. Примери Глава 2. 2.1. Степента на положително число е 2,2. Експоненциална функция 2.3. Експоненциални уравненияА. Теоретична част Б. Примери 2.4. Експоненциални неравенства A. Теоретична част B. Примери Глава 3. 3.1. Тест по темата “Логаритмични уравнения и неравенства” I ниво на сложност II ниво на сложност Ниво IIIтрудност 3.2. Тест по темата “Показателни уравнения и неравенства” I ниво на сложност II ниво на сложност III ниво на сложност

Слайд № 3

1.1 Концепцията за логаритъм y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) е число n, такова че b = an. Логаритъмът на положително число b при основа a (a > 0,a ≠ 1) се означава по следния начин: n = loga b От дефиницията на логаритъм очевидно е следва, че за a > 0, a ≠ 1, b > 0: a loga b = b

Слайд № 4

Логаритмична функция y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Функцията y = log x се нарича логаритмична функция. Свойства на функцията y = loga x, за a > 0: Непрекъсната и нарастваща на интервала (0;+∞); Ако x→+∞, тогава y→+∞; ако x→0, тогава y→ -∞. Тъй като loga1=0, то от свойство 1 следва: ако x > 1, то y > 0; ако 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, след това y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

Слайд № 5

Нека a, M и N са положителни числа, като a ≠ 1, а k е реално число. Тогава равенствата са верни: 1. loga (M N) = loga M + loga N - логаритъм от произведението на положителни числа равно на суматалогаритми на тези числа. 2. loga M = loga M – loga N - Логаритъмът от частното на положителните числа N е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя. 3. loga Mk = k · loga M - Логаритъмът на степента на положително число е равен на произведението на степента и логаритъма на това число. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Формула за преобразуване на логаритми от една logb a logb a основа в друга. Индивидуални случаи: 1. log10 b = log b - Логаритъмът на положително число b при основа 10 се нарича десетичен логаритъмчисла б. 2. log b = ln b - Логаритъмът на положително число b при основа e се нарича натурален логаритъмчисла b 1.2 Свойства на логаритмите

Слайд № 6

1. Нека a е дадено положително число, което не е равно на 1, b е дадено реално число. Тогава уравнението loga x = b се нарича най-простото логаритмично уравнение. Например уравнения a) log3 x = 3 ; (1) b) log⅓ x = -2; (2) c) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) са най-простите логаритмични уравнения. По дефиницията на логаритъм, ако число x0 удовлетворява численото равенство loga x = b, тогава числото x0 е ab и това число x0 = ab е единственото. Така за всяко реално число b уравнението loga x = b има уникален корен x0 = ab. 2. Уравнения, които след замяна на неизвестното се превръщат в най-прости логаритмични уравнения: а) log5 (4x – 3) = 2; (4) б) 2 + 1 = -1; (5) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) 1.3 Уравнения (Теоретична част)

Слайд № 7

1.3 Примери log3 x = 3 Нека пренапишем уравнението във формата: log3 x = log3 27 Тогава е очевидно, че това уравнение има един корен x0 = 27. Отговор: 27. б) log1/3 x = -2 Това уравнение има един корен x0 = ( ⅓)-2 =9 Отговор: 9. c) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Намалявайки всички логаритми до една и съща основа, пренаписваме уравнение във формата: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Тъй като всеки член в сумата, поставена в скоби, е положителен, сборът не е равен на нула. Следователно уравнение (1) и следователно уравнение (2) са еквивалентни на уравнението log25 x = 0, което има един корен x0 = 1. Следователно уравнение (1) има един корен x0 = 1. Отговор: 1 . a, b – най-простите уравнения; c е уравнение, което след трансформации се превръща в най-простия логаритъм. уравнение

Слайд № 8

1.3 Примери a) log5 (4x – 3) = 2 (1) Въвеждайки новото известно t = 4x – 3, пренаписваме уравнението във формата: log5 t = 2. Това уравнение има един корен t1 = 52 =25. За да намерите корена на уравнение (1), трябва да решите уравнението: 4x – 3 = 25. (2) То има един корен x1 =7. Следователно уравнение (1) също има един корен x1=7. Отговор: 7. b) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0,01 log(3x + 1) Въвеждане на ново неизвестно t = log (3x + 1) и вземане под внимание, че log 0,01 = -2, пренаписваме уравнение (1) във формата: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t След като решихме рационалното уравнение (2), откриваме, че то има два корена t1 = -2 и t2 = 1. За да намерите всички корени на уравнение (1), е необходимо да комбинирате корените на двете уравнения log(3x + 1) = -2 и log(3x + 1) = 1. Първото уравнение е еквивалентно на уравнението 3x + 1 = 10-2, което има единичен корен x1 = -0,33. Второто уравнение е еквивалентно на уравнението 3x + 1 = 10, което също има един корен x2 = 3. Отговор: -0,33 ; 3. a, b – уравнения, сведени до най-прости чрез заместване на неизвестното

Слайд № 9

1.4 Неравенства (Теоретична част) Нека a е дадено положително число, различно от 1, b е дадено реално число. Тогава неравенствата: logа x > b (1) logа x< b (2) являются простейшими логарифмическими неравенствами. Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде: loga x >log x0 (3) log x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, тогава функцията y = loga x нараства в цялата си област на дефиниция, т.е. на интервала (0;+∞). Следователно за всяко число x > x0 е вярно числено неравенство loga x > loga x0 и за всяко число x от интервала 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 и всяко реално число b, множеството от всички решения на неравенство (3) е интервалът (x0 ;+ ∞), а множеството от всички решения на неравенство (4) е интервалът (0; x0). Ако 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 численото неравенство loga x е вярно< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >логаритъм x0. Освен това равенството loga x = loga x0 е валидно само за x = x0. Така при 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

Слайд № 10

1.4 Неравенства (Теоретична част) На координатна равнина xOy разгледайте графиките на функцията y = loga x и y = b. Правата y = b пресича графиката на функцията y = loga x в една точка x0 = ab. Ако a > 1, то за всяко x > x0 съответната точка от графиката на функцията y = loga x се намира над правата y = b, т.е. за всяко x > x0 съответната ордината y = ax е по-голяма от ординатата ax0 и за всяко x от интервала 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 съответната точка на графиката на функцията y = loga x е под правата линия y = b и за всеки x от интервалите 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = log x (0< a < 1) х0

Слайд № 11

1.4 Примери Нека решим неравенството log1/3 x > -2. (1) Тъй като -2 = log⅓ 9, тогава неравенството (1) може да бъде пренаписано като log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Тъй като ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Тъй като ½ = log4 2, тогава неравенство (3) може да се пренапише като log4 x > log4 2 (4) Тъй като 4 > 1, тогава функцията y = log4 x нараства. Следователно множеството от всички решения на неравенство (4), а следователно и на неравенство (3), е интервалът (2;+∞). Отговор: (2;+∞). (виж Фиг. 1) x y 1 2 3 4 1 -1 0 Фиг. 1 y = ½ y = log4 x

Слайд № 12

1.4 Примери Нека решим неравенството log3 x – 3log9 x – log81 x > 1.5. (5) Тъй като log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), тогава неравенство (5) може да се пренапише като: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 или като log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, тогава функцията y = log3 x нараства. Следователно множеството от всички решения на неравенство (6), а оттам и неравенство (5), е интервалът 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

Слайд № 13

2.1 Степен на положително число Степен на c рационален показателНека a е положително число и p/q е рационално число(q ≥ 2). По дефиниция числото a на степен p/q е аритметичен корен от степен q на a на степен p, т.е. a p/q = q√ap. ТЕОРЕМА. Нека a е положително число, p е цяло число, k и q естествени числа, q ≥ 2, k ≥ 2. Тогава са верни следните равенства: а) ap/q = (a1/p)p ; b) ap/q = a pk /qk ; c) ap = a pq /q; Свойства на степен с рационален показател ТЕОРЕМА 1. Положително число a на степен с произволен рационален показател r е положително: ar > 0 ТЕОРЕМА 2. Нека a е положително число и r1, r2 и r са рационални числа. Тогава са верни следните свойства: 1. При умножаване на степени с рационални показатели на едно и също положително число показателите се събират: аr1 ∙ аr2 = аr1 + r2. 2. При деление на степени с рационални показатели на едно и също положително число степените се изваждат: аr1: аr2 = аr1 – r2. 3. При повдигане на степен с рационален показател на положително число в рационална степенпоказателите се умножават: (a r1) r2 = a r1∙ r2. ТЕОРЕМА 3. Нека a и b са положителни числа и r е рационално число. Тогава са валидни следните свойства на степен с рационален показател: Степен с рационален показател на произведението на положителни числа е равно на произведението на същите степени на множителите: (ab)r = ar ∙ br . Степента с рационален показател на частното на положителните числа е равна на частното на същите степени на делителя и делителя: (a / b)r = ar / br. ТЕОРЕМА 4. Нека числото a > 1 и r е рационално число. Тогава ar > 1 за r > 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, а рационалните числа r1 и r2 удовлетворяват неравенството r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

Слайд № 14

2.2 Експоненциална функция Да разгледаме функцията y = a (1) , където a > 0 и a ≠ 0, върху множеството от рационални числа. За всяко рационално число r е определено число ar. Ето как функцията (1) е дефинирана засега върху множеството от рационални числа. Графиката на тази функция в координатната система x0y е колекция от точки (x; ax), където x е всяко рационално число. За a > 1 тази графика е показана схематично на фигура (1), а за 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют експоненциална функцияс основа а.

Слайд № 15

2.3 Експоненциални уравнения (Теоретична част) 1. Нека a е дадено положително число, различно от 1, b е дадено реално число. Тогава уравнението ax = b (1) се нарича най-простото експоненциално уравнение. Например уравненията 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 са най-простите експоненциални уравнения. Коренът (или решението) на уравнение с неизвестно x е числото x0, при заместването му в уравнението вместо x се получава правилното числово равенство. Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или показване, че няма такива. Тъй като ax0 > 0 за всяко реално число x0, за което численото равенство ax0 = b би било вярно, удовлетворява единствено число x0 = log b. Така уравнение (1): За b ≤ 0 няма корени; За b > 0 той има един корен x0 = loga b. 2. Уравнения, които след замяна на неизвестното се превръщат в най-простите експоненциални уравнения.

Слайд № 16

2.3 Примери Нека решим уравнението (1/2)x = 2 (2) Тъй като 2 > 1, това уравнение има един корен x0 = log½ 2 = -1. Отговор: -1. Нека решим уравнението 3x = 5 (3) Тъй като 5 > 0, това уравнение има един корен x0 = log3 5. Отговор: log3 5. Решете уравнението 25x = -25 Тъй като -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 това уравнение често се записва като ax = aα, където α = loga b. Тогава е очевидно, че единственият корен на това уравнение и следователно на уравнение (1) е числото α. Тъй като уравнение (2) може да бъде написано във формата (1/2)x = (1/2)-1, тогава неговият единствен корен е x0 = -1. Тъй като уравнение (3) може да бъде записано като 3x = 3log 35, единственият му корен е x0 = log3 5.

Слайд № 17

2.3 Примери Сега нека разгледаме уравнения, които след прости трансформации се превръщат в прости експоненциални уравнения. Нека решим уравнението 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) Тъй като 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x, тогава уравнение (4) може да бъде пренаписано като 5x ( 25 - 2 – 15) = 200 или във формата 5x = 52 (5) Очевидно е, че уравнение (5) и следователно уравнение (4) имат един корен x0 = 2. Отговор: 2. Решете уравнението 4 3x - 9 2x = 0 (6) Тъй като 2x ≠ 0 за всяко реално число, тогава разделяйки уравнение (6) на 2x, получаваме уравнението 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) еквивалентно на уравнение (6). Уравнение (7) може да бъде пренаписано като (3/2)x = (3/2)2. (8) Тъй като уравнение (8) има единичен корен x0 = 2, тогава еквивалентното уравнение (6) има единичен корен x0 = 2. Отговор: 2.

Слайд № 18

2.3 Примери Нека решим уравнението 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0. (9) След като пренаписахме уравнение (9) във формата 34x2 – 8x + 3 = 1, въвеждаме ново неизвестно t = 4x2 – 8x + 3. Тогава уравнение (9) може да бъде пренаписано във формата 3t = 1. (10 ) Тъй като уравнение (10) има един корен t1 = 0, тогава, за да се намерят корените на уравнение (9), е необходимо да се реши уравнението 4x2 – 8x + 3 = 0. Това уравнение има два корена x1 = 1 /2, x2 = 3/2, така че уравнението (9) има същите корени. Отговор: 1/2 ; 3/2. Сега нека разгледаме решаването на уравнения, които след въвеждане на ново неизвестно t се превръщат в квадратни или рационални уравнения с неизвестно t. Нека решим уравнението 4x - 3 2x + 2 = 0. (11) Тъй като 4x = (2x)2, тогава уравнение (11) може да бъде пренаписано като (2x)2 - 3 2x + 2 = 0. Чрез въвеждане на ново неизвестно t = 2x, получаваме квадратно уравнение t2 - 3t + 2 = 0, което има два корена t1 = 1, t2 = 2. Следователно, за да намерим всички корени на уравнение (11), трябва да комбинираме всички корени на двете уравнения 2x = 1 и 2x = 2. След като решихме тези прости експоненциални уравнения, откриваме, че всички корени на уравнение (11) са x1 = 0; x2 = 1. Отговор: 0; 1.

Слайд № 19

2.4 Експоненциални неравенства (Теоретична част) Нека a е дадено положително число, различно от 1, b е дадено реално число. Тогава неравенствата ax > b (1) и ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 за всяко реално число x0, тогава за b ≤ 0 неравенството a x0 > b е вярно за всяко реално число x0, но няма нито едно реално число x0, за което численото неравенство a x0 да е вярно< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, тогава неравенството (1) и (2) може да се пренапише като ax > ax0 (1) и ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Тъй като за такова a функцията y = ax е нарастваща, тогава за всяко число x > > ax0 и за всяко число x > x0 численото неравенство ax е вярно< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

Слайд № 20

2.4 Експоненциални неравенства (Теоретична част) Така, за b > 0 и a > 1, множеството от всички решения на неравенство (3) е интервалът (x0 ;+∞), а множеството от всички решения на неравенство (4) е интервалът (-∞; x0) , където x0 = loga b. Нека сега 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 численото неравенство ax е вярно< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 и 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b и няма x, за които неравенството ax< b . При b >0 права y = b пресича графиката на функцията y = aх в една точка x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

Слайд № 22

2.4 Примери Решете неравенството 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, тогава неравенство (1) може да се пренапише като 2x< 23. (2) Так как 2 >1, тогава функцията y = 2x е нарастваща. Следователно всички решения на неравенство (2) и следователно на неравенство (1) са x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, тогава това неравенство (3) може да бъде пренаписано като (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >дневник⅓5. Отговор: (log⅓ 5; +∞). Нека разгледаме неравенство, което след замяна на неизвестното се превръща в най-простото експоненциално неравенство. Нека решим неравенството 5 3x2 - 2x – 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, тогава всички решения на това неравенство са t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив квадратно неравенство(6), намираме всички негови решения: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване. Концентрация на вниманието: Концентрацията на вниманието е равна на N. N = (брой верни отговори) x 0,125 x 100%. Запишете го специален случайформули за преход към логаритъм на друга основа Напишете формулата за преход към логаритъм на друга основа Какъв е логаритъмът на степен на число и основа? Какъв е логаритъма на основата? Какъв е логаритъмът на степен на число? Какъв е логаритъма на частното? Какъв е логаритъма на произведението? Формулирайте определението за логаритъм Отговор Въпрос

Нека помислим относителна позицияграфика на функцията y = log a x (a > 0, a ≠ 1) и правата y = b. y = log a x (a>1) y x 0 y = log a x (0

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване ИЗВОД: Графиката на функцията y = log a x (a > 0, a ≠ 1) и правата y = b се пресичат в една точка, т.е. уравнението log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 има уникално решение x 0 = a b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Уравнението log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 се нарича най-простото логаритмично уравнение. Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване Пример:

Видове и методи за решаване на логаритмични уравнения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Логаритмичните уравнения са тези, които съдържат неизвестно под знака на логаритъма или в основата на логаритъма (или и двете). Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване

Видове и методи за решаване на логаритмични уравнения. ДОПЪЛНЕНИЕ: При решаване на логаритмични уравнения е необходимо да се вземат предвид: обхватът на допустимите стойности на логаритъма: само положителни стойности могат да бъдат под знака на логаритъма; в основата на логаритмите има само положителни величини, различни от единица; свойства на логаритмите; потенциращо действие. Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване Видове и методи за решаване на логаритмични уравнения. 1) Най-простите логаритмични уравнения. Пример № 1 Отговор: Решение:

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване Видове и методи за решаване на логаритмични уравнения. 2) Логаритмични уравнения, сведени до най-простите логаритмични уравнения. Пример № 1 Отговор: Решение:

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване Видове и методи за решаване на логаритмични уравнения. 3) Логаритмични уравнения, свеждащи се до квадратни уравнения. Пример № 2 Отговор: Решение: В намерения диапазон от допустими стойности на променливата x трансформираме уравнението, използвайки свойствата на логаритмите. Като вземем предвид обхвата на приемливите стойности, получаваме: 10; 100

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване Видове и методи за решаване на логаритмични уравнения. 4) Логаритмични уравнения, свеждащи се до рационални уравнения. Пример № 2 Отговор: Решение: В намерения диапазон от допустими стойности на променливата x преобразуваме дадено уравнениеи получаваме: Нека се върнем към променливата x:

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване Видове и методи за решаване на логаритмични уравнения. 5) Логаритмични уравнения с променлива в основата и под знака на логаритъма. Пример № 1 Отговор: Решение: В намерения диапазон от допустими стойности на променливата x трансформираме уравнението и получаваме: Като вземем предвид диапазона от допустими стойности на променливата x, получаваме:

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване Видове и методи за решаване на логаритмични уравнения. 5) Логаритмични уравнения с променлива в основата и под знака на логаритъма. Пример № 2 Отговор: Решение: В намерения диапазон от допустими стойности на променливата x, уравнението е еквивалентно на набора: Като се вземе предвид диапазонът от допустими стойности на променливата x, получаваме: 5; 6.

Логаритмични уравнения, техните видове и методи за решаване

При решаване на логаритмични уравнения и неравенства използвайте свойствата на логаритмите, както и свойствата на логаритмичната функция

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Област на дефиниция: x > 0;

2) Обхват: y Р ;

3) log a x 1 = log a x 2 x 1 = x 2 ;

4) За a>1 функцията y=log a x нараства, за 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, т.е.

a >1 и log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

При преход от логаритмични уравнения (неравенства) към уравнения (неравенства), които не съдържат знака за логаритъм, трябва да се вземе предвид обхватът на допустимите стойности (APV) на първоначалното уравнение (неравенство).

Задачи и тестове по темата "Логаритмични уравнения"

Логаритмични уравнения
Уроци: 4 Задачи: 25 Тестове: 1
Системи експоненциални и логаритмични уравнения - демонстративни и логаритмични функции 11 клас
Уроци: 1 Задачи: 15 Тестове: 1
§5.1. Решаване на логаритмични уравнения
Уроци: 1 Задачи: 38
§7 Показателни и логаритмични уравнения и неравенства - Раздел 5. Показателни и логаритмични функции, 10 клас
Уроци: 1 Задачи: 17
Еквивалентност на уравнения - Уравнения и неравенства 11 клас
Уроци: 2 Задачи: 9 Тестове: 1

При решаването на логаритмични уравнения в много случаи е необходимо да се използват свойствата на логаритъма на произведение, частно или степен. В случаите, когато в едно логаритмично уравнение има логаритми с различни основи, използването определени свойствавъзможно само след прехода към логаритми с равни основи.

В допълнение, решаването на логаритмичното уравнение трябва да започне с намирането на обхвата на допустимите стойности (O.D.Z.) дадено уравнение, защото По време на процеса на разтваряне могат да се появят външни корени. Когато попълвате решението, не забравяйте да проверите намерените корени за принадлежност към O.D.Z.

Можете да решавате логаритмични уравнения, без да използвате O.D.Z. В този случай проверката е задължителен елемент от решението.

Примери.

Решете уравнения:

а) log 3 (5x – 1) = 2.

Решение:

ODZ: 5x – 1 > 0; х > 1/5.
log 3 (5x– 1) = 2,
log 3 (5x – 1) = log 3 3 2,
5x - 1 =9,
х = 2.

Основна целпри работа с предлаганите билети:

учат учениците да виждат общото при решаването на съответните уравнения и неравенства и разликите при писане на отговори;
спестяване на време;
способност за навигация в съдържанието на този материал.

Ако първата цел не повдига въпроси, тогава спестяването на време не се усеща веднага. Въпреки че липсата на време се отрази на структурата на билетите. Те са съставени по същия принцип. Уравненията и неравенствата са подредени така, че да е по-лесно да се установи съответствие между тях.

И въпреки препоръката на учителя: да се реши уравнението и веднага след него да се реши съответното неравенство, половината от учениците предпочетоха първо да решат всички уравнения от първата колона, а след това да започнат да решават неравенствата. Когато записвате отговора, обърнете внимание, че поради липсата на корени в уравнението не следва, че неравенството няма да има решения.

При преминаването на втория тест не възникнаха такива проблеми, тъй като мнозина бяха развили способността да „виждат“ и развиха определени умения.

Във всеки билет материалът е подбран така, че освен уравнения (неравенства), решени по дефиниция и свойства, да има уравнения (неравенства), решени чрез разлагане на множители; променящи се променливи. И, естествено, решението се повтаря квадратни уравненияи неравенства от втора степен.

В билетите има само 26 задачи. Затова на студентите бяха предложени следните стандарти: „5“ – 26 зад. , „4“ – 19–25 зад. , „3“ – 14–18 зад. , „2“ – по-малко от 14 зад.

Ученик, кандидатстващ за оценка „5“, трябва да има време да реши всички уравнения и неравенства по време на урока. Първите четиринадесет задачи са необходимият минимум. Разбира се, тестът може да бъде повторен. Но е препоръчително да го направите в рамките на определеното време.

При подготовката за Единния държавен изпит, когато уменията за решаване на уравнения (неравенства) вече са развити, задачите могат да бъдат заменени. Например тези:

посочете сумата (произведението) на корените на уравнението;
посочете най-малкия (най-големия) корен на уравнението;
намиране на най-малкото (най-голямото) цяло число решение на неравенството;
намерете сумата (произведението) на целите решения на неравенството.

Разбира се, всеки учител може сам да допълни този списък. В зависимост от класа става необходимо да се обръща повече внимание на някои задачи и по-малко на други.

Билетите могат да се използват както за тестове, така и за самостоятелна работа. Всеки билет се състои от два блока: основно ниво(1-во ниво) и повишено (2-ро ниво). Блокът се състои от две части: уравнения и неравенства, които са разделени в две колони, за да улеснят ученика да установи съответствие между тях.

По-долу има шест опции за билети за всяка тема. На тях са дадени отговори.

Приложение 1.Логаритмични уравнения и неравенства.

Приложение 2. Показателни уравнения и неравенства.

Приложение 3.Отговори на билети по алгебра и начало на анализа.