Нарича се триъгълник с различни страни. Видове триъгълници. Триъгълни ъгли. Какво представляват триъгълниците

Днес отиваме в страната на геометрията, където ще се запознаем с различни видове триъгълници.

Разгледайте геометричните фигури и намерете „екстрата” сред тях (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

Виждаме, че фигури № 1, 2, 3, 5 са четириъгълници. Всеки от тях има собствено име (фиг. 2).

Ориз. 2. Четириъгълници

Това означава, че "допълнителната" фигура е триъгълник (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация например

Триъгълник е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една и съща права линия, и три отсечки, свързващи тези точки по двойки.

Точките се наричат върхове на триъгълник, сегменти - неговите партии. Оформят се страните на триъгълника Има три ъгъла във върховете на триъгълник.

Основните характеристики на триъгълника са три страни и три ъгъла.Триъгълниците се класифицират според ъгъла остър, правоъгълен и тъп.

Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малки от 90° (фиг. 4).

Ориз. 4. Остър триъгълник

Триъгълник се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е 90° (фиг. 5).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник

Триъгълник се нарича тъп, ако един от ъглите му е тъп, тоест по-голям от 90° (фиг. 6).

Ориз. 6. Тъп триъгълник

Според броя на равните страни триъгълниците биват равностранни, равнобедрени, скални.

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, в който две страни са равни (фиг. 7).

Ориз. 7. Равнобедрен триъгълник

Тези страни се наричат страничен, третата страна - основа. В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.

Равнобедрените триъгълници са остър и тъп(фиг. 8) .

Ориз. 8. Остър и тъп равнобедрен триъгълник

Нарича се равностранен триъгълник, в който и трите страни са равни (фиг. 9).

Ориз. 9. Равностранен триъгълник

В равностранен триъгълник всички ъгли са равни. Равностранни триъгълницивинаги остроъгълен.

Триъгълник се нарича универсален, в който и трите страни имат различни дължини (фиг. 10).

Ориз. 10. Скален триъгълник

Изпълнете задачата. Разделете тези триъгълници на три групи (фиг. 11).

Ориз. 11. Илюстрация към задачата

Първо, нека разпределим според размера на ъглите.

Остри триъгълници: No1, No3.

Правоъгълни триъгълници: #2, #6.

Тъпи триъгълници: #4, #5.

Тези триъгълници са разделени на групи според броя на равните страни.

Мащабни триъгълници: No 4, No 6.

Равнобедрени триъгълници: No2, No3, No5.

Равностранен триъгълник: № 1.

Прегледайте чертежите.

Помислете от какво парче тел е направен всеки триъгълник (фиг. 12).

Ориз. 12. Илюстрация към задачата

Можете да спорите по този начин.

Първото парче тел е разделено на три равни части, така че можете да направите равностранен триъгълник. Показан е трети на фигурата.

Второто парче тел е разделено на три различни части, така че можете да направите скален триъгълник от него. Показан е първо на снимката.

Третото парче тел е разделено на три части, като двете части са с еднаква дължина, така че можете да направите равнобедрен триъгълник от него. Показан е втори на фигурата.

Днес в урока се запознахме с различни видове триъгълници.

Библиография

М.И. Моро, M.A. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 1. - М .: "Просвещение", 2012.
М.И. Моро, M.A. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 2. - М .: "Просвещение", 2012.
М.И. Моро. уроци по математика: Насокиза учителя. 3 клас - М.: Образование, 2012.
Регулаторен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М.: "Просвещение", 2011.
"Училище на Русия": Програми за основно училище. - М.: "Просвещение", 2011.
S.I. Волков. математика: Работа по проверка. 3 клас - М.: Образование, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тестове. - М.: "Изпит", 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Домашна работа

1. Завършете фразите.

а) Триъгълник е фигура, която се състои от ..., които не лежат на една и съща права линия, и ..., свързващи тези точки по двойки.

б) Точките се наричат … , сегменти - неговите … . Страните на триъгълник се образуват във върховете на триъгълник ….

в) Според големината на ъгъла триъгълниците са ..., ..., ....

г) Според броя на равните страни триъгълниците са ..., ..., ....

2. Рисуване

а) правоъгълен триъгълник

б) остър триъгълник;

в) тъп триъгълник;

г) равностранен триъгълник;

д) скален триъгълник;

д) равнобедрен триъгълник.

3. Направете задача по темата на урока за вашите другари.

Днес отиваме в страната на геометрията, където ще се запознаем с различни видове триъгълници.

Разгледайте геометричните фигури и намерете „екстрата” сред тях (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

Виждаме, че фигури № 1, 2, 3, 5 са четириъгълници. Всеки от тях има собствено име (фиг. 2).

Ориз. 2. Четириъгълници

Това означава, че "допълнителната" фигура е триъгълник (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация например

Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малки от 90° (фиг. 4).

Ориз. 4. Остър триъгълник

Триъгълник се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е 90° (фиг. 5).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник

Триъгълник се нарича тъп, ако един от ъглите му е тъп, тоест по-голям от 90° (фиг. 6).

Ориз. 6. Тъп триъгълник

Според броя на равните страни триъгълниците биват равностранни, равнобедрени, скални.

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, в който две страни са равни (фиг. 7).

Ориз. 7. Равнобедрен триъгълник

Равнобедрените триъгълници са остър и тъп(фиг. 8) .

Ориз. 8. Остър и тъп равнобедрен триъгълник

Нарича се равностранен триъгълник, в който и трите страни са равни (фиг. 9).

Ориз. 9. Равностранен триъгълник

В равностранен триъгълник всички ъгли са равни. Равностранни триъгълницивинаги остроъгълен.

Триъгълник се нарича универсален, в който и трите страни имат различни дължини (фиг. 10).

Ориз. 10. Скален триъгълник

Изпълнете задачата. Разделете тези триъгълници на три групи (фиг. 11).

Ориз. 11. Илюстрация към задачата

Първо, нека разпределим според размера на ъглите.

Остри триъгълници: No1, No3.

Правоъгълни триъгълници: #2, #6.

Тъпи триъгълници: #4, #5.

Тези триъгълници са разделени на групи според броя на равните страни.

Мащабни триъгълници: No 4, No 6.

Равнобедрени триъгълници: No2, No3, No5.

Равностранен триъгълник: № 1.

Прегледайте чертежите.

Помислете от какво парче тел е направен всеки триъгълник (фиг. 12).

Ориз. 12. Илюстрация към задачата

Можете да спорите по този начин.

Първото парче тел е разделено на три равни части, така че можете да направите равностранен триъгълник от него. Показан е трети на фигурата.

Днес в урока се запознахме с различни видове триъгълници.

Библиография

М.И. Моро, M.A. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 1. - М .: "Просвещение", 2012.
М.И. Моро, M.A. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 2. - М .: "Просвещение", 2012.
М.И. Моро. Уроци по математика: Насоки за учителите. 3 клас - М.: Образование, 2012.
Регулаторен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М.: "Просвещение", 2011.
"Училище на Русия": Програми за начално училище. - М.: "Просвещение", 2011.
S.I. Волков. Математика: Контролна работа. 3 клас - М.: Образование, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тестове. - М.: "Изпит", 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Домашна работа

1. Завършете фразите.

в) Според големината на ъгъла триъгълниците са ..., ..., ....

г) Според броя на равните страни триъгълниците са ..., ..., ....

2. Рисуване

а) правоъгълен триъгълник

б) остър триъгълник;

в) тъп триъгълник;

г) равностранен триъгълник;

д) скален триъгълник;

д) равнобедрен триъгълник.

3. Направете задача по темата на урока за вашите другари.

Триъгълник (от гледна точка на пространството на Евклид) е такава геометрична фигура, която се образува от три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една права линия. Трите точки, които образуват триъгълник, се наричат неговите върхове, а отсечките, свързващи върховете, се наричат страни на триъгълника. Какво представляват триъгълниците?

Равни триъгълници

Има три знака за равенство на триъгълниците. Кои триъгълници се наричат равни? Това са тези, които:

две страни и ъгълът между тези страни са равни;
едната страна и двата ъгъла, съседни на нея, са равни;
и трите страни са равни.

В правоъгълни триъгълнициима следните признаци на равенство:

по остър ъгъл и хипотенуза;
по остър ъгъл и крак;
на два крака;
по хипотенузата и катетуса.

Какво представляват триъгълниците

Според броя на равните страни триъгълникът може да бъде:

Равностранна. Това е триъгълник с три равни страни. Всички ъгли в равностранен триъгълник са 60 градуса. Освен това центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат.
Неравностранен. Триъгълник без равни страни.
равнобедрен. Това е триъгълник с две равни страни. Две еднакви страни са страните, а третата страна е основата. В такъв триъгълник ъглополовящата, медианата и височината съвпадат, ако са спуснати до основата.

Според размера на ъглите триъгълникът може да бъде:

Тъп - когато един от ъглите има стойност над 90 градуса, тоест когато е тъп.
Остроъгълен - ако и трите ъгъла в триъгълника са остри, тоест имат стойност под 90 градуса.
Кой триъгълник се нарича правоъгълен триъгълник? Това е този, който има един прав ъгъл, равен на 90 градуса. Катетата в него ще се наричат двете страни, които образуват този ъгъл, а хипотенузата е страната, противоположна на правия ъгъл.

Основни свойства на триъгълниците

По-малък ъгъл винаги лежи срещу по-малката страна, а по-голям ъгъл винаги лежи срещу по-голямата страна.
Равните ъгли винаги лежат срещу равни страни, а противоположните страни винаги лежат под различни ъгли. По-специално, в равностранен триъгълник всички ъгли имат една и съща стойност.
Във всеки триъгълник сумата от ъглите е 180 градуса.
Външен ъгъл може да се получи чрез разширяване на една от страните му до триъгълник. Стойността на външния ъгъл ще бъде равна на сумата от вътрешните ъгли, които не са в съседство с него.
Страната на триъгълника е по-голяма от разликата на другите му две страни, но по-малка от тяхната сума.

В пространствената геометрия на Лобачевски сумата от ъглите на триъгълника винаги ще бъде по-малка от 180 градуса. На сфера тази стойност е по-голяма от 180 градуса. Разликата между 180 градуса и сумата от ъглите на триъгълник се нарича дефект.

При вземане на решение геометрични проблемиполезно е да се следва такъв алгоритъм. При четене на изявлението на задачата е необходимо

Направете чертеж. Чертежът трябва да съответства максимално на състоянието на проблема, така че основната му задача е да помогне за намирането на решението
Приложете всички данни от условието на задачата към чертежа
напишете всичко геометрични понятия, които се срещат в проблема
Припомнете си всички теореми, свързани с това понятие
Поставете върху чертежа всички връзки между елементите геометрична фигура, които следват от тези теореми

Например, ако задачата съдържа думите ъглополовяща на ъгъла на триъгълник, трябва да запомните определението и свойствата на ъглополовящата и да обозначите равни или пропорционални сегменти и ъгли в чертежа.

В тази статия ще намерите основните свойства на триъгълник, които трябва да знаете, за да го направите успешно решениезадачи.

ТРИЪГЪЛНИК.

Площ на триъгълник.

1. ,

тук - произволна страна на триъгълника, - височината, спусната до тази страна.

2. ,

тук и са произволни страни на триъгълника, е ъгълът между тези страни:

3. Формула на чапла:

Тук - дължините на страните на триъгълника, - полупериметърът на триъгълника,

4. ,

тук - полупериметърът на триъгълника, - радиусът на вписаната окръжност.

Нека са дължините на допирателните сегменти.

Тогава формулата на Херон може да бъде написана в следната форма:

6. ,

тук - дължините на страните на триъгълника, - радиуса на описаната окръжност.

Ако се вземе точка от страна на триъгълник, която разделя тази страна в съотношение m:n, тогава сегментът, свързващ тази точка с върха на противоположния ъгъл, разделя триъгълника на два триъгълника, чиито площи са свързани като m :н:

Съотношението на площите на подобни триъгълници е равно на квадрата на коефициента на подобие.

Медиана на триъгълник

Това е отсечка, която свързва върха на триъгълника със средата на противоположната страна.

Медиани на триъгълникпресичат се в една точка и споделят пресечната точка в съотношение 2:1, като се брои от върха.

Пресечната точка на медианите на правилен триъгълник разделя медианата на два сегмента, по-малкият от които е равен на радиуса на вписаната окръжност, а по-големият е равен на радиуса на описаната окръжност.

Радиусът на описаната окръжност е два пъти по-голям от радиуса на вписаната окръжност: R=2r

Средна дължинапроизволен триъгълник

тук - медианата, изтеглена отстрани - дължините на страните на триъгълника.

Симетрала на триъгълник

Това е сегмент от ъглополовящата на всеки ъгъл на триъгълник, свързващ върха на този ъгъл с противоположната страна.

Симетрала на триъгълникразделя страната на сегменти, пропорционални на съседните страни:

Бисектриси на триъгълниксе пресичат в една точка, която е центърът на вписаната окръжност.

Всички точки на ъглополовящата на ъгъла са на еднакво разстояние от страните на ъгъла.

Височина на триъгълник

Това е сегмент от перпендикуляра, спуснат от върха на триъгълника до противоположната страна, или неговото продължение. В тъп триъгълник надморската височина, изтеглена от върха на остър ъгъл, лежи извън триъгълника.

Височините на триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентъра на триъгълника.

За да намерите височината на триъгълникизтеглени отстрани, трябва да намерите неговата площ по всякакъв възможен начин и след това да използвате формулата:

Център на окръжност, описана около триъгълник, лежи в пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи, начертани към страните на триъгълника.

Радиусът на описаната окръжност на триъгълник може да се намери с помощта на следните формули:

Тук са дължините на страните на триъгълника и е площта на триъгълника.

където е дължината на страната на триъгълника, е противоположният ъгъл. (Тази формула следва от теоремата на синусите).

неравенство на триъгълник

Всяка страна на триъгълника е по-малка от сбора и по-голяма от разликата на другите две.

Сборът от дължините на двете страни винаги е по-голям от дължината на третата страна:

Срещу по-голямата страна лежи по-голям ъгъл; срещу по-големия ъгъл лежи по-голямата страна:

Ако , тогава обратното.

Синусова теорема:

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли:

Теорема за косинус:

квадратна страна на триъгълник е равно на суматаквадрати на другите две страни, без да се удвоява произведението на тези страни по косинуса на ъгъла между тях:

Правоъгълен триъгълник

- Това е триъгълник с един от ъглите, равен на 90°.

Сума остри ъглина правоъгълен триъгълник е 90°.

Хипотенузата е страната, която лежи срещу ъгъла от 90°. Хипотенузата е най-дългата страна.

Питагорова теорема:

квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катета:

Радиусът на окръжност, вписана в правоъгълен триъгълник, е

тук - радиусът на вписаната окръжност, - краката, - хипотенузата:

Център на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник се намира в средата на хипотенузата:

Медиана на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузатаравно на половината от хипотенузата.

Дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс на правоъгълен триъгълниквиж

Съотношението на елементите в правоъгълен триъгълник:

Квадратът на височината на правоъгълен триъгълник, изтеглен от връх прав ъгъл, е равно на произведението на проекциите на катета върху хипотенузата:

Квадратът на катета е равен на произведението на хипотенузата и проекцията на катета към хипотенузата:

Крак лежи до ъгъла равно на половината от хипотенузата:

Равнобедрен триъгълник.

Бисектриса равнобедрен триъгълникначертана към основата е медианата и височината.

В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.

Горен ъгъл.

I - страни

И - ъгли в основата.

Височина, ъглополовяща и медиана.

Внимание!Височината, ъглополовящата и медианата, изтеглени към страничната страна, не съвпадат.

правоъгълен триъгълник

(или равностранен триъгълник ) е триъгълник, чиито страни и ъгли са равни една на друга.

Площ на равностранен триъгълнике равно на

където е дължината на страната на триъгълника.

Център на окръжност, вписана в равностранен триъгълник, съвпада с центъра на окръжността, описана около равностранен триъгълник и лежи в пресечната точка на медианите.

Пресечна точка на медианите на равностранен триъгълникразделя медианата на две отсечки, по-малкият от които е равен на радиуса на вписаната окръжност, а по-големият е равен на радиуса на описаната окръжност.

Ако един от ъглите на равнобедрен триъгълник е 60°, тогава триъгълникът е правилен.

Средна линия на триъгълника

Това е сегмент, който свързва средните точки на две страни.

На фигурата DE е средната линия на триъгълник ABC.

Средната линия на триъгълника е успоредна на третата страна и равна на половината от нея: DE||AC, AC=2DE

Външен ъгъл на триъгълник

Това е ъгълът, съседен на всеки ъгъл на триъгълника.

Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два ъгъла, които не са съседни на него.

Тригонометрични функции на външен ъгъл:

Признаци за равенство на триъгълници:

1 . Ако двете страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

2 . Ако една страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и два съседни ъгъла на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

3 Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Важно:тъй като в правоъгълен триъгълник два ъгъла очевидно са равни, тогава за равенство на два правоъгълни триъгълникасамо два елемента трябва да са равни: две страни или страна и остър ъгъл.

Признаци за сходство на триъгълници:

1 . Ако две страни на един триъгълник са пропорционални на две страни на друг триъгълник и ъглите, включени между тези страни, са равни, тогава тези триъгълници са подобни.

2 . Ако три страни на един триъгълник са пропорционални на три страни на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни.

3 . Ако два ъгъла на един триъгълник са равни на два ъгъла на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни.

Важно:В подобни триъгълници подобни страни лежат срещу равни ъгли.

Теорема на Менелай

Нека правата пресича триъгълника, където е точката на нейното пресичане със страната, е точката на нейното пресичане със страната и е точката на нейното пресичане с продължението на страната. Тогава