Както вече отбелязах, в интегралното смятане няма удобна формула за интегриране на дроб. И следователно има тъжна тенденция: колкото по-сложна е дробта, толкова по-трудно е да се намери нейният интеграл. В тази връзка трябва да прибягвате до различни трикове, за които сега ще ви разкажа. Подготвените читатели могат веднага да се възползват от съдържание:

• Метод за добавяне на диференциалния знак за прости дроби

Метод за преобразуване на изкуствен числител

Пример 1

Между другото, разглежданият интеграл може да бъде решен и чрез промяна на метода на променливата, обозначаващ , но писането на решението ще бъде много по-дълго.

Пример 2

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами. Трябва да се отбележи, че методът за заместване на променливи вече няма да работи тук.

Внимание, важно! Примери № 1, 2 са типични и се срещат често. По-специално, такива интеграли често възникват по време на решаването на други интеграли, по-специално при интегриране на ирационални функции (корени).

Разглежданата техника работи и в случая ако най-високата степен на числителя е по-голяма от най-високата степен на знаменателя.

Пример 3

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Започваме да избираме числителя.

Алгоритъмът за избор на числителя е нещо подобно:

1) В числителя трябва да организирам, но там. какво да правя Слагам го в скоби и умножавам по: .

2) Сега се опитвам да отворя тези скоби, какво се случва? . Хм... така е по-добре, но първоначално няма две в числителя. какво да правя Трябва да умножите по:

3) Отново отварям скобите: . И ето го първият успех! Оказа се точно! Но проблемът е, че се появи допълнителен термин. какво да правя За да предотвратя промяната на израза, трябва да добавя същото към моята конструкция:
. Животът стана по-лесен. Възможно ли е да се организира отново в числителя?

4) Възможно е. нека опитаме: . Отворете скобите на втория член:
. Съжалявам, но в предишната стъпка всъщност имах , а не . какво да правя Трябва да умножите втория член по:

5) Отново, за да проверя, отварям скобите във втория член:
. Сега е нормално: получено от окончателната конструкция на точка 3! Но отново има едно малко „но“, появи се допълнителен термин, което означава, че трябва да добавя към израза си:

Ако всичко е направено правилно, тогава когато отворим всички скоби, трябва да получим оригиналния числител на интегранта. Ние проверяваме:
Худ.

Така:

Готови. В последния термин използвах метода за подреждане на функция под диференциал.

Ако намерим производната на отговора и намалим израза до общ знаменател, тогава получаваме точно оригиналната интегрална функция. Разглежданият метод за разлагане в сума не е нищо повече от обратното действие на привеждане на израз към общ знаменател.

Алгоритъм за избор на числител в подобни примериПо-добре е да го направите в чернова. С някои умения ще работи психически. Спомням си един рекорден случай, когато извършвах селекция за 11-та степен и разширяването на числителя зае почти два реда от Verd.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами.

Метод за добавяне на диференциалния знак за прости дроби

Нека да преминем към разглеждане на следващия тип дроби.
, , , (коефициенти и не са равни на нула).

Всъщност няколко случая с арксинус и арктангенс вече бяха споменати в урока Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл. Такива примери се решават чрез поставяне на функцията под диференциалния знак и допълнително интегриране с помощта на таблица. Ето още типични примери с дълги и високи логаритми:

Пример 5

Пример 6

Тук е препоръчително да вземете таблица с интеграли и да видите какви формули и какнастъпва трансформация. Моля, обърнете внимание как и защоКвадратите в тези примери са осветени. По-специално, в пример 6 първо трябва да представим знаменателя във формата , след това го поставете под диференциалния знак. И всичко това трябва да се направи, за да се използва стандартната таблична формула .

Защо да гледате, опитайте се да решите сами примери № 7, 8, особено след като са доста кратки:

Пример 7

Пример 8

Намерете неопределения интеграл:

Ако успеете да проверите и тези примери, тогава голямо уважение - вашите умения за диференциране са отлични.

Метод за избор на пълен квадрат

Интеграли на формата (коефициенти и не са равни на нула) се решават метод за пълно квадратно извличане, който вече се появи в урока Геометрични трансформации на графики.

Всъщност такива интеграли се свеждат до един от четирите таблични интеграла, които току-що разгледахме. И това се постига с помощта на познати съкратени формули за умножение:

Формулите се прилагат именно в тази насока, тоест идеята на метода е изкуствено да организира изразите или в знаменателя, след което да ги преобразува съответно в едно или друго.

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

това най-прост пример, в който с термина – единичен коеф(а не някакво число или минус).

Нека погледнем знаменателя, тук цялата работа явно се свежда до случайността. Нека започнем да преобразуваме знаменателя:

Очевидно трябва да добавите 4. И за да не се промени изразът, извадете същите четири:

Сега можете да приложите формулата:

След завършване на преобразуването ВИНАГИПрепоръчително е да извършите обратното движение: всичко е наред, няма грешки.

Крайният дизайн на въпросния пример трябва да изглежда по следния начин:

Готови. Обобщавайки "безплатно" сложна функцияпод диференциалния знак: , по принцип, може да се пренебрегне

Пример 10

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример, който трябва да решите сами, отговорът е в края на урока

Пример 11

Намерете неопределения интеграл:

Какво да правим, когато има минус отпред? В този случай трябва да извадим минуса от скобите и да подредим термините в реда, от който се нуждаем: . Константа("две" в този случай) не пипай!

Сега добавяме един в скоби. Анализирайки израза, стигаме до извода, че трябва да добавим един извън скобите:

Тук получаваме формулата, прилагаме:

ВИНАГИПроверяваме черновата:
, което трябваше да се провери.

Чистият пример изглежда така:

Усложняване на задачата

Пример 12

Намерете неопределения интеграл:

Тук терминът вече не е единичен коефициент, а „петица“.

(1) Ако има константа при, веднага я изваждаме от скоби.

(2) По принцип винаги е по-добре да преместите тази константа извън интеграла, така че да не пречи.

(3) Очевидно всичко ще се свежда до формулата. Трябва да разберем термина, а именно да вземем „двете“

(4) Да, . Това означава, че добавяме към израза и изваждаме една и съща дроб.

(5) Сега избираме идеален квадрат. В общия случай също трябва да изчислим , но тук имаме формула за дълъг логаритъм , и няма смисъл да се извършва действието, ще стане ясно по-долу.

(6) Всъщност можем да приложим формулата , само че вместо “X” имаме , което не отменя валидността на табличния интеграл. Строго погледнато, една стъпка е пропусната - преди интегрирането функцията трябва да бъде включена под диференциалния знак: , но, както многократно съм отбелязвал, това често се пренебрегва.

(7) В отговора под корена е препоръчително да разширите всички скоби назад:

Трудно? Това не е най-трудната част от интегралното смятане. Въпреки това, разглежданите примери не са толкова сложни, колкото изискват добри изчислителни техники.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример, който можете да решите сами. Отговорът е в края на урока.

Има интеграли с корени в знаменателя, които чрез заместване се редуцират до интеграли от разглеждания тип; можете да прочетете за тях в статията Комплексни интеграли, но е предназначен за много подготвени ученици.

Подреждане на числителя под диференциалния знак

Това е последната част от урока, но интегралите от този тип са доста често срещани! Ако сте уморени, може би е по-добре да прочетете утре? ;)

Интегралите, които ще разгледаме, са подобни на интегралите от предишния параграф, те имат формата: или (коефициенти , и не са равни на нула).

Тоест в числителя, който имаме линейна функция. Как се решават такива интеграли?

Определение

Изрази от формата 2 x 2 + 3 x + 5 се наричат ​​квадратни тричлени. Като цяло квадратният трином е израз на формата a x 2 + b x + c, където a, b, c a, b, c са произволни числа и a ≠ 0.

Нека помислим квадратен тричлен x 2 - 4 x + 5 . Нека го запишем в следния вид: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Нека добавим 2 2 към този израз и извадим 2 2, получаваме: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Обърнете внимание, че x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, така че x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Трансформацията, която направихме, се нарича „изолиране на перфектен квадрат от квадратен трином“.

Извадете идеалния квадрат от квадратния тричлен 9 x 2 + 3 x + 1.

Обърнете внимание, че 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Тогава '9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1'. Добавете и извадете `(1/2)^2` към получения израз, получаваме

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Ще покажем как методът за изолиране на перфектен квадрат от квадратен тричлен се използва за факторизиране на квадратен тричлен.

Разложете на множители квадратния трином 4 x 2 - 12 x + 5.

Избираме перфектния квадрат от квадратния трином: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Сега прилагаме формулата a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , получаваме: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

Разложете на множители квадратния трином - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Сега забелязваме, че 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Добавяме термина 2 2 към израза 9 x 2 - 12 x, получаваме:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Прилагаме формулата за разликата на квадратите, имаме:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Разложете на множители квадратния трином 3 x 2 - 14 x - 5 .

Не можем да представим израза 3 x 2 като квадрат на някакъв израз, защото все още не сме учили това в училище. Ще преминете през това по-късно, а в задача № 4 ще учим квадратни корени. Нека покажем как можете да факторизирате даден квадратен трином:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Ще ви покажем как да използвате метода на идеалния квадрат, за да намерите най-голямата или най-малката стойност на квадратен трином.
Помислете за квадратния трином x 2 - x + 3. Изберете пълен квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Обърнете внимание, че когато `x=1/2` стойността на квадратния трином е `11/4`, а когато `x!=1/2` към стойността на `11/4` се добавя положително число, така че ние получите число, по-голямо от `11/ 4`. по този начин най-малка стойностквадратен трином е „11/4“ и се получава, когато „x=1/2“.

Намерете най-голямата стойност на квадратния тричлен - 16 2 + 8 x + 6.

Избираме точен квадрат от квадратен трином: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

При `x=1/4` стойността на квадратния трином е 7, а при `x!=1/4` от числото 7 се изважда положително число, тоест получаваме число по-малко от 7. Значи числото 7 е най-висока стойностквадратен трином и се получава, когато `x=1/4`.

Разложете на множители числителя и знаменателя на дробта `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` и намалете дробта.

Обърнете внимание, че знаменателят на дробта x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Нека разложим на множители числителя на дробта, използвайки метода за изолиране на пълен квадрат от квадратен тричлен. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Тази дроб беше намалена до формата `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` след намаляване с (x - 3) получаваме `(x+5)/(x-3 )`.

Разложете полинома на множители x 4 - 13 x 2 + 36.

Нека приложим метода за изолиране на пълен квадрат към този полином. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Способността за извършване на такава процедура е изключително необходима в много теми по математика, свързани с квадратен тричленбрадва 2 + bx + c . Най-често срещаните:

1) Чертане на параболи г= брадва 2 + bx+ c;

2) Решаване на много задачи върху квадратния трином ( квадратни уравненияи неравенства, проблеми с параметри и др.);

3) Работа с някои функции, съдържащи квадратен тричлен, както и работа с криви от втори ред (за ученици).

Полезно нещо, накратко! Целите ли се за A? Тогава нека го овладеем!)

Какво означава да изолираме идеалния квадрат на бином в квадратен тричлен?

Тази задача означава, че оригиналният квадратен трином трябва да бъде преобразуван в тази форма с помощта на помощта:

Номер акакво е отляво, какво е отдясно - същото нещо. Коефициент на х на квадрат. Затова е обозначен една буква. Умножено отдясно по квадрата в скоби. В самите скоби се намира самият бином, който се обсъжда в тази тема. Сумата от чистото X и някакво число м. Да, моля, обърнете внимание, точно чисто X! това е важно

А ето и писмата мИ пвдясно - малко новчисла. Какво ще се случи в резултат на нашите трансформации? Те могат да се окажат положителни, отрицателни, цели, дробни - всякакви! Ще се убедите сами в примерите по-долу. Тези числа зависят от коефа, bИc. Те имат свои собствени специални общи формули. Доста тромаво, с дроби. Затова няма да ги дам точно тук и сега. Защо вашите светли умове се нуждаят от допълнителни боклуци? Да, и не е интересно. Нека работим творчески.)

Какво трябва да знаете и разбирате?

Преди всичко трябва да го знаете наизуст. Поне две от тях - квадрат на суматаИ разлика на квадрат.

тези:

Без тези две формули не можете да отидете никъде. Не само в този урок, но и в почти цялата останала математика като цяло. Разбра ли подсказката?)

Но просто механично запомнените формули тук не са достатъчни. Също така трябва да се направи компетентно можете да прилагате тези формули. И не толкова директно, отляво надясно, а обратното, от дясно на ляво. Тези. използвайки оригиналния квадратен трином, можете да дешифрирате квадрата на сумата/разликата. Това означава, че трябва лесно, автоматично да разпознавате равенства като:

х 2 +4 х+4 = (х+2) 2

х 2 -10 х+25 = (х-5) 2

х 2 + х+0,25 = (х+0,5) 2

Без това полезно умение също няма начин... Така че, ако с тези прости нещапроблеми, затворете тази страница. Твърде рано е да идвате тук.) Първо отидете на връзката по-горе. Тя е за теб!

О, откога си в тази тема? Страхотно! След това прочетете.)

Така че:

Как да изолираме идеалния квадрат на бином в квадратен тричлен?

Да започнем, разбира се, с нещо просто.

Ниво 1. Коефициент при х2 е равно на 1

Това е най проста ситуация, изискващи минимум допълнителни трансформации.

Например, даден квадратен трином:

X 2 +4x+6

Външно изразът е много подобен на квадрата на сумата. Знаем, че квадратът на сумата съдържа чистите квадрати на първия и втория израз ( а 2 И b 2 ), както и удвоете продукта 2 абсъщите тези изрази.

Е, вече имаме квадрата на първия израз в неговата чиста форма. това X 2 . Всъщност това е простотата на примерите на това ниво. Трябва да получим квадрата на втория израз b 2 . Тези. намери b. И ще служи като следа израз с x на първа степен, т.е. 4x. Все пак 4xмогат да бъдат представени във формата два пъти продукта X за двама. като това:

4 х = 2 ́ х 2

Така че ако 2 аб=2·х·2И а= х, Това b=2 . Можете да напишете:

X 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ х 2+2 2 ….

И така насискам да Но! МатематикаИскам нашите действия да уловят същността на оригиналния израз не се е променило. Така е изградено. Добавихме към два пъти продукта 2 2 , като по този начин променя оригиналния израз. Та, за да не обиждам математиката, това е най-много 2 2 нужда от него веднага отнемам. като това:

…= x 2 +2 ́ х 2+ 2 2 -2 2 ….

почти всичко. Всичко, което остава, е да добавим 6, в съответствие с първоначалния тричлен. Шест все още е тук! Ние пишем:

= X 2 +2 ́ х 2+2 2 - 2 2 +6 = …

Сега първите три члена дават чисто (или - пълен) квадратен бином х+2 . или (х+2) 2 . Това се опитваме да постигнем.) Дори няма да бъда мързелив и да поставя скоби:

… = (x 2 +2 ́ х 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Скобите не променят същността на израза, но ясно показват какво, как и защо. Остава да сгънете тези три члена в пълен квадрат според формулата, да преброите оставащата опашка в числа -2 2 +6 (това ще бъде 2) и напишете:

X 2 +4x+6 = (х+2) 2 +2

Всички. Ние разпределениквадратни скоби (х+2) 2 от първоначалния квадратен трином X 2 +4x+6. Превърна го в сума перфектен квадратен бином (х+2) 2 и някои постоянно число(две). И сега ще запиша цялата верига от нашите трансформации в компактна форма. За яснота.

И това е.) Това е целият смисъл на процедурата за избор на пълен квадрат.

Между другото, на какво се равняват числата тук? мИ п? да Всеки от тях е равен на две: м=2, п=2 . Това се случи по време на селекцията.

Друг пример:

Изберете идеалния квадрат на бинома:

X 2 -6x+8

И отново първият поглед е към термина с X. Превръщаме 6x в два пъти произведението на x и три. Преди удвоено има минус. И така, нека подчертаем разлика на квадрат. Събираме (за да получим пълен квадрат) и веднага изваждаме (за да компенсираме) трите на квадрат, т.е. 9. Е, не забравяйте за осемте. Получаваме:

тук м=-3 И п=-1 . И двете са отрицателни.

Схващате ли принципа? Тогава е време да овладеете и общ алгоритъм. Всичко е същото, но чрез писма. И така, имаме квадратен тричлен х 2 + bx+ c (а=1) . Какво правим:

bx b /2 :

b с.

ясно ли е Първите два примера бяха много прости, с цели числа. За запознанства. По-лошо е, когато по време на процеса на трансформация излизат дроби. Основното тук е да не се страхувате! И за да не се страхувате, трябва да знаете всички операции с дроби, да...) Но това е ниво на пет нива, нали? Нека усложним задачата.

Да кажем, че е даден следният трином:

X 2 +x+1

Как да организираме квадрата на сумата в този тричлен? Няма въпрос! Абсолютно същото. Работим точка по точка.

1. Разглеждаме члена с X на първа степен ( bx) и го превърнете в два пъти произведението на X поb /2 .

Нашият термин с X е просто X. и какво? Как можем да превърнем самотния X в двойно произведение? Да, много просто! Директно според инструкциите. като това:

Номер bв оригиналния тричлен има едно. следователно b/2 се оказва дробна. Една секунда. 1/2. О, добре. Вече не е малък.)

2. Добавяме към двойното произведение и веднага изваждаме квадрата на числото b/2. Добавете, за да завършите квадрата. Отнемаме го срещу обезщетение. В самия край добавяме свободен термин с.

Да продължим:

3. Първите три члена се сгъват на квадрат на сбора/разликата с помощта на подходящата формула. Внимателно изчисляваме оставащия израз в числа.

Първите три члена са разделени със скоби. Не е нужно да го разделяте, разбира се. Това се прави само за удобство и яснота на нашите трансформации. Сега можете ясно да видите, че пълният квадрат на сумата е в скобите (х+1/2) 2 . И всичко останало извън квадрата на сумата (ако броите) дава +3/4. Финална линия:

отговор:

тук м=1/2 , А п=3/4 . Дробни числа. Случва се. Имам такъв тричлен...

Това е технологията. Разбра ли? Мога ли да го преместя на следващото ниво?)

Ниво 2. Коефициентът на x 2 не е равен на 1 - какво да правя?

Повече е общ случайв сравнение със случая а=1. Обемът на изчисленията, разбира се, се увеличава. Притеснително е, да... Но общ курс на решениекато цяло остава същото. Към него се добавя само една нова стъпка. Това ме прави щастлив.)

Засега нека разгледаме безвреден случай, без никакви дроби или други клопки. Например:

2 х 2 -4 х+6

По средата има минус. И така, ще напаснем разликата към квадрата. Но коефициентът при х на квадрат е две. По-лесно е да работите само с един. С чисто X. какво да правя Нека извадим тези две от уравнението! За да не пречи. Имаме право! Получаваме:

2(х 2 -2 х+3)

като това. Сега тричленът в скобите вече е с чистаХ на квадрат! Както се изисква от алгоритъма от ниво 1 И сега можете да работите с този нов трином според старата изпитана схема. Така че действаме. Нека го напишем отделно и го трансформираме:

х 2 -2 х+3 = х 2 -2 ·х·1+1 2 -1 2 +3 = (х 2 -2 ·х·1+1 2 ) -1 2 +3 = (х-1) 2 +2

Половината битка е свършена. Всичко, което остава, е да вмъкнете получения израз в скобите и да ги разширите обратно. Ще се окаже:

2(х 2 -2 х+3) = 2((х-1) 2 +2) = 2(х-1) 2 +4

Готови!

отговор:

2 х 2 -4 х+6 = 2( х -1) 2 +4

Нека да го поправим в главите си:

Ако коефициентът на х на квадрат не е равно на едно, тогава изваждаме този коефициент извън скоби. С тринома, оставащ в скобите, работим според обичайния алгоритъм за а=1. След като изберем целия квадрат в него, поставяме резултата на място и отваряме външните скоби обратно.

Ами ако коефициентите b и c не се делят равномерно на a? Това е най-честият и в същото време най-лошият случай. После само дроби, да... Нищо не може да се направи. Например:

3 х 2 +2 х-5

Всичко е същото, поставяме трите извън скобите и получаваме:

За съжаление, нито две, нито пет се делят напълно на три, така че коефициентите на новия (редуциран) трином са дробен. Е, това е добре. Ние работим директно с дроби: двепревърнете трети от X в удвоенипроизведение на x по единтрето, добавете на квадрат една трета (т.е. 1/9), извадете го, извадете 5/3...

Като цяло разбирате!

Решете какво става. Резултатът трябва да бъде:

И още едно гребло. Много студенти се справят с положителни цели и четни числа дробни коефициенти, но се забивате на отрицателни. Например:

- х 2 +2 х-3

Какво да правим с минуса предих 2 ? Във формулата за квадрат на сбор/разлика всеки плюс е нужен... Няма въпрос! Всичко е същото. Нека премахнем този минус от уравнението. Тези. минус едно. като това:

- х 2 +2 х-3 = -(х 2 -2 х+3) = (-1)·(х 2 -2 х+3)

И това е всичко. И с тричлена в скоби - пак по набраздения път.

х 2 -2 х+3 = (х 2 -2 х+1) -1+3 = (х-1) 2 +2

Общо, като се вземе предвид минусът:

- х 2 +2 х-3 = -((х-1) 2 +2) = -(х-1) 2 -2

Това е. какво? Не знаете как да поставите минус извън скоби? Е, това е въпрос за елементарна алгебра от седми клас, не за квадратни триноми...

Запомнете: работа с отрицателен коефициент Апо същество не се различава от работата с положителни. Отстраняваме негатива Аизвън скоби, а след това - според всички правила.

Защо трябва да можете да изберете цял квадрат?

Първото полезно нещо е да рисувате параболи бързо и без грешки!

Например тази задача:

Графика на функцията:г=- х 2 +2 х+3

какво ще правим Изграждане по точки? Възможно е, разбира се. С малки стъпки дълъг път. Доста тъпо и безинтересно...

На първо място ви напомням, че при конструирането всякаквипараболи, винаги й представяме стандартен набор от въпроси. Двама са. а именно:

1) Накъде са насочени клоновете на параболата?

2) В коя точка е върхът?

Всичко е ясно за посоката на клоните още от оригиналния израз. Клоновете ще бъдат насочени надолу, тъй като коефициентът предих 2 – отрицателен. Минус едно. Знак минус пред квадратчето x Винагиобръща параболата.

Но с местоположението на върха всичко не е толкова очевидно. Има, разбира се, обща формула за изчисляване на неговата абциса чрез коефициентите аИ b.

този:

Но не всеки помни тази формула, о, не всеки... А 50% от тези, които помнят, се спъват изневиделица и бъркат в банална аритметика (обикновено при броене на игра). Жалко е, нали?)

Сега ще научите как да намерите координатите на върха на всяка парабола в съзнанието миза една минута! И X, и Y. С един замах и без никакви формули. как? Като изберете цял квадрат!

И така, нека изолираме идеалния квадрат в нашия израз. Получаваме:

y=-х 2 +2 х+3 = -(х-1) 2 +4

Който е добре запознат с обща информацияотносно функциите и са усвоили добре темата" трансформация на графики на функции “, лесно ще разбере, че желаната от нас парабола се получава от обикновена парабола г= х 2 с помощта на три трансформации. това:

1) Промяна на посоката на клоните.

Това се обозначава със знака минус пред квадратните скоби ( а=-1). беше г= х 2 , стана г=- х 2 .

Преобразуване: f ( х ) -> - f ( х ) .

2) Успоредно пренасяне на парабола y=- х 2 X с 1 единица НАДЯСНО.

Така получаваме междинната графика y=-(х-1 ) 2 .

Преобразуване: - f ( х ) -> - f ( х + м ) (m=-1).

Защо изместването е надясно, а не наляво, въпреки че има минус в скоби? Това е теорията на трансформациите на графите. Това е отделна тема.

И накрая,

3) Паралелен трансфер параболи y=-( х -1) 2 с 4 единици НАГОРЕ.

Така получаваме крайната парабола y= -(х-1) 2 +4 .

Преобразуване: - f ( х + м ) -> - f ( х + м )+ п (n=+4)

Сега разглеждаме нашата верига от трансформации и осъзнаваме: къде се движи върхът на параболата?г=x 2 ? Беше в точката (0; 0), след първата трансформация върхът не се премести никъде (параболата просто се обърна), след втората се премести по X с +1, а след третата - по Y с +4. Като цяло върхът попадна на място (1; 4) . Това е цялата тайна!

Картината ще бъде следната:

Всъщност точно поради тази причина толкова настойчиво насочих вниманието ви към числата мИ п, резултат от процеса на изолиране на пълен квадрат. Не можете да познаете защо? да Въпросът е, че точката с координати (- м ; п ) - винаги е връх на парабола г = а ( х + м ) 2 + п . Просто погледнете числата в преобразувания тричлен и в съзнанието миДаваме верния отговор къде е върхът. Удобно, нали?)

Рисуването на параболи е първото полезно нещо. Да преминем към второто.

Второто полезно нещо е решаването на квадратни уравнения и неравенства.

да, да! Избирането на пълен квадрат в много случаи се оказва много по-бързо и по-ефективнотрадиционни методи за решаване на такива задачи. Имате ли съмнения? Моля те! Ето една задача за вас:

Решете неравенство:

х 2 +4 х+5 > 0

разбрахте ли да Това е класическо квадратно неравенство . Всички подобни неравенства се решават с помощта на стандартен алгоритъм. За това имаме нужда от:

1) Направете уравнение от стандартна форма от неравенството и го решете, намерете корените.

2) Начертайте оста X и маркирайте корените на уравнението с точки.

3) Изобразете схематично параболата, като използвате оригиналния израз.

4) Идентифицирайте +/- зоните на фигурата. Изберете необходимите области въз основа на първоначалното неравенство и запишете отговора.

Всъщност целият този процес е досаден, да...) И освен това не винаги ви предпазва от грешки в нестандартни ситуации като този пример. Да опитаме ли първо шаблона?

И така, нека направим точка едно. Правим уравнението от неравенството:

х 2 +4 х+5 = 0

Стандартно квадратно уравнение, без трикове. Да решим! Изчисляваме дискриминанта:

г = b 2 -4 ак = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

това е! Но дискриминантът е отрицателен! Уравнението няма корени! И няма какво да се чертае по оста... Какво да се прави?

Тук някои могат да заключат, че първоначалното неравенство също няма решения. Това е фатално погрешно схващане, да... Но чрез избиране на пълен квадрат правилният отговор на това неравенство може да бъде даден за половин минута! Имате ли съмнения? Е, можете да го засечете.

И така, избираме идеалния квадрат в нашия израз. Получаваме:

х 2 +4 х+5 = (х+2) 2 +1

Първоначалното неравенство започна да изглежда така:

(х+2) 2 +1 > 0

И сега, без да решаваме или трансформираме нищо повече, ние просто включваме елементарна логика и мислим: ако на квадрат на някакъв израз (стойността е очевидно неотрицателни!) добави още едно, тогава какво число ще получим накрая?да Строго положителен!

Сега нека да разгледаме неравенството:

(х+2) 2 +1 > 0

Превод на записа от математически езикна руски: под който X е строго положителенизразът ще бъде строго повеченула? Не се ли досетихте? да За всякакви!

Ето вашия отговор: x – произволно число.

Сега да се върнем към алгоритъма. Все пак разбирането на същността и простото механично запомняне са две различни неща.)

Същността на алгоритъма е, че правим парабола от лявата страна на стандартното неравенство и виждаме къде е над оста X и къде под. Тези. къде са положителните стойности на лявата страна, къде са отрицателните.

Ако превърнем лявата си страна в парабола:

y =х 2 +4 х+5

И нека начертаем графика на това, ще видим това всичкицяла парабола минава над оста X.Картината ще изглежда така:

Параболата е крива, да... Затова е схематична. Но в същото време всичко, от което се нуждаем, се вижда на снимката. Параболата няма точки на пресичане с оста X и няма нулеви стойности за играта. И отрицателни стойности, разбира се, също не. Което е показано чрез засенчване на цялата ос X. Между другото, изобразих оста Y и координатите на върха тук с причина. Сравнете координатите на върха на параболата (-2; 1) и нашия трансформиран израз!

y =х 2 +4 х+5 = ( х +2) 2 +1

И как ви харесва? да В нашия случай м=2 И п=1 . Следователно върхът на параболата има координатите: (- м; п) = (-2; 1) . Всичко е логично.)

Друга задача:

Решете уравнението:

х 2 +4 х+3 = 0

Просто квадратно уравнение. Можете да го разрешите по старомодния начин. Възможно е чрез. Каквото и да е. Математиката няма нищо против.)

Нека вземем корените: х 1 =-3 х 2 =-1

И ако не помним нито единия, нито другия начин да го направим? Е, ще вземеш двойка, в добрия смисъл, но... Така да бъде, ще те спася! Ще покажа как можете да решавате някои квадратни уравнения, като използвате само методи за седми клас. Отново изберете пълен квадрат!)

х 2 +4 х+3 = (х+2) 2 -1

Сега нека запишем получения израз като... разлика на квадратите!Да, да, има един в седми клас:

а 2 -б 2 = (a-b)(a+b)

В ролята Астърчат скоби(х+2) , и в ролята b- един. Получаваме:

(х+2) 2 -1 = (х+2) 2 -1 2 = ((х+2)-1)((х+2)+1) = (х+1)(х+3)

Вмъкваме това разширение в уравнението вместо квадратния трином:

(х+1)(х+3)=0

Остава да разберем, че произведението на множителите е равно на нула тогава и само тогава,когато някой от тях е нула. Така че приравняваме (в съзнанието си!) всяка скоба на нула.

Получаваме: х 1 =-3 х 2 =-1

Това е. Същите два корена. Толкова умел трик. В допълнение към дискриминанта.)

Между другото, за дискриминанта и за обща формулакорени на квадратно уравнение:

В моя урок извеждането на тази тромава формула беше пропуснато. Като ненужни. Но това е мястото за него.) Искате ли да знаете как тази формула се оказва? Откъде идва изразът за дискриминанта и защо точно?b 2 -4ac, а не по друг начин? Все пак пълното разбиране на същността на случващото се е много по-полезно от безсмисленото драскане на всякакви букви и символи, нали?)

Третото полезно нещо е извеждането на формулата за корените на квадратно уравнение.

Е, да тръгваме! Вземаме квадратния трином общ изглед брадва 2 + bx+ cИ… Нека започнем да избираме пълен квадрат!Да, направо чрез писма!Имаше аритметика, сега е алгебра.) Първо, както обикновено, изваждаме буквата аизвън скоби и разделете всички други коефициенти на а:

като това. Това е напълно законна трансформация: А не е равно на нула, и можете да разделите на него. И със скоби отново работим по обичайния алгоритъм: от члена с X удвояваме произведението, добавяме/изваждаме квадрата на второто число...

Всичко е същото, но с букви.) Опитайте се да го завършите сами! Здрави!)

След всички трансформации трябва да получите това:

И защо трябва да изграждаме такива купчини от безвреден тричлен - питате вие? Нищо, сега ще е интересно! И сега, ние знаем въпроса, нека приравним това нещо до нула:

Решаваме като обикновено уравнение, работим по всички правила, само с букви. Нека направим основите:

1) Преместете по-голямата фракция надясно.При прехвърляне променяме плюса на минус. За да не рисувам минус пред самата дроб, просто ще сменя всички знаци в числителя. Отляво в числителя имаше4ac-b 2 , а след прехвърлянето ще стане -( 4ac-b 2 ) , т.е. b 2 -4 ак. Нещо познато, не мислите ли? да Дискриминатор, той е най-...) Ще бъде така:

2) Изчистете квадратните скоби от коефициента.Разделете двете страни на " А". Отляво, преди скобите, е буквата Аизчезва и отдясно отива в знаменателя на голямата дроб, превръщайки я в 4 а 2 .

Оказва се това равенство:

Не ти ли се получи? Тогава темата "" е за вас. Отидете веднага!

Следваща стъпка извлечете корена. Интересуваме се от X, нали? И X се намира под квадрата... Извличаме го според правилата за извличане на корени, разбира се. След извличането ще получите това:

Отляво е квадратът на сумата изчезваи това, което остава, е просто самата сума. Което се изисква.) Но вдясно се появява плюс/минус. За нашия як кадър, въпреки ужасяващия си вид, е просто някакво число. Дробно число. Зависят от коефициентите а, b, c. В този случай коренът на числителя на тази дроб не се извлича добре; има разлика между два израза. И тук е коренът на знаменателя 4 а 2 Получава се доста добре! Ще бъде лесно 2 а.

Един „сложен“ въпрос: имах ли право да извличам корена от израза 4 а2, дайте отговор само 2а?В крайна сметка правилото за извличане корен квадратен задължава да постави знак модул, т.е.2|а| !

Помислете защо пропуснах знака за модул. Много полезно. Съвет: отговорът се крие в знака плюс/минуспреди дробта.)

Остават само дреболии. Предоставяме чист X отляво. За да направите това, преместете малката фракция надясно. При промяна на знака пиперът е ясен. Нека ви напомня, че знакът в дроб може да се променя навсякъде и по всякакъв начин. Искаме да го променим пред дробта, искаме го в знаменателя, искаме го в числителя. Ще сменя табелата в числителя. беше + b, стана – b. Надявам се, че няма възражения?) След прехвърлянето ще изглежда така:

Добавете две дроби с същите знаменателии получаваме (накрая!):

добре? какво мога да кажа Уау!)

Полезно нещо четвърто - забележка за студентите!

А сега нека плавно да преминем от училище към университет. Няма да повярвате, но изолирането на пълен квадрат във висшата математика също е необходимо!

Например тази задача:

Намерете неопределения интеграл:

Откъде да започна? Директното приложение не работи. Само избирането на пълен квадрат спестява, да...)

Всеки, който не знае как да избере пълен квадрат, ще остане завинаги в този прост пример. И който знае как, разпределя и получава:

х 2 +4 х+8 = (х+2) 2 +4

А сега интеграла (за знаещите) се взема с една лява ръка!

Страхотно, нали? И това не са само интеграли! Аз мълча за аналитична геометрия, с нея криви от втори ред – елипса, хипербола, парабола и окръжност.

Например:

Определете вида на кривата, дадено от уравнението:

х 2 + г 2 -6 х-8 г+16 = 0

Без възможност за изолиране на цял квадрат задачата не може да бъде решена, да... Но примерът не може да бъде по-прост! За знаещите, разбира се.

Групираме членове с X и Y в групи и избираме пълни квадратчета за всяка променлива. Ще се окаже:

(х 2 -6x) + (г 2 -8 г) = -16

(х 2 -6x+9)-9 + (г 2 -8 г+16)-16 = -16

(х-3) 2 + (г-4) 2 = 9

(х-3) 2 + (г-4) 2 = 3 2

Е как? Разбрахте ли какъв вид животно е?) Е, разбира се! Кръг с радиус три с център в точка (3; 4).

И това е.) Полезно нещо е да изберете цял квадрат!)