Ще имаш нужда

• Молив Линийка Квадрат Компас Транспортир Формули за изчисляване на ъгли с помощта на дължина на дъгата и радиус Формули за изчисляване на страни на геометрични фигури

Инструкции

На лист хартия изградете основата на желаното геометрично тяло. Ако ви е даден паралелепипед или, измерете дължината и ширината на основата и начертайте правоъгълник върху лист хартия със съответните параметри. За да конструирате разработка a или цилиндър, имате нужда от радиуса на основния кръг. Ако не е посочено в условието, измерете и изчислете радиуса.

Помислете за паралелепипед. Ще видите, че всичките му лица са разположени под ъгъл спрямо основата, но параметрите на тези лица са различни. Измерете височината на геометричното тяло и с помощта на квадрат начертайте два перпендикуляра на дължината на основата. Нанесете върху тях височината на паралелепипеда. Свържете краищата на получените сегменти с права линия. Направете същото от противоположната страна на оригиналната.

От пресечните точки на страните на оригиналния правоъгълник начертайте перпендикуляри на неговата ширина. Начертайте височината на паралелепипеда върху тези прави линии и свържете получените точки с права линия. Направете същото и от другата страна.

От външния ръб на някой от новите правоъгълници, чиято дължина съвпада с дължината на основата, изградете горната страна на паралелепипеда. За да направите това, начертайте перпендикуляри от пресечните точки на линиите на дължината и ширината, разположени отвън. Заделете ширината на основата върху тях и свържете точките с права линия.

За да конструирате развитие на конус през центъра на основния кръг, начертайте радиус през която и да е точка от кръга и го продължете. Измерете разстоянието от основата до върха на конуса. Отделете това разстояние от пресечната точка на радиуса и окръжността. Маркирайте точката на върха на страничната повърхност. Като използвате радиуса на страничната повърхност и дължината на дъгата, която е равна на обиколката на основата, изчислете ъгъла на завъртане и го отделете от правата линия, която вече е начертана през горната част на основата. С помощта на пергел свържете предварително намерената пресечна точка на радиуса и окръжността с тази нова точка. Сканирането на конуса е готово.

За да конструирате сканирана пирамида, измерете височините на нейните страни. За да направите това, намерете средата на всяка страна на основата и измерете дължината на перпендикуляра, изтеглен от върха на пирамидата до тази точка. След като начертаете основата на пирамидата върху лист хартия, намерете средните точки на страните и начертайте перпендикуляри към тези точки. Свържете получените точки с пресечните точки на страните на пирамидата.

Развитието на цилиндър се състои от два кръга и правоъгълник, разположен между тях, чиято дължина е равна на дължината на кръга, а височината е височината на цилиндъра.

Развитието на повърхността на конуса е плоска фигура, получена чрез комбиниране на страничната повърхност и основата на конуса с определена равнина.

Опции за конструиране на почистване:

Развитие на прав кръгов конус

Развитието на страничната повърхнина на прав кръгов конус е окръжен сектор, чийто радиус е равен на дължината на образуващата на коничната повърхнина l, а централният ъгъл φ се определя по формулата φ=360*R/ l, където R е радиусът на окръжността на основата на конуса.

В редица задачи на дескриптивната геометрия предпочитаното решение е да се апроксимира (замени) конус с вписана в него пирамида и да се изгради приблизителна разработка, върху която е удобно да се начертаят линии, лежащи върху коничната повърхност.

Алгоритъм за изграждане

1. Поставяме многоъгълна пирамида в конична повърхност. Колкото повече странични лица има една вписана пирамида, толкова по-точно е съответствието между действителното и приблизителното развитие.
2. Конструираме развитието на страничната повърхност на пирамидата по метода на триъгълника. Свързваме точките, принадлежащи на основата на конуса с гладка крива.

Пример

На фигурата по-долу правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF е вписана в прав кръгов конус, а приблизителното развитие на страничната й повърхност се състои от шест равнобедрени триъгълника - лицата на пирамидата.

Да разгледаме триъгълника S 0 A 0 B 0 . Дължините на неговите страни S 0 A 0 и S 0 B 0 са равни на образуващата l на коничната повърхнина. Стойността A 0 B 0 съответства на дължината A’B’. За да построите триъгълник S 0 A 0 B 0 на произволно място в чертежа, отложете сегмента S 0 A 0 =l, след което от точките S 0 и A 0 начертайте окръжности с радиус S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A'B' съответно. Свързваме пресечната точка на окръжности B 0 с точки A 0 и S 0.

Построяваме лицата S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 на пирамидата SABCDEF подобно на триъгълника S 0 A 0 B 0 .

Точките A, B, C, D, E и F, лежащи в основата на конуса, са свързани с гладка крива - дъга от окръжност, чийто радиус е равен на l.

Развитие на наклонен конус

Нека разгледаме процедурата за конструиране на сканиране на страничната повърхност на наклонен конус, използвайки метода на приближаване (апроксимация).

Алгоритъм

1. Вписваме шестоъгълника 123456 в окръжността на основата на конуса. Свързваме точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с върха S. Построената по този начин пирамида S123456 с известна степен на приближение е. заместител на коничната повърхност и се използва като такъв в по-нататъшни конструкции.
2. Ние определяме естествените стойности на ръбовете на пирамидата, като използваме метода на въртене около проектиращата линия: в примера се използва оста i, перпендикулярна на хоризонталната равнина на проекцията и минаваща през върха S.
   Така, в резултат на завъртането на ръба S5, неговата нова хоризонтална проекция S’5’ 1 заема позиция, в която е успоредна на фронталната равнина π 2. Съответно, S''5'' 1 е действителният размер на S5.
3. Изграждаме сканиране на страничната повърхност на пирамидата S123456, състояща се от шест триъгълника: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Конструкцията на всеки триъгълник се извършва от три страни. Например △S 0 1 0 6 0 има дължина S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

Степента, в която приблизителното развитие съответства на действителното зависи от броя на лицата на вписаната пирамида. Броят на лицата се избира въз основа на лекотата на четене на чертежа, изискванията за неговата точност, наличието на характерни точки и линии, които трябва да бъдат прехвърлени в развитието.

Пренасяне на линия от повърхнина на конус върху разработка

Линията n, лежаща на повърхността на конуса, се образува в резултат на пресичането й с определена равнина (фигурата по-долу). Нека разгледаме алгоритъма за конструиране на ред n при сканиране.

Алгоритъм

1. Намираме проекциите на точки A, B и C, в които правата n пресича ръбовете на пирамидата S123456, вписана в конуса.
2. Определяме естествения размер на отсечките SA, SB, SC чрез завъртане около проектиращата се права линия. В разглеждания пример SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
3. Намираме позицията на точките A 0 , B 0 , C 0 върху съответните ръбове на пирамидата, като начертаем върху сканирането сегментите S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B' ' 1, S 0 C 0 =S''C'' 1.
4. Свързваме точки A 0 , B 0 , C 0 с гладка линия.

Развитие на пресечен конус

Описаният по-долу метод за конструиране на развитието на прав кръгов пресечен конус се основава на принципа на подобието.

Често срещаме повърхностни разработки в ежедневието, в производството и в строителството. За да направите калъф за книга (фиг. 169), да ушиете калъф за куфар, гума за волейболна топка и др., трябва да можете да конструирате разработки на повърхности на призма, топка и други геометрични тела. Развитието е фигура, получена чрез комбиниране на повърхността на дадено тяло с равнина. За някои тела сканиранията могат да бъдат точни, за други могат да бъдат приблизителни. Всички полиедри (призми, пирамиди и др.), цилиндрични и конусни повърхнини и някои други имат точни разработки. Приблизителните развития имат топка, тор и други повърхности на въртене с извита образуваща. Първата група повърхнини ще наречем развойни, втората – неразвиваеми.

TBegin-->TEnd-->

TНачало-->
TEnd-->

Когато конструирате разработки на полиедри, ще трябва да намерите действителния размер на ръбовете и лицата на тези полиедри, като използвате ротация или промяна на проекционните равнини. При конструиране на приблизителни разработки за неразвиваеми повърхности ще е необходимо да се заменят участъци от последните с развиващи се повърхности, близки по форма до тях.

За да се конструира сканиране на страничната повърхност на призмата (фиг. 170), се приема, че равнината на сканиране съвпада с лицето AADD на призмата; другите страни на призмата са подравнени към същата равнина, както е показано на фигурата. Лицето ССВВ е предварително комбинирано с лицето ААВВ. Линиите на сгъване в съответствие с GOST 2.303-68 се изчертават с тънки плътни линии с дебелина s/3-s/4. Точките на сканирането обикновено се обозначават със същите букви като на сложния чертеж, но с индекс 0 (нула). При конструиране на развитие на права призма по сложен чертеж (фиг. 171, а), височината на лицата се взема от предната проекция, а ширината от хоризонталната. Обичайно е да се изгради сканиране, така че предната страна на повърхността да е обърната към наблюдателя (фиг. 171, b). Това условие е важно да се спазва, тъй като някои материали (кожа, тъкани) имат две страни: лицева и задна. Основите на призмата ABCD са прикрепени към една от страните на страничната повърхност.

Ако точка 1 е посочена на повърхността на призмата, тогава тя се прехвърля в разработката с помощта на два сегмента, маркирани на комплексния чертеж с един и два удара, първият сегмент C1l1 се поставя вдясно от точка C0, а вторият сегмент се поставя вертикално (до точка l0).

TНачало-->
TEnd-->

По същия начин се конструира развитие на повърхността на цилиндъра на въртене (фиг. 172). Разделете повърхността на цилиндъра на определен брой равни части, например 12, и разгънете вписаната повърхност на правилна дванадесетоъгълна призма. Дължината на движение с тази конструкция се оказва малко по-малка от действителната дължина на движение. Ако се изисква значителна точност, тогава се използва графично-аналитичен метод. Диаметърът d на обиколката на основата на цилиндъра (фиг. 173, а) се умножава по числото π = 3,14; полученият размер се използва като дължина на разработка (фиг. 173, b), а височината (ширината) се взема директно от чертежа. Основите на цилиндъра са прикрепени към развитието на страничната повърхност.

TНачало-->
TEnd-->

Ако точка А е дадена на повърхността на цилиндъра, например между 1-ва и 2-ра генератриса, тогава нейното място върху развитието се намира с помощта на два сегмента: хорда, маркирана с дебела линия (вдясно от точка l1), и отсечка, равна на разстоянието на точка А от горната основа на цилиндъра, означена на чертежа с две черти.

Много по-трудно е да се конструира развитието на пирамида (фиг. 174, а). Неговите ръбове SA и SC са прави линии в общо положение и се проектират върху двете проекционни равнини чрез изкривяване. Преди да се конструира разработката, е необходимо да се намери действителната стойност на всеки ръб. Размерът на ръба SB се намира чрез конструиране на третата му проекция, тъй като този ръб е успореден на равнината P3. Ребрата SA и SC се завъртат около хоризонтално проектирана ос, минаваща през върха S, така че да станат успоредни на фронталната равнина на проекциите P (действителната стойност на реброто SB може да се намери по същия начин).

TНачало-->
TEnd-->

След такова завъртане техните фронтални проекции S 2 A 2 и S 2 C 2 ще бъдат равни на действителния размер на ребрата SA и SC. Страните на основата на пирамидата, като хоризонтални прави линии, се проектират върху проекционната равнина P 1 без изкривяване. Имайки три страни на всяко лице и използвайки метода на сериф, е лесно да се изгради развитие (фиг. 174, b). Конструкцията започва от лицевата страна; сегмент A 0 C 0 = A 1 C 1 е разположен на хоризонтална права линия, първият прорез е направен с радиус A 0 S 0 - A 2 S 2, вторият - с радиус C 0 S 0 = = G 2 S 2; при пресичането на серифите се получава точка S„. Приемете страната на поръчката A 0 S 0 ; от точка A 0 направете прорез с радиус A 0 B 0 =A 1 B 1 от точка S 0 направете прорез с радиус S 0 B 0 =S 3 B 3 ; в пресечната точка на серифите се получава точка B 0. По подобен начин лицето S 0 B 0 C 0 е прикрепено към страната S 0 G 0 . И накрая, триъгълник с основа A 0 G 0 S 0 е прикрепен към страната A 0 C 0 . Дължините на страните на този триъгълник могат да бъдат взети директно от разработката, както е показано на чертежа.

Развитието на конус на въртене се конструира по същия начин като развитието на пирамида. Разделете обиколката на основата на равни части, например на 12 части (фиг. 175, а) и си представете, че в конуса е вписана правилна дванадесетоъгълна пирамида. Първите три лица са показани на чертежа. Повърхността на конуса е разсечена по образуващата S6. Както е известно от геометрията, развитието на конуса се представя от сектор от окръжност, чийто радиус е равен на дължината на образуващата на конуса l. Всички образуващи на кръгъл конус са равни, следователно действителната дължина на образуващата l е равна на фронталната проекция на лявата (или дясната) образуваща. От точката S 0 (фиг. 175, b) вертикално се полага сегмент от 5000 = l. С този радиус се начертава дъга от окръжност. От точката O 0 се отлагат отсечките Ol 0 = O 1 l 1, 1 0 2 0 = 1 1 2 1 и т.н. Като отделяме шест отсечки, получаваме точка 60, която е свързана с върха S0 . Лявата част на сканирането е изградена по същия начин; Основата на конуса е прикрепена отдолу.

TНачало-->
TEnd-->

Ако трябва да поставите точка B върху сканирането, след това начертайте генератора SB през него (в нашия случай S 2), приложете тази генератора към сканирането (S 0 2 0); като завъртите образуващата с точка B надясно, докато тя се изравни с образуващата S 3 (S 2 5 2), намерете действителното разстояние S 2 B 2 и го оставете настрана от точката S 0. Намерените сегменти са отбелязани на чертежите с три черти.

Ако не е необходимо да се нанасят точки върху конусното сканиране, тогава то може да се конструира по-бързо и по-точно, тъй като е известно, че ъгълът на сканиращия сектор е a=360°R/l, радиусът на основната окръжност и l е дължината на образуващата на конуса.

Развитието е фигура, получена чрез комбиниране на повърхност с равнина. Естествено, затворена повърхност не може да се комбинира с равнина без прекъсвания. Повърхността първо се нарязва по определени линии и след това се подравнява с равнината. Изграждането на повърхностни разработки представлява голям практически интерес при проектирането на различни конструкции и изделия от листов материал. Развитието съхранява дължините на линиите, лежащи на повърхността, стойностите на ъглите между линиите и площите на фигурите, образувани от затворени линии. За да се изгради повърхностна разработка, е необходимо да се знае законът за трансформация на повърхностните направляващи линии в линии на развойната равнина и законът за разпределение на правите линии, съответстващи на повърхностните образуващи. Законът за превръщане на повърхнина в разработка може да се зададе както чрез аналитични зависимости, така и чрез графичен алгоритъм.

Още в първите работи по дескриптивна геометрия бяха добре разработени алгоритми за конструиране на точни разработки на цилиндър, конус и торс на хеликоид (отворена спирална повърхност). Повърхностно развитие означава подравняване на част (отделение) от повърхност с равнина. Част от цилиндъра се изрязва от една от образуващите и се подравнява с равнината. Развитието на страничната повърхност на прав кръгъл цилиндър се изобразява като правоъгълник с височина ли дължина πd, Където л– дължина на образуващата на цилиндричната повърхност, д– диаметър на основата на цилиндъра (фиг. 5.19).

Ориз. 5.19. Разработка на прав кръгов цилиндър

В допълнение към правите линии на огъване и усукване върху разработката могат да бъдат начертани много други прави линии, които съответстват на геодезични линии на повърхността, които определят най-късите разстояния между точките на повърхността. На цилиндрична и конична повърхност геодезичната линия е спирала.

Развитието на прав кръгов конус е сектор от окръжност с радиус ли ъгъл φ , равно на или 2π∙cosβ, Където л– дължина на образуващата, д– диаметър на основата на конуса (фиг. 5.20). Конусът и цилиндърът се разглеждат като специален случай на повърхност с връщащ ръб, когато връщащият ръб се изражда в крайна и безкрайно отдалечена точка. Коничната повърхност също има два етажа, разположени от противоположните страни на върха на конуса.

Ориз. 5.20. Развитие на прав кръгов конус

На фиг. 5. 21 показва пример за конструиране на развитие на един етаж на хеликоид, ограничен от връщащ ръб (helis - цилиндрична спирална линия с диаметър д), хоризонтални равнини с разстояние между равни ч(височина з). Повърхността се изрязва по обратния ръб и една от образуващите и се подравнява с равнината. Спиралата върху разработката се превръща в кръгова дъга с радиус ρ и ъгъл φ . Дължината на кръговата дъга е равна на дължината на спиралата ( L=π d/cosβ). Стойност на радиуса ρ определяме от равенството 2 π ρ φ/360°= π d/ cosβ. Където ρ = d 180°/ cosβ∙φ. Генераторите на хеликоида са успоредни на генераторите на водещия конус, следователно сумата от ъглите между генераторите на хеликоида е равна на сумата от ъглите между водачите на конуса ( φ = 2π∙cosβ). Ако вместо това φ заместваме стойността му, получаваме ρ = d / 2cosβ 2.

Повърхност с обратен ръб има два етажа, разположени от различни страни на точките на контакт. Ако обратният ръб е плоска извита линия, тогава повърхността се превръща в равнина.

На линейчати повърхности от общ тип могат да се разграничат линии на компресия (гърлото на еднолистов хиперболоид, линията на стесняване на наклонена равнина, стрикционните линии на цилиндроид и т.н.), при които се пресичат близки генериращи повърхности. Линиите на компресия са аналог на връщащия ръб, като единствената разлика е, че генераторите не докосват линията на компресия, а я пресичат под някакъв ъгъл. Цилиндрични, конични и обратни повърхности могат да бъдат получени от равнината на развитие чрез деформация на огъване. Линейни повърхности с обща форма се получават от равнината на развитие, като се използват деформации на усукване и огъване. Отбелязваме също, че е възможно да се получи повърхност от равнината на развитие, като се използва огъване само теоретично, но на практика наличието на деформации на компресия и напрежение е неизбежно, тъй като няма продукти без дебелина.

Ориз. 5. 21. Развитие на еволвентен (отворен) хеликоид

Развитие на повърхността на прав затворен хеликоиден компартмент със стъпало ни диаметъра на цилиндричната спирала де непълен пръстен (фиг. 5.22). Стъпката на спираловидната повърхност се разгръща в дължината на дъга от окръжност с диаметър d 1, Тогава, Н = π d 1 ∙ φ/360°. Да определим ъгъла φ от получената зависимост: φ = N ∙360°/π d 1.Спиралата се разгръща в дължината на дъга от окръжност с диаметър д. Тогава, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360°. D = d + d 1. Нека заместим стойността дв предишния израз: L = πd/cosβ = π(d + d 1) ∙ φ/360°. Да определим ъгъла φ , φ = πd360°/cosβ(d + d 1). Размер на диаметъра d 1може да се определи чрез сравнение на формули за определяне на ъгъла φ : d 1 = Нd cosβ/(π 2 d – Нcosβ)или d 1 = d sinβ/(π –sinβ).

Ориз. 5.22. Развитие на прав затворен хеликоид

Развитие на повърхността на отделение на пръстеновиден затворен хеликоид със стъпало ни диаметрите на вътрешните и външните цилиндрични спирални линии дИ д׳ също е непълен пръстен (виж фиг. 5.22). Вътрешната спирала се разгръща в дължината на дъга от окръжност с диаметър д'.Тогава, Л׳ = πd/cosβ = πd׳ ∙φ/360°. Да определим ъгъла φ , φ = d360°/cosβ d׳. Външната спирала се разгръща в дължината на дъга от окръжност с диаметър д. Тогава, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360°. D = (d – d׳ ) + d 1. Нека заместим стойността дв предишния израз: L = πd/cosβ = π(d – d׳ + d 1) ∙ φ/360°. Да определим ъгъла φ , φ = d360°/cosβ(d – d׳ + d 1).

Развитието на повърхността на отделение на наклонен затворен хеликоид е усукан пръстен; формиращите повърхности на развитието докосват кръг с определен радиус. Развитието на повърхността на отделение на еднолистов хиперболоид на революция също е усукан пръстен, формиращите повърхности на развитието докосват кръг с определен радиус. Гърлото на повърхността се разгръща в кръговата дъга на вътрешната кръгова дъга, а основата на еднолистовия хиперболоид се разгръща в кръговата дъга на външната кръгова дъга. За да се изгради разработка на линейчата повърхност, е необходимо да се знае законът за трансформация на водещите линии на повърхността в линии на равнината на развитие и законът за разпределение на прави линии, съответстващи на образуващите на повърхността. Законът за превръщане на повърхнина в разработка може да се зададе както чрез аналитични зависимости, така и чрез графичен алгоритъм. Изгражда се разработка на линейка за един етаж от ограничена част от повърхността. Разделянето на повърхността на подове става по линията на компресия.

Ако моделът на преход от повърхността към развитието е неизвестен, тогава се конструира приблизително развитие. За целта повърхнината се заменя с вписана или описана многостенна повърхнина и се конструира нейното развитие. Ако повърхността е разделена на много триъгълници, тогава методът се нарича триангулация. Изграждането на разработка е свързано с определяне на естествения размер на всяко лице. Метричните проблеми, разгледани в предишните лекции, са неразделна част от конструирането на разработка. Конструирането на разчиствания е сложна метрична задача, в която е важно рационално да се организират графичните конструкции, за да се постигне точност и скорост на конструиране.

За пресечен цилиндър и конус, както и за наклонени цилиндрични и конични повърхности и други повърхности, се изграждат приблизителни разработки, тъй като въпросите за конструиране на разработки не са достатъчно проучени: необходимо е да се установи геометрична проекционна връзка между повърхностите и техните разработки.

Нека разгледаме пример за конструиране на развитие на призма, използвайки метода на търкаляне и метода на нормалното сечение. Нека изрежем призмата по ръба АА׳ и ще завъртим лицата му около ръбовете, докато се изравнят с челната равнина, минаваща през ръба АА׳ . Точки IN, IN ׳ , СЪСИ СЪСПри въртене те се движат в равнини, перпендикулярни на ребрата (фиг. 5.23). От точка А 2начертайте дъга с радиус A 1 B 1до пресечната точка с перпендикуляра от НА 2Да се A 2 A 2׳ и получаваме V o. Останалите точки получаваме по същия начин. Нека прикрепим долната и горната основа и да получим пълно развитие на призмата. Нека изрежем призмата с равнина α , перпендикулярно на ребрата, и определя естествения размер на сечението A "B" C ׳ , например комбинирането му с π 1. Нормален участък се разгръща в права линия A o B o C o.

Ориз. 5.23. Разработка на наклонена призма

На практика се конструират и разгръщания за неразширяващи се нелинейчати повърхнини, за тази цел те се апроксимират с разгръщащи се повърхнини (те се разделят на части, които се заменят с равнини или разгръщащи се повърхнини, т.е. няколко цилиндрични, конични или др. повърхности са вписани или описани около тях), а след това са конструирани размахвания за тях. Полученото развитие на цялата повърхност е условно, тъй като тя се състои от множество отделни плоски фигури, за да се получи повърхност, те трябва да бъдат залепени заедно и отделните участъци трябва да бъдат подложени на компресия и напрежение. Колкото по-голям е броят на преградите, толкова по-малки са парчетата, на които се разпада повърхността. Това е основната разлика между условните и приблизителните разчиствания.