Правата линия в пространството винаги може да се определи като пресечната линия на две неуспоредни равнини. Ако уравнението на една равнина е уравнението на втората равнина, тогава уравнението на правата е дадено като

Тук неколинеарни
. Тези уравнения се наричат общи уравненияправо в космоса.

Канонични уравнения на правата

Всеки ненулев вектор, лежащ на дадена права или успореден на нея, се нарича насочващ вектор на тази права.

Ако точката е известна
права линия и нейния насочващ вектор
, тогава каноничните уравнения на правата имат формата:

. (9)

Параметрични уравнения на права

Нека са дадени каноничните уравнения на правата

.

От тук получаваме параметричните уравнения на линията:

(10)

Тези уравнения са полезни за намиране на пресечната точка на права и равнина.

Уравнение на права, минаваща през две точки
И
има формата:

.

Ъгъл между прави

Ъгъл между прави

И

равен на ъгъла между техните насочващи вектори. Следователно може да се изчисли по формула (4):

Условие за успоредни прави:

.

Условие равнините да са перпендикулярни:

Разстояние на точка от права

П да кажем, че точката е дадена
и прав

.

От каноничните уравнения на правата знаем точката
, принадлежаща на права, и нейния насочващ вектор
. След това разстоянието на точката
от права линия е равна на височината на успоредник, изграден върху вектори И
. следователно

.

Условие за пресичане на прави

Две неуспоредни прави

,

се пресичат тогава и само ако

.

Относителното положение на права и равнина.

Нека е дадена правата линия
и самолет. Ъгъл между тях може да се намери с помощта на формулата

.

Задача 73. Напишете каноничните уравнения на правата

(11)

Решение. За да се запишат каноничните уравнения на правата (9), е необходимо да се знае всяка точка, принадлежаща на правата, и векторът на посоката на правата.

Нека намерим вектора , успоредна на тази права. Тъй като тя трябва да е перпендикулярна на нормалните вектори на тези равнини, т.е.

,
, Че

.

От общите уравнения на правата линия имаме това
,
. Тогава

.

Тъй като точката
всяка точка на линия, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравненията на линията и едно от тях може да бъде посочено, например,
, намираме другите две координати от система (11):

Оттук,
.

Така каноничните уравнения на желаната линия имат формата:

или
.

Задача 74.

И
.

Решение.От каноничните уравнения на първия ред са известни координатите на точката
принадлежащи на правата, и координатите на вектора на посоката
. От каноничните уравнения на втория ред са известни и координатите на точката
и координати на вектора на посоката
.

Разстоянието между успоредните прави е равно на разстоянието на точката
от втората права линия. Това разстояние се изчислява по формулата

.

Нека намерим координатите на вектора
.

Нека изчислим векторното произведение
:

.

Задача 75. Намерете точка симетрична точка
относително прав

.

Решение. Нека запишем уравнението на равнина, перпендикулярна на дадена права и минаваща през точка . Като негов нормален вектор можете да вземете насочващия вектор на права линия. Тогава
. следователно

Да намерим точка
точката на пресичане на тази права и равнината P. За да направим това, ние записваме параметричните уравнения на правата, използвайки уравнения (10), получаваме

следователно
.

Позволявам
точка, симетрична на точка
спрямо тази линия. След това точка
средна точка
. За намиране на координатите на точка използваме формулите за координатите на средата на сегмента:

,
,
.

Така,
.

Задача 76. Напишете уравнението на равнина, минаваща през права
И

а) през точка
;

б) перпендикулярна на равнината.

Решение.Нека запишем общите уравнения на тази линия. За да направите това, разгледайте две равенства:

Това означава, че желаната равнина принадлежи на сноп от равнини с образуващи и нейното уравнение може да се запише във формата (8):

а) Да намерим
И от условието, че равнината минава през точката
, следователно нейните координати трябва да отговарят на уравнението на равнината. Нека заместим координатите на точката
в уравнението на куп равнини:

Намерена стойност
Нека го заместим в уравнение (12). получаваме уравнението на желаната равнина:

б) Да намерим
И от условието желаната равнина да е перпендикулярна на равнината. Нормалният вектор на дадена равнина
, нормален вектор на желаната равнина (вижте уравнението на куп равнини (12).

Два вектора са перпендикулярни тогава и само ако техният точков продукт е нула. следователно

Нека заместим намерената стойност
в уравнението на куп равнини (12). Получаваме уравнението на желаната равнина:

Проблеми за самостоятелно решаване

Задача 77. Редуцирайте уравнението на правите до каноничен вид:

1)
2)

Задача 78. Напишете параметричните уравнения на правата
, ако:

1)
,
; 2)
,
.

Задача 79. Напишете уравнението на равнината, минаваща през точката
перпендикулярна на права линия

Задача 80. Напишете уравненията на права, минаваща през точка
перпендикулярна на равнината.

Задача 81. Намерете ъгъла между правите:

1)
И
;

2)
И

Задача 82. Докажете успоредност на прави:

И
.

Задача 83. Докажете перпендикулярността на правите:

И

Задача 84. Изчислете разстоянието на точка
от права линия:

1)
; 2)
.

Задача 85. Изчислете разстоянието между успоредни прави:

И
.

Задача 86. В уравненията на линията
дефинирайте параметър така че тази права да се пресича с правата и да се намери точката на тяхното пресичане.

Задача 87. Покажете, че е прав
успоредна на равнината
, и правата линия
лежи в тази равнина.

Задача 88. Намерете точка симетрична точка спрямо самолета
, ако:

1)
, ;

2)
, ;.

Задача 89. Напишете уравнението на перпендикуляр, спуснат от точка
директно
.

Задача 90. Намерете точка симетрична точка
относително прав
.

О-о-о-о-о-о... е, трудно е, сякаш си четеше изречение =) Но релаксът ще помогне по-късно, особено след като днес купих подходящите аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще поддържам весело настроение.

Относителното положение на две прави линии

Такъв е случаят, когато публиката пее в хор. Две прави линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : Моля, запомнете математическия знак за пресичане, той ще се появява много често. Нотацията означава, че правата се пресича с правата в точка .

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, т.е. има число „ламбда“, такова че равенствата са валидни

Нека разгледаме правите линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалено с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти на променливите са пропорционални: , Но .

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем очевидно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти за променливите НЕ са пропорционални, т.е. НЯМА такава „ламбда“ стойност, която да поддържат равенствата

И така, за прави линии ще създадем система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава, че системата е несъгласувана (няма решения). Следователно коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

При практически задачи можете да използвате току-що обсъдената схема за решение. Между другото, той много напомня на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който обсъдихме в урока Концепцията за линейна (не) зависимост на вектори. Основа на векторите. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Намерете относителните позиции на линиите:

Решението се основава на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, което означава, че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък със знаци на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и следват по-нататък, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат еднакъв насочващ вектор, което означава, че са успоредни или съвпадащи. Тук няма нужда да броим детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестните са пропорционални и .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадащи.

Коефициентът на пропорционалност „ламбда“ е лесно да се види директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число като цяло го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Отговор :

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате устно обсъждания проблем буквално за секунди. В тази връзка не виждам смисъл да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставим друга важна тухла в геометричната основа:

Как да построим права, успоредна на дадена?

За незнание на тази най-проста задача Славеят Разбойник наказва сурово.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Нека означим неизвестния ред с буквата . Какво казва състоянието за нея? Правата минава през точката. И ако линиите са успоредни, тогава е очевидно, че векторът на посоката на правата линия "tse" също е подходящ за конструиране на правата линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор :

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичното тестване се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

В повечето случаи аналитичното изследване може лесно да се извърши устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят успоредността на линиите без никакъв чертеж.

Примерите за независими решения днес ще бъдат креативни. Защото все пак ще трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не толкова рационален начин за решаването му. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е много познат от училищната програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точка , то нейните координати са решение на системата от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето и геометричния смисъл на система от две линейни уравнения с две неизвестни - това са две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на линията, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решение на системата. По същество разгледахме графичен начин за решаване на система от линейни уравнения с две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават по този начин, въпросът е, че ще отнеме време, за да се създаде правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да се намира някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Ето защо е по-целесъобразно пресечната точка да се търси с помощта на аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как се решава система от уравнения?

Отговор :

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример, който можете да решите сами. Удобно е задачата да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието показва, че е необходимо:
1) Запишете уравнението на правата линия.
2) Създайте уравнение на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Дори чифт обувки не бяха износени, преди да стигнем до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да построим права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение, перпендикулярно на правата, минаваща през точката.

Решение: По условие е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия, използвайки точка и насочващ вектор:

Отговор :

Нека разширим геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Изваждаме векторите на посоката от уравненията и използвайки скаларното произведение на векторите, стигаме до заключението, че линиите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Тестът отново е лесен за изпълнение устно.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример, който можете да решите сами. В проблема има няколко действия, така че е удобно решението да се формулира точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да стигнем до нея по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде да се движите по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се означава с гръцката буква “rho”, например: – разстоянието от точката “em” до правата линия “de”.

Разстояние от точка до линия изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:

Отговор :

Да направим чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако начертаете чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. = 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Нека разгледаме друга задача, базирана на същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам сами да изпълните стъпките, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на правата.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. Използвайки формулите за координатите на средата на сегмента, намираме .

Би било добра идея да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но микрокалкулаторът е голяма помощ в кулата, позволявайки ви да изчислявате обикновени дроби. Съветвал съм ви много пъти и ще ви препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример, който можете да решите сами. Ще ви дам малък намек: има безкрайно много начини за решаване на това. Разбор в края на урока, но е по-добре да се опитате да познаете сами, мисля, че вашата изобретателност е добре развита.

Ъгъл между две прави

Всеки ъгъл е преграда:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентираникът "малина".

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, от основно значение е посоката, в която ъгълът се „превърта“. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например ако .

Защо ти казах това? Изглежда, че можем да се справим с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че формулите, по които ще намираме ъгли, лесно могат да дадат отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави? Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решение и метод едно

Нека разгледаме две прави линии, определени от уравнения в общ вид:

Ако линиите не са перпендикулярни, тогава ориентиранЪгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем специално внимание на знаменателя - това е точно скаларното произведение на векторите на посоката на линиите:

Ако , тогава знаменателят на формулата става нула и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще са перпендикулярни. Ето защо беше направена резерва за неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на горното е удобно решението да се формализира в две стъпки:

1) Нека изчислим скаларното произведение на насочващите вектори на линиите:
, което означава, че линиите не са перпендикулярни.

2) Намерете ъгъла между прави линии по формулата:

С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (вижте Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор :

Във вашия отговор ние посочваме точната стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, минус, нищо страшно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и "отвиването" на ъгъла започва точно с него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените линиите, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Корабът ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани участници в експедицията.

Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете връзката към нея с приятелите си в социалните мрежи.

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, в него и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Wolfram Alpha за тях. Има интересна статия по този въпрос, която съдържа примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.

Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест, това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на обикновена геометрична фигура (не фрактал), при увеличение ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например при достатъчно голямо увеличение част от елипса изглежда като сегмент от права линия. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която ще се повтаря отново и отново с всяко увеличение.

Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, пише в своята статия „Фрактали и изкуство в името на науката“: „Фракталите са геометрични форми, които са толкова сложни в своите детайли, колкото и в цялостната си форма, тоест, ако са част от фрактала ще се увеличи до размера на цялото, ще изглежда като цяло, или точно, или може би с лека деформация."