Време е да се запознаете строителство алгебрична дробдо степента. Това действие с алгебрични дроби в смисъл на степен се свежда до умножение като дроби. В тази статия ще дадем съответното правило и ще разгледаме примери за конструиране на алгебрични дроби в естествена степен.

Навигация в страницата.

Правилото за повдигане на алгебрична дроб на степен, неговото доказателство

Преди да говорим за повдигане на алгебрична дроб на степен, не е зле да си спомним какво е произведението на еднакви множители в основата на степента и техният брой се определя от експонентата. Например 2 3 =2·2·2=8.

Сега нека си припомним правилото за степенуване обикновена дроб– за да направите това, отделно трябва да повдигнете числителя на посочената степен и отделно – знаменателя. напр. Това правило се прилага за повдигане на алгебрична дроб на естествена степен.

Повишаване на алгебрична дроб на естествена степендава нова дроб, чийто числител съдържа посочената степен на числителя на първоначалната дроб, а знаменателят - степента на знаменателя. В буквална форма това правило съответства на равенството , където a и b са произволни полиноми (в частни случаи мономи или числа), а b е ненулев полином и n е .

Доказателството на посоченото правило за повдигане на алгебрична дроб на степен се основава на дефиницията на степен с естествен показател и на това как дефинирахме умножението на алгебрични дроби: .

Примери, решения

Правилото, получено в предходния параграф, намалява степента на степен на алгебрична дроб до степента на числителя и знаменателя на първоначалната дроб на тази степен. И тъй като числителят и знаменателят на оригиналната алгебрична дроб са полиноми (в конкретен случай, мономи или числа), тогава първоначалната задача се свежда до повишаване на полиномите до степен. След извършване на това действие ще се получи нова алгебрична дроб, идентично равна на определената степен на оригиналната алгебрична дроб.

Нека да разгледаме решенията на няколко примера.

Пример.

Квадрат на алгебрична дроб.

Решение.

Нека запишем степента. Сега се обръщаме към правилото за повдигане на алгебрична дроб на степен, то ни дава равенството . Остава да преобразуваме получената дроб във формата на алгебрична дроб чрез повдигане на мономите на степен. Така .

Обикновено при повдигане на алгебрична дроб на степен решението не се обяснява, а се записва накратко. Нашият пример съответства на записа .

Отговор:

.

Когато числителят и/или знаменателят на алгебрична дроб съдържат полиноми, особено биноми, тогава при повдигането й на степен е препоръчително да използвате подходящите съкратени формули за умножение.

Пример.

Конструирайте алгебрична дроб до втора степен.

Решение.

Съгласно правилото за повдигане на дроб на степен, имаме .

За да трансформираме получения израз в числителя, използваме формула за разлика на квадрат, а в знаменателя - формулата за квадрат на сумата от три члена:

Отговор:

В заключение отбелязваме, че ако повдигнем нередуцируема алгебрична дроб на естествена степен, тогава резултатът също ще бъде нередуцируема дроб. Ако първоначалната дроб е редуцируема, тогава преди да я повдигнете на степен, препоръчително е да извършите редукция на алгебричната дроб, за да не извършите редукцията след повишаването й на степен.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от cleverstudents

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никоя част от сайта, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Дроб е отношението на числителя към знаменателя, като знаменателят не трябва да е равен на нула, а числителят може да бъде всичко.

Когато повдигаме която и да е дроб на произволна степен, трябва отделно да повдигнем числителя и знаменателя на дробта на тази степен, след което трябва да преброим тези степени и по този начин да получим дробта, повдигната на степен.

Например:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​​​/ 3) · (2 ​​​​/ 3) = 2^3 / 3^3

Отрицателна степен

Ако имаме работа с отрицателна степен, тогава първо трябва да „обърнем дробта“ и едва след това да я повишим до степен според правилото, написано по-горе.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Писмена степен

Когато работите с буквални стойности като "x" и "y", степенуването следва същото правило, както преди.

Можем също да се тестваме, като повдигнем дробта ½ на 3-та степен, в резултат на което получаваме ½ * ½ * ½ = 1/8, което по същество е същото като

(1/2)^3 = 1/8.

Буквално степенуване x^y

Умножение и деление на дроби със степени

Ако умножаваме степени с еднакви основи, тогава самата основа остава същата и добавяме степените. Ако разделим степени с еднакви основи, тогава основата на степента също остава същата, а показателите на степените се изваждат.

Това може да се покаже много лесно с пример:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Можем да получим същото, ако просто повдигнем знаменателя и числителя на степен 3 и 4 поотделно, съответно.

Повишаване на дроб със степен на друга степен

Когато повишаваме дроб, която вече е на степен, отново на степен, първо трябва да направим вътрешното степенуване и след това да преминем към външната част на степенуването. С други думи, можем просто да умножим тези степени и да повишим дробта до получената степен.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Повишено до едно, корен квадратен

Също така не трябва да забравяме, че повдигането на абсолютно всяка дроб на нулева степен ще ни даде 1, точно както всяко друго число, когато е повдигнато на степен равна на нула, ще получим 1.

Обикновен Корен квадратенможе да се представи и като степен на дроб

Корен квадратен 3 = 3^(1/2)

Ако имаме работа с корен квадратен, под който се намира дробта, тогава можем да си представим тази дроб, в чийто числител ще има корен квадратен от 2-ра степен (тъй като е корен квадратен)

И знаменателят също ще съдържа квадратния корен, т.е. с други думи, ще видим връзката на два корена, това може да е полезно за решаване на някои проблеми и примери.

Ако повдигнем дробта, която е под корен квадратен, на втора степен, ще получим същата дроб.

Произведението на две дроби на една и съща степен ще бъде равно на произведението на тези две дроби, всяка от които поотделно ще бъде на собствена степен.

Запомнете: не можете да делите на нула!

Също така, не забравяйте за една много важна бележка за дроб, като знаменателят не трябва да бъде равен на нула. В бъдеще в много уравнения ще използваме това ограничение, наречено ODZ - диапазон от допустими стойности

Когато сравнявате две фракции с една и съща основа, но различни степени, толкова по-голяма ще бъде дробта, чиято степен е по-голяма, а по-малката ще бъде тази, чиято степен е по-малка; ако не само основите, но и степените са равни, дробта се счита за еднаква.

Примери:

например: 14^3,8 / 14^(-0,2) = 14^(3,8 -0,2) = 139,6

6^(1,77) 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6

Урокът ще разгледа по-обобщена версия на умножение на дроби - повдигане на степен. На първо място, ще говорим за естествени степени на дроби и примери, които демонстрират подобни операции с дроби. В началото на урока ще прегледаме и повдигането на цели изрази до естествени степени и ще видим как това ще бъде полезно за решаване на следващи примери.

Тема: Алгебрични дроби. Аритметични операциинад алгебрични дроби

Урок: Повдигане на алгебрична дроб на степен

1. Правила за повдигане на дроби и цели изрази в естествени степени с елементарни примери

Правилото за повдигане на обикновени и алгебрични дроби на естествена степен:

Можете да направите аналогия със степента на цял израз и да запомните какво има предвид, като го повдигнете на степен:

Пример 1. .

Както може да се види от примера, повишаването на дроб на степен е специален случайумножение на дроби, което беше изучено в предишния урок.

Пример 2. а), б) - минусът изчезва, защото повдигнахме израза на четна степен.

За удобство при работа със степени, нека си припомним основните правила за повишаване до естествена степен:

- произведение на степените;

- деление на степени;

Повишаване на степен в степен;

Степен на продукта.

Пример 3. - това го знаем от темата “Степенуване на цели изрази”, с изключение на един случай: не съществува.

2. Най-простите примери за повдигане на алгебрични дроби до естествени степени

Пример 4. Повишаване на дроб на степен.

Решение. Когато се повиши до равна степен, минусът изчезва:

Пример 5. Повишаване на дроб на степен.

Решение. Сега използваме правилата за незабавно повишаване на степен до степен без отделен график:

.

Сега нека разгледаме комбинирани задачи, в които ще трябва да повдигнем дроби на степени, да ги умножим и разделим.

Пример 6. Извършване на действия.

Решение. . След това трябва да направите намаление. Нека опишем веднъж подробно как ще направим това и след това веднага ще посочим резултата по аналогия: . Аналогично (или според правилото за разделение на властите). Ние имаме: .

Пример 7. Извършване на действия.

Решение. . Намаляването беше извършено по аналогия с примера, разгледан по-рано.

Пример 8. Извършване на действия.

Решение. . В този пример ние отново описахме по-подробно процеса на намаляване на степените в дроби, за да консолидираме този метод.

3. По-сложни примери за повдигане на алгебрични дроби до естествени степени (като се вземат предвид знаци и с термини в скоби)

Пример 9: Извършване на действия .

Решение. В този пример вече ще пропуснем отделното умножение на дроби и веднага ще използваме правилото за умножаването им и ще ги запишем под един знаменател. В същото време следваме знаците - в този случай дробите се повишават до дори градуси, така че недостатъците изчезват. Накрая ще извършим намаляването.

Пример 10: Извършване на действия .

Решение. В този пример има деление на дроби; не забравяйте, че в този случай първата дроб се умножава по втората, но обърната.

Дроб е отношението на числителя към знаменателя, като знаменателят не трябва да е равен на нула, а числителят може да бъде всичко.

Когато повдигаме която и да е дроб на произволна степен, трябва отделно да повдигнем числителя и знаменателя на дробта на тази степен, след което трябва да преброим тези степени и по този начин да получим дробта, повдигната на степен.

Например:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​​​/ 3) · (2 ​​​​/ 3) = 2^3 / 3^3

Отрицателна степен

Ако имаме работа с отрицателна степен, тогава първо трябва да „обърнем дробта“ и едва след това да я повишим до степен според правилото, написано по-горе.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Писмена степен

Когато работите с буквални стойности като "x" и "y", степенуването следва същото правило, както преди.

Можем също да се тестваме, като повдигнем дробта ½ на 3-та степен, в резултат на което получаваме ½ * ½ * ½ = 1/8, което по същество е същото като

Буквално степенуване x^y

Умножение и деление на дроби със степени

Ако умножаваме степени с еднакви основи, тогава самата основа остава същата и добавяме степените. Ако разделим степени с еднакви основи, тогава основата на степента също остава същата, а показателите на степените се изваждат.

Това може да се покаже много лесно с пример:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Можем да получим същото, ако просто повдигнем знаменателя и числителя на степен 3 и 4 поотделно, съответно.

Повишаване на дроб със степен на друга степен

Когато повишаваме дроб, която вече е на степен, отново на степен, първо трябва да направим вътрешното степенуване и след това да преминем към външната част на степенуването. С други думи, можем просто да умножим тези степени и да повишим дробта до получената степен.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Повишено до едно, корен квадратен

Също така не трябва да забравяме, че повдигането на абсолютно всяка дроб на нулева степен ще ни даде 1, точно както всяко друго число, когато е повдигнато на степен равна на нула, ще получим 1.

Обикновеният корен квадратен също може да бъде изразен като степен на дроб

Корен квадратен 3 = 3^(1/2)

Ако имаме работа с корен квадратен, под който се намира дробта, тогава можем да си представим тази дроб, в чийто числител ще има корен квадратен от 2-ра степен (тъй като е корен квадратен)

И знаменателят също ще съдържа квадратния корен, т.е. с други думи, ще видим връзката на два корена, това може да е полезно за решаване на някои проблеми и примери.

Ако повдигнем дробта, която е под корен квадратен, на втора степен, ще получим същата дроб.

Произведението на две дроби на една и съща степен ще бъде равно на произведението на тези две дроби, всяка от които поотделно ще бъде на собствена степен.

Запомнете: не можете да делите на нула!

Също така, не забравяйте за една много важна бележка за дроб, като знаменателят не трябва да бъде равен на нула. В бъдеще в много уравнения ще използваме това ограничение, наречено ODZ - диапазонът на допустимите стойности

Когато сравняваме две дроби с еднаква основа, но различни степени, по-голямата ще бъде дробта, чиято мощност е по-голяма, а по-малката ще бъде тази с по-малка степен; ако не само основите, но и степените са равни, фракцията се счита за еднаква.

Понякога в математиката трябва да повдигнете число на степен, която представлява дроб. Нашата статия ще ви каже как да повдигнете число на дробна степен и ще видите, че е много просто.

Число на дробна степен много рядко е цяло число. Често резултатът от такава конструкция може да бъде представен с известна степен на точност. Следователно, ако точността на изчислението не е посочена, тогава се намират тези стойности, които се изчисляват с точност до цели числа, и тези, които имат голям бройместата след десетичната запетая се оставят с корени. Например корен кубичен от седем или корен квадратен от две. Във физиката изчислените стойности на тези корени се закръглят до стотни, когато не е необходима различна степен на точност.

Алгоритъм за решение

1. Преобразуване на дробен индикатор в неправилен или правилна дроб. Част неправилна дроб, което е цяло число, не си струва да се подчертава. Ако дробна степен е представена като цяло число и дробна част, тогава тя трябва да се преобразува в неправилна дроб
2. Изчислете стойността на градуса даден номер, което е равно на числителя на правилна или неправилна дроб
3. Изчисляваме корена на числото, получено в стъпка 2, чийто индикатор е знаменателят на нашата дроб

Нека дадем примери за такива изчисления

Освен това за тези изчисления можете да изтеглите калкулатор на компютъра си или да използвате онлайн калкулатори, които например има много в интернет.