Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока:

1. Развитие на умения и способности за прилагане на тригонометрични формули за опростяване на тригонометрични изрази.
2. Прилагане на принципа на дейностен подход в обучението на учениците, развитие на комуникативни умения и толерантност на учениците, способността да слушат и чуват другите и да изразяват своето мнение.
3. Повишаване на интереса на учениците към математиката.

Тип урок:обучение.

Тип урок:урок за развитие на умения.

Форма на обучение:група.

Групов тип: група, седяща заедно. Ученици с различни нива на обучение, информираност по този предмет, съвместими ученици, което им позволява да се допълват и обогатяват взаимно.

Оборудване:дъска; парче тебешир; таблица "Тригонометър"; маршрутни листове; карти с букви (A, B, C.) за попълване на теста; табели с имената на екипажа; листове за оценка; таблици с имената на етапите от пътя; магнити, мултимедиен комплекс.

По време на часовете

Учениците седят на групи: 4 групи от по 5-6 души. Всяка група е екипаж на превозно средство с имена, съответстващи на имената на тригонометрични функции, ръководени от рулеви. На всеки екипаж се дава маршрутен лист и се определя целта: преминаване на дадения маршрут успешно, без грешки. Урокът е придружен с презентация.

I. Организационен момент.

Учителят съобщава темата на урока, целта на урока, хода на урока, плана за работа на групите, ролята на кормчиите.

Встъпително слово на учителя:

– Момчета! Запишете числото и темата на урока: "Тригонометрични функции на числен аргумент."

Днес в урока ще научим:

1. Изчислява стойностите на тригонометричните функции;
2. Опростете тригонометричните изрази.

За това трябва да знаете:

1. Дефиниции на тригонометрични функции
2. Тригонометрични отношения (формули).

Отдавна се знае, че една глава е добре, но две са по-добре, затова днес работите на групи. Известно е също, че пътя ще бъде овладян от ходещия. Но живеем в епоха на скорости и времето е ценно, което означава, че можем да кажем следното: „Ездачът ще овладее пътя“, така че днес ще имаме урок под формата на играта „Математическо рали“. Всяка група е екипажът на колата, воден от рулевия.

Целта на играта:

• успешно завършване на маршрута за всеки екипаж;
• разкриване на рали шампиони.

Името на екипажите съответства на марката на автомобила, на който правите пробега.

Екипажите и техните рулеви се представят:

• Екипаж - "синус"
• Екипаж - "косинус"
• Екипаж - "тангента"
• Екипаж - "котангенс"

Мотото на състезанието: "Бързай бавно!"

Трябва да направите бягане на "математическия терен" с много препятствия.

На всеки екипаж бяха издадени маршрутни листове. Екипажи, които знаят дефиниции и тригонометрични формули, ще могат да преодолеят препятствията.

По време на бягането всеки рулеви води екипажа, като помага и оценява приноса на всеки член на екипажа за преодоляване на маршрута под формата на "плюсове" и "минуси" в протокола. За всеки верен отговор групата получава “+”, неправилен “-”.

Трябва да преодолеете следните етапи от пътя:

I етап. SDA (правила на пътя).
II етап. инспекция.
III етап. Състезания по крос.
IV етап. Внезапното спиране е инцидент.
V етап. Спиране.
VI етап. Завършек.
VII етап. Резултати.

И така по пътя!

I етап. SDA (правила на пътя).

1) Във всеки екипаж рулевите раздават билети на всеки член на екипажа с теоретични въпроси:

1. Кажете дефиницията на синуса на числото t и неговите знаци в четвърти.
2. Кажете дефиницията на косинуса на числото t и неговите знаци в четвърти.
3. Назовете най-малката и най-голямата стойност на sin t и cos t.
4. Кажете определението на тангенса на числото t и неговите знаци в четвърти.
5. Кажете определението на котангенса на числото t и неговите знаци в четвъртинки.
6. Кажете ни как да намерим стойността на функцията sin t от известно число t.

2) Съберете "разпаднатите" формули. Има маса на тайна дъска (виж по-долу). Екипажите трябва да коригират формулите. Всеки отбор записва отговора на дъската под формата на ред със съответните букви (по двойки).

Отговор: ab, vg, de, hedgehog, zi, yk.

II етап. инспекция.

Устна работа: тест.

На тайната дъска пише: задача: опростете израза.

До него са написани отговори. Екипите определят верните отговори за 1 минута. и вземете съответния набор от букви.

Отговор: С.В.А.

III етап. Състезания по крос.

3 минути на екипажите за среща за решаване на задачата, след което представителите на екипажите записват решението на дъската. Когато представителите на екипажите приключат със записването на решението на първата задача, всички ученици (заедно с учителя) проверяват правилността и рационалността на решенията и ги записват в тетрадка. Рулевите оценяват приноса на всеки член на екипажа със знаците "+" и "-" в листовете за оценка.

Задачи от учебника:

• Екипаж - "синус": No 118 g;
• Екипаж - "косинус": No 122 а;
• Екипаж - "тангента": No 123 g;
• Екипаж - "котангенс": No125

IV етап. Внезапното спиране е инцидент.

– Колата ви се е развалила. Колата ви трябва да бъде поправена.

Дадени са отчети за всеки екипаж, но съдържат грешки. Открийте тези грешки и обяснете защо са направени. Изразите използват тригонометрични функциисъответстващи на марките на вашите машини.

V етап. Спиране.

Уморени сте и имате нужда от почивка. Докато екипажът почива, рулевите обобщават предварителните резултати: разглеждат „плюсовете“ и „минусите“ на членовете на екипажа и на екипажа като цяло.

За студенти:

3 или повече "+" - оценка "5";
2 "+" - оценка "4";
1 "+" - оценка "3".

За екипажи:"+" и "-" взаимно се компенсират. Броят се само останалите знаци.

Познай шарадата.

От числата взимаш първата ми сричка,
Вторият - от думата "горд".
И ти караш третия кон,
Четвъртото ще бъде блеене на овца.
Моята пета сричка е същата като първата
Последната буква в азбуката е шестата,
И ако познаете правилно,
Тогава по математика ще получите такъв раздел.
(тригонометрия)

Думата "тригонометрия" (от гръцките думи "тригонон" - триъгълник и "метрео" - измервам) означава "измерване на триъгълници". Възникването на тригонометрията се свързва с развитието на географията и астрономията - науката за движението на небесните тела, устройството и развитието на Вселената.

В резултат на направените астрономически наблюдения стана необходимо да се определи положението на светилата, да се изчислят разстояния и ъгли. Тъй като някои разстояния, например от Земята до други планети, не могат да бъдат измерени директно, учените започват да разработват методи за намиране на връзки между страните и ъглите на триъгълник, в който два върха са разположени на земята, а третият е планета или звезда. Такива връзки могат да бъдат получени чрез изучаване на различни триъгълници и техните свойства. Ето защо астрономическите изчисления доведоха до решението (т.е. намирането на елементите) на триъгълника. Това прави тригонометрията.

Началото на тригонометрията е открито в древен Вавилон. Вавилонските учени са успели да предскажат слънчеви и лунни затъмнения. Известна информация от тригонометричен характер се намира в древните паметници на други народи от древността.

VI етап. Завършек.

За да пресечете успешно финалната линия, остава да се стегнете и да направите „шут“. Много е важно в тригонометрията да можете бързо да определяте стойностите на sin t, cost, tgt, ctg t, където 0 ≤ t ≤ . Затворете учебниците.

Екипажите последователно назовават стойностите на функциите sin t, cost, tgt, ctg t, ако:

VII етап. Резултати.

Резултати от играта.

Рулевите предават листове за оценка. Определя се екипажът, станал шампион на „Математическо рали” и се характеризира работата на останалите групи. Следват имената на получилите оценки "5" и "4".

Резултати от урока.

- Момчета! Какво научихте в час днес? (опростяване на тригонометрични изрази; намиране на стойностите на тригонометричните функции). Какво трябва да знаете за това?

• определения и свойства на sin t, cos t, tg t, ctg t;
• отношения, свързващи стойностите на различни тригонометрични функции;
• знаци на тригонометрични функции по четвъртините на числова окръжност.
• стойности на тригонометричните функции на първата четвърт от числовата окръжност.

- Мисля, че разбирате, че формулите трябва да се познават добре, за да се прилагат правилно. Разбрахте също, че тригонометрията е много важна част от математиката, тъй като се използва в други науки: астрономия, география, физика и др.

Домашна работа:

• за ученици, получили "5" и "4": §6, № 128а, 130а, 134а.
• за други ученици: §6, #119g, #120g, #121g.

Тригонометрични функции на числен аргумент.

Тригонометрични функции на числов аргументTса функции на формата г= cos t,
г= синт, г= tg t, г=ctgt.

Използвайки тези формули, чрез известната стойност на една тригонометрична функция можете да намерите неизвестните стойности на други тригонометрични функции.

Обяснения.

1) Вземете формулата cos 2 t + sin 2 t = 1 и я използвайте, за да извлечете нова формула.

За да направим това, разделяме двете части на формулата на cos 2 t (за t ≠ 0, т.е. t ≠ π/2 + π к). Така:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Първият член е равен на 1. Знаем, че отношението на синус към конисус е тангенс, което означава, че вторият член е равен на tg 2 t. В резултат на това получаваме нова (и вече известна на вас) формула:

2) Сега разделяме cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (за t ≠ π к):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, където t ≠ π к + π к, к- цяло число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t

Отношението на косинус към синус е котангенс. означава:

Познавайки елементарните основи на математиката и след като сте научили основните формули на тригонометрията, можете лесно да извлечете повечето от другите тригонометрични идентичности сами. И това е дори по-добре, отколкото просто да ги запомните: наученото наизуст бързо се забравя, а разбраното се помни дълго, ако не и завинаги. Например, не е необходимо да запомните каква е сумата от единица и квадрат на тангенса. Забравено - лесно можете да си спомните, ако знаете най-простото нещо: тангенсът е отношението на синус към косинус. Освен това приложете просто правило за събиране на дроби с различни знаменатели - и получете резултата:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Също толкова лесно е да се намери сборът от единица и квадратът на котангенса, както и много други тъждества.

Тригонометрични функции на ъглов аргумент.

Във функциитепри = cosT, при = гряхT, при = tgT, при = ctgTпроменливаt може да бъде повече от просто числов аргумент. Може също да се счита за мярка на ъгъл - тоест ъглов аргумент.

С помощта на числова окръжност и координатна система можете лесно да намерите синуса, косинуса, тангенса, котангенса на всеки ъгъл. За целта трябва да бъдат изпълнени две важни условия:
1) върхът на ъгъла трябва да бъде центърът на кръга, който е и центърът на координатната ос;

2) една от страните на ъгъла трябва да бъде лъч с положителна ос х.

В този случай ординатата на точката, в която се пресичат окръжността и втората страна на ъгъла, е синусът на този ъгъл, а абсцисата на тази точка е косинусът на дадения ъгъл.

Обяснение. Нека начертаем ъгъл, едната страна на който е положителен лъч на оста х, а втората страна излиза от началото на координатната ос (и от центъра на окръжността) под ъгъл 30º (виж фигурата). Тогава точката на пресичане на втората страна с окръжността съответства на π/6. Знаем ординатата и абсцисата на тази точка. Те са косинус и синус на нашия ъгъл:

√3 1
--; --
2 2

И като знаете синуса и косинуса на ъгъл, можете лесно да намерите неговия тангенс и котангенс.

По този начин числов кръг, разположен в координатна система, е удобен начин за намиране на синус, косинус, тангенс или котангенс на ъгъл.

Но има и по-лесен начин. Възможно е да не се чертае кръг и координатна система. Можете да използвате прости и удобни формули:

Пример: намерете синуса и косинуса на ъгъл, равен на 60º.

Решение :

π 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Обяснение: открихме, че синусът и косинусът на ъгъл 60º съответстват на стойностите на окръжната точка π / 3. Освен това ние просто намираме стойностите на тази точка в таблицата - и по този начин решаваме нашия пример. Таблицата на синусите и косинусите на основните точки на числовата окръжност е в предишния раздел и на страницата "Таблици".

Определение. Тригонометричните функции на числен аргумент са едноименните тригонометрични функции на ъгъл, равен на радиани.

Нека изясним това определение с конкретни примери.

Пример 1. Изчислете стойността на . Тук под имаме предвид абстрактно ирационално число. По дефиниция. Така, .

Пример 2. Изчислете стойността на . Тук под 1,5 имаме предвид абстрактно число. Както е определено (вижте приложение II).

Пример 3. Изчислете стойността Подобно на предишния, получаваме (вижте Приложение II).

Така че в бъдеще под аргумента на тригонометричните функции ще разбираме ъгъл (дъга) или просто число, в зависимост от задачата, която решаваме. И в някои случаи аргументът може да бъде стойност, която има друго измерение, като време и т.н. Наричайки аргумента ъгъл (дъга), можем да означаваме под него числото, с което се измерва в радиани.

Основната тригонометрична идентичност в руските учебници по математика е отношението sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

Разгледахме най-основните тригонометрични функции (не се заблуждавайте, в допълнение към синус, косинус, тангенс и котангенс, има много други функции, но повече за тях по-късно), но засега ще разгледаме някои от основни свойства на вече изучените функции.

Тригонометрични функции на числов аргумент

Каквото и реално число t да се вземе, може да му бъде присвоено уникално определено число sin(t). Вярно е, че правилото за съответствие е доста сложно и се състои в следното.

За да намерите стойността на sin(t) по числото t, трябва:

1. позиционирайте числовата окръжност върху координатната равнина така, че центърът на окръжността да съвпада с началото, а началната точка А на окръжността да удря точката (1; 0);
2. намерете точка от окръжността, съответстваща на числото t;
3. намерете ординатата на тази точка.
4. тази ордината е желаният sin(t) .

Всъщност говорим за функцията s = sin(t) , където t е всяко реално число. Можем да изчислим някои стойности на тази функция (например sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \)и т.н.), знаем някои от неговите свойства.

По същия начин можем да предположим, че вече сме получили някои идеи за още три функции: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) Всички тези функции се наричат ​​тригонометрични функции на числения аргумент t .

Свързване на тригонометрични функции

Както, надявам се, предполагате, че всички тригонометрични функции са взаимосвързани и дори без да знаете стойността на едната, тя може да бъде намерена чрез другата.

Например, най-важната формула на цялата тригонометрия е основна тригонометрична идентичност:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Както можете да видите, като знаете стойността на синуса, можете да намерите стойността на косинуса и обратно. Също така много често срещани формули, свързващи синус и косинус с тангенс и котангенс:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

От последните две формули може да се изведе още една тригометрична идентичност, свързваща този път тангенса и котангенса:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Сега нека видим как тези формули работят на практика.

ПРИМЕР 1. Опростете израза: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) Първо, записваме тангенса, запазвайки квадрата:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Сега въвеждаме всичко под общ знаменател и получаваме:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

И накрая, както виждаме, числителят може да бъде намален до единица според основното тригонометрично тъждество, като резултат получаваме: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

б) С котангенса извършваме всички същите действия, само знаменателят вече няма да има косинус, а синус и отговорът ще се окаже така:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

След като изпълнихме тази задача, ние изведехме още две много важни формули, които свързват нашите функции, които също трябва да знаете като пръстите си:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Трябва да знаете наизуст всички формули, представени в рамката, в противен случай по-нататъшното изучаване на тригонометрията без тях е просто невъзможно. В бъдеще ще има повече формули и ще има много от тях и ви уверявам, че определено ще ги помните всички дълго време или може би няма да ги помните, но ВСЕКИ трябва да знае тези шест парчета !