Основни методи за решение тригонометрични уравненияса: редуциране на уравненията до най-простите (използвайки тригонометрични формули), въвеждане на нови променливи, факторизация. Нека да разгледаме използването им с примери. Обърнете внимание на формата на писане на решения на тригонометрични уравнения.

Необходимо условие успешно решениетригонометрични уравнения е познаване на тригонометрични формули (тема 13 от работа 6).

Примери.

1. Уравнения, сведени до най-простите.

1) Решете уравнението

Решение:

Отговор:

2) Намерете корените на уравнението

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащ на сегмента.

Решение:

Отговор:

2. Уравнения, които се свеждат до квадратни.

1) Решете уравнението 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение:Използвайки грях формула 2 x = 1 – cos 2 x, получаваме

Отговор:

2) Решете cos уравнение 2x = 1 + 4 cosx.

Решение:Използвайки cos формула 2x = 2 cos 2 x – 1, получаваме

Отговор:

3) Решете tgx уравнение– 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Отговор:

3. Хомогенни уравнения

1) Решете уравнението 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Нека cosx = 0, тогава 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с факта, че sin 2 x + cos 2 x = 1. Това означава cosx ≠ 0 и можем да разделим уравнението на cosx. Получаваме

Отговор:

2) Решете уравнението 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Използваме формулите 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получаваме

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Нека cosx = 0, тогава sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с факта, че sin 2 x + cos 2 x = 1.
Това означава cosx ≠ 0 и можем да разделим уравнението на cos 2 x . Получаваме

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Нека означим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
а) tgx = 4, x = arctan4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= arctan2 + 2 к, к .

Отговор: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к,к

4. Уравнения на формата а sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Решете уравнението.

Решение:

Отговор:

5. Уравнения, решени чрез факторизация.

1) Решете уравнението sin2x – sinx = 0.

Корен на уравнението f (х) = φ ( х) може да служи само като число 0. Нека проверим това:

cos 0 = 0 + 1 – равенството е вярно.

Числото 0 е единственият корен на това уравнение.

Отговор: 0.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Най-простите тригонометрични уравнения се решават, като правило, с помощта на формули. Нека ви напомня, че най-простите тригонометрични уравнения са:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

x е ъгълът, който трябва да се намери,
a е произволно число.

А ето и формулите, с които можете веднага да запишете решенията на тези най-прости уравнения.

За синус:

За косинус:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

За допирателна:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

За котангенс:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Всъщност това е, което е теоретична частрешаване на прости тригонометрични уравнения. Освен това всичко!) Изобщо нищо. Въпреки това, броят на грешките по тази тема е просто извън класациите. Особено ако примерът леко се отклонява от шаблона. Защо?

Да, защото много хора пишат тези писма, без изобщо да разбират значението им!Пише предпазливо, да не би да стане нещо...) Това трябва да се изясни. Тригонометрия за хората или все пак хора за тригонометрията!?)

Да го разберем?

Един ъгъл ще бъде равен на arccos a, второ: -arccos a.

И винаги ще се получава по този начин.За всякакви А.

Ако не ми вярвате, задръжте курсора на мишката върху снимката или докоснете снимката на таблета си.) Промених номера А към нещо негативно. Както и да е, имаме един ъгъл arccos a, второ: -arccos a.

Следователно отговорът винаги може да бъде записан като две серии от корени:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Нека комбинираме тези две серии в една:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

И това е всичко. Получихме обща формула за решаване на най-простото тригонометрично уравнение с косинус.

Ако разбирате, че това не е някаква свръхнаучна мъдрост, а просто съкратена версия на две серии от отговори,Ще можете да се справите и със задачи „C“. С неравенства, с избиране на корени от даден интервал... Там отговорът с плюс/минус не работи. Но ако се отнасяте към отговора по делови начин и го разделите на два отделни отговора, всичко ще бъде разрешено.) Всъщност, затова го разглеждаме. Какво, как и къде.

В най-простото тригонометрично уравнение

sinx = а

ние също получаваме две серии от корени. Винаги. И тези две серии също могат да бъдат записани в един ред. Само този ред ще бъде по-сложен:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но същността си остава същата. Математиците просто създадоха формула, за да направят един вместо два записа за поредица от корени. Това е всичко!

Да проверим математиците? И никога не се знае...)

В предишния урок беше обсъдено подробно решението (без никакви формули) на тригонометрично уравнение със синус:

Отговорът доведе до две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ако решим същото уравнение с помощта на формулата, получаваме отговора:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Всъщност това е недовършен отговор.) Ученикът трябва да знае това arcsin 0,5 = π /6.Пълният отговор би бил:

x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Това повдига интересен въпрос. Отговорете чрез x 1; х 2 (това е верният отговор!) и чрез самотен х (и това е верният отговор!) - едно и също нещо ли са или не? Сега ще разберем.)

Заменяме в отговора с х 1 стойности н =0; 1; 2; и т.н., броим, получаваме поредица от корени:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и така нататък.

Със същата замяна в отговор с х 2 , получаваме:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и така нататък.

Сега нека заместим стойностите н (0; 1; 2; 3; 4...) в общата формула за единичен х . Тоест, повдигаме минус едно на нулева степен, след това на първа, втора и т.н. Е, разбира се, заместваме 0 във втория член; 1; 2 3; 4 и т.н. И ние броим. Получаваме серията:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и така нататък.

Това е всичко, което можете да видите.) Обща формуладава ни абсолютно същите резултатикакто и двата отговора поотделно. Просто всичко наведнъж, подредено. Математиците не бяха заблудени.)

Могат да се проверят и формули за решаване на тригонометрични уравнения с тангенс и котангенс. Но ние няма.) Те вече са прости.

Изписах специално цялата тази замяна и проверка. Тук е важно да разберем едно нещо просто нещо: има формули за решаване на елементарни тригонометрични уравнения, само кратко резюме на отговорите.За тази краткост трябваше да вмъкнем плюс/минус в решението за косинус и (-1) n в решението за синус.

Тези вложки не пречат по никакъв начин в задачи, в които просто трябва да запишете отговора на елементарно уравнение. Но ако трябва да разрешите неравенство или тогава трябва да направите нещо с отговора: изберете корени на интервал, проверете за ODZ и т.н., тези вмъквания могат лесно да обезпокоят човек.

И така, какво трябва да направя? Да, или напишете отговора в две серии, или решете уравнението/неравенството с помощта на тригонометричната окръжност. Тогава тези вмъквания изчезват и животът става по-лесен.)

Можем да обобщим.

За решаване на най-простите тригонометрични уравнения има готови формули за отговор. Четири броя. Те са добри за незабавно записване на решението на уравнение. Например, трябва да решите уравненията:

sinx = 0,3

Лесно: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Няма проблем: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Лесно: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Остава един: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ако вие, блестящи със знания, незабавно напишете отговора:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

тогава вече светиш, това... онова... от локва.) Верен отговор: няма решения. не разбирам защо? Прочетете какво е аркосинус. Освен това, ако от дясната страна на оригиналното уравнение има таблични стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и така нататък. - отговорът през арките ще бъде недовършен. Арките трябва да бъдат преобразувани в радиани.

И ако срещнете неравенство, например

тогава отговорът е:

x πn, n ∈ Z

има редки глупости, да...) Тук трябва тригонометричен кръгреши. Какво ще правим в съответната тема.

За тези, които героично четат тези редове. Просто не мога да не оценя титаничните ви усилия. Бонус за вас.)

Бонус:

Когато записват формули в тревожна бойна ситуация, дори опитни маниаци често се объркват къде πn, И къде 2π n. Ето един лесен трик за вас. в всекиформули на стойност πn. С изключение на единствената формула с аркосинус. Стои там 2πn. двепеен. Ключова дума - две.В същата тази формула има двезнак в началото. Плюс и минус. Тук-там - две.

Така че, ако сте писали двезнак преди аркосинуса, по-лесно е да запомните какво ще се случи накрая двепеен. И това се случва и обратното. Човекът ще пропусне знака ± , стига до края, пише правилно две Pien, и той ще дойде на себе си. Има нещо напред двезнак! Човекът ще се върне в началото и ще поправи грешката! Като този.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Веднъж станах свидетел на разговор между двама кандидати:

– Кога трябва да добавите 2πn и кога трябва да добавите πn? Просто не мога да си спомня!

– И аз имам същия проблем.

Просто исках да им кажа: „Не е нужно да запаметявате, но разбирайте!“

Тази статия е предназначена предимно за ученици от гимназията и, надявам се, ще им помогне да решат най-простите тригонометрични уравнения с „разбиране“:

Цифров кръг

Наред с понятието числова ос съществува и понятието числов кръг. Както знаем, в правоъгълна координатна система окръжност с център в точка (0;0) и радиус 1 се нарича единична окръжност.Нека си представим числовата линия като тънка нишка и я навийте около този кръг: началото (точка 0), поставете го в "правилната" точка единична окръжност, ще навием положителната полуос обратно на часовниковата стрелка, а отрицателната по посока (фиг. 1). Такава единична окръжност се нарича числова окръжност.

Свойства на числовата окръжност

• Всяко реално число лежи в една точка от числовата окръжност.
• Има безкраен брой реални числа във всяка точка на числовата окръжност. Тъй като дължината на единичната окръжност е 2π, разликата между произволни две числа в една точка от окръжността е равна на едно от числата ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Нека заключим: знаейки едно от числата на точка А, можем да намерим всички числа на точка А.

Нека начертаем диаметъра на АС (фиг. 2). Тъй като x_0 е едно от числата на точка A, то числата x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... и само те ще бъдат числата на точка C. Нека изберем едно от тези числа, да речем x_0+π, и да го използваме, за да запишем всички числа на точка C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ З. Обърнете внимание, че числата в точки A и C могат да се комбинират в една формула: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (за k = 0; ±2; ±4; ... получаваме числата на точка A, а за k = ±3; … – номера на точка C).

Нека заключим: знаейки едно от числата в една от точките A или C на диаметъра AC, можем да намерим всички числа в тези точки.

• Две противоположни числа са разположени в точки от окръжността, които са симетрични спрямо абсцисната ос.

Нека начертаем вертикална хорда AB (фиг. 2). Тъй като точките A и B са симетрични спрямо оста Ox, числото -x_0 се намира в точка B и следователно всички числа на точка B са дадени по формулата: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Записваме числата в точки A и B с помощта на една формула: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Нека заключим: знаейки едно от числата в една от точките A или B на вертикалната хорда AB, можем да намерим всички числа в тези точки. Да разгледаме хоризонталната хорда AD и да намерим номерата на точка D (фиг. 2). Тъй като BD е диаметър и числото -x_0 принадлежи на точка B, тогава -x_0 + π е едно от числата на точка D и следователно всички числа на тази точка са дадени по формулата x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Числата в точки A и D могат да бъдат записани с помощта на една формула: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; … получаваме номерата на точка A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – номерата на точка D).

Нека заключим: Познавайки едно от числата в една от точките A или D на хоризонталната хорда AD, можем да намерим всички числа в тези точки.

Шестнадесет основни точки на числовия кръг

На практика решаването на повечето от най-простите тригонометрични уравнения включва шестнадесет точки върху окръжност (фиг. 3). Какви са тези точки? Червени, сини и зелени точки разделят кръга на 12 равни части. Тъй като дължината на полуокръжността е π, тогава дължината на дъгата A1A2 е π/2, дължината на дъгата A1B1 е π/6, а дължината на дъгата A1C1 е π/3.

Сега можем да посочим едно число наведнъж:

π/3 на C1 и

Върховете на оранжевия квадрат са средните точки на дъгите на всяка четвърт, следователно дължината на дъгата A1D1 е равна на π/4 и следователно π/4 е едно от числата на точка D1. Използвайки свойствата на числовата окръжност, можем да използваме формули, за да запишем всички числа във всички маркирани точки от нашата окръжност. Координатите на тези точки също са отбелязани на фигурата (ще пропуснем описанието на тяхното получаване).

След като усвоихме горното, сега имаме достатъчна подготовка за решаване на специални случаи (за девет стойности на числото а)най-простите уравнения.

Решете уравнения

1)sinx=1⁄(2).

– Какво се иска от нас?

– Намерете всички онези числа x, чийто синус е 1/2.

Нека си припомним дефиницията на синуса: sinx – ордината на точката от числовата окръжност, върху която се намира числото x. Имаме две точки на окръжността, чиято ордината е равна на 1/2. Това са краищата на хоризонталната хорда B1B2. Това означава, че изискването „решете уравнението sinx=1⁄2” е еквивалентно на изискването „намерете всички числа в точка B1 и всички числа в точка B2.”

2)sinx=-√3⁄2 .

Трябва да намерим всички числа в точки C4 и C3.

3) sinx=1. На окръжността имаме само една точка с ордината 1 - точка A2 и следователно трябва да намерим само всички числа на тази точка.

Отговор: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Само точка A_4 има ордината -1. Всички числа от тази точка ще бъдат конете на уравнението.

Отговор: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

На окръжността имаме две точки с ордината 0 - точките A1 и A3. Можете да посочите числата във всяка от точките поотделно, но като се има предвид, че тези точки са диаметрално противоположни, по-добре е да ги комбинирате в една формула: x=πk,k∈Z.

Отговор: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Нека си спомним дефиницията на косинус: cosx е абсцисата на точката от числовата окръжност, върху която се намира числото x.Върху окръжността имаме две точки с абсцисата √2⁄2 – краищата на хоризонталната хорда D1D4. Трябва да намерим всички числа в тези точки. Нека ги запишем, като ги комбинираме в една формула.

Отговор: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Трябва да намерим числата в точки C_2 и C_3.

Отговор: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Само точки A2 и A4 имат абциса 0, което означава, че всички числа във всяка от тези точки ще бъдат решения на уравнението.
.

Решенията на уравнението на системата са числата в точки B_3 и B_4 на неравенството cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Отговор: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Обърнете внимание, че за всяка допустима стойност на x вторият фактор е положителен и следователно уравнението е еквивалентно на системата

Решенията на системното уравнение са броят на точките D_2 и D_3. Числата на точка D_2 не удовлетворяват неравенството sinx≤0,5, но числата на точка D_3 го удовлетворяват.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.