Проблем 16:

Възможно ли е да обмените 25 рубли с десет банкноти с номинал от 1, 3 и 5 рубли? Решение:

Отговор: Не

Петя купи обща тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници по ред с числа от 1 до 192. Вася откъсна 25 листа от тази тетрадка и събра всичките 50 числа, написани на тях. Можеше ли да успее през 1990 г.? Решение:

На всеки лист сборът от номерата на страниците е нечетен, а сборът от 25 нечетни числа е нечетен.

Произведението на 22 цели числа е 1. Докажете, че сборът им не е нула. Решение:

Сред тези числа - четен брой“минус единици”, а за да е сборът равен на нула, те трябва да са точно 11.

Възможно ли е да се образува магически квадрат от първите 36 прости числа? Решение:

Сред тези числа едно (2) е четно, а останалите са нечетни. Следователно в реда, където има две, сборът на числата е нечетен, а в други е четен.

Числата от 1 до 10 са записани в редица между тях, така че стойността на получения израз да е равна на нула?

Забележка: Моля, обърнете внимание на това отрицателни числасъщо са четни и нечетни. Решение:

Всъщност сборът на числата от 1 до 10 е 55 и сменяйки знаците в него, ние променяме целия израз в четен номер.

Скакалецът скача по права линия, като първия път е скочил 1 см в някаква посока, вторият път - 2 см и т.н. Докажете, че след 1985 скока той не може да стигне там, където е започнал. Решение:

Забележка: Сборът 1 + 2 + … + 1985 е нечетен.

Числата 1, 2, 3, ..., 1984, 1985 са написани на дъската. Имате право да изтриете произволни две числа от дъската и вместо това да запишете модула на тяхната разлика. В крайна сметка на дъската ще остане само едно число. Може ли да е нула? Решение:

Проверете дали горните операции не променят паритета на сумата от всички числа, написани на дъската.

Възможно ли е да се покрие шахматна дъска с 1 × 2 домино, така че само полета a1 и h8 да останат свободни? Решение:

Всяко домино покрива едно черно и едно бяло поле, а при изхвърляне на полета a1 и h8 има 2 черни полета по-малко от белите.

Към 17-цифреното число добавихме число, записано със същите цифри, но в обратен ред. Докажете, че поне една цифра от получения сбор е четна. Решение:

Разгледайте два случая: сумата от първата и последната цифра на числото е по-малка от 10, а сумата от първата и последната цифра на числото не е по-малка от 10. Ако приемем, че всички цифри на сумата са нечетни, тогава в първия случай не трябва да има нито един пренос в цифрите (което е очевидно, води до противоречие), а във втория случай наличието на пренасяне при движение отдясно наляво или отляво надясно се редува с липсата на пренасяне и в резултат получаваме, че цифрата на сумата в деветата цифра е задължително четна.

В народния отряд има 100 души, като всяка вечер трима от тях дават дежурство. Възможно ли е след известно време да се окаже, че всеки е бил дежурен с всеки точно по веднъж? Решение:

Тъй като на всяко задължение, в което участва този човек, той е дежурен с още двама, след което всички останали могат да бъдат разделени на двойки. Все пак 99 е нечетно число.

На правата има 45 точки, които лежат извън отсечката AB. Докажете, че сборът от разстоянията от тези точки до точка A не е равен на сбора от разстоянията от тези точки до точка B. Решение:

За всяка точка X, лежаща извън AB, имаме AX - BX = ± AB. Ако приемем, че сумите на разстоянията са равни, тогава получаваме, че изразът ± AB ± AB ± … ± AB, който включва 45 членове, е равен на нула. Но това е невъзможно.

Има 9 числа, подредени в кръг - 4 единици и 5 нули. Всяка секунда върху числата се извършва следната операция: между съседни числа се поставя нула, ако са различни, и единица, ако са равни; след това старите номера се изтриват. Могат ли всички числа да станат еднакви след известно време? Решение:

Ясно е, че комбинация от девет единици не може да се получи преди девет нули. Ако имаше девет нули, тогава при предишния ход нулите и единиците трябваше да се редуват, което е невъзможно, тъй като има само нечетен брой от тях.

25 момчета и 25 момичета седят на кръгла маса. Докажете, че някои от хората, които седят на масата, имат и двете момчета за съседи. Решение:

Нека проведем нашето доказателство от противно. Нека номерираме всички седнали на масата по ред, започвайки от някое място. Ако е включено k-то мястоседи момче, тогава е ясно, че момичетата седят на (k - 2)-то и (k + 2)-то място. Но тъй като има равен брой момчета и момичета, тогава за всяко момиче, което седи на n-то място, е вярно, че има момчета, седящи на (n - 2)-то и (n + 2)-то място. Ако сега разгледаме само тези 25 души, които седят на „четни“ места, ще открием, че сред тях момчета и момичета се редуват, ако заобиколим масата в някаква посока. Но 25 е нечетно число.

Охлювът пълзи по самолета с постоянна скорост, завъртайки се под прав ъгъл на всеки 15 минути. Докажете, че тя може да се върне в началната точка само след цял брой часове. Решение:

Ясно е, че броят на областите, в които охлювът е пълзял нагоре или надолу, е равен на броя на областите, в които е пълзял надясно или наляво. Остава само да отбележим, че a е четно.

Три скакалци играят скок на права линия. Всеки път единият прескача другия (но не и двамата наведнъж!). Могат ли да се окажат на същите места след скока от 1991 г.? Решение:

Нека означим скакалците A, B и C. Нека наречем разположението на скакалците ABC, BCA и CAB (отляво надясно) правилно, а ACB, BAC и CBA неправилно. Лесно е да се види, че с всеки скок типът на подредбата се променя.

Има 101 монети, от които 50 фалшиви, различаващи се по тегло с 1 грам от истинските. Петя взе една монета и при едно претегляне на кантар със стрелка, показваща разликата в грамажите на чашите, иска да установи дали е фалшива. Ще успее ли да го направи? Решение:

Трябва да оставите тази монета настрана и след това да разделите останалите 100 монети на две купчини по 50 монети всяка и да сравните теглата на тези купчини. Ако те се различават с четен брой грамове, тогава монетата, която ни интересува, е истинска. Ако разликата в теглата е нечетна, тогава монетата е фалшива.

Възможно ли е да се запишат веднъж подред числата от 1 до 9, така че да има нечетен брой цифри между едно и две, две и три, ..., осем и девет? Решение:

В противен случай всички числа в ред биха били на места с еднакъв паритет.

Тази работа Петя купи обща тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници по ред с числа от 1 до 192. Вася откъсна (Тест) по темата (AHD и финансовия анализ), е изработена по поръчка от специалисти на нашата фирма и е преминала успешна защита. Работа - Петя купи обща тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници по ред с числа от 1 до 192. Вася разкъса ACD по темата и финансовият анализ отразява нейната тема и логическия компонент на нейното разкриване, Разкрива се същността на разглеждания въпрос, подчертават се основните положения и водещи идеи в тази тема.
Работа - Петя закупи обща тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници по ред с числа от 1 до 192. Вася я разкъса, съдържа: таблици, рисунки, най-новите литературни източници, годината на предаване на работата и защитена - 2017 г. В работата Петя закупи общ обем на тетрадка от 96 листа и номерира всичките му страници по ред с числа от 1 до 192. Вася извади (AHD и финансов анализ) разкрива актуалността на изследователската тема, отразява степен на развитие на проблема, основана на задълбочена оценка и анализ на научните и методическа литература, в работата по темата за ACD и финансов анализ, обектът на анализ и неговите въпроси са изчерпателно разгледани, както от теоретична, така и от практическа страна, формулирани са целта и конкретните цели на разглежданата тема, има логика на представяне на материала и неговата последователност.

Раздели: Математика

Уважаеми участник в олимпиадата!

Ученическата олимпиада по математика се провежда в един кръг.
Има 5 задачи с различни нива на трудност.
Не се предявяват никакви специални изисквания по отношение на изпълнението на работата. Формата на представяне на решенията на проблемите, както и методите за решаване, могат да бъдат всякакви. Ако имате индивидуални мисли относно конкретна задача, но не можете да завършите решението, не се колебайте да изразите всичките си мисли. Дори частично решените задачи ще получат съответния брой точки.
Започнете да решавате проблеми, които смятате за по-лесни, и след това преминете към останалите. По този начин ще спестите време за работа.

Желаем Ви успех!

Училищен етап на Всеруската олимпиада за ученици по математика

5 клас.

Упражнение 1. В израза 1*2*3*4*5 заменете „*“ със знаци за действие и поставете скобите така. За да получите израз, чиято стойност е 100.

Задача 2. Необходимо е да се дешифрира нотацията на аритметично равенство, в което числата се заменят с букви, а различните числа се заменят с различни букви, а еднаквите се заменят с еднакви.

ПЕТ - ТРИ = ДВЕИзвестно е, че вместо писмо Атрябва да замените числото 2.

Задача 3. Как можете да използвате чашна везна без тежести, за да разделите 80 kg пирони на две части - 15 kg и 65 kg?

Задача 4. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на две равни части, така че всяка част да има една звезда. Можете да режете само по линиите на мрежата.

Задача 5. Чаша и чинийка заедно струват 25 рубли, а 4 чаши и 3 чинийки струват 88 рубли. Намерете цената на чашата и цената на чинийката.

6 клас.

Упражнение 1. Сравнете дроби, без да ги привеждате до общ знаменател.

Задача 2. Необходимо е да се дешифрира нотацията на аритметично равенство, в което числата се заменят с букви, а различните числа се заменят с различни букви, а еднаквите се заменят с еднакви. Приема се, че първоначалното равенство е вярно и е написано според обичайните правила на аритметиката.

РАБОТА
+ВОЛЯ
КЪСМЕТ

Задача 3. Трима приятели дойдоха в летния лагер, за да се отпуснат: Миша, Володя и Петя. Известно е, че всеки от тях носи едно от следните фамилни имена: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша не е Герасимов. Бащата на Володя е инженер. Володя е в 6 клас. Герасимов учи в 5 клас. Бащата на Иванов е учител. Какво е фамилното име на всеки от тримата приятели?

Задача 4. Разделете фигурата по линиите на мрежата на четири равни части, така че всяка част да съдържа една точка.

Задача 5. Скачащото водно конче спеше половината от времето на всеки ден от червеното лято, танцуваше през една трета от времето на всеки ден и пееше през една шеста от времето. Тя реши да посвети останалото си време на подготовка за зимата. По колко часа на ден Dragonfly се подготвяше за зимата?

7 клас.

Упражнение 1. Решете пъзела, ако знаете, че най-голямата цифра в числото СИЛЕН е 5:

РЕШИ
АКО
СИЛЕН

Задача 2. Решете уравнението│7 - x│ = 9,3

Задача 3. След седем измивания дължината, ширината и дебелината на сапуна бяха наполовина. За колко измивания ще стигне останалият сапун?

Задача 4 . Разделете правоъгълник от 4 × 9 клетки по страните на клетките на две равни части, така че след това да можете да направите квадрат от тях.

Задача 5. Дървеният куб беше боядисан в бяло от всички страни и след това нарязан на 64 еднакви кубчета. Колко кубчета бяха оцветени от трите страни? От двете страни?
От една страна? Колко кубчета не са оцветени?

8 клас.

Упражнение 1. С кои две цифри завършва числото 13?

Задача 2. Намалете фракцията:

Задача 3. Училищният драматичен клуб се готви да постави откъс от приказката на А.С. Пушкин за цар Салтан, реши да разпредели ролите между участниците.
„Аз ще бъда Черномор“, каза Юра.
„Не, аз ще бъда Черномор“, каза Коля.
„Добре“, призна му Юра, „мога да играя Гуидон.“
„Е, мога да стана Салтан“, Коля също показа съответствие.
- Съгласен съм да бъда само Гуидон! - каза Миша.
Желанията на момчетата бяха удовлетворени. Как бяха разпределени ролите?

Задача 4. IN равнобедрен триъгълник ABC с основа AB = 8m, начертана е медианата AD. Периметърът на триъгълник ACD е с 2m по-голям от периметъра на триъгълник ABD. Намерете AC.

Задача 5. Николай купи обща тетрадка от 96 листа и номерира страниците от 1 до 192. Племенникът Артур откъсна 35 листа от тази тетрадка и събра всичките 70 числа, написани на тях. Можеше ли да успее през 2010 г.?

9 клас.

Упражнение 1. Намерете последната цифра от 1989 1989.

Задача 2. Сумата от корените на някои квадратно уравнениее 1, а сборът на техните квадрати е 2. Какъв е сборът на техните кубове?

Задача 3. Използвайки три медиани m a, m b и m c ∆ ABC, намерете дължината на страната AC = b.

Задача 4. Намалете фракцията .

Задача 5. По колко начина можете да изберете гласна и съгласна в думата “камзол”?

10 клас.

Упражнение 1. В момента има монети от 1, 2, 5, 10 рубли. Избройте всички парични суми, които могат да бъдат платени както с четен, така и с нечетен брой монети.

Задача 2. Докажете, че 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 се дели на 6.

Задача 3. В четириъгълник ABCDдиагоналите се пресичат в точка М. Известно е, че AM = 1,
VM = 2, SM = 4. На какви стойности DMчетириъгълник ABCDтрапец ли е?

Задача 4. Решете системата от уравнения

Задача 5. Тридесет ученици - десетокласници и единадесетокласници, си подадоха ръка. Оказа се, че всеки десетокласник се ръкува с осем единадесетокласници, а всеки единадесетокласник със седем десетокласници. Колко бяха десетокласниците и колко единадесетокласниците?