В тази статия ще намерим отговори на въпроси как да създадем проекция на точка върху равнина и как да определим координатите на тази проекция. В теоретичната част ще разчитаме на понятието проекция. Ще дефинираме термините и ще предоставим информация с илюстрации. Нека затвърдим придобитите знания чрез решаване на примери.

Проекция, видове проекция

За удобство при разглеждане на пространствени фигури се използват чертежи, изобразяващи тези фигури.

Определение 1

Проекция на фигура върху равнина– рисуване на пространствена фигура.

Очевидно има редица правила, използвани за конструиране на проекция.

Определение 2

Проекция– процесът на конструиране на чертеж на пространствена фигура върху равнина с помощта на правила за конструиране.

Проекционна равнина- това е равнината, в която се изгражда изображението.

Използването на определени правила определя вида на проекцията: централенили паралелен.

Специален случай на паралелна проекция е перпендикулярна проекция или ортогонална: в геометрията се използва главно. Поради тази причина самото прилагателно „перпендикулярно“ често се пропуска в речта: в геометрията те просто казват „проекция на фигура“ и под това имат предвид конструиране на проекция, използвайки метода на перпендикулярна проекция. В специални случаи, разбира се, може да се договори и нещо друго.

Нека отбележим факта, че проекцията на фигура върху равнина е по същество проекция на всички точки на тази фигура. Следователно, за да можете да изучавате пространствена фигура в чертеж, е необходимо да придобиете основното умение за проектиране на точка върху равнина. За какво ще говорим по-долу.

Нека припомним, че най-често в геометрията, когато се говори за проекция върху равнина, те имат предвид използването на перпендикулярна проекция.

Нека направим конструкции, които ще ни дадат възможност да получим дефиниция на проекцията на точка върху равнина.

Да кажем, че е дадено триизмерно пространство и в него има равнина α и точка M 1, която не принадлежи на равнината α. Начертайте права през дадената точка М Аперпендикулярна на дадена равнина α. Означаваме пресечната точка на права линия a и равнина α като H 1, тя ще служи като основа на перпендикуляр, спуснат от точка M 1 към равнина α;

Ако е дадена точка M 2, принадлежаща на дадена равнина α, то M 2 ще служи като проекция на себе си върху равнината α.

Определение 3

- това е или самата точка (ако принадлежи на дадена равнина), или основата на перпендикуляр, пуснат от дадена точка към дадена равнина.

Намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина, примери

Нека в тримерното пространство са дадени: правоъгълна координатна система O x y z, равнина α, точка M 1 (x 1, y 1, z 1). Необходимо е да се намерят координатите на проекцията на точка M 1 върху дадена равнина.

Решението следва очевидно от дадената по-горе дефиниция на проекцията на точка върху равнина.

Нека означим проекцията на точката M 1 върху равнината α като H 1 . Съгласно дефиницията H 1 е пресечната точка на дадена равнина α и права a, прекарана през точката M 1 (перпендикулярна на равнината). Тези. Координатите на проекцията на точка M 1, от която се нуждаем, са координатите на пресечната точка на права линия a и равнина α.

По този начин, за да намерите координатите на проекцията на точка върху равнина, е необходимо:

Получаване на уравнението на равнината α (ако не е посочено). Тук ще ви помогне статия за видовете уравнения на равнината;

Определете уравнението на права линия a, минаваща през точка M 1 и перпендикулярна на равнината α (проучете темата за уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена равнина);

Намерете координатите на пресечната точка на правата a и равнината α (статия - намиране на координатите на пресечната точка на равнината и правата). Получените данни ще бъдат координатите, от които се нуждаем за проекцията на точка M 1 върху равнината α.

Нека да разгледаме теорията с практически примери.

Пример 1

Определете координатите на проекцията на точка M 1 (- 2, 4, 4) върху равнината 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Решение

Както виждаме, уравнението на равнината ни е дадено, т.е. няма нужда да се компилира.

Нека запишем каноничните уравнения на права a, минаваща през точката M 1 и перпендикулярна на дадената равнина. За тези цели определяме координатите на насочващия вектор на правата линия a. Тъй като права a е перпендикулярна на дадена равнина, векторът на посоката на права a е нормалният вектор на равнината 2 x - 3 y + z - 2 = 0. по този начин a → = (2, - 3, 1) – насочващ вектор на права a.

Сега ще съставим каноничните уравнения на права в пространството, минаваща през точката M 1 (- 2, 4, 4) и имаща насочващ вектор a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

За да намерите необходимите координати, следващата стъпка е да определите координатите на пресечната точка на правата x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 и равнината 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . За тези цели преминаваме от каноничните уравнения към уравненията на две пресичащи се равнини:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Нека създадем система от уравнения:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

И нека го решим с помощта на метода на Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

По този начин необходимите координати на дадена точка M 1 на дадена равнина α ще бъдат: (0, 1, 5).

отговор: (0 , 1 , 5) .

Пример 2

В правоъгълна координатна система O x y z на триизмерното пространство са дадени точки A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) и M 1 (-1, -2, 5). Необходимо е да се намерят координатите на проекцията M 1 върху равнината A B C

Решение

Първо, записваме уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Нека запишем параметричните уравнения на правата a, която ще минава през точката M 1 перпендикулярно на равнината A B C. Равнината x – 2 y + 2 z – 4 = 0 има нормален вектор с координати (1, - 2, 2), т.е. вектор a → = (1, - 2, 2) – насочващ вектор на права линия a.

Сега, като имаме координатите на точката на линията M 1 и координатите на вектора на посоката на тази линия, записваме параметричните уравнения на линията в пространството:

След това определяме координатите на пресечната точка на равнината x – 2 y + 2 z – 4 = 0 и правата линия

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

За да направите това, заместваме в уравнението на равнината:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Сега, използвайки параметричните уравнения x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, намираме стойностите на променливите x, y и z за λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Така проекцията на точка M 1 върху равнината A B C ще има координати (- 2, 0, 3).

отговор: (- 2 , 0 , 3) .

Нека се спрем отделно на въпроса за намирането на координатите на проекцията на точка върху координатни равнини и равнини, които са успоредни на координатните равнини.

Нека са дадени точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и координатни равнини O x y, O x z и O y z. Координатите на проекцията на тази точка върху тези равнини ще бъдат съответно: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) и (0, y 1, z 1). Нека разгледаме и равнини, успоредни на дадените координатни равнини:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

И проекциите на дадена точка M 1 върху тези равнини ще бъдат точки с координати x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 и - D A, y 1, z 1.

Нека демонстрираме как е получен този резултат.

Като пример, нека дефинираме проекцията на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху равнината A x + D = 0. Останалите случаи са подобни.

Дадената равнина е успоредна на координатната равнина O y z и i → = (1, 0, 0) е нейният нормален вектор. Същият вектор служи като насочващ вектор на правата, перпендикулярна на равнината O y z. Тогава параметричните уравнения на права линия, начертана през точката M 1 и перпендикулярна на дадена равнина, ще имат формата:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Нека намерим координатите на пресечната точка на тази права и дадената равнина. Нека първо заместим равенствата в уравнението A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 и да получим: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

След това изчисляваме необходимите координати, като използваме параметричните уравнения на правата линия с λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Тоест проекцията на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху равнината ще бъде точка с координати - D A, y 1, z 1.

Пример 2

Необходимо е да се определят координатите на проекцията на точка M 1 (- 6, 0, 1 2) върху координатната равнина O x y и върху равнината 2 y - 3 = 0.

Решение

Координатната равнина O x y ще съответства на непълното общо уравнение на равнината z = 0. Проекцията на точка M 1 върху равнината z = 0 ще има координати (- 6, 0, 0).

Уравнението на равнината 2 y - 3 = 0 може да бъде записано като y = 3 2 2. Сега просто запишете координатите на проекцията на точка M 1 (- 6, 0, 1 2) върху равнината y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

отговор:(- 6 , 0 , 0) и - 6 , 3 2 2 , 1 2

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Позицията на права линия в пространството се определя от позицията на двете й точки. Следователно, за да се конструират проекции на права линия, е достатъчно да се конструират проекции на две точки, принадлежащи към нея, и да се свържат една с друга.

В зависимост от позицията спрямо проекционните равнини се разграничават прави линии с общо и частно положение.

Прави линии лична ситуацияуспоредни на една или две проекционни равнини.

Прави равни линии- прави линии, успоредни на една проекционна равнина и наклонени към другите две. Има три вида такива линии.

ш,наречен хоризонталнаправ и се обозначава с буквата до(фиг. 3.1). Неговият сегмент се проектира върху равнината schбез изкривяване. Ъгълът между неговата хоризонтална проекция до "и ос ОХравен на ъгъла на наклон f 2 на хоризонталната права линия към равнината n 2,и ъгълът между неговата проекция до“ и оста OU -ъгъл на наклон f 3 спрямо равнината ts 3. Всички точки на една и съща хоризонтална права линия имат една и съща координата ъ

Права, успоредна на равнината n 2,наречен челенправи и се обозначават с буквата / (фиг. 3.2). Неговият сегмент се проектира без изкривяване върху равнината 7G 2 - Ъглите на наклона на челната линия КЪМ РАВНИНАТА се проектират върху същата равнина в тяхната истинска стойност Л(ъгъл f[) и равнина l 3 (ъгъл f 3). Всички точки на една и съща челна права линия имат една и съща координата u.

Нарича се права, успоредна на равнината l 3 профилдиректен r(фиг. 3.3). Неговият сегмент се проектира върху равнината l 3 без изкривяване. На това същото

равнината се проектира в истинската стойност на ъглите на наклона на профилната права КЪМ РАВНИНАТА 7Гі (ъгъл (pi) и равнината l 2 (ъгъл (p 2). Всички точки на профилната права линия имат една и съща координата X.

Проектиране на прави линии- прави линии, перпендикулярни на една проекционна равнина и успоредни на другите две.

Права, перпендикулярна на равнината l, се нарича хоризонтално проектирани(фиг. 3.4). Той се проектира върху равнината l i под формата на точка, а неговите фронтални и профилни проекции са успоредни на оста 01. Сегмент от хоризонтално проектирана права линия се проектира без изкривяване върху равнините l 2 и lz. Следователно хоризонтално издадената линия е както фронтална, така и профилна rправа линия.

Нарича се права линия, перпендикулярна на равнината l 2 фронтално издадени(фиг. 3.5). Той се проектира върху равнината l 2 под формата на точка, а неговите хоризонтални и профилни проекции са успоредни на оста о тиСегмент от фронтално проектирана права линия се проектира без изкривяване върху равнините Li и l 3. Фронтално издадената линия също е хоризонтална дои профил rдиректен.

Нарича се права линия, перпендикулярна на равнината l 3 профилно проектиране(фиг. 3.6). Профилната му проекция е точка, а хоризонталната и фронталната проекция са

на i са успоредни на оста ОХСегмент от такава права линия се проектира в истинската стойност на равнината A] и 712, следователно той също е хоризонтален И,и челен/прав.

Права линия, която не е успоредна на никоя от основните проекционни равнини, се нарича права обща позиция(фиг. 3.7). В самолет П, П 2и 7G 3 неговият сегмент е проектиран с изкривяване, тъй като е наклонен към тях и ъглите на наклон в чертежа също са изкривени. По този начин от чертежа на права линия в общо положение е невъзможно да се измери дължината на нейния сегмент или ъглите на наклон спрямо проекционните равнини. За определяне на тези количества са необходими допълнителни конструкции.

Директни проекции.

Обратимост на чертежа

Обратимост на чертежа. Чрез проектиране върху една проекционна равнина се получава изображение, което не позволява недвусмислено определяне на формата и размерите на изобразения обект. Проекцията A 1 (виж фиг. 1.4.) Не определя позицията на самата точка в пространството, тъй като не е известно колко далеч е отдалечена от проекционната равнина P 1. В такива случаи говорим за необратимострисунка , тъй като е невъзможно да се възпроизведе оригиналът с помощта на такъв чертеж. За да се премахне несигурността, изображенията се допълват с необходимите данни. На практика се използват различни методи за допълване на чертеж с една проекция.

ГЛАВА 2

Правата линия може да се разглежда като резултат от пресичането на две равнини (Фигура 2.1, 2.2.).

Правата линия в пространството е безгранична. Ограничената част от линията се нарича сегмент.

Проектирането на линия се свежда до конструиране на проекции на две произволни точки от нея, тъй като две точки напълно определят позицията на линията в пространството. Чрез спускане на перпендикулярите от точки A и B (фиг. 2.2.) до пресечната точка с равнината P 1 се определят техните хоризонтални проекции A 1 и B 1. Отсечка A 1 B 1 – хоризонтална проекция на права AB. Подобен резултат се получава, като се прокарат перпендикуляри на P 1 от произволни точки на правата AB. Комбинацията от тези перпендикуляри (проектиращи лъчи) образува хоризонтално проектирана равнина a, която се пресича с равнина P 1 по права линия A 1 B 1 - хоризонталната проекция на права AB. Въз основа на същите съображения се получава фронтална проекция A 2 B 2 на права AB (Фигура 2.2).

Една проекция на права линия не определя нейното положение в пространството. Действително, сегментът A 1 B 1 (фиг. 2.1.) може да бъде проекция на произволен сегмент, лежащ в проектиращата равнина a. Позицията на линията в пространството се определя еднозначно от комбинацията на двете й проекции. Реконструирайки от хоризонталната точка A 1 B 1 и фронталните P 1 и P 2, получаваме две проектиращи равнини a и b, пресичащи се по една права линия AB.

Комплексният чертеж (Фигура 2.3) показва права линия AB в общо положение, където A 1 B 1 е хоризонтална, A 2 B 2 е фронтална и A 3 B 3 е профилна проекция на сегмента. Да се ​​построи третата проекция на отсечката. За да конструирате третата проекция на сегмент от права линия, като използвате две данни, можете да използвате същите методи като за конструиране на третата проекция на точка: проекция (фиг. 2.4.), координата (фиг. 2.5.) и използване на постоянна права линия на чертежа (фиг. 2.6.).

2.2. Позицията на линията спрямо проекционната равнина.

На фиг. 1.5. изобразява паралелепипед с отрязан връх и произволна триъгълна пирамида. Ръбовете на паралелепипед и пирамида заемат различни позиции в пространството спрямо проекционните равнини. За да изграждате и четете чертежи, трябва да можете да анализирате позициите на права линия. Според положението си в пространството правите линии се делят на частни прави и общи прави.

Преки частни разпоредбиможе да бъде проективно и директно ниво.

Проектиращите прави са тези, които са перпендикулярни на една от проекционните равнини, т.е. успоредна на две други равнини P 1, се нарича хоризонтално проектирана права линия; неговата хоризонтална проекция A 1 B 1 е точка, а фронталната и профилната му проекция са прави линии, успоредни на оста O z. Правата CD (фиг. 2.7.), перпендикулярна на проекционната равнина P 2, се нарича фронтално проектирана права линия; нейната фронтална проекция C 2 D 2 е точка, а нейните хоризонтална и профилна проекция са прави линии, успоредни на оста Oy. Правата MN (фиг. 2.8.), перпендикулярна на проекционната равнина P 3, се нарича профил, проектиращ права линия; нейната профилна проекция M 3 N 3 е точка, а нейните хоризонтална и фронтална проекции са прави линии, успоредни на оста Ox.

Следователно на една от проекционните равнини проектиращата линия е изобразена като точка, а на другите две - под формата на сегменти, заемащи хоризонтално или вертикално положение, чиято величина е хоризонтална или вертикална, чиято стойност е равна до естествената стойност на самата права отсечка.

Линиите на нивото са линии, успоредни на една от проекционните равнини. Правата AB (фиг. 2.9.), Успоредна на хоризонталната равнина на проекциите P 1, се нарича хоризонтална права линия или накратко хоризонтална. Неговата фронтална проекция A 2 B 2 е успоредна на оста на проекциите Ox, а хоризонталната проекция A 1 B 1 е равна на естествената стойност на правата отсечка (A 1 B 1 = AB). Ъгълът b между хоризонталната проекция A 1 B 1 и оста Ox е равен на естествената стойност на ъгъла на наклона на правата линия AB към равнината на проекцията P 2.

Правата линия CD (фиг. 2.10.), Успоредна на фронталната равнина на проекциите P 2, се нарича фронтална права линия или накратко фронтална. Неговата хоризонтална проекция C 1 D 1 е успоредна на оста Ox, а фронталната му проекция C 2 D 2 е равна на естествената стойност на отсечката с права линия (C 2 D 2 = CD). Ъгълът a между фронталната проекция C 2 D 2 и оста Ox е равен на действителния ъгъл на наклон на правата спрямо равнината на проекцията P 1 .

Правата MN (фиг. 2.11.), Успоредна на профилната равнина на проекциите P 3, се нарича профилна права. Неговите фронтални M 2 N 2 и хоризонтални M 1 N 1 проекции са перпендикулярни на оста Ox, а профилната проекция е равна на естествения размер на сегмента (M 3 N 3 = MN). Ъглите a и b между проекцията на профила и осите Oy 3 и Oz са равни на действителната стойност на ъглите на наклона на правата към равнината на проекциите P 1 и P 2.

Следователно правите линии на нивото се проектират върху една от проекционните равнини в пълен размер, а върху другите две - под формата на сегменти с намален размер, заемащи вертикална или хоризонтална позиция в чертежа. От чертежа можете да определите ъглите на наклона на тези прави линии към проекционните равнини.

Ако права линия лежи в равнината на проекцията, тогава една от нейните проекции (със същото име) съвпада със самата права линия, а другите две съвпадат с осите на проекциите. Например, права линия AB (фиг. 2.12) лежи в равнината P 1. Неговата хоризонтална проекция A 1 B 1 се слива с правата линия AB, а фронталната проекция A 2 B 2 се слива с оста Ox. Такава линия се нарича нулева хоризонтала, тъй като височината на нейните точки (z координата) е нула.

Директна линия в обща позициянаречена права линия, наклонена към всички проекционни равнини. Неговите проекции образуват остри или тъпи ъгли с осите Ox, Oy и Oz, т.е. нито една от неговите проекции не е успоредна или перпендикулярна на осите. Размерът на проекциите на линия в общо положение винаги е по-малък от естествения размер на самия сегмент. Директно от чертежа, без допълнителни конструкции, е невъзможно да се определи действителният размер на правата линия и нейният ъгъл на наклон спрямо проекционните равнини.

Ако една точка лежи на права, то проекциите на точката са върху същите проекции на правата и върху обща свързваща права.

На фиг. 2.13. точка C лежи на права линия AB, тъй като нейните проекции C 1 и C 2 са съответно върху хоризонталната A 1 B 1 и върху фронталните A 2 B 2 проекции на правата. Точките M и N не принадлежат на правата, тъй като една от проекциите на всяка точка не е върху проекцията на едноименната права.

Проекциите на една точка разделят проекциите на права в същото съотношение, в което самата точка разделя отсечка от права, т.е. Използвайки това правило, разделете даден сегмент от права линия в необходимото съотношение. Например на фиг. 2.14. права линия EF е разделена от точка K в съотношение 3:5. Разделянето е направено по познат от геометричния чертеж начин.

Положението на една права линия в пространството се определя напълно от всеки две нейни точки. По принцип проекцията на правата е права линия, в частен случай тя е точка, ако правата е перпендикулярна на проекционната равнина. За да се построят проекции на права, е достатъчно да има или проекциите на две нейни точки, или проекцията на една точка от правата и посоката на правата в пространството.

Според разположението си в пространството спрямо проекционните равнини правите се делят на прави линии на общо положение, ниво и проектиране .

2.2.1. Общи линии.Това са прави линии, нито успоредни, нито перпендикулярни на проекционните равнини. Проекции A 1 B 1, A 2 B 2И A 3 B 3сегмент ABдиректен ABобща позиция (фиг. 2.18, А), наклонени под остри ъгли спрямо осите x 12, y 13И z 23. Дължините на проекциите на отсечките от тази права винаги са по-малки от самата отсечка. Три картинен комплексен чертеж на отсечка в общо положение, изградена от две точки Аи IN, показано на фиг. 2.18, b.

2.2.2. Прави нива.Това са прави линии, успоредни на една от проекционните равнини - П 1,П 2или П 3. Следователно имаме три вида линии на ниво:

1) хоризонтално нивоа (хоризонтална ), успоредно П 1(направо асъс сегмент ABвърху него на фиг. 2.19, А, b);

2) предно ниво (челен ), успоредно П 2(направо bсъс сегмент CDвърху него на фиг. 2.20, А);

3) ниво на профил , паралелно П 3(направо ссъс сегмент EFвърху него на фиг. 2.20, b). На фиг. 2.20 визуални изображения на прави линии bи cспрямо проекционните равнини не са показани.

Проекциите на едноименни сегменти от права линия на нивото се проектират в пълен размер, а противоположните са успоредни на осите, които ги разделят от същите. В този случай за хоризонтала едноименната проекция е хоризонтална, а разноименните са фронтална и профилна и т.н.

Ъгли на наклон на прави линии а,bИ cкъм проекционни равнини П 1, П 2И П 3обичайно е да се обозначава съответно α , β и γ (на фиг. 2.19 ъглите α , β и γ не е показано).

2.2.3. Проектиране на прави линии.Това са прави линии, перпендикулярни на една от проекционните равнини и успоредни на другите две. Следователно имаме три вида прожектиращи линии:

1) хоризонтално проектирани права, перпендикулярна П 1(направо Асъс сегмент ABвърху него на фиг. 2.21, А);

2) предна проекция права, перпендикулярна П 2(направо bсъс сегмент CDвърху него на фиг. 2.21, b);

3)профилно проектиране права, перпендикулярна П 3(направо cсъс сегмент Е.Ф.върху него на фиг. 2.21, V).

На фиг. 2.21 проекциите на невидимите точки са оградени в скоби. Въпросът за определяне на видимостта на точките върху проекциите ще бъде разгледан по-подробно по-долу в параграфа „Пресичане на линии“.

За проектиращите линии проекциите със същото име са точки, което следва от същността на проектиращата линия, по която се извършва проекцията.

Всяка различна проекция на проектираща линия е перпендикулярна на оста, която я отделя от проекцията със същото име, а противоположната проекция на сегмент, разположен на линията на нивото, е естественият размер на този сегмент.

2.2.4. Определяне на естествената стойност на отсечка в общо положение.Действителният размер на права линия на определена позиция може да бъде незабавно определен на сложен чертеж на тази права линия.

За да определите естествената стойност на сегмент от права линия в общо положение, можете да приложите обсъденото по-рано (вижте раздел 2.1.2) метод за замяна на проекционни равнини . Фигура 2.22 показва определението за естествен размер ( Н.В..) сегмент ABправа линия в общо положение и определяне на ъглите на нейния наклон към Π 1(ъгъл α ) и към Π 2(ъгъл β ) по този начин.

Допълнителна равнина Π 4извършвани паралелно AB (x 14 ||A 1 B 1). Направо ABпреобразуван в предно положение, следователно A 4 B 4– естествен размер AB.

Чрез начертаване на допълнителна равнина Π 5 ||AB(x 25 ||A 2 B 2), можете също да определите действителния размер AB. A 5 B 5– естествен размер AB. Направо ABв системата Π 2-Π 5стана хоризонтален.

Фигура 2.23 показва определението за естествен размер AB използвайки метода на триъгълника. Естествената стойност на сегмента е равна на хипотенузата на правоъгълен триъгълник, единият катет на който е една от проекциите на сегмента, а другият е алгебричната разлика в разстоянията на краищата му от равнината Π 1(ΔZ).

2.2.5. Взаимно разположение на линиите.Правите линии в пространството могат да бъдат успоредни, пресичащи се и кръстосани.

Успоредни прави.От свойствата на паралелните проекции следва, че ако правите в пространството са успоредни, то и трите двойки техни едноименни проекции са успоредни. Очевидна е и обратната ситуация: ако проекциите на едноименни прави са успоредни, то и правите в пространството са успоредни.

За да се определи успоредността на правите, в общия случай е достатъчна успоредността на две двойки едноименни проекции. Ако се определи паралелността на линиите на нивото, тогава една от двете двойки успоредни проекции трябва да бъде проекция върху едноименната равнина.

На фиг. 2.24 показва проекции на успоредни прави аИ bобща позиция, къде a 1 ║ b 1И a 2 ║ b 2. На фиг. 2.25 показва две хоризонтални линии cИ d. За хоризонталите фронталните и профилните проекции винаги са успоредни на осите, които ги разделят от едноименните хоризонтални проекции, т.е. c 2║г 2║х 12и c 3║г 3║y 3. Но техните хоризонтални проекции не са успоредни, т.е. c 1╫d 1. Следователно, направо cи dне успоредно.

Пресичащи се линии.Две пресичащи се прави лежат в една равнина и имат една обща точка. От свойствата на успоредните проекции е известно, че ако една точка лежи върху права, то нейните проекции лежат върху проекциите на правата. Ако една точка лежи на двете прави, тоест в точката на пресичане на линиите, тогава нейната проекция трябва да лежи върху две проекции на едни и същи линии наведнъж и следователно в точката на пресичане на проекциите на линиите.

Така че, ако сегментите ABИ CDдве прави се пресичат в точка К, след това проекциите на сегментите A 1 B 1И C 1 D 1пресичат се в точка К 1, което е проекцията на точката К(фиг. 2.26, А). Ето защо, ако проекциите на линии със същото име се пресичат в точки, лежащи на една и съща линия на проекционна връзка, тогава линиите се пресичат в пространството (фиг. 2.26, b).

За да се определи дали линиите се пресичат или не, достатъчно е това условие да е изпълнено за всеки две проекции. Изключение прави случаят, когато една от пресичащите се линии е профилно ниво. В този случай, за да се провери пресичането на линиите, е необходимо да се изгради профилна проекция.

Пуснете през точката Ае необходимо да се направи хоризонтална линия b, пресичаща линията а(фиг. 2.27, А). За да направите това, през точката А 2извършвам b 2 ║ x 12(етап 1) до пресечката с а 2в точката К2(фиг.2.27, b). След това, използвайки комуникационната линия на проекцията а 1намери точката К 1(стъпка 2) и свързване на точките A 1и К 1(етап 3), получаваме b 1.

Пресичане на прави линии. Пресичане на линии аИ bне лежат в една и съща равнина и следователно не са успоредни и нямат общи точки (фиг. 2.28, А). Следователно, ако линиите се пресичат, тогава поне една двойка от техните проекции с едно и също име не е успоредна и точките на пресичане на проекциите със същото име не лежат на една и съща линия на проекционна връзка (фиг. 2.28 , b).

Всяка такава пресечна точка е проекция на две точки, принадлежащи на прави; тези две точки лежат на един и същ проектиращ лъч и се наричат състезаващ се .