В задача 13 от профилното ниво на Единния държавен изпит по математика е необходимо да се реши уравнение, но с повишено ниво на сложност, тъй като задачите започват със задача 13 предишно ниво C и тази задача може да се нарече C1. Нека да преминем към разглеждане на примери за типични задачи.

Анализ на типичните опции за задачи № 13 от Единния държавен изпит по математика на ниво профил

Първа версия на задачата (демо версия 2018)

а) Решете уравнението cos2x = 1-cos(n/2-x)

б) Намерете всички корени на това уравнение, принадлежащ на интервала[-5p/2;-p].

Алгоритъм за решение:

1. t
2. Правим обратното заместване и решаваме най-простите тригонометрични уравнения.

1. Изграждаме числова ос.
2. Прилагаме корени към него.
3. Маркирайте краищата на сегмента.
4. Избираме онези стойности, които се намират в интервала.
5. Записваме отговора.

Решение:

1. Трансформирайте дясната страна на равенството, като използвате формулата за редукция cos( π/ 2−х)=грях х. Ние имаме:

сos2x = 1 – sin х.

Нека трансформираме лявата страна на уравнението, като използваме формулата за косинус с двоен аргумент, използвайки синус:

cos(2x)=1−2sin 2 x

Получаваме следното уравнение: 1−sin 2 х=1− грях х

Сега в уравнението има само един тригонометрична функциягрях х.

2. Въведете замяната: t= грях х. Решаване на резултата квадратно уравнение:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0или -2t + 1 = 0,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Правим обратна замяна:

грях х= 0 или sin х = ½

Нека решим тези уравнения:

грях х =0↔х=πn, nЄZ

грях( х)=1/2↔х= (-1) n ∙( π/6)+πn, nЄZ.

Следователно получаваме две семейства решения.

1. В предходния параграф са получени две семейства, всяко от които има безкрайно много решения. Необходимо е да се установи кои от тях са в даден интервал. За да направим това, изграждаме числова линия.

2. Прилагаме към него корените на двете семейства, като ги маркираме със зелено (първото) и синьо (второто).

3. Маркирайте краищата на празнината в червено.

4. В посочения интервал има три корена, които са три корена: −2 π ;−11π/ 6 и −7 π/ 6.

а) πn, nЄZ;(-1) n ∙( π/6)+πn, nЄZ

б) −2 π ;−11π 6;−7π 6

Втори вариант на задачата (от Ященко, № 1)

Алгоритъм за решение:

1. Заменяме тази функция с променлива tи решете полученото квадратно уравнение.
2. Правим обратното заместване и решаваме най-простите експоненциални, след това тригонометрични уравнения.

1. Ние строим координатна равнинаи кръг с единичен радиус върху него.
2. Маркираме точките, които са краищата на сегмента.
3. Избираме тези стойности, които се намират вътре в сегмента.
4. Записваме отговора.

Решение:

1. Въвеждаме заместването t = 4 cos x. тогава уравнението ще приеме формата:

Решаваме квадратното уравнение с помощта на дискриминантни и коренни формули:

D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t 1 = (9 – 7)/8= ¼, t 2 = (9+7)/8=2.

3. Върнете се към променлива x:

1. Построете върху нея координатна равнина и окръжност с единичен радиус.

2. Маркирайте точките, които са краищата на отсечката.

3. Изберете тези стойности, които се намират вътре в сегмента..

Това са корените. Двама са.

а)

б)

Трети вариант на задачата (от Ященко, № 6)

Алгоритъм за решение:

1. С помощта на тригонометрични формулиРедуцираме уравнението до форма, съдържаща само една тригонометрична функция.
2. Заменяме тази функция с променлива tи решете полученото квадратно уравнение.
3. Правим обратното заместване и решаваме най-простите експоненциални и след това тригонометрични уравнения.

1. Решаваме неравенства за всеки случай.
2. Записваме отговора.

Решение:

1. Използване на формули за редукция .

2. След това дадено уравнениеще приеме формата:

3. Въвеждаме заместител . Получаваме:

Решаваме обикновено квадратно уравнение, използвайки дискриминантни и коренни формули:

Начало

Как да решим задача № 13 на единен държавен изпит за експоненциални и логаритмични уравнения | 1C: Учител

Какво трябва да знаете за експоненциалните и логаритмичните уравнения, за да решавате USE задачи по математика?

Да можеш да решаваш експоненциални и логаритмични уравнения е много важно за успешно завършванеединичен държавен изпитпо математика на ниво профил. важно поради две причини:

Първо, задача № 13 от версията на KIM на Единния държавен изпит, макар и рядко, понякога представлява точно такова уравнение, което трябва не само да бъде решено, но също така (подобно на задачата за тригонометрия) да изберете корените на уравнението, които удовлетворяват някакво условие.

Така един от вариантите за 2017 г. включваше следната задача:

а) Решете уравнението 8 х – 7 . 4 х – 2 х +4 + 112 = 0.

б) Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на отсечката.

отговор:а) 2; log 2 7 и б) log 2 7.

В друга версия имаше тази задача:

а) Решете уравнението 6log 8 2 х– 5log 8 х + 1 = 0

б) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на отсечката.

отговор:а) 2 и 2√ 2 ; б) 2.

Това също се случи:

а) Решете уравнението 2log 3 2 (2cos х) – 5log 3 (2cos х) + 2 = 0.

б) Намерете всички корени на това уравнение, принадлежащи на отсечката [π; 5π/2].

отговор:а) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z)и б) 11π/6; 13π/6.

Второ, изучаването на методи за решаване на експоненциални и логаритмични уравнения е добро, защото основните методи за решаване както на уравнения, така и на неравенства всъщност използват едни и същи математически идеи.

Основните методи за решаване на експоненциални и логаритмични уравнения са лесни за запомняне, има само пет от тях: свеждане до най-простото уравнение, използване на еквивалентни преходи, въвеждане на нови неизвестни, логаритмиране и разлагане на множители. Отделен метод се откроява за използване на свойствата на експоненциални, логаритмични и други функции при решаване на проблеми: понякога ключът към решаването на уравнение е областта на дефиниция, диапазон от стойности, неотрицателност, ограниченост, паритет на функциите, включени в него .

По правило в задача № 13 има уравнения, които изискват използването на петте основни метода, изброени по-горе. Всеки от тези методи има свои собствени характеристики, които трябва да се знаят, тъй като непознаването им води до грешки при решаването на проблеми.

Кои са често срещаните грешки на изпитваните?

Често, когато решават уравнения, съдържащи експоненциална функция, учениците забравят да разгледат един от случаите на равенство. Както е известно, уравненията от този тип са еквивалентни на набор от две системи от условия (виж по-долу), ние говорим заза случая, когато а( х) = 1

Тази грешка се дължи на факта, че при решаване на уравнение изпитваният формално използва дефиницията на експоненциална функция (y = брадва, a>0, a ≠ 1): с А ≤ 0 експоненциална функциянаистина не е дефиниран

Но кога А = 1 е дефиниран, но не е показателен, тъй като единица в никоя реална степентъждествено равен на себе си. Това означава, че ако в разглежданото уравнение при А(х) = 1 Ако възникне истинско числено равенство, тогава съответните стойности на променливата ще бъдат корените на уравнението.

Друга грешка е използването на свойствата на логаритмите, без да се вземе предвид площта приемливи стойности. Например, добре известното свойство „логаритъм на продукта равно на суматалогаритми”, оказва се, има обобщение:
лог a ( f(х)ж(х)) = log a │ f(х)│ + log a │g( х)│, при f(х)ж(х) > 0, а > 0, а ≠ 1

Наистина, за да бъде дефиниран изразът от лявата страна на това равенство, е достатъчно продуктът на функциите f И ж беше положителен, но самите функции могат да бъдат едновременно по-големи и по-малки от нула, следователно, когато се прилага това свойство, е необходимо да се използва концепцията за модул.

И много такива примери могат да се дадат. Ето защо, за да овладеете ефективно методите за решаване на експоненциални и логаритмични уравнения, най-добре е да използвате услугите на , които ще могат да говорят за такива „клопки“, като използват примери за решаване на подходящи изпитни задачи.

Практикувайте редовно решаване на проблеми

За да започнете да учите на портала 1C:Tutor, всичко, от което се нуждаете, е .
Можете да:

Всички курсове се състоят от методологично правилна последователност от теория и практика, необходима за успешно решениезадачи. Включва теория под формата на текстове, слайдове и видеоклипове, задачи с решения, интерактивни симулатори, модели и тестове.

Все още имате въпроси? Обадете ни се на 8 800 551-50-78 или пишете на онлайн чат.

Ето ключовите фрази, които да помогнат на роботите за търсене да намират по-добре нашите съвети:
Как да решим задача 13 в Единен държавен изпит, задачи по логаритми, Единен държавен изпит Ким 2017, подготовка за профил на единния държавен изпит математика, профил по математика, решаване на уравнения и логаритми, решаване на задачи по експоненциални уравнения на Единния държавен изпит, изчисляване на свойствата на логаритмите, експоненциално-степенна функция, задачи по математика на профилно ниво, прилагане на свойствата на логаритмите, решаване на задачи върху корени, задачи на Единния държавен изпит 2017 г. експоненциални уравнения, подготовка за Завършилите Единен държавен изпит 11 клас 2018 г., влизам в технически университет.