Където r– радиус вектор, начертан от точка O до точка A, местоположение материална точка, стр=m v– импулс на материална точка. Модул на вектора на ъгловия момент:

където a е ъгълът между векторите rИ стр, l – рамо на вектор p спрямо точка O. Вектор л,според определението за векторно произведение, той е перпендикулярен на равнината, в която лежат векторите rИ стр(или v), посоката му съвпада с посоката движение напреддесен винт, докато се върти от rДа се стр

Импулс спрямо остае скаларна величина, равна на проекцията върху тази ос на вектора на ъгловия момент, определен спрямо произволна точка на тази ос.

Силовият момент M на материална точка спрямо точка Oе векторна величина, определена от векторния продукт на радиуса-вектор r, изчертан от точка O до точката на прилагане на сила и сила Е: .

Фиг.2.

Модул на вектора на момента на силата:

където a е ъгълът между векторите rИ Е, d = r*sina – рамо на сила – най-късото разстояние между линията на действие на силата и точка O. Вектор М(както и Л) - перпендикулярна на равнината, в която лежат векторите rИ Е, посоката му съвпада с посоката на транслационно движение на десния винт, когато се върти от rДа се Еот най-късото разстояние, както е показано на снимката.

Силов момент около останаречено скаларно количество, равно на проекцията върху тази ос на вектора на момента на силата Мопределена спрямо произволна точка на тази ос.

Основен закон на динамиката въртеливо движение

За да изясните целта на горните концепции, разгледайте система от две материални точки (частици) и след това обобщете резултата до система от произволен брой частици (т.е. твърдо). Нека за частици с маси m 1, m 2, чиито импулси стр. 1И стр. 2, действат външни сили F 1И Е 2. Частиците също взаимодействат помежду си вътрешни сили е 12И е 21.

Фиг.3.

Нека напишем втория закон на Нютон за всяка от частиците, както и връзката между вътрешните сили, произтичаща от третия закон на Нютон:

Нека векторно умножим уравнение (1) по r 1, а уравнение (2) – на r 2и съберете получените изрази:

Нека трансформираме лявата страна на уравнение (4), като вземем предвид това

.

Векторите и са успоредни и техните векторен продукте равно на нула, така че можем да запишем

. (5)

Първите два члена вдясно в (4) са равни на нула, т.е.

тъй като f 21 =-f 12, и векторът r 1-r 2насочена по същата права линия като вектора е 12.

Като вземем предвид (5) и (6) от (4) получаваме

или

Където L=L 1 +L 2; M=M 1 +M 2. Обобщавайки резултата до система от n частици, можем да напишем L=L 1 +L 2 +…+L n = M=M 1 +M 2 +M n=

Уравнение (7) е математическо представяне на основния закон на динамиката на въртеливото движение: скоростта на промяна на ъгловия момент на системата е равна на сумата от моментите, действащи върху нея външни сили. Този закон е валиден за всяка неподвижна или движеща се точка с постоянна скорост. инерционна системаобратно броене. Оттук следва законът запазване на ъгловия момент: ако моментът на външните сили M е нула, тогава ъгловият момент на системата се запазва (L=const).

Ъгловият импулс на абсолютно твърдо тяло спрямо фиксирана ос.

Нека разгледаме въртенето на абсолютно твърдо тяло около фиксирана ос z. Твърдото тяло може да се представи като система от n материални точки (частици). По време на въртене някаква разглеждана точка от тялото (означаваме я с индекса i и i=1...n) се движи по окръжност с постоянен радиус R i с линейна скорост v i около оста z (фиг. 4). Скоростта й v iи импулс m i v iперпендикулярно на радиуса R i. Следователно модулът на ъгловия импулс на частица от тялото спрямо точка O, разположена на оста на въртене:

където r i е радиус-векторът, начертан от точка O към частицата.

Използвайки връзката между линейната и ъгловата скорост v i =wR i, където R i е разстоянието на частицата от оста на въртене, получаваме

Проекцията на този вектор върху оста на въртене z, т.е. ъгловият импулс на частица от тялото спрямо оста z ще бъде равен на:

Ъгловият импулс на твърдо тяло спрямо оста е сумата от ъгловите импулси на всички части на тялото:

Стойността на Iz, равно на суматапроизведението на масите на частиците на тялото от квадратите на техните разстояния до оста z се нарича инерционен момент на тялото спрямо тази ос:

От израз (8) следва, че ъгловият импулс на тялото не зависи от положението на точка O върху оста на въртене, следователно говорим за ъгловият импулс на тялото спрямо някаква ос на въртене, а не спрямо точката

Съществува сходство между формулировките на основния закон за въртеливото движение, определенията за ъглов момент и сила с формулировките на втория закон на Нютон и определенията за импулс за транслационно движение.

Свободни оси и главни инерционни оси на тялото

За да се поддържа фиксирана позиция в пространството на оста на въртене на твърдо тяло, тя се фиксира механично, обикновено с помощта на лагери, т.е. повлиян от външни сили. Има обаче оси на въртене на тела, които не променят ориентацията си в пространството без действието на външни сили върху тях. Тези оси се наричат Безплатнобрадви. Може да се докаже, че всяко тяло има три взаимно перпендикулярни оси, минаващи през неговия център на масата, които са свободни. Тези брадви също се наричат главни инерционни оси на тялото.

Жироскопи

Понастоящем жироскопите се отнасят до много широк клас устройства, които използват повече от сто различни явления и физични принципи. В това лабораторна работаизучава се класическият жироскоп, в бъдеще просто жироскоп.

Жироскопът (или топ) е масивно симетрично тяло, въртящо се с висока ъглова скорост около своята ос на симетрия. Ще наричаме тази ос ос на жироскопа. Оста на жироскопа е една от основните инерционни оси (свободна ос). Ъгловият момент на жироскопа в този случай е насочен по оста и е равен на Л=Аз w.

Помислете за хоризонтално ориентиран балансиран жироскоп (чийто център на тежестта е над опорната точка). Тъй като моментът на гравитацията за него е нула, тогава според закона за запазване на ъгловия импулс Л=Аз w= const, т.е. посоката на оста му на въртене не променя положението му в пространството.

Когато се опитвате да накарате оста на жироскопа да се върти, явление, наречено жироскопичен ефект. Същността на ефекта: под действието на сила F, приложена към оста на въртящ се жироскоп, оста на жироскопа се върти в равнина, перпендикулярна на тази сила. Например, когато се прилага вертикална сила, оста на жироскопа се върти в хоризонталната равнина. На пръв поглед това изглежда неестествено.

Жироскопичният ефект се обяснява по следния начин (фиг. 5). Момент Мсила Енасочен перпендикулярно на оста си, т.к М=, r-радиус вектор от центъра на масата на жироскопа до точката на прилагане на силата.

Фиг.5.

През времето dt ъгловият импулс на жироскопа Лще получи увеличение d Л=М*dt (в съответствие с основния закон на въртеливото движение) и насочен в същата посока като Ми ще станат равни Л+г Л. Посока Л+г Лсъвпада с новата посока на оста на въртене на жироскопа. Така оста на жироскопа ще се върти в равнина, перпендикулярна на силата Епод някакъв ъгъл dφ=|dL|/L=M*dt/L, с ъглова скорост

Ъгловата скорост на въртене на оста W на жироскопа се нарича ъглова скорост на прецесия и това въртеливо движение на оста на жироскопа прецесия.

От (9) следва

Вектори М, Л, Увзаимно перпендикулярни, така че можем да пишем

М=.

Тази формула се получава, когато векторите М, Л, Увзаимно перпендикулярни, но може да се докаже, че е валиден в общия случай.

Имайте предвид, че тези аргументи и извеждането на формулите са валидни в случай, когато ъгловата скорост на въртене на жироскопа е w>>W.

От формула (9) следва, че скоростта на прецесия W е право пропорционална на M и обратно пропорционална на ъгловия момент на жироскопа L. Ако времето на действие на силата е кратко, ъгловият момент L е достатъчно голям, тогава степента на прецесия W ще бъде малка. Следователно краткотрайното действие на силите практически не води до промяна в ориентацията на оста на въртене на жироскопа в пространството. За да го промените, трябва да се прилага сила за дълъг период от време.

Практическо приложение на жироскопите

Свойствата на жироскопа, описани по-горе, са различни практически приложения. Едно от първите приложения на свойствата на жироскопите е намерено в нарезни оръжия. След като напусне цевта на пистолета, снарядът е подложен на въздушно съпротивление, чийто момент може да преобърне снаряда и да промени ориентацията му спрямо траекторията по произволен начин, което се отразява негативно на обхвата на полета и точността на поразяване на целта. Спиралните нарези в цевта на пистолета карат снаряда да се върти бързо около оста си. Снарядът се превръща в жироскоп и външният момент на съпротивителната сила на въздуха предизвиква само прецесията на неговата ос около посоката на допирателната към траекторията на снаряда. В същото време остава специфична ориентацияснаряд в космоса.

Друго важно приложение на жироскопите са различни жироскопични устройства: жирохоризонт, жирокомпас и др. За поддържане на зададена посока на движение на самолета (автопилот) се използват и балансирани жироскопи. За да направите това, жироскопът е монтиран на карданно окачване, което намалява ефекта от външни моменти на сили, възникващи по време на маневра на самолета. Благодарение на това оста на жироскопа запазва посоката си в пространството независимо от движението на самолета. Когато посоката на движение на самолета се отклони от посоката, определена от оста на жироскопа, възникват автоматични команди, които го връщат в зададената посока.

Описаното поведение на жироскопа е и основа за устройство, наречено жироскопичен компас (жирокомпас). Това устройство е жироскоп, чиято ос може свободно да се върти в хоризонтална равнина. Ако оста на жироскопа не съвпада с посоката на меридиана, тогава поради въртенето на Земята възниква сила, стремяща се да завърти оста в посока, перпендикулярна на хоризонта. Въпреки това, благодарение на жироскопичния ефект, той се върти в хоризонтална посока, докато посоката съвпадне с меридиана, сочещ точно на север, се установи. Жироскопичният компас се различава благоприятно от компаса с магнитна стрелка по това, че неговите показания не трябва да се коригират за така наречената магнитна деклинация (свързана с несъответствието между географски и магнитни полюсиЗемята), а също така не е необходимо да се предприемат мерки за компенсиране на ефектите от магнитните смущения от корпуса и оборудването на кораба.

Описание на експерименталната постановка

Експерименталната постановка (фиг. 6) се състои от следните основни компоненти:

1. Диск на жироскоп.

2. Лост с метрична скала.

3. Товар, чието движение по протежение на лоста 2 задава големината на момента на силата.

4. Диск с ъглова скала за определяне на ъгъла на завъртане на оста на жироскопа в хоризонталната равнина при прецесия.

5. Блок за измерване и управление.

1. Определете модула на момента на тежестта за няколко позиции на товара z върху лоста на жироскопа:

,

където m е масата на товара, z p е координатата на товара по метричната скала на лоста, когато жироскопът е балансиран.

2. За всяка позиция на товара определете времето на въртене на оста на жироскопа Δ Tпод даден ъгъл Δ φ и изчислете ъгловата скорост на прецесията:

3. Изчислете ъгловия импулс на жироскопа за всяко от измерванията:

4. Изчислете средната стойност на ъгловия момент на жироскопа:

Където N е броят на измерванията.

5. Изчислете инерционния момент на жироскопа по формулата I = L/w (w е ъгловата скорост на въртене на жироскопа, w = 2pn, n е броят на оборотите на двигателя за единица време) и определете абсолютната и относителни грешки при определяне на инерционния момент на жироскопа.

Контролни въпроси

1. Какъв е ъгловият импулс на материална точка спрямо точка?

2. Основният закон на динамиката на въртеливото движение.

3. Какъв е моментът на сила спрямо точка?

4. Ъглов момент на абсолютно твърдо тяло.

5. Инерционен момент на твърдо тяло спрямо дадена ос.

6. Формулирайте закона за запазване на ъгловия момент.

7. Какво е жироскоп?

8. Какво представлява жироскопичният ефект?

9. Какво се нарича прецесия на жироскопа и при какви условия се наблюдава?

10. Каква е ъгловата скорост на прецесията?

Литература

1. Савелиев И.В. добре обща физика. Учебник надбавка. В 3 тома Т.1 Механика. Молекулярна физика. М.: Наука. Главен редактор физ.мат. лит., 19873. -432 с.

2. Трофимова Т.И. Курс по физика. Учебник наръчник за университети. М.: По-високо. шк., 2003. -541 с.

ЖИРОСКОП(от гръцки gyreuо - въртящ се, въртящ се и skopeo - гледам, наблюдавам) - бързо въртящо се симетрично твърдо тяло, чиято ос на въртене (ос на симетрия) може да променя посоката си в пространството. Свойствата на хидродинамиката имат въртящи се небесни тела, артилерийски снаряди, ротори на турбини, монтирани на кораби, витла на самолети и др. Ж. техника – осн. елемент от всички видове жироскопични устройства или инструменти, широко използвани за автоматични контролират движението на самолети, кораби, торпеда, ракети и редица други жироскопични системи. стабилизиране, за навигационни цели (индикатори за курс, завой, хоризонт, кардинални точки и т.н.), за измерване на ъглови или предни посоки. скорости на движещи се обекти (например ракети) и в много числа. други случаи (например при преминаване на шахти, изграждане на подлези, при пробиване на кладенци).

За да може оста G. да се върти свободно в пространството, G. обикновено се закрепва в така наречените пръстени. карданно окачване (фиг.1), при което осите са вътрешни. и вътр. пръстени и оста G. се пресичат в една точка, т.нар. центъра на окачването. Фиксиран в такова окачване, карданът има 3 степени на свобода и може да направи всякакво завъртане близо до центъра на окачването. Ако центърът на тежестта на g съвпада с центъра на окачването, g се нарича. балансиран или астатичен. Изследването на законите на движението на гравитацията е проблем на динамиката на твърдото тяло.

Ориз. 1. Класическо карданно окачване, А- външен пръстен, b- вътрешен пръстен, V- ротор.

Ориз. 2. Прецесия на жироскопа. Ъгловата скорост на прецесията е насочена така, че собственият вектор кинетичен момент н има тенденция да съвпада с вектора на въртящия момент М двойка, действаща на жироскопа.

Основни свойства на жироскопа. Ако няколко сили се приложат към оста на бързо въртяща се свободна гравитация ( P-F)с момент ( ч- ръка на сила) (фиг. 2), тогава (противно на очакванията) G. ще започне допълнително да се върти не около оста си х, перпендикулярно на равнината на двойката и около оста при, лежаща в тази равнина и перпендикулярна на правилната. ос z на тялото. Това ще допълни. движение т.нар прецесия. Прецесията на Г. ще настъпи по отношение на инерциална отправна система(към осите, насочени към неподвижните звезди) с ъглова скорост

Фиг. 13. Насочен жироскоп.

Редица устройства също използват свойството на хидродинамиката да прецедира равномерно под въздействието на постоянно прилагани сили. Така че, ако с помощта на допълнение. натоварване причинява G. прецесия с ъглова скорост, числено равна и противоположно насочена на вертикалния компонент на ъгловата скорост на въртене на Земята (където U- ъгъл земна скорост, е географската ширина на мястото), тогава оста на такава геометрична система, с различна степен на точност, ще поддържа постоянна посока спрямо кардиналните точки. В течение на няколко часа, докато се натрупа грешка от 1-2 °, такъв жироазимут или насочен жироскоп (фиг. 13) може да замени компас (например в самолети, по-специално в полярната авиация, където показанията на магнитния компас са ненадеждни). Подобно на G., но със значително по-голямо изместване на центъра на тежестта от оста на прецесията, е възможно да се определи поведението. скорост на обект, движещ се по посока на оста bb 1, с произволно ускорение (фиг. 14). Ако пренебрегнем влиянието на гравитацията, тогава можем да приемем, че моментът на прехвърляне на силата на инерцията действа върху гравитацията Q, Където T- маса G., л- рамо. Тогава, съгласно формула (1), G. ще прецесира около оста bb 1 с ъглова скорост . След интегриране на последното равенство получаваме , където е началото. скорост на обекта. Така се оказва възможно да се определи скоростта на даден обект vвъв всеки момент от времето по ъгъла, под който планетата ще се завърти около оста си в този момент bb 1. За да направите това, устройството трябва да бъде оборудвано с брояч на обороти и устройство, което изважда от общия ъгъл на въртене ъгъла, под който двигателят ще се завърти поради действието на момента на гравитацията върху него. Това устройство (интегратор на надлъжни привидни ускорения) определя вертикалните скорости. излитане на ракета; в този случай ракетата трябва да бъде стабилизирана така, че да не се върти около оста си на симетрия.

Ориз. 14. Измервател на скоростта на издигане на жироскопична ракета. - ускоряване на изкачването; ж- ускорение свободно падане; П- земно притегляне, Q- инерционна сила, - собствен кинетичен момент.

В редица съвременни дизайни използват т.нар. поплавък, или интегриращ, генератор на такъв генератор е поставен в корпус - поплавък, потопен в течност (фиг. 15). Когато поплавъкът се върти около оста си хмомент ще действа върху G. Mxвискозно триене, пропорционално на ъгловата скорост на въртене. Благодарение на това се оказва, че ако Г. бъде принуден да докладва. въртене около ос при, тогава ъгловата скорост на това въртене в съответствие с равенство (1) ще бъде пропорционална на . В резултат на това ъгълът на въртене на поплавъка около оста му хот своя страна ще бъде пропорционална на времевия интеграл на (поради което уравнението се нарича интегриращо). Допълнителен електрически и електромеханични устройствата позволяват или измерване на ъгловата скорост с този G., или да го направят елемент на стабилизиращо устройство. В първия случай, специални електромагнитите създават момент около оста х, насочен срещу въртенето на поплавъка; големината на този момент се регулира така, че поплавъкът да спре. Тогава моментът М 1сякаш за да замести момента Mxвискозни сили на триене и следователно, съгласно f-le (1), ъгловата скорост ще бъде пропорционална на стойността М 1, определена от силата на тока, протичащ през намотките на електромагнита. Във втория случай при стабилизиране, например, около фиксирана ос при, корпусът на интегриращия G. е поставен върху платформа, която може да се върти около ос приспециалист. електродвигател (фиг. 16). За да обясним принципа на стабилизиране, приемаме, че основата, върху която са разположени лагерите на платформата, сама ще се върти около оста припод определен ъгъл. Когато двигателят не работи, платформата ще се върти заедно с основата под същия ъгъл, а поплавъкът ще се върти около оста си хс ъгъл, пропорционален на ъгъла. Ако сега двигателят завърти платформата в обратна посока, докато поплавъкът се върне в първоначалната си позиция, тогава в същото време платформата ще се върне в първоначалната си позиция. Можете непрекъснато да контролирате двигателя, така че ъгълът на въртене на поплавъка да бъде намален до нула, след което платформата ще бъде стабилизирана. Комбинацията от два поплавъчни двигателя в общо окачване с аналогично управлявани електродвигатели води до стабилизиране на фиксирана посока, а три - в пространство. стабилизация, използвана по-специално в инерционни навигационни схеми.

Ориз. 15. Жироскоп с интегриране на плувка: А- ротор на жироскопа; b- поплавък, в тялото на който е разположен лагерът на оста на ротора; V- течност за поддръжка; Ж- кадър; д- стоманени оси в каменни опори; д- сензор за ъгъл на завъртане на поплавъка спрямо тялото; и- електромагнитно устройство, което прилага момент около оста на поплавъка.

Ориз. 16. Стабилизация около фиксирана ос с помощта на плаващ жироскоп А- жироскоп-поплавък; b- усилвател, V- електрически мотор; Ж- платформа, д- база.

Ориз. 17. Силова жироскопична рамка: А- самата рамка; b- жироскоп; V- двойка; Ж- сензор за ъгъл на завъртане на жироскопа спрямо рамката; д- усилвател на сензорен сигнал; д- стабилизиращ двигател; и- сензор за въртящ момент.

В разглежданата система за стабилизиране сензорът играе роля. елемент, който засича отклонения на обект от дадено положение, като връщането в това положение се осъществява от електродвигател, получаващ съответен сигнал. Подобни жироскопични системи. стабилизиране на т.нар индикатор (стабилизатори с непряко действие). Наред с това в техниката се използват т.нар. мощен жироскопичен стабилизация (стабилизатори с директно действие), при които двигателите директно поемат силите, които пречат на осъществяването на стабилизацията, а двигателите играят спомагателна роля. роля, разтоварвайки частично или напълно Г. и по този начин ограничавайки ъглите на тяхната прецесия. Структурно такива системи са по-прости от индикаторните. Пример за това е едноосна двужироскопична система. рамка (фиг. 17); роторите, разположени в G. рамката, се въртят навътре различни страни. Да приемем, че върху рамката действа сила, която се стреми да я завърти около оста си хи докладва ъгловата скорост. След това, според правилото на Жуковски, двойка ще започне да действа върху корпус 1, опитвайки се да изравни оста на ротора с оста х. В резултат на това G. ще започне да прецесира около оста г 2 с определена ъглова скорост. корпус 2 по същата причина ще пресира около оста г 2 в обратна посока. Ъглите на въртене на корпусите ще бъдат еднакви, тъй като корпусите са свързани чрез зъбен съединител. Поради тази прецесия върху корпусните лагери 1 нова двойка ще действа, опитвайки се да подравни оста на ротора с оста г 1. Същата двойка ще действа върху лагерите на корпуса 2 . Моментите на тези двойки са насочени в противоположни посоки (както следва от правилото на Жуковски) и стабилизират рамката, т.е. предпазват я от въртене около оста си х. Въпреки това, ако прецесията на G. не е ограничена, тогава, както се вижда от формула (3), при въртене на корпусите около осите г 1 , на 2При ъгъл от 90° стабилизирането спира. Следователно, по оста на един от корпусите има датчик, който регистрира ъгъла на завъртане на корпуса спрямо рамката и управлява стабилизиращия двигател. Въртящият момент, генериран от двигателя, е насочен противоположно на момента, стремящ се да завърти рамката около оста си Х;В резултат на това прецесията на Г. спира. Разглежданата рамка е стабилизирана по отношение на завъртанията около оста си х. Завъртете рамката около всяка ос, перпендикулярна на х, може да се направи безпрепятствено, но получената жироскопична момент може да причини. натиск върху лагерите и техните корпуси. Комбинацията от три такива рамки с взаимно перпендикулярни оси води до пространства. стабилизация (например изкуствен спътник).

В мощността жироскопична системи, за разлика от свободните геометрични системи, поради големите инерционни моменти на стабилизираните маси възникват много забележими трептения. движения като нутации. Трябва да се приемат специални предложения. мерки за гарантиране, че тези трептения са затихнали, в противен случай в системата възникват собствени трептения. В техниката се използват и други жироскопични устройства. устройства, чиито принципи на работа се основават на свойствата на G.

Лит.:Булгаков B.V., Приложна теория на жироскопите, 3 изд., М., 1976; Николай Е. Л., Жироскоп в карданно окачване, 2-ро изд., М., 1964; Малеев П.И., Нови типове жироскопи, Ленинград, 1971 г.; Магнус К., Жироскоп. Теория и приложение, прев. от немски, М., 1974; Ишлинский А. Ю., Ориентация, жироскопи и инерционна навигация, М., 1976; той, механика относително движениеи сили на инерцията, М., 1981; Климов Д. М., Харламов С. А., Динамика на жироскоп в карданно окачване, М., 1978; Журавлев В.Ф., Климов Д.М., Вълнов твърдотелен жироскоп, М., 1985; Новиков Л. З., Шаталов М. Ю., Механика на динамично настроените жироскопи, М., 1985 г.

А. Ю. Ишлинский.

Фиг.91

Фиг.90

Фиг.89

Жироскопи. Безплатен жироскоп.

Изучаването на тези въпроси е необходимо в дисциплината „Машинни части“.

Жироскопът е масивно аксиално симетрично тяло, което се върти с висока ъглова скорост около своята ос на симетрия.

В този случай моментите на всички външни сили, включително гравитацията, спрямо центъра на масата на жироскопа са равни на нула. Това може да се реализира, например, чрез поставяне на жироскоп в кардан, показан на фиг. 89.

и ъгловият момент се запазва:

Жироскопът се държи по същия начин като по-свободно въртящо се тяло. В зависимост от началните условия са възможни два варианта за поведение на жироскопа:

1. Ако жироскопът се завърти около оста на симетрия, тогава посоките на ъгловия момент и ъгловата скорост съвпадат:

и посоката на оста на симетрия на жироскопа остава непроменена. Можете да се уверите в това, като завъртите стойката, на която е разположен карданът - при произволно завъртане на стойката оста на жироскопа запазва постоянна посока в пространството. По същата причина връх, „изстрелян“ върху лист картон и изхвърлен нагоре (фиг. 90), запазва посоката на оста си по време на полет и, падайки с върха си върху картона, продължава да се върти равномерно, докато запасът от кинетична енергия се изразходва.

Свободният жироскоп, завъртян около оста на симетрия, има много значителна стабилност. От основното уравнение на моментите следва, че промяната на ъгловия момент

Ако интервалът от време е малък, тогава той е малък, тоест при краткотрайни въздействия дори на много големи сили движението на жироскопа се променя незначително. Жироскопът изглежда се съпротивлява на опитите да промени своя ъглов импулс и изглежда „закален“.

Нека вземем конусообразен жироскоп, опрян на пръта на стойката в центъра на масата си О (фиг. 91). Ако тялото на жироскопа не се върти, то е в състояние на безразлично равновесие и най-малкото натискане го премества от мястото му. Ако това тяло се доведе до бързо въртене около оста си, тогава дори силни удари с дървен чук няма да могат да променят значително посоката на оста на жироскопа в пространството. Свободната стабилност на жироскопа се използва в различни технически устройства, например в автопилот.

2. Ако свободен жироскоп се завърти така, че векторът на моментната ъглова скорост и оста на симетрия на жироскопа не съвпадат (по правило това несъответствие по време на бързо въртене е незначително), тогава движението, описано като „свободна регулярна прецесия“ се наблюдава. Когато се прилага към жироскоп, се нарича нутация. В този случай оста на симетрия на жироскопа, векторите и лежат в една и съща равнина, която се върти около посоката с ъглова скорост, равна на къде е инерционният момент на жироскопа спрямо главната централна ос, перпендикулярна на ос на симетрия. Тази ъглова скорост (да я наречем скорост на нутация) при бързото въртене на жироскопа се оказва доста голяма и нутацията се възприема от окото като леко трептене на оста на симетрия на жироскопа.

Движението на нутация може лесно да се демонстрира с помощта на жироскопа, показан на фиг. 91 - възниква, когато чук удари пръта на жироскоп, въртящ се около оста си. Освен това, колкото повече се върти жироскопът, толкова по-голям е неговият ъглов момент - толкова по-голяма е скоростта на нутация и толкова „по-малка“ е вибрацията на оста на фигурата. Този опит показва друго характерна особеностнутация - с течение на времето постепенно намалява и изчезва. Това е следствие от неизбежното триене в опората на жироскопа.

Нашата Земя е вид жироскоп и също така се характеризира с нутрационно движение. Това се дължи на факта, че Земята е донякъде сплескана на полюсите, поради което инерционните моменти спрямо оста на симетрия и спрямо оста, лежаща в екваториалната равнина, се различават. В същото време а. В референтната рамка, свързана със Земята, оста на въртене се движи по повърхността на конуса около оста на симетрия на Земята с ъглова скорост, т.е. извършва едно завъртане за приблизително 300 дни. Всъщност, поради предполагаемата неабсолютна твърдост на Земята, това време се оказва по-дълго - то е около 440 дни. В този случай разстоянието на точката земната повърхност, през която минава оста на въртене, от точката, през която минава оста на симетрия ( Северен полюс), равно на само няколко метра. Хранителното движение на Земята не избледнява - очевидно то се поддържа от сезонни промени, настъпващи на повърхността

Нека сега разгледаме ситуацията, когато към оста на жироскопа се прилага сила, чиято линия на действие не минава през точката на закрепване. Експериментите показват, че в този случай жироскопът се държи по много необичаен начин.

Ако прикрепите пружина към оста на жироскоп, шарнирно закрепена в точка O (фиг. 92) и я издърпате нагоре със сила, тогава оста на жироскопа ще се движи не по посока на силата, а перпендикулярно на нея, страната. Това движение се нарича прецесия на жироскопа под въздействието на външна сила.

Цел на работата: да се изследват характеристиките на движението на жироскопа под въздействието на момента на външните сили, да се измери ъгловата скорост на прецесията и ъгловия момент на жироскопа

Жироскопът е симетрично твърдо тяло, което бързо се върти около ос на симетрия, което може да променя посоката си в пространството.

За демонстрационни цели те обикновено използват жироскопи с дизайн, който е схематично показан на фиг. 6.1. Жироскоп колело ДА СЕ(ротор) е монтиран на ос, която може да се върти както около хоризонтална ос, така и около вертикална ос, т.е. може да заеме всяка позиция в пространството. (Отклоненията на вертикалната ос в този дизайн са ограничени до не много големи ъгли). За да е равен на нула моментът на тежестта спрямо трите оси на жироскопа, центърът на тежестта на жироскопа трябва да съвпада с пресечната точка на трите оси на въртене. Роторът на жироскопа се задвижва в бързо въртене от електрически мотор.

Ориз. 6.1. Схема за опит

Тъй като моментът на тежестта спрямо точка O е равен на нула, оста на въртящия се жироскоп при липса на други външни сили остава неподвижна. Жироскопът има постоянен ъглов момент, насочен по протежение на фиксираната ос на въртене на жироскопа. Ако външни сили започнат да действат върху жироскопа, тогава оста на жироскопа започва да се движи - появява се въртене около други оси. Тогава тя вече не съвпада с оста на жироскопа, а винаги остава близо до нея. Следователно, знаейки как се променя векторът, можем да кажем колко приблизително се движи оста на жироскопа.

Въртенето на твърдо тяло се дава от уравнението

Тук е моментът на външните сили, = аз, Където азе инерционният момент на жироскопа и е неговата ъглова скорост. От уравнение (6.1) става ясно, че векторът се променя само когато моментът действа. Следователно оста на жироскопа може да се движи забележимо само докато е в сила моментът на промяна на посоката. Промените в желязото за кратки периоди от време съгласно уравнение (6.1) се определят от съотношението

При краткотрайно действие на външни сили (остър удар) той е малък и следователно „малък“ - почти не се променя. Следователно посоката на оста на жироскопа трябва да се промени много малко. Наистина, при рязък удар, оста на жироскопа не отива далеч, но трепери, оставайки почти на място. след удара спира да се променя. Но оста на жироскопа не трябва да съвпада с посоката, а само да е близо до нея. Тя може да прави малки движения около посоката. Такива движения на оста на жироскопа около посоката се наричат ​​нутации . Разклащането на оста на жироскопа след удар е един от видовете нутации.

Ако жироскопът се върти около оста си с много висока скорост, тогава дори при наличие на бавни въртения около други оси векторът на ъгловия момент практически съвпада с оста на жироскопа. По-нататък ще приемем, че посоката съвпада с оста на жироскопа.

При продължително излагане на външни сили векторът ще промени посоката си в пространството. Заедно с него жироскопът ще промени посоката и оста си. Посока? съвпада с посоката, т.е. не с посоката на силата, а с посоката на момента на силата спрямо оста О. Ако натиснете жироскопа отстрани с известна сила (фиг. 6.1), тогава неговата ос ще се движи не в посоката на. силата, но по посока на момента на силата.

Ако сила действа върху жироскопа, създавайки постоянен момент , тогава посоката ще се промени за същите периоди от време с една и съща сума? = ?T. Ако в същото време винаги лежи в равнината на движение на оста на жироскопа, тогава? лежи в същата равнина; векторът ще остане в същата равнина и ще се върти с постоянна скорост. Оста на жироскопа ще се върти заедно с него. Това движение на оста се нарича прецесия.

Прецесията на жироскопа може да бъде демонстрирана чрез окачване на малка тежест на масата върху оста на жироскопа м(фиг. 6.1) на разстояние r. Силата на гравитацията ще създаде момент, който винаги лежи в хоризонталната равнина. При наличие на товар оста на жироскопа се върти в хоризонтална равнина с постоянна скорост.

Нека изчислим ъгловата скорост на въртене на оста на жироскопа.

По време на? TОста на жироскопа се завърта на ъгъл

Като вземем предвид съотношението (6.2), за ъгловата скорост на въртене на оста (прецесионна скорост) получаваме

Тъй като a, пренаписваме връзката (6.3) във формата

От получения израз следва, че колкото по-малък е моментът на външните сили, действащи върху жироскопа, и колкото по-голям е ъгловият импулс на жироскопа, толкова по-малка е скоростта на неговата прецесия.

Ако натиснете прецесиращия жироскоп в посоката на прецесията, краят на оста, на която виси тежестта, ще се повдигне. Напротив, ако натиснете върху жироскопа срещу посоката на прецесията, тогава краят на оста с товара ще се спусне. Външни сили, които пречат на прецесията, карат тежестта да се спуска. По време на прецесията силите на триене в лагера действат върху вертикалната ос, предотвратявайки прецесията, така че оста на прецесиращия жироскоп не остава в хоризонталната равнина - краят на оста, върху който виси товарът, постепенно се спуска.

Прецесията на жироскопа се извършва при постоянна скорост, докато външният въртящ момент е в сила, и спира веднага щом външният въртящ момент изчезне. Движението на оста на жироскопа няма инерция. Това се дължи на факта, че се определя скоростта на въртене на оста активни сили. Инерцията е проява на факта, че ускоренията се определят от силите.

Във всички описани експерименти върху жироскопа действат не само външни сили, но и жироскопът действа върху онези тела, които са източник на тези сили. Когато натиснем ръката си върху оста на жироскопа, жироскопът натиска ръката ни със същата сила. Ако жироскопът е твърдо свързан с определено тяло, тогава при всяко движение на това тяло, придружено от промяна на посоката на оста на жироскопа, възникват сили, които действат върху тялото от страната на жироскопа. Тези сили често играят важна роля.

Например въртящите се части на корабните машини са жироскоп с голям ъглов момент. Когато корабът се наклони (когато носът на кораба се издига и пада), посоката на ъгловия импулс на машината се променя. В резултат на това възникват сили на натиск от вала върху лагерите. Тези сили лежат в хоризонталната равнина и въртят кораба около вертикална ос. Тази „ориентация на курса“ се забелязва при малки кораби с мощни двигатели (влекачи).

Силите, които възникват при промяна на посоката на жироскопичната ос на въртене, могат да се използват за придаване на стабилност на кораба (намаляване на накланянето). За целта се използват огромни жироскопи с висока скорост.

Всички описани свойства на жироскопа се обясняват с факта, че движението на оста на жироскопа се подчинява на уравнение (6.1). Движението на оста на жироскопа се определя не от посоката на силата, а от посоката на момента на външните сили. Но този момент се определя от сили, действащи външно върху цялото устройство като цяло, само когато жироскопът е напълно свободен, т.е. когато конструкцията на устройството позволява произволно положение на оста на жироскопа. Ако жироскопът не е напълно свободен, тогава е необходимо да се вземат предвид моментите на онези сили, които могат да действат върху оста на жироскопа от лагерите, в които е фиксиран.

Тези моменти на сила могат напълно да променят поведението на жироскопа под въздействието на външни сили. Например, ако фиксирате вертикалната ос и направите възможно завъртането на оста на жироскопа само в хоризонталната равнина, тогава тя става напълно „послушна“. Под въздействието на сила, приложена към жироскопа в хоризонталната равнина, оста на жироскопа започва да се върти в посоката на силата. Тази промяна в поведението на жироскопа се обяснява с факта, че наред с момента на силата върху оста действа и момент на сила от страната на стойката, в която е фиксиран. Настъпването на този момент е лесно обяснимо. Първоначално, докато няма сила, действаща върху жироскопа, няма моменти, действащи върху него от страната на стойката. Жироскопът "не знае", че е неподвижен. Следователно в началото той се държи като напълно свободен жироскоп: под въздействието на сила, създаваща момент, насочен вертикално нагоре, краят на оста на жироскопа започва да се издига.

Вертикалната ос, към която е твърдо свързана оста на жироскопа, се огъва леко и се появява момент на еластични сили, действащи върху оста на жироскопа. Под въздействието на този момент оста на жироскопа ще се движи в хоризонталната равнина точно в посоката, в която действа силата. Следователно несвободният жироскоп е „послушен“: оста му се завърта там, където външната сила се стреми да го завърти. . При свободен жироскоп оста се върти в равнина, перпендикулярна на силата.

Ако към въртящ се жироскоп се приложат няколко сили, стремящи се да го завъртят около ос, перпендикулярна на оста на въртене, тогава жироскопът наистина ще се върти, но само около третата ос, перпендикулярна на първите две.

По-подробен анализ на явления, подобни на описаните по-горе, показва, че жироскопът се стреми да позиционира оста си на въртене по такъв начин, че да образува възможно най-малкия ъгъл с оста на принудителното въртене и че двете завъртания се извършват в една и съща посока.

Това свойство на жироскопа се използва в жироскопичния компас, който получи широко разпространение, особено във флота. Жирокомпасът е бързо въртящ се връх (мотор с трифазен ток, работещ с 25 000 оборота в минута), който плува на специален поплавък в съд с живак и чиято ос е разположена в равнината на меридиана. В този случай източникът на външен въртящ момент е ежедневна ротацияЗемята около оста си. Под действието му оста на въртене на жироскопа се стреми да съвпадне по посока с оста на въртене на Земята и тъй като въртенето на Земята действа върху жироскопа непрекъснато, оста на жироскопа заема това положение, т.е. се установява по протежение на меридиана и продължава да остава в него точно по същия начин като обикновената магнитна стрелка. Жироскопичните компаси имат редица предимства пред магнитните компаси. Техните показания не се влияят от близките железни маси и не са чувствителни към тях магнитни бурии т.н.

Жироскопите често се използват като стабилизатори. Те са инсталирани, за да намалят накланянето на океанските кораби. Проектирани са и стабилизатори за единични релси железници; Масивен, бързо въртящ се жироскоп, поставен вътре в еднорелсов вагон, предотвратява преобръщането на вагона. Ротори за жироскопични стабилизатори се произвеждат от 1 до 100 тона или повече.

1. Свободни оси на въртене. Нека разгледаме два случая на въртене на твърд прът около ос, минаваща през центъра на масата.

Ако развиете пръта спрямо оста О.О.и го оставете на себе си, т.е. освободете оста на въртене от лагерите, тогава в случая на фиг. 71-а ориентацията на оста на свободно въртене спрямо пръта ще се промени, тъй като прътът под въздействието на двойка центробежни сили на инерция, ще се разгъне в хоризонтална равнина. В случая на фиг. 71-b моментът на двойка центробежни сили е нула, така че неусуканият прът ще продължи да се върти около оста ООи след освобождаването й.

Оста на въртене, чието положение в пространството се поддържа без действието на външни сили, се нарича свободна ос на въртящо се тяло.Следователно оста, перпендикулярна на пръта и минаваща през неговия център на масата, е свободната ос на въртене на пръта.

Всяко твърдо тяло има три взаимно перпендикулярни свободни оси на въртене, пресичащи се в центъра на масата. Положението на свободните оси за еднородни тела съвпада с положението на техните геометрични оси на симетрия (фиг. 72).

В паралелепипед и трите оси са фиксирани. Цилиндърът има само една неподвижна ос, която съвпада с геометричната ос. И трите оси на една топка не са фиксирани.

Свободните оси на въртене също се наричат главни инерционни оси. При свободно въртенена тела около главните оси на инерция, стабилни са само завъртанията около тези оси, които съответстват на максималните и минималните стойности на инерционния момент. Ако върху тялото действат външни сили, тогава въртенето е стабилно само около главната ос, на която съответства максималният инерционен момент.

2. Жироскоп(от гръцки gyreuo- Завъртам и скопео– виждам) е хомогенно ротационно тяло, бързо въртящо се около ос на симетрия, чиято ос може да променя позицията си в пространството.

Когато изучаваме движението на жироскоп, приемаме, че:

А. Центърът на масата на жироскопа съвпада с неговата фиксирана точка О. Този жироскоп се нарича балансиран.

b. Ъглова скорост wвъртенето на жироскопа около ос е много по-голямо от ъгловата скорост W на движението на оста в пространството, т.е. w >>У.

B. Вектор на ъгловия момент на жироскопа Л съвпада с вектора на ъгловата скорост w , тъй като жироскопът се върти около главната инерционна ос.

Нека върху оста на жироскопа действа сила Е през времето D T. Съгласно втория закон на динамиката за въртеливото движение, промяната в ъгловия импулс на жироскопа през това време, (26.1)

Където r – радиус вектор, изтеглен от фиксирана точка Одо точката на действие на силата (фиг. 73).

Промяната в ъгловия момент на жироскопа може да се разглежда като завъртане на оста на жироскопа под ъгъл с ъглова скорост . (26.2)

Ето компонента на силата, действаща върху него нормално спрямо оста на жироскопа.

Под сила Е приложена към оста на жироскопа, оста се върти не по посока на силата, а по посока на момента на силата М спрямо фиксирана точка О. Във всеки един момент скоростта на въртене на оста на жироскопа е пропорционална по величина на момента на силата, а при постоянно рамо на сила е пропорционална на самата сила. По този начин, движението на оста на жироскопа е безинерционно. Това е единственият случай на безинерционно движение в механиката.

Движението на оста на жироскопа под въздействието на външна сила се нарича принудително прецесияжироскоп (от лат. praecessio - движение напред).

3. Ударно действие върху оста на жироскопа. Нека определим ъгловото изместване на оста на жироскопа в резултат на краткотрайна сила върху оста, тоест удар. Нека за кратко време дтпо оста на жироскопа на разстояние rот центъра ОТНОСНОдейства сила Е . Под въздействието на импулса на тази сила Е дтоста се върти (фиг. 74) в посоката на момента на силовия импулс, който създава М дтпод някакъв ъгъл

dq =У dt=(rF/Iw)дт. (26.3)

Ако точката на приложение на силата не се промени, тогава r= const и при интегриране получаваме. q = .(26.4)

Интегралът във всеки случай зависи от вида на функцията ( T). При нормални условия ъгловата скорост на въртене на жироскопа е много висока, така че числителят най-често е много по-малък от знаменателя и следователно ъгълът р – малка стойност. Бързо въртящият се жироскоп е устойчив на удар - колкото по-голям, толкова по-голям е неговият ъглов момент.

4. Интересно е, че силата, под която оста на жироскопа прецесира, не извършва никаква работа. Това се случва, защото точката на жироскопа, към която се прилага сила, във всеки момент се измества в посока, перпендикулярна на посоката на силата. Ето защо скаларно произведениесилата върху вектора на малкото изместване винаги е нула.

Силите в това проявление се наричат жироскопичен. По този начин силата на Лоренц, действаща върху електрически заредена частица отстрани, винаги е жироскопична магнитно полев която се движи.

5. Условие за равновесие на КТ.За да бъде КТ в равновесие, е необходимо сумата от външните сили и сумата от моментите на външните сили да бъдат равни на нула:

. (26.5)

Има 4 вида равновесие: стабилен, нестабилен, седловиден и безразличен.

А.Равновесното положение на TP е стабилно, ако при малки отклонения от равновесието върху тялото започват да действат сили, които се стремят да го върнат в равновесно положение.

Фигура 75 показва ситуации на стабилно равновесие на тела в гравитационно поле. Силите на гравитацията са масови сили, следователно резултантната от силите на гравитацията, действащи върху точковите елементи на ТТ, се прилага към центъра на масата. В такива ситуации центърът на масата се нарича център на тежестта.

Стабилното равновесно положение съответства на минимум потенциална енергиятела.

b. Ако при малки отклонения от равновесното положение върху тялото започнат да действат сили в посока от равновесието, тогава равновесното положение е нестабилно. Нестабилното равновесно положение съответства на относителен максимум на потенциалната енергия на тялото (фиг. 76).

V. Седловидно равновесие е, когато при движение по една степен на свобода равновесието на тялото е стабилно, а при движение по друга степен на свобода е нестабилно. В ситуацията, показана на фигура 77, позицията на тялото спрямо координатната хе стабилен и по отношение на координатната г– нестабилен.

Ж.Ако при отклонение на тялото от равновесното положение не възникват сили, които се стремят да изместят тялото в една или друга посока, тогава равновесното положение се нарича безразлично. Например топка в гравитационно поле върху еквипотенциална повърхност, твърдо тяло, окачено в точката на центъра на масата (в точката на центъра на тежестта) (фиг. 78).

В случаите, когато тялото се опира на опора, колкото по-голяма е площта на опората и колкото по-нисък е центърът на тежестта, толкова по-стабилен е балансът на тялото (фиг. 79).