Основните методи за решаване на тригонометрични уравнения са: редуциране на уравненията до най-простите (с помощта на тригонометрични формули), въвеждане на нови променливи, факторизация. Нека да разгледаме използването им с примери. Обърнете внимание на формата на писане на решения на тригонометрични уравнения.

Необходимо условие успешно решениетригонометрични уравнения е познаване на тригонометрични формули (тема 13 от работа 6).

Примери.

1. Уравнения, сведени до най-простите.

1) Решете уравнението

Решение:

отговор:

2) Намерете корените на уравнението

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащ на сегмента.

Решение:

отговор:

2. Уравнения, които се свеждат до квадратни.

1) Решете уравнението 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение:Използване грях формула 2 x = 1 – cos 2 x, получаваме

отговор:

2) Решете уравнението cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение:Използване cos формула 2x = 2 cos 2 x – 1, получаваме

отговор:

3) Решете tgx уравнение– 2ctgx + 1 = 0

Решение:

отговор:

3. Хомогенни уравнения

1) Решете уравнението 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Нека cosx = 0, тогава 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с факта, че sin 2 x + cos 2 x = 1. Това означава cosx ≠ 0 и можем да разделим уравнението на cosx. получаваме

отговор:

2) Решете уравнението 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Използваме формулите 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получаваме

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Нека cosx = 0, тогава sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с факта, че sin 2 x + cos 2 x = 1.
Това означава cosx ≠ 0 и можем да разделим уравнението на cos 2 x . получаваме

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Нека означим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
а) tgx = 4, x = arctan4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= arctan2 + 2 к, к .

отговор: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к, к

4. Уравнения на формата а sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Решете уравнението.

Решение:

отговор:

5. Уравнения, решени чрез факторизация.

1) Решете уравнението sin2x – sinx = 0.

Корен на уравнението f (X) = φ ( X) може да служи само като число 0. Нека проверим това:

cos 0 = 0 + 1 – равенството е вярно.

Числото 0 е единственият корен на това уравнение.

отговор: 0.

Можете да поръчате подробно решениетвоя задача!!!

Равенство, съдържащо неизвестното под знака тригонометрична функция(`sin x, cos x, tan x` или `ctg x`) се нарича тригонометрично уравнение и техните формули ще разгледаме по-нататък.

Най-простите уравнения се наричат ​​„sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека запишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синус, той няма решения сред реални числа.

Когато `|a| \leq 1` има безкрайно множестворешения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи на синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Също така има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синус:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решаването на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• с помощта на трансформирането му в най-простия;
• решаване на най-простото уравнение, получено с помощта на коренните формули и таблиците, написани по-горе.

Нека да разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

Алгебричен метод.

Този метод включва заместване на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Нека преместим всички членове на равенството наляво: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки , трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да намалите това тригонометрично уравнение до една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` - за първия случай, и на `cos^2 x \ne 0` - за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени по известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, разделяме лявата и дясната му страна на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

„tg^2 x+tg x — 2=0“. Нека въведем замяната `tg x=t`, което води до `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. След това:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отидете до половината ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Нека приложим формулите двоен ъгъл, което води до: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки горното алгебричен метод, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение „a sin x + b cos x =c“, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, разделете двете страни на „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и техните модули не са по-големи от 1. Нека ги обозначим по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяме двете страни на равенството на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Нека означим `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогава ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробни рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, чиито числители и знаменатели съдържат тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството на „(1+cos x)“. В резултат получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде равен на нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Нека приравним числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за Единния държавен изпит, така че се опитайте да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да я извлечете. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.

Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Решаването на тригонометрично уравнение се състои от два етапа: трансформация на уравнениеза да стане най-простотип (виж по-горе) и решениеполучената най-проста тригонометрично уравнение.Има седем основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

1. Алгебричен метод.

(променлива замяна и метод на заместване).

2. Разлагане на множители.

Пример 1. Решете уравнението:грях х+cos х = 1 .

Решение. Нека преместим всички членове на уравнението наляво:

грях х+cos х – 1 = 0 ,

Нека трансформираме и разложим израза на множители

Лявата страна на уравнението:

Пример 2. Решете уравнението: cos 2 х+ грях х cos х = 1.

Решение: cos 2 х+ грях х cos х– грях 2 х– cos 2 х = 0 ,

грях х cos х– грях 2 х = 0 ,

грях х· (cos х– грях х ) = 0 ,

Пример 3. Решете уравнението:защото 2 х– защото 8 х+ cos 6 х = 1.

Решение: cos 2 х+ cos 6 х= 1 + cos 8 х,

2 cos 4 хзащото 2 х= 2cos² 4 х ,

Cos 4 х · (cos 2 х– cos 4 х) = 0 ,

Cos 4 х · 2 грях 3 хгрях х = 0 ,

1). защото 4 х= 0, 2). грях 3 х= 0, 3). грях х = 0 ,

3. Намаляване до хомогенно уравнение. Уравнение наречен хомогенен от относно гряхи cos , Ако всичко това термини от същата степен спрямо гряхи cosсъщия ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, трябва: А) преместете всичките си членове вляво; b) извадете всички общи множители извън скоби; V) приравнява всички множители и скоби към нула; Ж) скоби, равни на нула, дават хомогенно уравнение от по-малка степен, което трябва да се раздели на cos(или грях) в старша степен; d) реши полученото алгебрично уравнение по отношение натен . грях 2 х+ 4 грях х cos х+ 5cos 2 х = 2. Решение: 3sin 2 х+ 4 грях х cos х+ 5 cos 2 х= 2sin 2 х+ 2cos 2 х , грях 2 х+ 4 грях х cos х+ 3, защото 2 х = 0 , тен 2 х+ 4 тен х + 3 = 0 , от тук г 2 + 4г +3 = 0 , Корените на това уравнение са:г 1 = - 1, г 2 = - 3, следователно 1) тен х= –1, 2) тен х = –3,

4. Преход към полуъгъл.

Нека разгледаме този метод като пример:

ПРИМЕР Решете уравнение: 3грях х– 5 cos х = 7.

Решение: 6 грях ( х/ 2) cos ( х/ 2) – 5 cos² ( х/ 2) + 5 sin² ( х/ 2) =

7 sin² ( х/ 2) + 7 cos² ( х/ 2) ,

2 sin² ( х/ 2) – 6 грях ( х/ 2) cos ( х/ 2) + 12 cos² ( х/ 2) = 0 ,

тен² ( х/ 2) – 3 тен ( х/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Въвеждане на спомагателен ъгъл.

Разгледайте уравнение на формата:

агрях х + b cos х = c ,

Къде а, b, c– коефициенти;х– неизвестен.

Сега коефициентите на уравнението имат свойствата на синус и косинус, именно: модул (абсолютна стойност) на всеки от които не повече от 1 бр. и сумата от техните квадрати е 1. Тогава можем да обозначим тях съответно как защото и грях (тук - т.нар спомагателен ъгъл), Ивземете нашето уравнение