Тригонометрични формули: умножение. Тригонометрични уравнения - формули, решения, примери. Формули за синус и косинус от сбор и разлика

На тази страница ще намерите всички основни тригонометрични формули, което ще ви помогне да решите много упражнения, като значително опростява самото изразяване.

Тригонометрични формули - математически равенства за тригонометрични функции, които важат за всички приемливи стойностиаргумент.

Формулите определят връзките между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс, котангенс.

Синусът на ъгъл е y координатата на точка (ордината) върху единична окръжност. Косинусът на ъгъл е координатата x на точка (абсцисата).

Тангенсът и котангенсът са съответно съотношенията на синус към косинус и обратно.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

И две, които се употребяват по-рядко – секанс, косеканс. Те представляват съотношенията на 1 към косинус и синус.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

От дефинициите на тригонометричните функции става ясно какви знаци имат във всеки квадрант. Знакът на функцията зависи само от това в кой квадрант се намира аргументът.

При промяна на знака на аргумента от “+” на “-” само функцията косинус не променя стойността си. Нарича се дори. Графиката му е симетрична спрямо оста y.

Останалите функции (синус, тангенс, котангенс) са нечетни. При промяна на знака на аргумента от “+” на “-”, тяхната стойност също се променя на отрицателна. Техните графики са симетрични относно произхода.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Основни тригонометрични тъждества

Основен тригонометрични тъждества- това са формули, които установяват връзка между тригонометрични функции на един ъгъл (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) и които ви позволяват да намерите стойността на всеки на тези функции чрез всички известни други .
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Формули за сбор и разлика на ъгли на тригонометрични функции

Формулите за добавяне и изваждане на аргументи изразяват тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла по отношение на тригонометричните функции на тези ъгли.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \\alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Формули за двоен ъгъл

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Формули за троен ъгъл

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Формули за половин ъгъл

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ алфа)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ алфа)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Формулите за половин, двоен и троен аргумент изразяват функциите `sin, \cos, \tg, \ctg` на тези аргументи (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) чрез аргумента на тези функции „\alpha“.

Техният извод може да бъде получен от предишната група (събиране и изваждане на аргументи). Например идентичности двоен ъгъллесно се получава чрез замяна на `\beta` с `\alpha`.

Формули за намаляване на степента

Формулите на квадрати (кубове и т.н.) на тригонометрични функции ви позволяват да преминете от 2,3,... градуса към тригонометрични функции на първа степен, но множество ъгли (`\alpha, \3\alpha, \... ` или `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

Формулите представляват преобразуване на сбора и разликата на тригонометрични функции на различни аргументи в произведение.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ бета)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Тук се извършва преобразуването на събиране и изваждане на функции на един аргумент в продукт.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Следните формули преобразуват сумата и разликата на единица и тригонометрична функция в произведение.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)'
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ бета \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Формули за преобразуване на произведения на функции

Формули за преобразуване на произведението на тригонометрични функции с аргументи `\alpha` и `\beta` в сбора (разликата) на тези аргументи.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ бета)) =`\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ бета)) =`\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ бета))`

Универсално тригонометрично заместване

Тези формули изразяват тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Формули за намаляване

Формулите за редукция могат да бъдат получени, като се използват такива свойства на тригонометричните функции като периодичност, симетрия и свойството за изместване с даден ъгъл. Те позволяват функции с произволен ъгъл да бъдат преобразувани във функции, чийто ъгъл е между 0 и 90 градуса.

За ъгъл (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
За ъгъл (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
За ъгъл (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
За ъгъл (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Изразяване на някои тригонометрични функции чрез други

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Тригонометрията буквално се превежда като „измерване на триъгълници“. Започва да се изучава в училище и продължава по-подробно в университетите. Следователно основните формули в тригонометрията са необходими от 10 клас, както и за полагане на Единния държавен изпит. Те обозначават връзки между функции и тъй като има много от тези връзки, има много и самите формули. Не е лесно да ги запомните всички, а и не е необходимо - ако е необходимо, всички те могат да бъдат показани.

Тригонометричните формули се използват в интегралното смятане, както и в тригонометричните опростявания, изчисления и трансформации.

Тригонометрия, тригонометрични формули

Уточняват се връзките между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс. тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същи ъгъл, други - функции на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвърти - изразявате всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.

В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.

Основни тригонометрични тъждествадефинирайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията основни тригонометрични идентичности.

Най-горе на страницата

Формули за намаляване

Формули за намаляванеследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, т.е. те отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване с даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат изучавани във формулите за редукция на артикулите.

Най-горе на страницата

Формули за добавяне

Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.

За повече информация вижте статията Формули за добавяне.

Най-горе на страницата

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл (те се наричат още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.

По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл.

Най-горе на страницата

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.

Техният извод и примери за приложение могат да бъдат намерени в статията за формулите за половин ъгъл.

Най-горе на страницата

Формули за намаляване на степента

Тригонометрични формули за намаляване на степенитеимат за цел да улеснят прехода от естествени градуситригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.

Най-горе на страницата

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

Основна цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения, тъй като ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.

За извеждането на формули, както и примери за тяхното приложение, вижте статията формули за сбор и разлика на синус и косинус.

Най-горе на страницата

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведение на тригонометрични функции към сума или разлика се извършва с помощта на формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.

Най-горе на страницата

Универсално тригонометрично заместване

Завършваме нашия преглед на основните формули на тригонометрията с формули, изразяващи тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл. Тази замяна се наричаше универсално тригонометрично заместване. Неговото удобство се крие във факта, че всички тригонометрични функции се изразяват чрез тангенса на половин ъгъл рационално без корени.

За по-пълна информация вижте статията универсално тригонометрично заместване.

Най-горе на страницата

Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище — 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-високо училище, 1984.-351 с., ил.

Тригонометрични формули- това са най-необходимите формули в тригонометрията, необходими за изразяване на тригонометрични функции, които се изпълняват за всяка стойност на аргумента.

Формули за добавяне.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формули за двоен ъгъл.

защото 2α = cos²α -грех²α

защото 2α = 2cos²α — 1

защото 2α = 1 - 2sin²α

грях 2α = 2sinα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Формули за троен ъгъл.

sin 3α = 3sin α - 4sin³ α

защото 3α = 4cos³α - 3 cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 — 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формули за половин ъгъл.

Формули за намаляване.

Функция/ъгъл в рад.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Функция/ъгъл в °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Подробно описание на формулите за намаляване.

Основни тригонометрични формули.

Основна тригонометрична идентичност:

sin 2 α+cos 2 α=1

Тази идентичност е резултат от прилагането на Питагоровата теорема към триъгълник в единичната тригонометрична окръжност.

Връзката между косинус и тангенс е:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 или sec 2 α−tan 2 α=1.

Тази формула е следствие от основното тригонометрично тъждество и се получава от него чрез разделяне на лявата и дясната страна на cos2α. Предполага се, че α≠π/2+πn,n∈Z.

Връзка между синус и котангенс:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 или csc 2 α−cot 2 α=1.

Тази формула също следва от основното тригонометрично тъждество (получено от него чрез разделяне на лявата и дясната страна на sin2α. Тук се предполага, че α≠πn,n∈Z.

Определение на допирателната:

tanα=sinα/cosα,

Къде α≠π/2+πn,n∈Z.

Дефиниция на котангенс:

cotα=cosα/sinα,

Къде α≠πn,n∈Z.

Следствие от определенията за тангенс и котангенс:

tanα⋅ cotα=1,

Къде α≠πn/2,n∈Z.

Дефиниция на секанс:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ З

Дефиниция на косеканс:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ З

Тригонометрични неравенства.

Най-простите тригонометрични неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Квадрати на тригонометрични функции.

Формули за кубове на тригонометрични функции.

ТригонометрияМатематика. Тригонометрия. Формули. Геометрия. Теория

Разгледахме най-основните тригонометрични функции (не се заблуждавайте, в допълнение към синус, косинус, тангенс и котангенс, има много други функции, но повече за тях по-късно), но засега нека да разгледаме някои основни свойства на вече проучените функции.

Тригонометрични функции на числов аргумент

Каквото и реално число t да се вземе, то може да бъде свързано с уникално дефинирано число sin(t).

Вярно е, че правилото за съвпадение е доста сложно и се състои в следното.

За да намерите стойността на sin(t) от числото t, трябва:

подредете числов кръгна координатна равнинатака че центърът на окръжността съвпада с началото на координатите, а началната точка А на окръжността попада в точка (1; 0);
намерете точка от окръжността, съответстваща на числото t;
намерете ординатата на тази точка.
тази ордината е желаният sin(t).

Всъщност ние говорим заотносно функцията s = sin(t), където t е всяко реално число. Ние знаем как да изчислим някои стойности на тази функция (например sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) и т.н.) , знаем някои от неговите свойства.

Връзка между тригонометрични функции

Както, надявам се, можете да се досетите, всички тригонометрични функции са взаимосвързани и дори без да знаете значението на една, тя може да бъде намерена чрез друга.

Например, най-важната формула в цялата тригонометрия е основна тригонометрична идентичност:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Както можете да видите, знаейки стойността на синуса, можете да намерите стойността на косинуса, както и обратното.

Тригонометрични формули

Също така много често срещани формули, свързващи синус и косинус с тангенс и котангенс:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

От последните две формули може да се извлече друга тригометрична идентичност, този път свързваща тангенс и котангенс:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Сега нека видим как тези формули работят на практика.

ПРИМЕР 1. Опростете израза: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) Първо, нека напишем тангенса, запазвайки квадрата:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Сега нека въведем всичко под общ знаменател, и получаваме:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

И накрая, както виждаме, числителят може да бъде намален до единица чрез главното тригонометрично тъждество, като резултат получаваме: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

б) С котангенса извършваме всички същите действия, само знаменателят вече няма да бъде косинус, а синус и отговорът ще бъде така:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

След като изпълнихме тази задача, ние изведохме още две много важни формули, които свързват нашите функции, които също трябва да знаем като петте си пръста:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Трябва да знаете всички представени формули наизуст, в противен случай по-нататъшното изучаване на тригонометрията без тях е просто невъзможно. В бъдеще ще има повече формули и ще бъдат много и ви уверявам, че със сигурност ще ги помните всички дълго време или може би няма да ги помните, но ВСЕКИ трябва да знае тези шест неща!

Пълна таблица на всички основни и редки формули за тригонометрична редукция.

Тук можете да намерите тригонометрични формули в удобна форма. А тригонометричните формули за намаляване могат да бъдат намерени на друга страница.

Основни тригонометрични тъждества

— математически изразиза тригонометрични функции, изпълнявани за всяка стойност на аргумент.

sin² α + cos² α = 1
tg α cot α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
cot α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Формули за добавяне

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Формули за двоен ъгъл

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формули за троен ъгъл

sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формули за намаляване на степента

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α – sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

Преход от произведение към сбор

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Изброили сме доста тригонометрични формули, но ако нещо липсва, моля пишете.

Всичко за учене » Математика в училище » Тригонометрични формули - измамница

За да маркирате страница, натиснете Ctrl+D.

Група с куп полезна информация(Абонирайте се, ако имате Единен държавен изпит или Единен държавен изпит):

Цялата база данни с резюмета, курсова работа, тезисии други учебни материалисе предоставя безплатно. Използвайки материалите на сайта, вие потвърждавате, че сте прочели потребителското споразумение и сте съгласни с всички негови точки изцяло.

трансформацията на групите е разгледана подробно общи решениятригонометрични уравнения. В третия раздел се разглеждат нестандартни тригонометрични уравнения, чиито решения се основават на функционалния подход.

Всички формули (уравнения) на тригонометрията: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

Четвъртият раздел разглежда тригонометричните неравенства. Подробно са разгледани методите за решаване на елементарни задачи. тригонометрични неравенства, както на единичната окръжност, така и...

... ъгъл 1800-α= по хипотенузата и остър ъгъл: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> И така, в училищен курсВ геометрията понятието тригонометрична функция се въвежда с геометрични средства поради по-голямата им достъпност. Традиционната методическа схема за изучаване на тригонометричните функции е следната: 1) първо се определят тригонометричните функции за остър ъгълправоъгълен...

… домашна работа 19(3.6), 20(2.4) Поставяне на цел Актуализиране на основни знания Свойства на тригонометричните функции Формули за редукция Нов материалСтойности на тригонометрични функции Решаване на прости тригонометрични уравнения Подсилване Решаване на задачи Цел на урока: днес ще изчислим стойностите на тригонометричните функции и ще решим ...

... формулираната хипотеза, необходима за решаване на следните проблеми: 1. Идентифициране на ролята на тригонометричните уравнения и неравенства в обучението по математика; 2. Разработване на методика за развитие на способността за решаване на тригонометрични уравнения и неравенства, насочена към развиване на тригонометрични концепции; 3. Експериментално проверете ефективността на разработения метод. За решаване...

Тригонометрични формули

Представяме на вашето внимание различни формули, свързани с тригонометрията.

(8) Котангенс на двоен ъгъл

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg (α)

(9) Синус на троен ъгъл sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Косинус на троен ъгъл cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Косинус на сбора/разликата cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Синус на сбора/разликата sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Тангенс на сбора/разликата (14) Котангенс на сбора/разликата (15) Продукт на синуси sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Произведение от косинуси cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Произведение от синус и косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Сбор/разлика на синусите sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Сбор от косинуси cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Разлика на косинусите cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Сбор/разлика на тангентите (22) Формула за намаляване на степента на синуса sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Формула за намаляване степента на косинус cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Сбор/разлика на синус и косинус (25) Сбор/разлика на синус и косинус с коефициенти (26) Основна връзка на арксинус и аркосинус arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Основна връзка между арктангенс и арккотангенс arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Общи формули

- версия за печат

Дефиниции Синус на ъгъл α (обозначение грях (α)) е отношението на катета срещу ъгъл α към хипотенузата. Косинус на ъгъл α (обозначение cos(α)) е отношението на катета, съседен на ъгъла α, към хипотенузата. Тангенс на ъгъл α (обозначение тен (α)) е отношението на страната, противоположна на ъгъл α, към съседната страна. Еквивалентно определение е отношението на синуса на ъгъл α към косинуса на същия ъгъл - sin(α)/cos(α). Котангенс на ъгъл α (обозначение cotg(α)) е съотношението на крака, съседен на ъгъл α, към срещуположния. Еквивалентно определение е отношението на косинуса на ъгъл α към синуса на същия ъгъл - cos(α)/sin(α). Други тригонометрични функции: секуща — sec(α) = 1/cos(α); косеканс - cosec(α) = 1/sin(α). Забележка Не изписваме специално знака * (умножение) - там, където са написани две функции подред, без интервал, се подразбира. Улика За да изведете формули за косинус, синус, тангенс или котангенс на множество (4+) ъгли, е достатъчно да ги напишете съответно по формулите. косинус, синус, тангенс или котангенс на сбора, или редуцирайте до предишните случаи, свеждайки до формулите на тройни и двойни ъгли. Допълнение Таблица с производни

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични тъждества

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.

Формули за намаляване

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запаметяването им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за добавяне

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл

По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл

Формули за половин ъгъл

Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.

Формули за намаляване на степента

Тригонометрични формули за намаляване на степенитеса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

Основна цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения, тъй като ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Универсално тригонометрично заместване

Референции.

Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-високо училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от cleverstudents

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никоя част от сайта, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Центриран в точка А.
α - ъгъл, изразен в радиани.

Определение
Синус (sin α)- Това тригонометрична функция, в зависимост от ъгъла α между хипотенузата и катета правоъгълен триъгълник, равно на съотношениетодължина на срещуположната страна |BC| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.

Косинус (cos α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.

Приети означения

;
;
.

Графика на функцията синус, y = sin x

Графика на функцията косинус, y = cos x

Свойства на синуса и косинуса

Периодичност

Функции y = грях хи y = cos xпериодичен с период 2π.

Паритет

Функцията синус е нечетна. Функцията косинус е четна.

Област на определение и стойности, екстремуми, нарастване, намаляване

Функциите синус и косинус са непрекъснати в тяхната област на дефиниране, тоест за всички x (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).

	y= грях х	y= cos x
Обхват и приемственост	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Увеличава се
Спускане
Максимум, y = 1
Минимуми, y = - 1
Нули, y = 0
Пресечни точки с ординатната ос, x = 0	y= 0	y= 1