При същия брой уравнения, колкото е броят на неизвестните с главната детерминанта на матрицата, която не е равна на нула, коефициентите на системата (за такива уравнения има решение и е само едно).
Теорема на Крамър.
Когато детерминантата на матрицата на квадратна система е различна от нула, това означава, че системата е последователна и има едно решение и то може да бъде намерено чрез Формули на Крамер:
където Δ - детерминанта на системната матрица,
Δ азе детерминантата на системната матрица, в която вместо азТата колона съдържа колоната с десни страни.
Когато детерминантата на една система е нула, това означава, че системата може да стане кооперативна или несъвместима.
Този метод обикновено се използва за малки системи с големи изчисления и ако е необходимо да се определи една от неизвестните. Сложността на метода е, че трябва да се изчислят много детерминанти.
Описание на метода на Крамер.
Има система от уравнения:
Система от 3 уравнения може да бъде решена с помощта на метода на Крамер, който беше обсъден по-горе за система от 2 уравнения.
Съставяме детерминанта от коефициентите на неизвестните:
Ще бъде системна детерминанта. Кога D≠0, което означава, че системата е последователна. Сега нека създадем 3 допълнителни детерминанти:
,
,
Ние решаваме системата чрез Формули на Крамер:
Примери за решаване на системи от уравнения по метода на Крамер.
Пример 1.
Дадена система:
Нека го решим с помощта на метода на Крамър.
Първо трябва да изчислите детерминантата на системната матрица:
защото Δ≠0, което означава, че от теоремата на Крамър системата е последователна и има едно решение. Изчисляваме допълнителни детерминанти. Детерминантата Δ 1 се получава от детерминантата Δ чрез замяна на нейната първа колона с колона със свободни коефициенти. Получаваме:
По същия начин получаваме детерминантата на Δ 2 от детерминантата на системната матрица, като заместваме втората колона с колона със свободни коефициенти:
Методи КрамерИ Гаус- един от най-популярните методи за решение СЛАУ. Освен това в някои случаи е препоръчително да се използват специфични методи. Сесията е близо и сега е моментът да ги повторите или овладеете от нулата. Днес ще разгледаме решението с помощта на метода на Cramer. В крайна сметка решаването на система от линейни уравнения с помощта на метода на Крамър е много полезно умение.
Системи линейни алгебрични уравнения
Система от линейни алгебрични уравнения е система от уравнения от вида:
Задаване на стойност х , при което уравненията на системата се превръщат в идентичности, се нарича решение на системата, а И b са реални коефициенти. Една проста система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, може да бъде решена наум или чрез изразяване на една променлива по отношение на другата. Но може да има много повече от две променливи (xes) в SLAE и тук прости училищни манипулации не са достатъчни. какво да правя Например, решете SLAE с помощта на метода на Cramer!
И така, нека системата се състои от п уравнения с п неизвестен.
Такава система може да бъде пренаписана в матрична форма
тук А – основната матрица на системата, X И б , съответно колонни матрици на неизвестни променливи и свободни членове.
Решаване на SLAE по метода на Cramer
Ако детерминантата на основната матрица не е равна на нула (матрицата е неособена), системата може да бъде решена с помощта на метода на Крамер.
Според метода на Крамер решението се намира по формулите:
тук делта е детерминантата на основната матрица и делта х nth – детерминанта, получена от детерминантата на основната матрица чрез замяна на n-та колона с колона от свободни членове.
Това е цялата същност на метода Крамер. Заместване на стойностите, намерени с горните формули х в желаната система, ние сме убедени в правилността (или обратното) на нашето решение. За да ви помогнем бързо да разберете същността, по-долу даваме пример за подробно решение на SLAE, използвайки метода на Cramer:
Дори и да не успеете от първия път, не се обезсърчавайте! С малко практика ще започнете да чупите SLAU като ядки. Освен това сега абсолютно не е необходимо да се занимавате с тетрадка, да решавате тромави изчисления и да записвате ядрото. Можете лесно да решите SLAE, като използвате метода на Cramer онлайн, просто като замените коефициентите в готовата форма. Можете да изпробвате онлайн калкулатор за решение, използвайки метода на Cramer, например на този уебсайт.
И ако системата се окаже упорита и не се предаде, винаги можете да се обърнете към нашите автори за помощ, например да закупите синопсис. Ако има поне 100 неизвестни в системата, ние със сигурност ще го разрешим правилно и навреме!
Този онлайн калкулатор намира решението на система от линейни уравнения (SLE) с помощта на метода на Крамер. Дадено е подробно решение. За да изчислите, изберете броя на променливите. След това въведете данните в клетките и кликнете върху бутона "Изчисли".
×
Предупреждение
Изчистване на всички клетки?
Затвори Изчисти
Инструкции за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични знаци (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели числа или десетични знаци. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.
Метод на Крамер
Методът на Крамер е метод за решаване на квадратна система от линейни уравнения с ненулев детерминант на основната матрица. Такава система от линейни уравнения има уникално решение.
Нека е дадена следната система от линейни уравнения:
Къде А- основната матрица на системата:
първото от които трябва да се намери, а второто е дадено.
Тъй като приемаме, че детерминантата Δ на матрицата Ае различно от нула, тогава има обратно на Аматрица А-1. След това умножете идентичността (2) отляво по обратната матрица А-1, получаваме:
Обратната матрица има следния вид:
Алгоритъм за решаване на система от линейни уравнения по метода на Крамер
- Изчислява се детерминантата Δ на основната матрица А.
- Замяна на колона 1 от матрица Акъм вектора на безплатните членове b.
- Изчисляване на детерминантата Δ 1 на получената матрица А 1 .
- Изчисляване на променлива х 1 =Δ 1 /Δ.
- Повторете стъпки 2-4 за колони 2, 3, ..., пматрици А.
Примери за решаване на SLE по метода на Крамер
Пример 1. Решете следната система от линейни уравнения, като използвате метода на Крамер:
Нека заменим колона 1 от матрицата Ана векторна колона b:
Заменете колона 2 от матрицата Ана векторна колона b:
Заменете колона 3 от матрицата Ана векторна колона b:
Решението на система от линейни уравнения се изчислява, както следва:
Нека го запишем в матрична форма: Ax=b, Къде
Избираме най-големия по модул водещ елемент от колона 2. За да направим това, разменяме редове 2 и 4. В този случай знакът на детерминантата се променя на „−“.
Избираме най-големия по модул водещ елемент от колона 3. За да направим това, разменяме редове 3 и 4. В този случай знакът на детерминантата се променя на „+“.
Редуцирахме матрицата до горна триъгълна форма. Детерминантата на матрицата е равна на произведението на всички елементи на главния диагонал:
Да се изчисли детерминантата на матрица А 1, намаляваме матрицата до горна триъгълна форма, подобно на горната процедура. Получаваме следната матрица:
Заменете колона 2 от матрицата Ана векторна колона b, редуцираме матрицата до горна триъгълна форма и изчисляваме детерминантата на матрицата:
| ,,,. |
За да овладеете този параграф, трябва да можете да разкриете детерминантите „две по две“ и „три по три“. Ако не сте добре с квалификациите, моля, проучете урока Как да изчислим детерминантата?
Първо, ще разгледаме по-отблизо правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. за какво? – В края на краищата най-простата система може да бъде решена с помощта на училищния метод, метода на добавяне по член!
Факт е, че макар и понякога, се случва такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни по формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.
Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават с помощта на правилото на Крамър!
Разгледайте системата от уравнения
На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основен детерминант на системата.
Метод на Гаус.
Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
И
На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинска буква.
Намираме корените на уравнението с помощта на формулите:
,
Пример 7
Решете система от линейни уравнения 
Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи; Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.
Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай вероятно ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят и тук.
какво да правя В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.
;
;
отговор: ,
И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.
Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава с помощта на готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагмент от дизайна на задачата е следният фрагмент: „Това означава, че системата има уникално решение“. В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.
Не би било излишно да проверите, което може удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да получите числа, които са от дясната страна.
Пример 8
Представете отговора в обикновени неправилни дроби. Направете проверка.
Това е пример, който можете да решите сами (пример за окончателния дизайн и отговора в края на урока).
Нека преминем към разглеждане на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни: 
Намираме основната детерминанта на системата: 
Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне; трябва да използвате метода на Гаус.
Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти: 
, 
, 
И накрая, отговорът се изчислява по формулите: 
Както можете да видите, случаят "три по три" не се различава по същество от случая "два по два"; колоната от свободни термини последователно "ходи" отляво надясно по колоните на основната детерминанта.
Пример 9
Решете системата с помощта на формулите на Крамер. 
Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамър. 
, което означава, че системата има уникално решение.
отговор: 
.
Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, поради факта, че решението следва готови формули. Но има няколко коментара.
Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за „лечение“. Ако нямате компютър под ръка, направете следното:
1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лоша“ фракция, незабавно трябва да проверите Правилно ли е пренаписано условието?. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширение в друг ред (колона).
2) Ако в резултат на проверката не са идентифицирани грешки, най-вероятно е имало печатна грешка в условията на задачата. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО изпълнете задачата до края и след това не забравяйте да проверитеи го съставяме на чист лист след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който много обича да дава минус за всякакви глупости като . Как да работим с дроби е описано подробно в отговора на пример 8.
Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма за проверка, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да стартирате решението); веднага ще видите междинната стъпка, в която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата, като използва матричния метод.
Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например: 
Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта: 
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули според реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.
Пример 10
Решете системата с помощта на формулите на Крамер. 
Това е пример за самостоятелно решение (образец на окончателния дизайн и отговора в края на урока).
За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока Свойства на детерминантите. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанта от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на обувката на професор върху гърдите на щастлив студент.
Решаване на система с помощта на обратна матрица
Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).
За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширявате детерминанти, да намирате обратната на матрица и да извършвате умножение на матрица. С напредването на обясненията ще бъдат предоставени подходящи връзки.
Пример 11
Решете системата с матричния метод 
Решение: Нека напишем системата в матрична форма:
, Къде 
Моля, разгледайте системата от уравнения и матрици. Мисля, че всеки разбира принципа, по който записваме елементи в матрици. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава нулите трябва да бъдат поставени на съответните места в матрицата.
Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.
Първо, нека да разгледаме детерминантата:
Тук детерминантата е разширена на първия ред.
внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши с помощта на матричния метод. В този случай системата се решава по метода на елиминиране на неизвестните (метод на Гаус).
Сега трябва да изчислим 9 минори и да ги запишем в матрицата на минорите 
Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът: 
Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, третата колона и, например, елементът е в 3 ред, 2 колона
По време на решението е по-добре да опишете подробно изчисляването на непълнолетните, въпреки че с известен опит можете да свикнете да ги броите с грешки устно.
Методът на Крамер или така нареченото правило на Крамер е метод за търсене на неизвестни величини от системи уравнения. Може да се използва само ако броят на търсените стойности е еквивалентен на броя на алгебричните уравнения в системата, тоест основната матрица, образувана от системата, трябва да е квадратна и да не съдържа нула редове, а също и ако нейната детерминанта трябва не е нула.
Теорема 1
Теорема на КрамърАко главната детерминанта $D$ на главната матрица, съставена на базата на коефициентите на уравненията, не е равна на нула, то системата от уравнения е непротиворечива и има единствено решение. Решението на такава система се изчислява чрез така наречените формули на Крамер за решаване на системи от линейни уравнения: $x_i = \frac(D_i)(D)$
Какво представлява методът на Крамер?
Същността на метода на Крамър е следната:
- За да намерим решение на системата, използвайки метода на Крамър, първо изчисляваме главния детерминант на матрицата $D$. Когато изчислената детерминанта на основната матрица, изчислена по метода на Крамер, се окаже равна на нула, тогава системата няма нито едно решение или има безкраен брой решения. В този случай, за да се намери общ или някакъв основен отговор за системата, се препоръчва използването на метода на Гаус.
- След това трябва да замените най-външната колона на основната матрица с колона със свободни членове и да изчислите детерминантата $D_1$.
- Повторете същото за всички колони, като получите детерминанти от $D_1$ до $D_n$, където $n$ е номерът на най-дясната колона.
- След като всички детерминанти $D_1$...$D_n$ бъдат намерени, неизвестните променливи могат да бъдат изчислени по формулата $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Техники за изчисляване на детерминанта на матрица
За да изчислите детерминантата на матрица с размерност, по-голяма от 2 на 2, можете да използвате няколко метода:
- Правилото на триъгълниците или правилото на Сарус, напомнящо същото правило. Същността на метода на триъгълника е, че при изчисляване на детерминанта продуктите на всички числа, свързани на фигурата с червената линия вдясно, се записват със знак плюс, а всички числа, свързани по подобен начин на фигурата вляво се записват със знак минус. И двете правила са подходящи за матрици с размер 3 х 3. При правилото на Сарус първо се пренаписва самата матрица, а до нея нейните първа и втора колона се пренаписват отново. Диагоналите се изчертават през матрицата и тези допълнителни колони; членовете на матрицата, лежащи на главния диагонал или успоредни на него, се записват със знак плюс, а елементите, лежащи на второстепенния диагонал, се записват със знак минус.
Фигура 1. Правило на триъгълник за изчисляване на детерминанта за метода на Cramer
- Използвайки метод, известен като метод на Гаус, този метод понякога се нарича и намаляване на реда на детерминантата. В този случай матрицата се трансформира и редуцира до триъгълна форма, след което всички числа на главния диагонал се умножават. Трябва да се помни, че когато търсите детерминанта по този начин, не можете да умножавате или разделяте редове или колони с числа, без да ги извадите като множител или делител. В случай на търсене на детерминанта е възможно само да изваждате и добавяте редове и колони един към друг, като предварително сте умножили извадения ред с ненулев коефициент. Също така, когато пренареждате редовете или колоните на матрицата, трябва да помните необходимостта от промяна на крайния знак на матрицата.
- Когато решавате SLAE с 4 неизвестни с помощта на метода на Крамер, най-добре е да използвате метода на Гаус за търсене и намиране на детерминанти или да определите детерминантата чрез търсене на второстепенни.
Решаване на системи от уравнения по метода на Крамер
Нека приложим метода на Cramer за система от 2 уравнения и две изисквани величини:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Нека го покажем в разширен вид за удобство:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Нека намерим детерминантата на основната матрица, наричана още главна детерминанта на системата:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Ако основната детерминанта не е равна на нула, тогава за решаване на блатото с помощта на метода на Крамер е необходимо да се изчислят още няколко детерминанти от две матрици, като колоните на основната матрица се заменят с ред от свободни членове:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Сега нека намерим неизвестните $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Пример 1
Метод на Крамър за решаване на SLAE с главна матрица от 3-ти ред (3 x 3) и три неизвестни.
Решете системата от уравнения:
$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Нека изчислим главния детерминант на матрицата, използвайки правилото, посочено по-горе в точка номер 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
И сега три други определящи фактора:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $
Нека намерим необходимите количества:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
